Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus Shofiyah Uiversitas Jederal Soedirma liatusshofiyah@gmail.com Siti Rahmah Nurshiami Uiversitas Jederal Soedirma Triyai Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT. The research studied solutio of recurret relatio o Fiboacci ad Lucas umbers usig a geeratig fuctios. As well as some relatioships betwee these two solutios. The solutios ad relatioships are foud usig the geeratig fuctios which is a power series ceterig at zero. The recurret relatio solutio of Fiboacci umber is a multiple costat of positive characteristics root to the power of mius egative characteristics root to the power of. Meawhile the recurret relatio solutio of Lucas umber is the sum of positive characteristics root to the power of ad egative characteristics root to the power of. There is a liear relatioships betwee the Fiboacci umbers or Lucas umbers or their multiples. Fiboacci umbers are ot oly obtaied from the sums ad differeces operatio betwee elemets of Fiboacci umbers, but also betwee elemets of Fiboacci ad Lucas umbers ad betwee two Lucas umbers. Likewise vice versa holds for Lucas umbers. Keywords: recurret relatio solutio, Fiboacci umbers, Lucas umbers, geeratig fuctios ABSTRAK. Pada peelitia ii dikaji megeai peetua solusi relasi rekure bilaga Fiboacci da bilaga Lucas dega megguaka fugsi pembagkit. Selai itu, pada peelitia ii juga ditetuka hubuga kedua bilaga tersebut yag dicari dega megguaka fugsi pembagkit, yaitu berupa deret pagkat tak higga dega pusat di ol. Solusi relasi rekure baik utuk bilaga Fiboacci maupu Lucas berupa suku ke- pada deret pagkat tersebut. Dari hasil peelitia diperoleh bahwa solusi relasi rekure bilaga Fiboacci adalah kelipata dari akar karakteristik positif berpagkat dikuragi akar karakteristik egatif berpagkat. Semetara itu, solusi relasi rekure dari bilaga Lucas adalah jumlah dari akar karakteristik positif berpagkat da akar karakteristik egatif berpagkat. Terdapat hubuga liier atara bilaga Fiboacci da bilaga Lucas. Hal ii ditujukka dega diperolehya bilaga Fiboacci yag tidak haya dihasilka dari pejumlaha suku-suku pada bilaga Fiboacci, melaika
Peetua Solusi Relasi Rekure dari Bilaga Fiboacci 37 dapat dihasilka dari operasi pejumlaha da peguraga atara bilaga Fiboacci da Lucas ataupu atara dua bilaga Lucas. Begitu juga sebalikya berlaku utuk bilaga Lucas. Kata kuci: solusi relasi rekure, bilaga Fiboacci, bilaga Lucas, fugsi pembagkit.. PENDAHULUAN Bilaga Fiboacci mearik utuk dipelajari karea bayak kejadia di sekitar yag megikuti pola bilaga Fiboacci. Asal peemua bilaga Fiboacci juga diperoleh berdasarka kejadia sekitar, yaitu pada pegamata hasil perkembagbiaka sepasag kelici setelah bula dega asumsi tidak ada kelici yag mati. Jumlah pasaga kelici dalam bula atau membetuk suatu relasi rekure atara jumlah tepat dua bula sebelumya dega F0 0 da F. Berdasarka pegamata tersebut ditemukalah barisa bilaga Fiboacci, yaitu 0,,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44,.... Bilaga Fiboacci selajutya dikembagka oleh Edouard Lucas pada akhir abad ke-9, dega mempelajari bilaga Fiboacci secara medalam. Lucas medapatka bilaga baru yag diberi ama bilaga Lucas. Karea merupaka pegembaga dari bilaga Fiboacci, bilaga Lucas mempuyai relasi rekure sama dega bilaga Fiboacci. Bilaga Lucas ke- atau dihasilka dari pejumlaha dua suku sebelumya, yag membedaka adalah jika ilai awal pada bilaga Fiboacci adalah F0 0 da F, maka ilai awal utuk bilaga Lucas adalah L0 da L. Dega demikia diperoleh barisa bilaga Lucas yaitu,, 3, 4, 7,, 8, 9, 47, 76,... Sebuah barisa dapat diyataka dalam rumus eksplisit maupu dega megguaka relasi rekure. Relasi rekure merupaka barisa dari suku-suku dega ilai suatu suku adalah fugsi dari suku-suku sebelumya. Suatu barisa dikataka solusi relasi rekure dari suatu relasi rekure jika suku-suku pada barisa tersebut memeuhi relasi rekure. Solusi relasi rekure merupaka rumus eksplisit yag dapat diguaka utuk meetuka suku ke- dari suatu barisa F L Purwokerto, 3 Desember 06
38 L. Shofiyah d.k.k. tapa melibatka suku-suku lai dari barisa tersebut. Karea barisa dapat diyataka dalam betuk relasi rekure da dicari solusiya, maka barisa bilaga Fiboacci da bilaga Lucas dapat dicari solusi relasi rekureya. Solusi relasi rekure dari barisa bilaga Fiboacci da bilaga Lucas dapat dicari dega megguaka pedekata iteratif, relasi rekure liier, da fugsi pembagkit (Rose, 007). Namu pada peelitia ii, solusi relasi rekure dari barisa bilaga Fiboacci da Lucas dicari megguaka fugsi pembagkit, karea fugsi pembagkit dapat megubah barisa ke dalam betuk fugsi, da dari fugsi yag diperoleh terdapat bayak metode utuk meyelesaika solusiya tergatug dari betuk fugsi tersebut. Oleh karea itu, pada peelitia ii peulis tertarik utuk megkaji peetua solusi relasi rekure dari bilaga Fiboacci da bilaga Lucas dega megguaka fugsi pembagkit.. HASIL DAN PEMBAHASAN. Solusi Relasi Rekure Bilaga Fiboacci Korespodesi atara barisa bilaga Fiboacci dega fugsi pembagkit diidikasika oleh paah dua arah sebagai 3 F F, F, F, F,... F F F F... F, 0 3 0 3 dega 0. Solusi relasi rekure bilaga Fiboacci adalah koefisie dari pada deret pagkat tak higga tersebut. Bilaga Fiboacci didefiisika secara rekure F F F, dega F meyataka suku ke- dari bilaga Fiboacci dega ilai awal F0 0 da F. Misal fugsi pembagkit dari barisa Fiboacci adalah 3 g F F F F... F... F. () 0 3 Kalika persamaa () dega da 3 4 0 3 0 sehigga diperoleh g F F F F... F... () g F F F F... F.... (3) 3 4 0 3 0 Purwokerto, 3 Desember 06
Peetua Solusi Relasi Rekure dari Bilaga Fiboacci 39 Jika ilai awal F0 0, F da relasi rekure F F F megakibatka F F F utuk diguaka ketika persamaa () dikuragka 0 dega persamaa () da (3), maka 0 0 0 3 g g g F F F F F F g, F F F... F F F..., 3 (4). g Berdasarka persamaa (4), fugsi pembagkit barisa Fiboacci berbetuk fugsi pembagia poliomial. Utuk meyelesaikaya diguaka metode pecaha parsial, yaitu dega medekomposisika mejadi betuk jumlaha suku suku dega ilai A B da tersebut diperoleh ilai, () A B, (6). Dega megguaka ilai da A da B disubstitusika ke persamaa (6) sehigga diperoleh.. Selajutya ilai A da B Substitusi persamaa (7) ke dalam fugsi pembagkit bilaga Fiboacci pada persamaa (4) sehigga diperoleh (7) Purwokerto, 3 Desember 06
40 L. Shofiyah d.k.k. g, 0 0 0 g, g 0,,. (8) Berdasarka persamaa () da (8) dapat disimpulka bahwa F (9) 0 0 Pada persamaa (9) diperoleh koefisie dari pada fugsi pembagkit bilaga Fiboacci yag selajutya disebut dega solusi relasi rekure bilaga Fiboacci yaitu dega ilai, da 0. F, (0) Nilai da tersebut merupaka akar karakteristik dari bilaga Fiboacci. Akar karakteristik bilaga Fiboacci memiliki beberapa sifat yag diberika pada proposisi berikut. Proposisi Misalka da merupaka akar karakteristik dari bilaga Fiboacci dega ilai da ) ), maka berlaku sifat: 3) 4) ) Purwokerto, 3 Desember 06
Peetua Solusi Relasi Rekure dari Bilaga Fiboacci 4 Berdasarka Proposisi, mucul beberapa akibat yag diberika pada Akibat berikut. Akibat 3) ) ) 4) Dari persamaa (9) kemudia dikembagka fugsi pembagkit utuk bilaga Fiboacci ke-(m+) pada Proposisi berikut. Proposisi Misalka Fm meyataka bilaga Fiboacci ke-(m+), maka fugsi pembagkit utuk Fm yaitu F F, m m Fm 0 dega m adalah bilaga bulat yag ditetuka da 0. Bukti: m m F m 0 0 0 0, m m m m, m m, Fm Fm. m m, Proposisi dapat diguaka dega megambil m bilaga bulat yag ditetuka. Berikut diberika fugsi pembagkit dari m,, 0,,. Fm dega megambil kasus utuk Purwokerto, 3 Desember 06
4 L. Shofiyah d.k.k. Tabel Daftar fugsi pembagkit da solusi dari Fm dega m,, 0,, No Fm Fugsi pembagkit Solusi F F 3 F 4 F F. Solusi Relasi Rekure Bilaga Lucas Bilaga Lucas merupaka pegembaga dari bilaga Fiboacci, oleh karea itu barisa bilaga Lucas juga dapat dicari solusiya dega cara yag sama seperti pada bilaga Fiboacci. Bilaga Lucas didefiisika secara rekure L L L. L meyataka suku ke- dari bilaga Lucas dega ilai awal L0 da L. Misal fugsi pembagkit dari barisa Lucas adalah 3 g L L L L... L... L. () 0 3 Kalika persamaa () dega da 3 4 0 3 0 sehigga diperoleh g L L L L... L..., () g L L L L... L.... (3) 3 4 0 3 Jika ilai awal L0, L da relasi rekure L L L megakibatka L L L utuk diguaka ketika persamaa () dikuragka 0 dega persamaa () da (3), maka 0 0 0 3 g g g L L L L L L g, 3 L L L... L L L..., Purwokerto, 3 Desember 06
Peetua Solusi Relasi Rekure dari Bilaga Fiboacci 43. (4) g Berdasarka persamaa (4), fugsi pembagkit barisa Lucas berbetuk fugsi pembagia poliomial, yag kemudia didekomposisika mejadi betuk jumlaha suku suku sebagai berikut. A B, () dega ilai da yag sama dega bilaga Fiboacci diperoleh ilai A da B. Selajutya ilai A da B disubstitusika ke dalam persamaa () sehigga diperoleh. (6) Substitusi persamaa (6) ke persamaa (4) sehigga diperoleh g, 0 0 0,,. (7) Berdasarka persamaa () da (7) dapat disimpulka bahwa L. (8) 0 0 Pada persamaa (8) diperoleh koefisie dari pada fugsi pembagkit bilaga Lucas yag selajutya disebut dega solusi relasi rekure bilaga Lucas yaitu L, (9) Purwokerto, 3 Desember 06
44 L. Shofiyah d.k.k. dega ilai, da 0. Bilaga Fiboacci da bilaga Lucas memiliki ilai da yag sama. Nilai da tersebut merupaka akar karakteristik dari bilaga Fiboacci, sehigga da juga merupaka akar karakteristik dari bilaga Lucas. Dega demikia Proposisi da Akibat juga berlaku utuk bilaga Lucas. Berdasarka persamaa (8) diperoleh bahwa fugsi pembagkit utuk bilaga Lucas ke- adalah L. Selajutya dega 0 0 megguaka cara yag sama seperti pada bilaga Fiboacci, dapat diperoleh fugsi pembagkit utuk bilaga Lucas ke-( m ) pada Proposisi 3 berikut. Proposisi 3 Misalka Lm meyataka bilaga Lucas ke-(m+), maka fugsi pembagkit utuk Lm yaitu L L m m Lm 0 dega m adalah bilaga bulat yag ditetuka da 0. Proposisi 3 dapat diguaka dega megambil m sembarag bilaga bulat yag ditetuka. Berikut diberika fugsi pembagkit dari megambil kasus utuk m,, 0,,. Lm dega Tabel Daftar fugsi pembagkit da solusi dari Lm dega m,, 0,, No Lm Fugsi pembagkit Solusi 3 4 L 3 L 3 L Purwokerto, 3 Desember 06
Peetua Solusi Relasi Rekure dari Bilaga Fiboacci 4 3 4 L L.3 Hubuga Bilaga Fiboacci da Bilaga Lucas Terdapat beberapa hubuga liier yag haya melibatka operasi pejumlaha atau peguraga dari bilaga Fiboacci atau bilaga Lucas maupu kelipataya seperti yag tertera pada Proposisi 4 berikut. Proposisi 4 Misalka F merupaka bilaga Fiboacci ke- da L merupaka bilaga Lucas ke-, maka hubuga bilaga Fiboacci da bilaga Lucas sebagai berikut: ) F L L L F F ) 3) L F F 4) F L L F F L ) 6) F L L 7) F F L 8) L L F 9) F 3F L 0) L 3L F ) F 3F L ) L 3L F Dega megguaka fakta bahwa dua buah deret dikataka sama jika da haya jika koefisie yag bersesuaia adalah sama, maka hubuga bilaga Fiboacci da Lucas pada Proposisi 4 dapat dibuktika. Sebagai cotoh, aka dibuktika bahwa Proposisi 4 poit () bear. Berdasarka Tabel da Tabel maka fugsi pembagkit utuk Proposisi 4 poit () adalah 3 Dari persamaa (0) megakibatka. (0) Purwokerto, 3 Desember 06
46 L. Shofiyah d.k.k. 0 0 0 F L L, 0 L L Oleh karea itu formula F L L berlaku utuk 0. Berdasarka persamaa (0) da (9) diperoleh bahwa. F da F L L L, utuk sembarag bilaga bulat positif. Dega megguaka persamaa tersebut, aka ditujukka bahwa Proposisi 4 poit () yaitu F L L berlaku utuk sembarag bilaga bulat egatif. Perhatika bahwa, L L L L L L L L L, L, L,, L, F, F. Jadi diperoleh bahwa F L L. Oleh karea itu, F L L berlaku utuk 0 da berupa bilaga bulat egatif. Dega kata lai Proposisi 4 poit () berlaku utuk sembarag bilaga bulat (Hase, 97). Dega megguaka cara yag sama diperoleh bahwa setiap poit pada Proposisi 4 laiya berlaku utuk sembarag bilaga bulat. Purwokerto, 3 Desember 06
Peetua Solusi Relasi Rekure dari Bilaga Fiboacci 47 3. KESIMPULAN DAN SARAN Solusi relasi rekure dari bilaga Fiboacci ke- da bilaga Lucas ke- berturut-turut yaitu F da, dega ilai da L, yag diperoleh dega megguaka fugsi pembagkit. Berdasarka pembahasa megeai hubuga bilaga Fiboacci da bilaga Lucas, diperoleh bahwa bilaga Fiboacci ke-(m+) da bilaga Lucas ke-(m+) dega m adalah bilaga bulat yag ditetuka da Z mempuyai hubuga liier yag haya melibatka operasi pejumlaha atau peguraga dari bilaga Fiboacci atau bilaga Lucas maupu kelipataya. Hal ii ditujukka dega diperolehya bilaga Fiboacci yag tidak haya dihasilka dari pejumlaha suku-suku pada bilaga Fiboacci, melaika dapat dihasilka dari operasi pejumlaha da peguraga atara bilaga Fiboacci da bilaga Lucas ataupu atara dua bilaga Lucas. Begitu juga sebalikya, bilaga Lucas tidak haya dihasilka dari pejumlaha suku-suku pada bilaga Lucas, melaika dapat dihasilka dari operasi pejumlaha da peguraga atara bilaga Fiboacci da bilaga Lucas ataupu atara dua bilaga Fiboacci. Pada peelitia ii telah dibahas hubuga bilaga Fiboacci da bilaga Lucas yag haya melibatka operasi pejumlaha da peguraga. Utuk peelitia selajutya, disaraka utuk megkaji hubuga bilaga Fiboacci da bilaga Lucas yag melibatka operasi perkalia. DAFTAR PUSTAKA Hase, R. T., Geeratig Idetities for Fiboacci ad Lucas Triples, The Fiboacci Quarterly, 0(6) (97), 7-78. Rose, K. H., Discrete Mathematics ad Its Applicatios, 6 th ed., McGraw-Hill, New York, 007. Purwokerto, 3 Desember 06