Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

Transkripsi

1 Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2

2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut entri dalam matriks Contoh: , , 2 π e , 1 3, 4 Ukuran matriks digambarkan sebagai jumlah baris (horizontal) dan jumlah kolom (vertikal) Yanita, Matematika Unand 2

3 Bentuk umum matriks m x n: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 21 a 2n a m1 a m2 a mn Dapat juga ditulis dalam bentuk: a ij atau m n a ij Entri-entri pada baris i dan kolom j dari matriks A ditulis juga dengan simbol A ij, dengan demikian: A ij = a ij Yanita, Matematika Unand 3

4 Catatan: 1. Jika matriks A mempunyai n baris dan n kolom, maka matriks ini disebut matriks bujur sangkar berorder n. 2. Perhatikan matriks bujur sangkar berikut: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 21 a 2n a n1 a n2 a nn Maka entri a 11, a 22,, a nn disebut diagonal utama Yanita, Matematika Unand 4

5 Operasi pada Matriks Definisi: Dua buah matriks didefinisikan sama (setara) jika matriks-matriks ini berukuran sama dan entri-entri yang seletak adalah sama. Jika A = a ij dan B = b ij berukuran sama, maka: A = B jika dan hanya jika A ij = B ij atau ekivalen dengan a ij = b ij untuk semua i dan j Yanita, Matematika Unand 5

6 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi: Jika A dan B matriks-matriks yang berukuran sama, maka 1. Penjumlahan A + B diperoleh dengan menjumlah-kan entri-entri yang seletak. 2. Pengurangan A B diperoleh dengan mengurang-kan entri-entri yang seletak Jika A = a ij dan B = b ij matriks-matriks berukuran sama, maka : A + B ij = A ij + B ij = a ij + b ij A B ij = A ij B ij = a ij b ij Yanita, Matematika Unand 6

7 Perkalian skalar dengan matriks Definisi: Jika A adalah matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali ca adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri di A dengan c. Jika A = a ij, maka ca ij = c A ij = ca ij Catatan: Jika A 1, A 2,, A n matriks-matriks berukuran sama dan c 1, c 2,, c n adalah skalar, maka bentuk c 1 A 1 + c 2 A c 1 A 1 disebut sebagai kombinasi linier dari A 1, A 2,, A n dengan koefisien c 1, c 2,, c n Yanita, Matematika Unand 7

8 Perkalian matriks Definisi: Jika A matriks berukuran m r dan B matriks berukuran r n, maka hasil kali AB adalah matriks berukuran m n, yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut: untuk mendapatkan entri baris ke i dan kolom ke j dari AB, keluarkan baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri yang sesuai dari baris dan kolom bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kali dihasilkan. Yanita, Matematika Unand

9 Maka: AB 11 = a 11 b 11 + a 12 b a 1r b r1 Dst Atau AB ij = m i=j a i1 b 1j Yanita, Matematika Unand 9

10 Contoh Misalkan: Maka diperoleh Yanita, Matematika Unand 10

11 Maka entri dari AB adalah: Yanita, Matematika Unand

12 Partisi Matriks Suatu matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks yang lebih kecil dengan cara menyisipkan aturan horizontal dan vertikal antara baris dan kolom yang dipilih. Contoh: Yanita, Matematika Unand

13 Perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris Perkalian ini berguna untuk mencari baris atau kolom tertentu dari hasil kali matrik AB tanpa harus menghitung hasil kali seluruhnya. Kolom ke j matriks AB = A [kolom ke j matriks B] (1) Baris ke i matriks AB = [baris ke i matrik A]B (2) Yanita, Matematika Unand 13

14 Contoh Misalkan: Kolom kedua matriks AB dapat diperoleh dengan menghitung: Kolom kedua matriks B Kolom kedua matriks AB Yanita, Matematika Unand 14

15 Contoh Baris pertama matriks AB dapat diperoleh dengan menghitung Baris pertama matriks A Baris pertama matriks AB Yanita, Matematika Unand 15

16 Secara umum Jika a 1, a 2,, a m adalah baris-baris matriks A dan b 1, b 2,, b m adalah kolom-kolom matiks B, maka rumus Kolom ke j matriks AB = A [kolom ke j matriks B] (1) Baris ke i matriks AB = [baris ke i matrik A]B (2) Menjadi: AB dihitung kolom dengan kolom (3) AB dihitung baris dengan baris (4) Yanita, Matematika Unand

17 Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linier Perhatikan matriks berikut: Misalkan: a 11 a 12 a 1n a 21 a 21 a 2n A = dan X = a m1 a m2 a mn maka x 1 x 2 x n (5) Yanita, Matematika Unand 17

18 Persamaan (5) menyatakan bahwa hasil kali AX adalah suatu kombinasi linier dari matriks kolom A dengan koefisien yang berasal dari matriks X. Contoh: Hasil kali matriks Dapat ditulis sebagai kombinasi linier = = Yanita, Matematika Unand 18

19 Hasil kali matriks = Dapat ditulis sebagai kombinasi linier: = Yanita, Matematika Unand 19

20 Contoh Dari contoh sebelumnya Matriks-matriks kolom dari AB dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari matriks kolom A sebagai berikut: Yanita, Matematika Unand 20

21 Transpos dari Matriks Definisi: Jika A matriks berukuran m n, maka transpos dari matriks A, disimbolkan dengan A T adalah matriks yang berukuran n m yang entrientrinya berasal dari pertukaran baris-baris dan kolom-kolom di A, yaitu kolom pertama dari matriks A T adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A T adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Entri dari baris ke i dan kolom ke j dari A T adalah entri baris ke j dan kolom ke i dari A, yaitu A T ij = A ji Yanita, Matematika Unand 21

22 Jik A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n maka A T = a m1 a m2 a mn a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a nm Contoh: Yanita, Matematika Unand 22

23 Trace dari Matriks Definisi: Jika A matriks bujur sangkar, maka trace dari A, disimbolkan dengan tr(a), adalah jumlah entri-entri pada diagonal utama dari A. Catatan: Trace dari matriks A tidak didefinisikan untuk A yang tidak bujur sangkar Yanita, Matematika Unand 23

24 a 11 a 12 a 1n a Jika A = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn maka tr A = a 11 + a a nn Contoh A = maka tr A = = Yanita, Matematika Unand 24

25 1.4 Aturan-aturan Matriks Aritmatika dan Invers Teorema 1.4.1: Asumsikan bahwa ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, aturan-aturan berikut untuk matriks aritmatika berlaku: Catatan: Hukum komutatif tidak berlaku untuk perkalian matriks Yanita, Matematika Unand 25

26 Matriks-matriks khusus 1. Matriks nol 2. Matrik identitas 3. Matriks segitiga atas 4. Matriks segitiga bawah 5. Matriks diagonal Yanita, Matematika Unand Matriks simetri (untuk matriks bujur sangkar) A = A T 26

27 Contoh Matriks simetri Yanita, Matematika Unand 27

28 Teorema 1.4.2: Asumsikan bahwa ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, aturan-aturan berikut untuk matriks aritmatika berlaku: Yanita, Matematika Unand 28

29 Teorema 1.4.3: Jika R adalah matriks eselon baris tereduksi dari matriks A (n x n), maka R mempunyai baris nol atau R adalah matriks identitas. Bukti: Misalkan matriks eselon tereduksi dari matriks A adalah: Pertimbangkan baris terakhir dari matriks ini. Baris terakhir dari matriks ini berkemungkinan seluruhnya nol atau tidak. Jika tidak, maka baris tidak memuat baris nol, akibatnya setiap baris memiliki leading entri 1. Karena leading 1 yang terjadi semakin jauh ke kanan seperti bergerak turun matriks, maka masing-masing 1 jatuh pada diagonal utama. Karena entri lain pada kolom selain 1 adalah nol, maka haruslah R adalah matriks identitas. Dengan demikian R mempunyai baris nol atau R adalah matriks identitas Yanita, Matematika Unand 29

30 Invers Matriks Definisi: Jika A matriks bujursangkar, dan jika matriks B berukuran sama dengan A, maka dapat dicari sedemikian hingga AB = BA = I. Maka A disebut invertibel dan B disebut invers dari A (atau disimbolkan dengan A 1 ). Jika B tidak dapat didefinisikan, maka dikatakan matriks singular. Contoh: Matriks B = karena dan adalah invers dari A = = = I = = I Yanita, Matematika Unand

31 Sifat-Sifat Invers Matriks Teorema 1.4.4: Jika B dan C keduanya invers dari matriks A, maka B = C. Bukti: Diketahui B dan C keduanya invers dari matriks A. Akan dibuktikan B = C. B invers dari A berarti BA = AB = I. C invers dari A berarti CA = AC = I. Kemudian perhatikan bahwa (BA)C = IC = C dan B(AC) = BI = B. Dengan demikian B = C Yanita, Matematika Unand 31

32 a b Teorema 1.4.5: Matriks A = c d invertibel jika ad bc 0. Dan invers dari matriks ini adalah A 1 = 1 ad bc d b c a = d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc Bukti: Bukti untuk teorema ini dengan cara buktikan AA 1 dan A 1 A Yanita, Matematika Unand 32

33 Teorema 1.4.6: Jika A dan B matriks yang invertibel berukuran sama, maka 1. AB invertibel 2. AB 1 = B 1 A 1 Bukti: Diketahui A dan B matriks yang invertibel berukuran sama. Akan dibuktikan 1) dan 2). Perhatikan bahwa AB B 1 A 1 = A BB 1 A 1 = AA 1 = I Dan B 1 A 1 AB = B 1 A 1 A B = B 1 B = I Kemudian perhatikan juga bahwa AB AB 1 = I dan AB 1 AB = I dan Dari persamaan-persamaan ini diperoleh AB 1 = B 1 A Yanita, Matematika Unand 33

34 Pangkat pada Matriks Definisi: Jika A matriks bujur sangkar, maka pangkat bilangan bulat nonnegatif pada A adalah A 0 = I dan A n = AA A sebanyak n (n > 0) Jika A invertibel, maka pangkat negatif pada A adalah A n = (A 1 ) n = A 1 A 1 A 1 sebanyak n Yanita, Matematika Unand 34

35 Teorema 1.4.7: Jika A matriks bujur sangkar dan r, s adalah bilangan bulat, maka A r A s = A r+s dan A r s = A rs Teorema 1.4.8: Jika A matriks invertibel, maka 1. A 1 invertibel dan A 1 1 = A. 2. A n invertibel dan A n = (A 1 ) n = A 1 A 1 A 1 n = 0,1,2, sebanyak n, 3. Untuk sebarang skalar tak nol k, maka matriks ka invertibel dan ka 1 = 1 k A Yanita, Matematika Unand 35

36 Sifat-sifat Transpos Matriks Teorema 1.4.9: Jika ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka: a. A T T = A b. A + B T = A T + B T, c. ka T = ka T d. AB T = B T A T Dan A B T = A T B T Teorema : Jika A matriks invertibel, maka A T juga invertible dan A T 1 1 T = A Selesai