MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017
Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R 3 11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang 11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.8 Maksimum dan minimum 12.9 Metode pengali Lagrange 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3
MA1201 MATEMATIKA 2A 12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAH Menentukan daerah asal dan menggambar grafik fungsi dua peubah Menentukan kurva ketinggian dan menggambar peta kontur fungsi dua peubah 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah Setelah mempelajari fungsi satu peubah, baik yang bernilai skalar maupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajari fungsi dengan dua (atau lebih) peubah, yang bernilai skalar. Sebagai contoh, foto atau citra 2D merupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatu T(x,y) keping datar. 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Fungsi Dua Peubah Di sini kita akan membahas secara khusus fungsi dua peubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakan setiap titik (x,y) dalam suatu daerah D di R 2 ke suatu bilangan z = f(x,y) ϵ R. (x,y) f z =f(x,y) 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Catatan Himpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y) (x,y) ϵ D} disebut daerah nilai f. Bila tidak dinyatakan secara spesifik, maka daerah asal fungsi f adalah himpunan bagian terbesar dari R 2 yang membuat f terdefinisi. Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y 0. 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Contoh 2 Tentukan daerah asal f ( x, y) 1 x y dan gambarlah daerah tsb pada R 2. Jawab: 2 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Grafik Fungsi Dua Peubah Diberikan fungsi dua peubah dengan persamaan z = f(x,y), dengan (x,y) ϵ D, kita dapat menggambar grafiknya, yaitu himpunan {(x,y,z) z = f(x,y), (x,y) ϵ D} di ruang R 3. Contoh: z = f(x,y) := x 2 + y 2 z y x 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Latihan Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan dengan persamaan z f 2 2 ( x, y) : x y 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur Kadang kita dapat mempelajari fungsi dua peubah f melalui kurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotongan permukaan z = f(x,y) dengan bidang z = k. Bila kita gambar kurva-kurva ketinggian ini pada bidang R 2, maka akan kita peroleh peta kontur f. Contoh: z = f(x,y) := x 2 + y 2 z = k 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11 x Kurva ketinggian: x 2 + y 2 = k (bila k 0) z y
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur Kadang kita dapat mempelajari fungsi dua peubah f melalui kurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotongan permukaan z = f(x,y) dengan bidang z = k. Bila kita gambar kurva-kurva ketinggian ini pada bidang R 2, maka akan kita peroleh peta kontur f. Contoh: z = f(x,y) := x 2 + y 2 z = k 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12 x Peta kontur z y y x
Latihan 1 Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsi z = f(x,y) := x 2 y 2, untuk ketinggian k = -4, -1, 0, 1, 4; kemudian gambarlah peta konturnya (dalam satu sistem koordinat). 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Latihan 2 Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsi z = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = -2, -1, 0, 1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya. 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14
MA1201 MATEMATIKA 2A 12.2 TURUNAN PARSIAL Menentukan turunan parsial dari fungsi dua peubah di titik sembarang 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Mengukur Laju Perubahan dalam Arah Sejajar dengan Sumbu-x atau Sumbu-y Diketahui fungsi dua peubah z = f(x,y), bayangkan grafiknya spt pada gambar di samping. Bila kita berada di suatu titik pada permukaan tsb (bayangkan di titik puncaknya) dan bergerak sejajar dengan sumbu-x, berapakah laju perubahan ketinggian-nya? x z P y 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Turunan Parsial terhadap x Jika y konstan, katakan y = y 0, maka z = f(x,y 0 ) merupakan fungsi dari x saja. Turunannya di x = x 0 disebut sebagai turunan parsial dari f terhadap x di (x 0,y 0 ) dan dilambangkan dengan f x (x 0,y 0 ). f ( x0 h, y0) f x x0, y0) lim h 0 h x ( x 0 0 ( f, y z P ). y 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Turunan Parsial terhadap y Jika x konstan, katakan x = x 0, maka z = f(x 0,y) merupakan fungsi dari y saja. Turunannya di y = y 0 disebut sebagai turunan parsial dari f terhadap y di (x 0,y 0 ) dan dilambangkan dengan f y (x 0,y 0 ). f ( x0, y0 k) f y x0, y0) lim k 0 k x ( x 0 0 ( f, y z P ). y 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Contoh Diketahui z = f(x,y) = 1 x 2 y 2. Maka, Di titik (3,4), f x (x,y) = -2x; f y (x,y) = -2y. f x (3,4) = -6; f y (3,4) = -8. Jadi, nilai f turun lebih cepat dalam arah sejajar sumbu-y daripada dalam arah sejajar sumbu-x. 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Turunan Parsial Kedua Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubah dapat diperoleh dari turunan parsial pertamanya. Karena ada dua turunan parsial pertama, f x dan f y, dan masing-masing mempunyai dua turunan parsial, maka kita akan mendapatkan empat turunan parsial kedua, yaitu f xx = (f x ) x, f xy = (f x ) y, f yx = (f y ) x, f yy = (f y ) y 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20
Contoh Diketahui z = f(x,y) = 1 x 2 y 2. Turunan parsial pertamanya adalah f x (x,y) = -2x; f y (x,y) = -2y. Turunan parsial keduanya adalah f xx (x,y) = -2; f xy (x,y) = 0. f yx (x,y) = 0; f yy (x,y) = -2. Catatan. f xy dan f yx disebut sebagai turunan parsial campuran. Secara umum, f xy f yx. 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21
Soal 1. Diketahui fungsi dua peubah z f ( x, y) 1 (a) Tentukan turunan parsial pertamanya. (b) Tentukan turunan parsial keduanya dan periksa apakah kedua turunan parsial campurannya sama. x 2 y 2. 2. Diketahui f xy = f yx = 0. Tentukan rumus paling umum yang mungkin untuk f(x,y). 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Fungsi Harmonik Fungsi z = f(x,y) disebut fungsi harmonik bila memenuhi persamaan Laplace: f xx + f yy = 0. Buktikan bahwa kedua fungsi berikut harmonik: 1. f(x,y) = x 3 y xy 3. 2. F(x,y) = ln(x 2 + y 2 ). 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23