SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN BOLTZMANN

Transkripsi

1 JMA, VOL., NO.1, JULI, 00, SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN BOLTZMANN ENDAR H. NUGRAHANI Departemen Matemata, Faultas Matemata dan Imu Pengetahuan Alam, Insttut Pertanan Bogor Jln. Merant, Kampus IPB Dramaga, Bogor 16680, Indonesa Abstract : Partcle methods are well nown tools to solve the netc Boltzmann equaton numercally. The usual procedure of such method s the drect smulaton Monte-Carlo, whch drectly smulate the collson between partcles. The second method of nterest s the stochastc weghted partcle method, whch s developed to mprove the prevous method. The man dea of the second method s to use random weght transfer between partcles durng collsons. In order to reduce the stochastc fluctuatons, ths method provdes a way to ncrease the number of partcles. But f the addtonal partcles cannot be compensated n some natural way, then ths number should be reduced. Several reducton procedures have been proposed. Some numercal results usng both methods are presented. It s shown that the second method gves some better results n some ways. Kataunc: persamaan Boltzmann, metode Monte-Carlo, metode partel terbobot stoast. 1. PENDAHULUAN Persamaan Boltzmann adalah persamaan net yang mendesrpsan perubahan yang terad pada partel gas dengan berlalunya watu arena teradnya fenomena tumbuan antar partel. Msalan f ( x, v, t) : adalah fungs epeatan peluang suatu partel gas yang berada pada poss x, bergera dengan ecepatan v, serta damat pada watu t. Bentu dar persamaan Boltzmann adalah: f t v, x f Q( f, f ) (1.1) dengan nla awal f ( x, v, t 0) f0 ( x, v). (1.)

2 8 ENDAR H. NUGRAHANI Ruas anan dar persamaan (1.1) adalah ntegral lpat berdmens tngg yang mendesrpsan perubahan dar f(x,v,t) sebaga abat dar tumbuan antar partel, yatu dengan bentu berut: Q ( f, f ) S B( v, w, e) f ( v') f ( w') f ( v) f ( w) dw de dengan B(v,w,e) adalah fungs ernel tumbuan partel. Solus analt dar persamaan Boltzmann (1.1) tersebut tdalah mudah untu dperoleh. Beberapa hasl solus analt esa yang telah ddapatan hanya bsa dperoleh untu dstrbus nla awal tertentu, d antaranya adalah untu dstrbus awal Maxwell oleh Bobylev () dan beberapa solus self-smlar oleh Bobylev dan Cercgnan (). Solus numer dar persamaan Boltzmann harus memperhatan dsretsas dar ruang berdmens tngg serta melbatan perhtungan ntegral lpat berdmens tngg pula pada setap tt dsretsasnya. Dengan deman penggu-naan metode yang umum dgunaan pada solus numer persamaan dferensal parsal, msalnya metode elemen-hngga ataupun metode bedahngga, aan sult dmplementasan. Oleh arena tu penggunaan metode partel aan menawaran alan eluar bag penyelesaan numer persamaan net yang berupa persamaan dferensal ntegral berdmens tngg tersebut.. METODE PARTIKEL Metode partel untu penyelesaan numer persamaan net berdmens tngg pertama al dembangan adalah smulas langsung dengan metode Monte-Carlo (Drect Smulaton Monte-Carlo DSMC) oleh G. A. Brd (1). Pada perembangannya drumusan metode partel terbobot stoast (Stochastc Weghted Partcle Method SWPM) oleh S. Rasanow dan W. Wagner (6). Ide dasar metode partel adalah pendugaan barsan uuran berut dengan sstem f t, x, vdxdv, t t, 0,1,, t 0 d mana N t, dx, dv g t x t, v t dx, dv 1 N g t, x t, v t 1, 0,1, melambangan seumpulan partel, dengan adalah ndes tahap watu..1 Metode Smulas Langsung Monte-Carlo (DSMC). Metode DSMC yang dembangan oleh G. A. Brd (1) meml algortma berut. Prosedur smulas dawal dengan pendefnsan evolus watu dar suatu sstem seumlah N partel dengan nla awal g ( t), x ( t), v ( t), 1,, N, t t0

3 JMA, VOL., NO.1, JULI, 00, g t ), x ( t ), v ( t ), 1, N ( 0 0 0, yang dbangtan menurut suatu sebaran peluang tertentu berdasaran (1.). Asums pada nla awal adalah bobot partel onstan Dsretsas watu ddefnsan sebaga berut: t g ( t 0 ) g, 1,, N. (.1) t, 0,1, t 1 t t, t 0. Smulas aan dlauan pada setap nterval watu (t, t+1] dengan membedaannya dalam dua fase: fase geraan bebas dan fase tumbuan partel. Pada fase pertama hanya aan dsmulasan geraan partel secara bebas tanpa memperhatan teradnya tumbuan antar partel. Sebalnya pada fase edua hanya dsmulasan tumbuan antar partel tanpa memperhatan geraan partel tu sendr. Fase geraan bebas menghaslan perubahan poss partel setap watu hanya dpengaruh oleh ecepatannya, yatu x. ( t) x ( t ) ( t t ) v ( t ), t t, t1 Bobot partel dasumsan tda mengalam perubahan selama perode smulas. Apabla daerah defns adalah berbatas, maa ecepatan partel aan berubah menurut syarat batasnya. Fase tumbuan partel dsmulasan sebaga berut. Pertama-tama poss partel dparts e dalam c buah sel c 1. Smulas tumbuan dlauan d dalam masng-masng sel dengan mendefnsan proses stoast Z( t) g ( t), x ( t), v ( t), 1, n, dengan t t dan n = nl(t). Dar proses pada eadaan z, msalan partel e dan aan bertumbuan dengan peluang tertentu. Pembangt proses dtentuan berdasaran fungs loncatan proses J(z,,,e) berut d mana J,, g, x, v, (.) g, x, v' (.) g,x, v', v' v' v v e e, v e e, v v v (.) adalah ecepatan partel setelah tumbuan. Dengan algortma DSMC tersebut umlah partel d dalam sstem tda aan mengalam perubahan. Dengan deman uga aan berlau onservas berbaga besaran marosop dar sstem, yatu dantaranya besaran massa, erapatan, momentum, energ, dan sebaganya. Sedangan eonvergenen

4 40 ENDAR H. NUGRAHANI pendugaan numer dengan metode DSMC n telah dbutan dalam Wagner (8).. Metode Partel Terbobot Stoast (SWPM). Smulas numer dengan menggunaan metode partel terbobot stoast meml latar belaang de yang serupa dengan DSMC, dengan leta perbedaan pada pendefnsan fungs lompatan proses sebaga alternatf dar (.) berut:, g, x, v, g G(.), x, v, J. g G(.), x, v, (.4) G(.), x, v', n 1 G(.), x, v', n d mana v dan v adalah ecepatan partel e dan setelah tumbuan partel. Besaran G(z,,,e) adalah fungs perpndahan bobot, G z,,, e mn g, g (.5) 1 ( z,,, e) yang aan memungnan teradnya penambah-an umlah partel dalam sstem bla dplh parameter 0. Prosedur yang memungnan penambahan umlah partel n terutama aan sangat menguntungan untu smulas sstem dengan erapatan rendah untu mengurang eragaman stoast (6). Aan tetap penambahan umlah partel dalam smulas numer dapat menngatan beban omputas secara sgnfan, sehngga sampa tahap tertentu aan dperluan prosedur tambahan untu mengurang embal umlah partel tersebut. Prosedur pengurangan umlah partel yang telah drumusan antara lan dberan dalam Rasanow dan Wagner (6) sebaga prosedur redus determnst, sedangan dalam Nugrahan dan Rasanow (5) drumusan prosedur redus stoast. Prosedur Redus Determnst Prosedur untu mengurang umlah partel pada smulas dengan metode SWPM n dlauan sedeman sehngga sstem partel tersebut tetap dapat menduga penyelesaan numer persamaan Boltzmann. Dengan deman tetap harus dperhatan terpenuhnya sfat onservas masa, erapatan, momentum dan energ, serta dapat dontrolnya tambahan galat pendugaan yang dtmbulan. Ada dua langah yang drumusan dalam prosedur redus determnst n. Langah pertama adalah pengelompoan partel dalam seumlah cluster berdasaran ecepatannya: g, x, v, 1,, nˆ, 1,, n d mana nˆ adalah umlah cluster yang dbentu, dengan adalah ndes cluster dan ndes partel dalam cluster. Kemudan dalam masng-masng cluster dengan n aan dlauan pengurangan umlah partel, yatu dengan menggantan seumlah partel berut:

5 JMA, VOL., NO.1, JULI, 00, v 1 V ( ) g ( ) 1 e, ( ) g g ( ) v V ( ) e, e S d mana g () adalah massa cluster, V () adalah rataan mpuls cluster, serta () adalah suatu besaran yang berhubungan dengan alran energ dalam cluster. But eonvergenan serta amnan ontrol atas galat tambahan dar prosedur redus n dberan oleh Rasanow dan Wagner (6). Prosedur Redus Stoast Prosedur n dtuuan secara husus untu mempertahanan partel pada daerah luar v ; v U R, R. Sedangan partel pada daerah aan dplh menurut rtera stoast tertentu. Dengan memperhatan partel e : g, x, v, 1, n, prosedur redus dlauan dengan cara berut: g Dengan peluang p, tetapan g g g. Hal n berart partel tersebut dpertahanan dan dber bobot standar. g g Dengan peluang 1 p, tetapan g g = 0. Hal n berart partel tersebut deluaran dar sstem, sehngga umlah partel aan berurang. Prosedur redus n dusulan dalam Nugrahan dan Rasanow (5) sebaga bentu husus dar prosedur yang lebh umum yang drumusan dan dbutan eonvergenannya oleh Mathes dan Wagner (4).. HASIL SIMULASI NUMERIK.1 Smulas Extra Momen. Stud numer yang dlauan adalah penyelesaan persamaan Boltzmann (1.1) pada ruang poss yang telah dparts sehngga fungs epeatan peluang f(v,t) adalah homogen dalam ruang. Konds awal mengut dstrbus moleul pseudo-maxwell campuran berut f ( v) v V exp 1 T / T / 1 1 T T (1 ) v V exp Smulas numer dlauan terhadap besaran extra momen berut ( t ) f ( v, t) dv dengan mempergunaan metode DSMC dan SWPM pada prosedur redus stoast. Hasl smulas tersebut dsaan pada Gambar 1 untu hasl smulas metode DSMC, serta Gambar untu metode SWPM.

6 4 ENDAR H. NUGRAHANI Gambar 1. Smulas extra momen dengan DSMC Gambar. Smulas extra momen dengan SWPM Dar edua graf tersebut dapat damat bahwa metode DSMC memberan hasl pendugaan yang tda cuup memuasan, terutama setelah suatu tahap watu tertentu metode n tda dapat lag memberan nterval epercayaan pendugaan yang postf. Sedangan metode SWPM memberan hasl pendugaan yang lebh ba dalam hal mash dapat dberannya nterval epercayaan yang postf (5). Lebh lanut dsaan pula berbaga besaran hasl smulas extra momen menggunaan metode SWPM dengan prosedur redus stoast. Gambar menyaan umlah partel dalam sstem yang memperlhatan bahwa prosedur redus stoast memperecl flutuas umlah partel. Gambar 4 memberan bobot maxmal partel dalam eseluruhan proses smulas, yang ternyata benla relatf cuup ecl. Serta Gambar 5 memberan dugaan nla epadatan partel dalam sstem. Gambar. Jumlah partel pada smulas extra momen dengan SWPM

7 JMA, VOL., NO.1, JULI, 00, Gambar 4. Bobot maxmal partel pada smulas extra momen dengan SWPM Gambar 5. Kepadatan partel pada smulas extra momen. Smulas Self-smlar dengan SWPM. Bagan berutnya dar stud smulas numer dberan untu memberan penyelesaan bag besaran α momen berut [ v ]( t) v f ( v, t) dv dengan f(v,t) adalah penyelesaan self-smlar menurut Bobylev dan Cercgnan () dengan dstrbus awal berut: 4 f ( v) 0 ds 1 s 1 M v, s dengan M(.) adalah dstrbus Maxwell. Keunan dar model self-smlar adalah bentu dstrbusnya yang dvergen, sehngga secara umum onservas energ tda dapat dpertahanan (9). Sehngga solus numer α momen tersebut hanya dapat dlauan pada nla α tertentu. Pada contoh n dplh α = 0,75 dan metode yang dpergunaan adalah SWPM dengan prosedur redus determnst. Hasl smulas dsaan pada Gambar 6, yang member gambaran bahwa metode SWPM terbut cuup mampu untu memberan hasl numer bag pendugaan fungs dstrbus yang buan maxwellan. Aan tetap dapat dlhat bahwa edeatan hasl smulas numer n aan sangat tergantung pada umlah partel awal yang dpergunaan dalam smulas, seman ecl umlah partel maa pendugaan aan seman auh dar solus analt esa.

8 44 ENDAR H. NUGRAHANI Gambar 6. Smulas self-smlar pada α momen dengan metode SWPM. 4. KESIMPULAN Penyelesaan numer persamaan Boltzmann yang merupaan persamaan net berdmens tngg dapat dperoleh dengan menggunaan metode partel. Metode partel dalam bentu smulas langsung Monte-Carlo (DSMC) adalah metode yang umum dterapan, aan tetap ternyata tda cuup mampu memberan hasl yang memuasan pada daerah dengan epadatan rendah. D lan pha smulas dengan metode partel terbobot stoast (SWPM) terbut mampu memberan hasl yang lebh memuasan. Metode n dapat memberan pendugaan yang ba d daerah dengan epadatan partel rendah. Lebh lanut metode n uga terbut mampu memberan dugaan numer bag fungs dstrbus awal yang dvergen, asalan banyanya partel yang dsmulasan adalah cuup besar. DAFTAR PUSTAKA 1. G. A. Brd. Molecular Gas Dynamcs. Clarendon Press, Oxford, A. V. Bobylev. Exact solutons of the Boltzmann equaton. Sov. Phys. Dol., 0(1): 8 84, A. V. Bobylev and C. Cercgnan. Self-smlar solutons of the Boltzmann equaton and ther applcatons. J. Statst. Phys., 106(5-6): , Mathes and W. Wagner. Convergence of the stochastc weghted partcle method for the Boltzmann equaton. Preprnt 79, WIAS, Berln, E. H. Nugrahan and S. Rasanow. On the stochastc weghted partcle method. In M. Grebel and M. A. Schwetzer, edtors, Meshfree methods for partal dfferental equatons, Volume 6 of Lecture notes n computatonal scence and engneerng, pages Sprnger, Berln, S. Rasanow and W. Wagner. A Stochastc Weghted Partcle Method for the Boltzmann Equaton. J. Comput. Phys., 14: 4 5, S. Rasanow, T. Schreber and W. Wagner. Reducton of the number of partcles n the stochastc weghted partcle method for the Boltzmann equaton. J. Comput. Phys., 145(1): 8 405, Wagner, W. A convergence proof for Brd s drect smulaton Monte-Carlo method for the Boltzmann equaton. J. Stat. Phys., 66(-4): , E. H. Nugrahan. Beträge zur Numer der Boltzmann Glechung. Dssertaton. Unversty of Saarland, Germany, 00.