Definisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:

Transkripsi

1

2 Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(a) atau A (jr j r...j n ).a jr a j r...am jn Permutasi himpunan integer {,,,, n}: Susunan elemen-elemen integer ini dengan urutan tertentu; tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang (j, j, j,, j n ) Inversi dalam permutasi (j, j, j,, j n ) terjadi jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.

3 Dalam sebuah matrik A (n x n) yang disebut hasil kali elementer a j a j a j a n j n Catatan: indeks baris : selalu urut,,,, n indeks kolom: urutan permutasi j, j, j,, j n Hasil kali elementer bertanda Jika (j, j, j,, j n ) merupakan inversi genap, maka hasil kali elementer adalah positif gasal, maka hasil kali elementer adalah negatif

4 Contoh: A ( x ); jumlah semua hasil kali elementer bertanda adalah jumlah dari semua (6) elemen berikut ini: + a a a (inversi = ) a a a (inversi = ) + a a a (inversi = ) a a a (inversi = ) + a a a (inversi = ) a a a (inversi = ) Bandingkan dengan cara perhitungan non-formal nya: a a a a a a A = a a a a a a a a a a a a

5 SIFAT-SIFAT DETERMINAN :. Bila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom =, maka determinan = Contoh :. Nilai determinan tidak berubah apabila semua baris di ubah menjadi kolom atau semua kolom diubah T menjadi baris. Dengan kata lain : A A Contoh : A A x x A, maka A x7 x T T A, maka A x7 x 9

6

7 . Pertukaran baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda nilai determinan. Contoh : A, maka A x x Jika baris ditukar menjadi baris, maka : A, maka A x x Jika kolom ditukar menjadi kolom, maka : A, maka A x x

8 . Apabila suatu determinan terdapat baris atau kolom yang identik, maka nilai determinan =. Contoh : A, maka A - A, maka A

9 . Jika semua elemen pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan faktor p (bukan nol), maka nilai determinan dikalikan faktor p. Contoh : A, maka A x x Jika baris dikalikan dengan, maka : A, maka A x x Jika kolom dikalikan dengan, maka : A, maka A x 9x 6 9 A A A A

10 6. Nilai determinan tidak berubah ketika semua elemen pada baris atau kolom dikalikan dengan faktor p (bukan nol) dan ditambahkan atau dikurangkan pada baris atau kolom yang lain. Contoh : A, maka A x x b () A A A A A

11 7. Bila A dan B matrik bujur sangkar, maka Contoh : 7 A A 8 B B A. B 7 A.B A.B A.B A. B terbukti AB A. B

12 8. Determinan suatu matrik segitiga atas atau segitiga bawah merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. Contoh : A maka A xx 8 B maka B xx

13 Secara umum: untuk A( x ) a a a a a a A = a a a a a a diagonal utama + a a a a a a + a a a a a a + a a a a a a

14

15 Cara menghitung determinan : Nilai determinan matrik dapat diperoleh berdasarkan :. Definisi determinan. Sifat-sifat determinan. Ekspansi minor dan kofaktor. Kombinasi cara dan

16 . MELALUI DEFINISI DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari elemen matrik sedemikian yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan. A = a a a a Det(A) = a a a a Bagaimana menentukan tanda + dan tiap suku?

17 Definisi determinan didasarkan pada inversi permutasi yang dikenal sebagai metode Sarrus. Metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai determinan yang berorde hingga, sedangkan untuk yang berorde lebih dari digunakan metode ekspansi. Urutan natural (asli) : 6... A = - a a a a a a a a a + A = a a a a a a + a a a a a a + a a a a a a

18 Produk yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda : a a a a a a a a a a a a a a a a a a Indeks kolom, sudah urut. Tidak ada transposisi. Indeks kolom, belum urut. Satu kali pindah. Indeks kolom, belum urut. Dua kali pindah. dan Indeks kolom, belum urut. Satu kali pindah. Indeks kolom, belum urut. Dua kali pindah. dan Indeks kolom, belum urut. Satu kali pindah. Perhatikan : Indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom belum. Tanda + atau ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yang membawa indeks kolom ke urutan natural. Jika genap (+) positip, jika ganjil (-) negatip; atau tandanya adalah (-) t, dengan t banyaknya transposisi.

19

20 . Dengan bantuan sifat determinan, membantu memudahkan menghitung nilai determinan. 7 6 = = Matrik persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, det.nya nol (). 7 = 6 7 = 6 Determinan dari matrik dan transposenya adalah sama

21 7 = 7 = Baris pertama ditukar baris kedua Determinan suatu matrik yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matrik tersebut berubah tanda dari determinan semula. 7 7 = = = Determinan dari suatu matrik persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama, nilainya sama dengan (nol).

22 = 8 = = 7 8 Baris kedua dikalikan dengan 7 Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka determinan tersebut dapat difaktorkan. 9 6 = 8 =

23 6 = kolom ke-dua kelipatan kolom ke-empat, A = Determinan dari suatu matrik persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain, nilainya sama dengan (nol) = = Determinan dari matrik persegi A = (a ij ) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.

24 = = OBE : b b 9 = OBE : k + k Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. Sifat ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan.

25 7 = ()(-)() = - = (-)(-)()() = Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya.

26 Gunakan sifat determinan untuk menghitung : b + b b b b + b = ()(-)() = - Petunjuk : Gunakan OBE untuk mereduksi matriks menjadi matrik segitiga sehingga nilai determinan adalah hasil kali diagonal utama Jawab :

27 . Dengan ekspansi minor dan kofaktor : Minor dan Kofaktor A berdimensi n, determinan dari submatrik yang berdimensi (n-) disebut minor. M rs : minor dari submatrik dengan menghilangkan baris ke r kolom ke s. A = a a a a a a M = a a a a = a a a a a a a M = a a a a = a a a a

28 Kofaktor Kofaktor yang berhubungan dengan minor M rs adalah : C rs = (-) r+s M rs. A = C = (-) + M = (-) C = (-) + M = (-) C = (-) M = M = C = (-) M = - M = - = (7) = 7 = (-) (9) = -9 = = C = - M = C = M = 7 C = - M = - 9 C = M = C = M =

29 Hitung (a) adjoint dari matrik A, (b) determinan matrik A A = Jawab : C = M = C = -M = - C = M = - C = -M = C = M = - C = -M = - C = M = - C = -M = 7 C = M =

30 C (a) adj(a) = K T = C C C C C C C C T = C C C C C C C C C = 7 (b) Det(A) = a C + a C + a c = ()() + (-)(-) + ()(-) = 9

31 Adj(A) A =? Sifat :. A adj(a) = adj(a) A = det(a) I. adj(ab) = adj(b) adj(a) 7 = = A I = 9

32 Teorema LAPLACE Nilai determinan matrik sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Ekspansi baris ke-i : n A aijcij aici aic i... ainc in, dengan i sembarang j= Ekspansi kolom ke-j : n A aijcij ajcj a jc j... a njc nj, dengan j sembarang j=

33 A = a a a a a a a a a Ekspansi melalui baris pertama : Det(A) = a C + a C + a C Atau ekspansi melalui baris ketiga : Det(A) = a C + a C + a C Atau ekspansi melalui kolom ke dua : Det(A) = a C + a C + a C Dan sebagainya.

34 Hitung determinan, dengan ekspansi kofaktor: B = Jawab : Dilakukan ekspansi melalui baris kedua : Det(B) = b C + b C + b C C = - M = - C = M = C = - M = - = 9 Det(B) = ()(9) + ()() + (-) (-)=

35 Atau dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : Det(B) = b C + b C + b C C = M = C = - M = - C = M = 7 Det(B) = ()() + (-)(-) + ()(7)=

36 Hitung determinan dari : E = Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua : E = K + K 9 K K 7 9 E = e C + e C + e C E = e C + + E = () (-) = - C = - M = - {()(-7) (-)(9)} = -

37 Berapakah determinan dari F = Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : F = B + B Det(F) = f C = () (6) = 6

38 Berapakah determinan dari G = Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : Det(G) = B + B 7 B+B 7 Det(G) = g C = g M = (-) 7 B B 7 (-) Det(G) = (-) g C = (-) g (- M ) = g M = () {()(-) (7)(-)} Det(G) = () () =.

39 review:. Menghitung det(a) dengan matrik A (x) atau (x) cukup mudah.. Menghitung det(a) dengan matrik A (nxn) untuk semua n secara umum dilakukan dengan menjumlahkan semua hasil kali elementer bertanda dari matrik A.

40 Cara lain untuk menghitung det(a), dengan A(nxn), adalah : Menggunakan Reduksi Baris (OBE).. Matriks A diubah menjadi matrik segi- atas (segi- bawah), matrik segi- ini disebut A.. Det(A) = det(a ) = hasil kali semua elemen diagonal utama matrik A.

41 Aplikasi : Aplikasi matrik dan determinan diterapkan pada masalah pengiriman kode rahasia. Pada umumnya, pesan dengan kode rahasia dikirimkan melalui penyusunan bilangan bulat untuk menggantikan setiap alfabet yang ada Contoh pesan : B I S A Kode rahasianya :, 9,,

42 Masalahnya, pesan rahasia tersebut masih dapat diketahui dengan mudah. Oleh karena itu dibutuhkan sebuah matrik lain untuk mentransformasi kode sehingga mempersulit rahasia tersebut untuk dipecahkan. Misalkan matrik transformasinya : P Kode rahasia dalam notasi matrik : Q 9

43 Maka : 9 6 PQ Dengan demikian, kode pesan rahasia yang terkirim adalah : 9, 8, 6, 7. Agar pesan rahasia dapat dibaca, maka sipenerima harus mengalikan P - dengan PQ P (x x) P (PQ) Hasil akhir sama dengan kode awal. Pesan terpecahkan

44 Soal latihan :. Carilah banyaknya inversi pada permutasi-permutasi berikut : a. (,,, ), (,,, ), (,,, ) b. (,,,, ), (,,,, ), (,,,, ). Carilah determinan dari matrik berikut : t- t- 7 a. b. - t- - t

45 . Carilah determinan dengan metode Sarrus dari matrik berikut ini : - - a. - b Carilah determinan dengan metode ekspansi dari matrik berikut ini : - - a. b

46 . Suatu kode pesan ditransformasikan ke bentuk matrik : P Kode yang terkirim adalah 6, 7, dan. Apakah bunyi pesan itu?