BAB 3 MODEL LEE-CARTER 3. Pendahuluan Model Goperz yang elah dibahas di Bab 2 banyak diodifikasi oleh para Saisikawan. Pada waku iu (sekiar ahun 980-990), Saisikawan eliha odel ini cukup bagus unuk erepresenasikan ingka oralia. Pada ahun 860, Maheka enabahkan konsana A pada laju oralia sehingga odelnya enjadi µ = A+ BC,dengan 0, B > 0, C >, A> B. Tahun 932, Perks eodifikasinya enjadi A+ BC = KC + + DC µ. Tahun 943, Van Der Maen eodifikasi odel iu enjadi µ = A+ C+ B. Jika 2 ln ln ln ln kia aai odel-odel ersebu, hanya ada odifikasi persaaan yang elibakan koponen uur saja. Baru pada ahun 992, Lee dan Carer engajukan odel yang idak hanya elibakan koponen uur saja. Lee-Carer enabahkan koponen waku dala odelnya. Modelnya didefinisikan sebagai beriku. = + β k + ε ln,, =, 2, 3,, k, =, +, + 2,, + h = n...(3.) dengan : usia orang yang diaai (ahun) : waku pengaaan (ahun), : ingka keaian pusa unuk usia pada ahun ke- : banyaknya koponen khusus uur (ages-spesific) β : kecenderungan perubahan ingka keaian pada usia akiba perubahan paraeer κ κ : level oralia secara uu (general level of oraliy) ε, : eror yang idenik dan saling bebas ~ N(0, σ ) 2 ε Pebuaan Tabel Moralia Melalui Model Lee-Carer 30
Ada beberapa asusi unuk odel ini. Lee-Carer engasusikan eror pada odel ini adalah berasal dari disribusi yang saa (hooskedasic). Model ini juga invarian erhadap ransforasi. (, β, κ ) (, β / cc, κ ) dan(, β, κ ) ( cβ, β, κ + c) unuk seiap konsana c. Akibanya, solusi dari odel ini idak bisa dienukan. Agar odel ini epunyai solusi yang unik aka diabahkan baasan-baasan beriku. κ = 0dan β = 3.2 Taksiran Paraeer Model Lee-Carer Model pada Persaaan 3. bukan erupakan regresi biasa karena bagian kanan dari persaaan ersebu, yaiu dan β k idak dikeahui. Dengan deikian, unuk encari penyelesaian dari Persaaan 3., kia enggunakan eode aproksiasi. Banyak eode aproksiasi yang bisa digunakan. Salah saunya, yang digunakan Lee-Carer. Langkah-langkahnya sebagai beriku []. Langkah. Dengan asusi sebelunya, kia enukan dahulu aksiran unuk paraeer,. Hasilnya, aksiran dari ln unuk seiap. n n / h a = ln, = ln, n = = idak lain adalah nilai raa-raa dari Langkah 2. Menenukan nilai aksiran dari paraeer β dan κ. Caranya dengan enggunakan dekoposisi nilai singulir (Singulir Valued Decoposiion (SVD)) erhadap arik Y, = ln, a. Hasilnya arik Y, erdekoposisi seperi beriku. r, ρiu, ivi, i= SVD( Y ) =...(3.2) Pebuaan Tabel Moralia Melalui Model Lee-Carer 3
dengan r = rank dari arik Y, dan ρ ρ 2... ρr nilai singulir eruru dari arik Y,. Dengan enggunakan Teorea Eckar dan Young (936), aka Persaaan 3.2 enjadi h h () i () i, ρi, i i, β κ i= i= Y U V =, h r dengan β κ = ρu V () i () i i, i i, Lee-Carer hanya enggunakan rank h = unuk enaksir dua paraeer ersebu. Hal ini eberikan Y, ρ U,V, = β κ Dari hasil ini kia peroleh aksiran unuk β dan κ beriku. T b = ( u u... u ) dan, 2, X, k =ρ ( v v... v ), 2, T, Langkah 3. Mengesiasi lagi nilai aksiran dari κ. Hal ini dilakukan karena esiasi peraa dilakukan erhadap ln,, bukan pada,. Unuk engesiasi lagi nilai κ, kia enggunakan eode ierasi. Meode ini engaur κ sehingga banyaknya orang eninggal seiap ahun k = d, saa dengan nilai esiasinya k = ini disajikan langkah-langkah eode ierasi. a. Mebandingkan, + E ep( a b k ). Beriku k k E, ep( a+ b k ) dengan d, = = seiap ahun. b. Dari hasil sebelunya, kia eiliki iga keungkinan. Keungkinan peraa jika k k E, ep( a+ b k ) > d, = = Unuk enyaakannya, kia urunkan nilai esiasi dengan engaur nilai k.. Pebuaan Tabel Moralia Melalui Model Lee-Carer 32
Dari hasil ini kia eperoleh nilai esiasi κ yang baru, isalkan (2) k dengan (2) k = k ( d) unuk k > 0 dan d bilangan kecil (2) k = k ( + d) unuk k < 0 Keungkinan kedua k k E, ep( a+ b k ) = d, = =. Kia enghenikan ierasi. Keungkinan keiga jika nilai dari k k E, ep( a+ b k ) < d, = =. Unuk enyaakannya, kia naikkan nilai esiasi dengan engaur nilai k sehingga (2) k = k ( + d) unuk k > 0 (2) k = k ( d) unuk k < 0 b. Kebali ke Langkah a. 3.3 Algoria Model Lee-Carer Seelah eperoleh nilai aksiran unuk seiap paraeer odel Lee-Carer, kia dapa ebua abel oralianya. Langkah-langkah ebuanya sebagai beriku. Langkah. Menghiung aksiran seiap paraeer odel Lee-Carer. Dari bagian sebelunya, kia peroleh aksiran iga paraeer odel Lee-Carer beriku. n n / h a = ln, = ln, n = = T b = ( u u... u ) dan, 2, X, k =ρ ( v v... v ), 2, T, Langkah 2. Menghiung aksiran dari ln,, yaiu ln e, dengan cara easukkan seiap aksiran paraeer hasil Langkah ke persaaan beriku. Pebuaan Tabel Moralia Melalui Model Lee-Carer 33
ln e, = a+ bk Langkah 3. Menghiung aksiran dari,, yaiu e, = ep( a + bk). Langkah 4. Menghiung q. Oleh karena kia enggunakan asusi eksponensial unuk usia yang engandung pecahan aka e, = u,. Akibanya, q = ep( e ) = ep( ( a + b k )), Langkah 4. Menghiung l dan d. Unuk enghiung nilai l, kia asusikan banyaknya orang berusia 0 ahun adalah l 0 = 00.000. Nilai l dapa dihiung enggunakan ruus rekursif beriku. l = l - (- q - ) unuk =,2,3,... Adapun d dapa dihiung enggunakan ruus d = l - l +. BAB 4 STUDI KASUS 4. Daa Daa yang akan digunakan pada peneliian ini adalah daa yang ada pada ugas akhir Rizki Irawan [7]. Daanya berupa daa uasi klai kecelakaan nasabah di suau perusahaan asuransi yang cukup besar di Jawa Bara. Daa yang ersedia sebanyak 247 orang peegang polis. Seiap daa peegang polis dilengkapi dengan naa, anggal lahir, anggal asuk kepeseraan, anggal erjadinya klai (uasi), jenis klai, dan keerangan. Dari daa ersebu, kia enghiung dahulu ingka keaian pusa (cenral deah rae) enggunakan ruus beriku. d = E Pebuaan Tabel Moralia Melalui Model Lee-Carer 34