BAB V MOEL SEERHANA ISTRIBUSI TEMPERATUR AN SIMULASINYA Model matemata yang terdapat pada bab sebelumnya merupaan model umum untu njes uap pada reservor dengan bottom water. Model tersebut merupaan model yang cuup omples arena terdapat dua persamaan onves dfus d daerah ar dan d daerah mnya. Oleh arena tu, sebaga langah awal untu mencar solus persamaan tersebut dasumsan bahwa panjang reservor (L) lebh besar bla dbandngan dengan etebalannya (h) sehngga raso h L aan menuju nol. Jad, dfus panas dalam arah x dapat dabaan sehngga panas hanya berdfus dalam arah y saja. engan deman, persamaan onves dfus pada bab sebelumnya menjad persamaan dfus d sepanjang gars dengan syarat rchlet, yatu: T h T T t L x y + W = C, C =, C =, =,. 5. engan syarat awal dan syarat batasnya: T ( y,0) =, ( 5.) y T x t H T TB y (,0, ) = ( ), ( 5.3) T xlt H T TB (,, ) = ( ). ( 5.4) mana C =, C = sedangan onds batas pada y = mash sama sepert onds batas pada bab sebelumnya, yatu: 4
(,, ) = (,, ), ( 5.5) T x t T x t T T ( x,, t) = ( x,, t) y. 5.6 y h Searang defnsan peubah baru η = x W t, τ = t, dan µ = y untu L mentransformas Persamaan (5.). Lalu substtusan peubah tersebut e dalam Persamaan (5.)-(5.6) sehngga dperoleh T T = C C = C = = τ µ,,,,. 5.7 engan syarat awal dan syarat batasnya: (,0), ( 5.8) T µ = T µ µ ( 0, τ ) = H ( T T ), ( 5.9) T l H T TB B (, τ ) = ( ), ( 5.0) d an onds batas pada µ = adalah T (, τ) = T (, τ), ( 5.) T T µ µ (, τ) = (, τ). ( 5.) Persamaan (5.7) merupaan persamaan dfus basa namun onds batas dan onds awalnya buanlah onds yang homogen. Selanjutnya defnsan lag peubah baru U = T T0 dan U = T T0 untu meredus persamaan (5.7)- (5.). Substtus nla U tersebut e dalam persamaan (5.7) dan (5.) sehngga dperoleh: 5
U U = 0, 0 < µ <, τ > 0, τ µ U U = 0, < µ < l, τ > 0. τ µ ( 5.3) Konds batasnya adalah U U µ µ ( 0, τ) = HU, ( l, τ) = HU, τ > 0. ( 5.4) engan onds awal U ( µ,0) =, 0 < µ < l. ( 5.5) Pada onds batas pada µ = memenuh U U, τ =, τ, τ > 0, U U (, τ) = (, τ), τ > 0. µ µ ( 5.6) Solus dar Persamaan (5.6) datas dapat dcar dengan menggunaan metode pemsahan peubah. Msalan (, ) U y t = g y. j ( t), =,, dperoleh g '' g µ + λ µ = < µ < 0, 0, '' g µ + λ g µ = 0, < µ < l, ( 5.7) dan () λ = = τ > j ' t j 0,,, 0. 5.8 Konds batasnya adalah g g ( 0 ) = HU, () l = HU, τ > 0. ( 5.9) µ 6
Selanjutnya aan dasumsan nla H = H = 0 artnya tda ada perbedaan temperatur pada batas antara mnya dan lapsan atas reservor dan tda ada perbedaan temperatur pada batas antara ar dan lapsan bawah reservor Subttus nla H dan H e dalam Persamaan (5.3) sehngga dperoleh onds batas homogen yang dberan oleh µ µ g g l τ ( 0) = 0, () = 0, > 0. ( 5.0) Syarat batas homogen pada µ = adalah () g g =, µ > 0, g g () = (), µ > 0. µ µ ( 5.) Solus dar Persamaan (5.7) dapat dperoleh dengan mencar nla λ. Ada tga nla λ yang mungn, yatu: λ < 0, λ = 0, dan λ > 0. Ja nla-nla λ tersebut dsubsttus e dalam Persamaan (5.7) maa aan dperoleh tga buah matrs beruuran 4 x 4. Nla λ yang memenuh Persamaan (5.7) dan (5.8) adalah λ yang menghaslan matrs dengan detemnan sama dengan nol agar solus yang dperoleh tda trval (untu perhtungan nla dar dar persamaan g ( µ ) dan g ( µ ) adalah lebh jelasnya lhat lampran). Setelah dlauan λ yang memenuh adalah λ < 0. engan deman, solus g µ = Acos λµ + Bsn λµ, 0 < µ <, λ λ g ( µ ) = A cos B sn, l. µ + µ < µ < ( 5.) emudan dferensalan g ( µ ) dan g ( µ ) terhadap µ, ddapat 7
( µ ) g = Aλcos( λµ ) + Bλsn ( λµ ), 0 < µ <, µ g ( µ ) λ λ λ λ = A cos µ + B sn µ, < µ < l. µ ( 5.3) Substtus onds batas homogen pada Persamaan (5.0) e dalam Persamaan (5.3), ddapat g ( 0) = 0 = Aλ. Jad, dperoleh A = 0 dan µ g λ λ λ λ () l = 0 = A cos l + B µ sn l sehngga nla A λ B sn l adalah, λ cos l emudan substtus nla A dan A e dalam Persamaan (5.9) sehngga dperoleh λ g A g B l ( µ ) = cos ( λµ ), ( µ ) = cos ( µ ), ( 5.4) dengan A=A dan B B = sn l. λ Gunaan onds batas pada µ = sehngga dperoleh persamaan λ Acos λ Bcos ( l) = 0, (5.5) λ A λsn λ + B λsn ( l) = 0. (5.6) 8
λ B cos ( l) Kemudan dar Persamaan (5.6) dperoleh nla A =. cos λ Substtus nla A tersebut e dalam Persamaan (5.6) dperoleh λ Bcos ( l) λsn λ λ + B λsn ( l) = 0, cos λ λ bag dengan B λ cos ( l), λ sn ( l) sn λ dperoleh - + = 0, cos λ λ cos ( l) atau dapat juga dtulsan dengan tan + tan = 0. 5.7 λ ( λ ) ( l) Solus umum dar persamaan U (, ) menggunaan transformas Fourer dalam bentu µ τ dapat drepresentasan dengan λτ = = ( ) U µ, τ A e g µ, (5.8) dmana λ dan g ( ) λτ = ( ) U µ, τ = B e g µ. (5.9) y adalah nla-nla egen dan fungs egen dar masalah (5.8) - (5.). A dan B merupaan oefsen deret Fourer yang dturunan dar onds awal dstrbus temperatur pada persamaan (5.), yatu U U = ( A ) g (5.30) µ,0 = µ = = ( B ) g (5.3) µ,0 = µ = 9
Sehngga dperoleh oefsen-oefsen deret Fourernya A B ( λ ) ( λ ) 4sn = λ + sn λ 4 sn ( l) = λ λl λ sn l, 5.3, 5 (.33) Kemudan substtus nla A dan persamaan (5.5) dan (5.6) dan dperoleh U ( µτ) ( λ ) B dar persamaan (5.30) dan (5.3) e dalam cos( λ µ ) ( λ ) λτ, = 4sn e, (5.34) = λ + sn U λ λτ λ 4 sn ( l) e cos ( µ l), =. (5.35) = λ λl λ sn ( l) ( µτ) etahu Ketebalan reservor, h= 7 ft Tngg bottom water, h = 34.4 ft fusvtas mnya, ft hr = / fusvtas ar, ft hr =.5 / Substtus nla-nla d atas e dalam Persamaan (5.8), (5.34), dan (5.35) sehngga dperoleh persamaan 30
λ tan ( λ ) +.5 tan ( 5) = 0, ( 5.36.5 U ( µτ) = ( λ ) e λτ cos( λ µ ) λ + sn( λ ) 4sn, =, (5.37) ) U λ λτ λ 4 sn ( 4) e cos ( µ l) 3 3, =. = λ 8 λ sn ( 4) 3 3 ( µτ) Persamaan (5.36) dapat dlustrasan dalam graf pada Gambar (6). (5.38) Gambar 9 Graf untu mencar nla λ yang memenuh. Gars berwarna mera h merupaan graf fungs tan ( λ ) dan gars berwarna λ tan 5..5.5 bru merupaan graf fungs ( ) ar Gambar 9, nla λ yang memenuh adalah yang memenuh persamaan (5.36) bsa detahu yatu dengan mencar tt potong dar gars yang berwarna bru dengan gars yang berwarna merah. Untu mencar solus Persamaan (5.37) 3
dan (5.38), aan dplh sepuluh tt potong pertama dar tt nol pada Gambar 9 yang aan memberan sepuluh nla λ yang berbeda. Tebaan nla λ yang memenuh persamaan (5.36) adalah λ = 0 λ = 3.74 6 λ = 0.57 λ = 9.64 7 λ =.8 λ = 6.38 3 8 λ = 4.76 λ = 34.48 4 9 λ = 8.6 λ = 44. 5 0 Substtus e-0 nla egen d atas e dalam Persamaan (5.37) dan (5.38) untu mendapatan nla (, ) dan U (, ) U y t y t. Setelah mengetahu solus dar U ( y, t) dan U ( y, t) maa aan dperoleh nla dar ( µτ ) ( µτ) 0 T, = U, + T, =,, yang ddefnsan pada Bab V. etahu nla dar T 0 adalah 00 0 F sehngga ( µτ ) ( µτ) persamaan ( µτ ) ( µτ) T, = U, + 00, =,,. Kemudan plot T, = U, + 00, =,, terhadap etebalan setap watu. Berut adalah n plot 3
T ( µτ, ), =,, terhadap etebalan reservor setap watu Gambar-0 Ilustras perubahan temperatur pada ar terhadap etebalan reservor. Gambar- Ilustras perubahan temperatur pada mnya terhadap etebalan reservor ar Gambar (0) dan Gambar () terlhat bahwa pada awal njes temperatur dar mnya dan ar na namun aan turun dengan sangat cepat. Temperatur pada daerah ar aan onstan setelah sepuluh jam d anga 04 sedangan temperatur pada daerah mnya aan onstan pada anga 96 setelah sepuluh jam juga. Untu 33
lebh jelasnya aan dperlhatan graf dstrbus temperatur terhadap etebalan reservor pada watu-watu tertentu. Gambar- Graf strbus Temperatur d Ar terhadap etebalan Reservor. Gambar-3 Graf strbus Temperatur Mnya terhadap etebalan Reservor. Gars berwarna hjau adalah dstrbus temperatur terhadap etebalan reservor 34
pada saat t = 0, merah pada saat t =, htam pada saat t = 5, dan bru pada saat t = 0. Gambar-4 Graf dstrbus temperatur d daerah mnya pada etebalan reservor sama dengan 0 (r) dan etebalannya sama dengan ½ (anan). Gambar-5. Graf dstrbus temperatur d daerah mnya pada etebalan reservor sama dengan 5 Gambar (4) dan Gambar (5) menyataan bahwa temperatur dar mnya dan ar pada saat t = 0 aan turun secara cepat dan aan onstan d nla 04. 35
Panas yang dhaslan oleh uap berdfus secara cepat e ar dan mnya sehngga temperatur uap tersebut aan terus turun sampa ahrnya hampr sama dengan temperatur reservor (00 0 F). Kurva yang dhaslan berbeda dengan urva yang dhaslan oleh njes uap pada reservor tanpa bottom water. 36