& & # = atau )!"* ( & ( ( (&

Transkripsi

1 MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan huruf besar yaitu A,B,C,... sedangkan entri dinotasikan dengan huruf kecil yaitu,, atau,,, ,, h, h Misalkan A adalah suatu matriks yang terdiri dari m buah baris dan n buah kolom, maka matriks A mempunyai orde/ukuran ( ) dan!" merupakan elemen-elemen/unsur-unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A maka secara lengkap sebuah matriks dapat ditulis dengan # = atau )!"* ( & (*) ( ( (& dimana = elemen matriks = 1,,3,...,, = 1,,3,..., ======MACAM-MACAM MATRIKS====== ~~Matriks Kuadrat~~ Jika baris sama dengan kolom maka matriks tersebut dinamakan matriks kuadrat. Karena jumlah baris sama dengan jumlah kolom maka matriks kuadrat dikatakan berorde. Orde/ukuran dari matriks dapat ditulis atau. atau )!"* & & & & &,,,,,, && merupakan diagonal utama matriks , ~~Matriks Identitas~~ Matriks kuadrat yang setiap barisnya mempunyai satu utama atau,,,,,, && =1 sedangkan entri lain adalah nol. Matriks identitas dinyatakan dengan 0. By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 1

2 , 0 1 0, ~~Matriks Nol~~ Matriks yang semua entrinya adalah nol. Matriks nol dinyatakan dengan ,0 0, ~~Matriks Diagonal~~ Matriks kuadrat yang entri-entri selain diagonal utamanya adalah nol , ~~Matriks Segitiga Atas~~ Matriks kuadrat yang entri di bawah diagonal utamanya adalah nol , 0 4 1, (akan dibahas lebih lanjut pada pembahasan determinan) ~~Matriks Segitiga Bawah~~ Matriks kuadrat yang entri di atas diagonal utamanya adalah nol , 1 4 0, (akan dibahas lebih lanjut pada pembahasan determinan) ======OPERASI PADA MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA====== ~~Penjumlahan Matriks~~ Jika # dan 6 adalah sebarang matriks yang berukuran sama, maka #+6 diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks. Perhatikan matriks-matriks berikut ini. # = 1 4 4,6 = ,8 = Tentukan : a. #+6 b. 6+8 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

3 Jawab: #+6 = = = #+8 = = = matriks tidak terdefinisi 10 1?+10?+1 Matriks matriks dengan ukuran berbeda tidak bisa dilakukan operasi penjumlahan. Sifat operasi penjumlahan pada matriks: 1. Sifat komutatif :#+6 =6+#. Sifat asosiatif :#+:6+8;=:#+6;+8 # dan 6 adalah matriks berukuran. ~~Perkalian Matriks Dengan Konstanta~~ Jika # adalah sebuah matriks dan adalah suatu skalar maka # diperoleh dengan mengalikan seluruh entri dari matriks # dengan. Carilah # dengan A adalah matriks berukuran 3. 4 # = # =6 8= 6 8= Sifat operasi perkalian matriks dengan konstanta: 1. : 1;#= # Akibat dari sifat 1 adalah #+: 6;=# 6. :#+6;=#+6 3. :# 6;=# 6 4. :+;6 = : ;# =# # 6. :;6 =:6; Dengan, adalah skalar (anggota bilangan real), # dan 6 adalah matriks berukuran. ~~Perkalian Matriks~~ Jika A adalah matriks yang berukuran = dan B adalah matriks yang berukuran = maka #6 adalah matriks berukuran yang entrientrinya diperoleh dengan ketentuan: pilihlah baris dari matriks # dan By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 3

4 kolom dari matriks 6 kemudian kalikan entri-entri yang bersesuaian dan jumlahkanlah hasil kali tersebut. Perhatikan matriks berikut ini. Hitunglah #6! Jawab: 1 # =3 0,6 = #6 = Matriks # berukuran 3 dan matriks 6 berukuran 4 maka matriks hasil kali #6 berukuran Matriks Matriks Matriks >? = A 4 = 3 4 :1 1;+: 4; :1 0;+: 1; :1 3;+: 6; :1 ;+: 5; 1:3 1;+:0 4; :3 0;+:0 1; :3 3;+:0 6; :3 ;+:0 5; :4 1;+:5 4; :4 0;+:5 1; :4 3;+:5 6; :4 ;+:5 5; = = Sifat Perkalian Matriks : Sifat Asosiatif :#:68;=:#6;8 Dengan #,6 dan 8 adalah matriks berukuran. Pada operasi perkalian matriks, sifat komutatif tidak berlaku. ~~Sifat-Sifat Operasi Lainnya Pada Matriks~~ A Misalkan adalah skalar (anggota bilangan real), #,6 dan 8 adalah matriks berukuran maka 1) #:6+8;=#6+#8 ) :6+8;# =6#+8# 3) #:6 8;=#6 #8 4) :6 8;# =6# 8# 5) :68;=:6;8 =6:8; B Misalkan A adalah suatu matriks yang mempunyai ukuran sedemikian rupa sehingga dapat dilakukan operasi atasnya maka By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 4

5 1. #+0=0+# =#. # # = # = # 4. 0# =#0=0 Ket : 0 adalah matriks nol C Perpangkatan pada Matriks Jika matriks A adalah matriks yang berukuran (matriks kuadrat), maka pangkat-pangkat bilangan bulat tak negatif dari matriks A dapat didefinisikan # B =0 # & =## # >0 Misalkan A adalah matriks kuadrat, r dan s adalah bilangan bulat, maka 1. # C # D =# CED. :# C ; D =# CD Contoh: Misalkan A adalah matriks yang berukuran. Hitunglah: #,#,! # =## = n faktor = = # = #, =### =# # = =3+8 = =## = =3+8 = ======TRANSPOS MATRIKS DAN TRACE MATRIKS====== ~~Transpos Matriks~~ Jika A adalah matriks yang berukuran, maka matriks transpos A adalah matriks yang berukuran di mana kolom pada matriks A menjadi baris bagi matriks transpos A. Matriks transpos A dilambangkan dengan # F. By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 5

6 Hitunglah # F,6 F dan 8 F serta tentukan ukuran matriksnya jika diberikan matriks #,6 dan 8 berikut ini # =, 6 = # F =H1 3I 6 F = Sifat-Sifat Matriks Transpos Misalkan A dan B adalah matriks yang mempunyai ukuran sedemikian rupa sehingga dapat dilakukan operasi atasnya, maka 1. :# F ; F =#. :#+6; F =# F +6 F 3. :#; F =# F, adalah sebarang skalar. 4. :#6; F =6 F # F ~~Trace Matriks~~ Jika A adalah matriks kuadrat, maka trace matriks A dinyatakan dengan tr:#; yang dapat didefinisikan dengan menjumlahkan entri-entri pada diagonal utama matriks. Perhatikan matriks-matriks berikut ini # = ,6 = 0 1 3,8 = J =3 4,K = Hitunglah tr:#;, tr:6;, tr:8;, dan tr:j;! tr:#;=1+5=6 tr:6;=6+1+5=1 tr:8;= =16 tr:j; dan tr:k; tidak ada karena bukan matriks kuadrat. ======LATIHAN====== 1. Misalkan A, B, C, D dan E adalah matriks yang berukuran sebagai berikut: By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 6

7 A B C D E Tentukanlah yang mana di antara pernyataan matriks berikut yang didefinisikan. Untuk matriks-matriks yang didefinisikan, berikanlah ukuran matriks yang dihasilkan. (a) #6 (b) 68+J (c) :6+#;K (d) #J+8 (e) :6 F +K;J (f) K F 6 (g):k F +#;8 (h) 8 F K+J. Misalkan # = 1,6 = 1 1 0,8 = 1,J = Yang manakah di antara matriks-matriks berikut ini yang terdefinisi. :#+6;,:#+8;,#6,6#,8J,J8 3. Tinjaulah matriks-matriks. 3 0 # = = = J = K = =, = Hitunglah: (a) 3# (b) :#6;8 (c) :46;8+8 (d) J+K (e):k; F (f) :68;+# F (g) L=:J+:#8; F ; (h) L=:8 F 6; 4. Misalkan # = 6 4 a. Carilah matriks #, dan #! b. Tentukan :# 0;! Diketahui M dan N adalah suatu skalar, matriks # = 3 1,6 = dan # =M #+N 6. Carilah nilai M N! ======SELAMAT BEKERJA====== By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 7