MODUL E LEARNING SEKSI - MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA DOSEN : : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA TUJUAN MATA KULIAH : A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH : Mahasiswa mempelajari Matriks, Determinan, Sistem persamaan linier,,vektor-vektor di R dan R, Persamaan garis lurus di R dan di R, Nilai Eigen dan Vektor Eigen, Ruang Vektor, Kombinasi linier, Transformasi linier. B.DAFTAR PUSTAKA:. Anton Howard, ALJABAR LINIER ELEMENTER, Erlangga, Jakarta,. Frank Ayers JR, MATRIKS, Erlangga,.. Frank Ayers JR, VEKTOR ANALYSIS, Erlangga, Jakarta,. Anjuran : Suryadi HS, ALJABAR LINIER, PT Ghalia, Jakarta, C.PENILAIAN : KOMPONEN : - Kehadiran % - Tugas % - Ujian Tengah Semester % - Ujian AkhirSemester % D.TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM Mahasiswa dapat memahami dan mengerti Matriks dan Jenis-jenis matrks dan sifat - sifatnya E.TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Mahasiswa dapat mengerti dan menjelaskan Matriks dan Jenis-jenis matrks dan sifat - sifatnya
Modul Matriks. Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun empat persegi panjang ( menurut baris dan kolom) dan diberi batas tertentu Simbol dari matriks dengan huruf besar A, B, I, P dan lain- lain. Bilangan bilangan itu disebut elemen- elemen atau enggota-enggota matriks. Contoh matriks : A = Kolom baris. baris Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan jumlah kolom, maka ukuran matriks A x. Secara lengkap ditulis matriks A = ( a ij ) artinya suatu matriks A dengan anggota-anggota a ij, dimana indeks I menyatakan baris ke:i dan indeks j menyatakan kolom ke j dari anggota tersebut. Kasamaan Matriks : Dua buah matriks disebut sama apabila mempunyai ukuran matriks yang sama dan anggota-anggota yang letaknya bersesuaian juga sama. Misalkan matriks A = ( a ij ) dan B = ( b ij ) dikatakan sama A = B, bila ukurannya sama dan berlaku a ij = b ij untuk setiap.i dan j. Macam macam Matriks :. Matriks Bujursangkar Matriks Bujursangkar yaitu suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Dan diberi symbol A nxn. Contoh contoh matriks bujursangkar : ). A =
). B = ). C = dan lain-lain... Matriks Diagonal Matriks diagonal yaitu sutu matriks bujursangkar dengan setiap anggota sama dengan nol kecuali pada diagonal pokoknya. Contoh contoh matriks diagonal : ) A = ). B = ). C = dan lain-lain.matriks Identitas : Matriks identitas adalah suatu matriks diagonal dengan setiap anggota pada diagonal pokok semua sama dengan satu, dan diberi symbol I n. Contoh contoh matriks identitas : ) I =
). I = ). I = dan lain-lain.matriks Skalar : Matriks skalar adalah suatu matriks diagonal dengan setiap anggota pada diagonal pokok semua sama dengan konstanta k, dimana k dan k. Contoh contoh matriks skalar : ) ). A = ). P = ). Q = / / / / dan lain-lain.. Matriks segitiga atas Matriks segitiga atas yaitu suatu matriks bujursangkar dengan setiap anggota dibawah diagonal pokok semua sama dengan nol. Contoh contoh matriks segitiga atas : ) K =
). P = ). Q = / / dan lain-lain. Matriks segitiga Bawah Matriks segitiga bawah yaitu suatu matriks bujursangkar dengan setiap anggota diatas diagonal pokok semua sama dengan nol. Contoh contoh matriks segitiga bawah : ).K = ). P = ). Q = / / dan lain-lain.. Matriks Tranpose: Matriks transpose yaitu sutu matriks yang diperoleh dengan merubah tempat baris menjadi kolom atau sebaliknya merubah tempat kolom menjadi baris. Simbol dari transpose matriks A yaitu A T. Contoh- contoh matriks transpose:
).K = maka K T = ). P = maka P T = ). Q = maka Q T = dan lain-lain Sifat-sifat matriks transpose: () (A T ) T = A () ( A + B ) T = A T + B T () ( A - B ) T = A T - B T () (A.B) T = B T. A T. Matriks Simetri: Matriks simetri yaitu sutu matriks bujursangkar dimana matriks tersebut sama dengan matriks transpose nya atau A = A T. Contoh contoh matriks simetri : ). A = dan A T = maka A = A T ). B = dan B T = maka B = B T ). C = dan C T = maka C = C T dan lain-lain.
Operasi-operasi pada Matriks (). Penjumlahan Matriks Dua buah matriks dapat dijumlahkan apabila mempunyai ukuran matriks yang sama. Misalkan matriks A = ( a ij ) dan B = ( b ij ), matriks berukuran sama, maka A + B adalah matriks C = ( c ij ) di mana c ij = a ij + b ij untuk setiap.i dan j. Atau A + B = (a ij + b ij ). Contoh contoh panjumlahan matriks : ). A = dan K = maka A + K = + = = ). P = dan B = Maka B + P = + =
B + P = ). A = dan B = maka A + B tidak terdefinisi ( tidak ada ) karena ukuran A dan B berlainan. () Perkalian Matriks dengan scalar k. Kalau k adalah scalar ( bilangan) dan matriks A = ( a ij ) maka Matriks k. A = ( k. a ij ) ; dengan perkataan lain k.a diperoleh dengan mengalikan semua anggota matriks A dengan k. Contoh contoh perkalian scalar dengan matriks : ) Q = maka Q = ). B = maka ½.B = / / / / ). P = maka -.P = Beberapa hukum pada penjumlahan dan perkalian dengan scalar. Kalau A, B, dan C matriks-matriks dengan ukuran sama. () A + B = B + A ( komutatif) () ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( asosiatif ) () k ( A + B ) = k A + k B ( distributive ) () selalu ada matriks D sehingga A + D = B