DISTRIBUSI HASIL PENGUKURAN DAN NILAI RATA-RATA Dstrbus Bnomal Msalkan dalam melakukan percobaan Bernoull (Bernoull trals) berulang-ulang sebanyak n kal, dengan kebolehjadan sukses p pada tap percobaan, dperoleh sukses dalam n percobaan tu. Maka dstrbus kebolehjadan dnamakan dstrbus bnomal dengan n percobaan dan kebolehjadan sukses p. Istlah dstrbus bnomal dturunkan dar satu sfat pentng dalam aljabar, yang dnamakan teorema ekspans bnomal. Rumus dstrbus bnomal dengan n percobaan dtunjukkan pada persamaan (). P( ) n! n p ( ( )!! p ) n dalam hal n: n = jumlah percobaan, = jumlah kejadan sukses, p = kebolehjadan sukses. dan (-p) = kebolehjadan gagal. Nla rata-rata dar dstrbus bnomal dtunjukkan pada persamaan (), sedangkan varansnya dtunjukkan pada persamaan (3) d bawah n. np () np( p) npq (3) () Contoh soal.. Sebuah kotak bers 0.000 bola kecl dar logam. Sebanyak 000 buah dcat puth sedang ssanya dcat htam. Seseorang mengambl 00 bola dar kotak dengan satu bola untuk setap kal pengamblan secara acak. Berapakah kebolehjadan bahwa 0 bola dar yang terambl tersebut berwarna puth? Jawaban: p 000 P( puth) 0, 0000 Kebolehjadan bahwa 0 bola berwarna puth dar 00 bola yang terambl secara acak adalah (berdasarkan persamaan.3): 00! ( 00 0 0! 0, ) ( 0, 8 ) ( )! 0, 0034 P 0 90 0
Dstrbus Normal Dstrbus normal atau dstrbus Gauss pertama kal dpelajar pada abad ke delapan belas, ketka orang mengamat ralat pengukuran berdtrbus smetrk dan berbentuk bel. De Movre mengembangkan bentuk matematk dstrbus n dalam tahun 733, sebaga bentuk lmt dar dstrbus bnomal. Laplace telah mengenal juga dstrbus n sebelum tahun 775. Gauss menurunkan persamaan dstrbus n dar suatu stud tentang ralat dalam pengukuran yang berulang-ulang dar kuanttas yang sama, dan kemudan mepublkaskannya pada tahun 809. Untuk menghormatnya, dstrbus normal dsebut juga dstrbus gauss. Suatu varabel acak kontnyu dkatakan berdstrbus normal dengan rata-rata dar varans apabla varabel n mempunya fungs kebolehjadan sebaga berkut: ( ) P( ) ep (5) dalam hal n : = nla ukur, = nla rata-rata populas, dan = smpangan baku. Dstrbus n mempunya maksmum pada nla =. Kebolehjadan untuk mendapatkan nla antara dua batas dan dberkan oleh persamaan: P( ) P( ) d Contoh Soal.. Bahan bakar alumnum untuk reaktor ar rngan dlngkup oleh tabung logam dengan nla rata-rata dameter luar d sama dengan 0 mm. Dasumskan bahwa d berdstrbus normal dsektar nla rata-rata dengan smpangan baku = 0,5 mm. Untuk alasan keselamatan, tdak boleh dgunakan tabung dengan d>,5 mm atau d<8,5 mm. Jka dproduks 0.000 tabung, berapa banyak dar tabung-tabung dperkrakan terbuang karena tdak memenuh alasan keamanan sepert dberkan? Jawaban: Kebolehjadan bahwa dameter tabung akan lebh kecl dar 8,5 atau lebh besar dar,5 adalah: 8, 5 P(, ) P(, ) ep ( ) 0 8 5 5 0, 5 ( 0, 5) 0 5, 5, 0 ep ( ) ( 0, 5) D dalam pernyataan dstrbus normal baku dan juga karena kedua ntegral sama, maka ddapatkan: (6)
3 z P(, ) P(, ) ep 8 5 5 dalam hal n: z 0 0, 5 Dar tabel ntegral dperoleh nla ntegral berkut: dz 3 0 99865 ep z dz, sehngga dperoleh: P( 8, 5) P( 5, ) 0, 007 Dengan demkan, taksran bahwa dbawah konds pabrkas sepert contoh n, sebanyak 7 tabung dar 0.000 harus dbuang. Dstrbus Posson Dstrbus n dapat dturunkan dar dstrbus Bnomal untuk n besar dan nla =np konsatan. Persamaan untuk dstrbus Posson dtunjukkan pada persamaan (7). P( )! e (7) Dalam hal n, n dan p 0, = nla rata-rata (np), dan = banyaknya sukses (nla ukur). Nla varans dar dstrbus Posson adalah sebaga berkut: (8) Dalam praktek, dstrbus Posson serng tmbul dalam perhtungan dar perstwa-perstwa yang jarang terjad, yatu banyaknya terjadnya suatu perstwa dalam kebolehjadan p yang kecl dalam n percobaan bebas.
Contoh Soal.3. Sebuah detektor radas dgunakan untuk mencacah partkel yang dpancarkan oleh sumber radosotop. Jka dketahu bahwa laju cacah ratarata adalah 0 cacah/ment, berapakah kebolehjadan bahwa pada pencacahan berkutnya akan dperoleh 8 cacah/ment? Jawaban: Kebolehjadan peluruhan atom radoaktf mengkut dstrbus Posson. Sehngga, dengan menggunakan persamaan (.8) dperoleh: 8 0 0 P( 8) e 0, 0844 8% 8! In berart bahwa jka dlakukan 0.000 pengukuran, 844 darnya dtaksr memberkan hasl 8 cacah/ment.
Nla Rata-rata dan Ralat Berbobot Msalkan kta mempunya n buah nla ukur ( ; =,,...n) yang berasal dar dstrbus-dstrbus nduk Gaussan dengan rata-rata sama dan smpanga baku, maka kebolehjadan mendapatkan nla ukur adalah: P( ) e Oleh karena nla tdak dketahu, maka nla rata-rata populas nduk ddekat oleh nla rata-rata ekspermental. Kebolehjadan medapatkan nla adalah: P( ) e ' Kebolehjadan untuk mendapatkan semua n buah pengukuran adalah n P( ) P( ) () () (3) P( ) n e ' (4) Nla rata-rata dar suatu pengukuran adalah nla yang mempunya kebolehjadan terbesar. Pada fungs dstrbus Gaussan, kebolehjad terbesar terjad jka faktor dalam eksponensal mnmum, yang secara matemats dpenuh apabla: d d ' ' 0 ' 0 0 5) 6) 7) Akhrnya dperoleh persamaan untuk nla rata-rata berbobot sebaga berkut:
' (8) Ketdakpastannya dhtung melalu persamaan perambatan ralat, yatu: ' ' (9) Dengan mensubsttuskan persamaan (0) d bawah n: ' (0) ke persmaan (9) maka dperoleh perumusan untuk nla ralat sebaga berkut (yang hasl akhrnya dtunjukkan pada persamaan (3): ' () ' () ' (3)