Jural Maemaka, Vol., No., 2, 6 2 BEBERAPA SIFAT IDEAL GELANGGANG POLINOM MIRING: SUATU KAJIAN PUSTAKA AMIR KAMAL AMIR Jurusa Maemaka, FMIPA, Uversas Hasaudd 9245 Emal : amrkamalamr@yahoo.com INTISARI Msalka R adalah suau gelaggag dega eleme saua, σ adalah suau edomorfsme, da δ adalah suau σ dervaf. Gelaggag polom mrg (skew polyomal) aas R dega varabel x adalah gelaggag: R[ x; σ, δ ] = { f = a x + L + a a R} dega aura perkala xa = σ ( a) x + δ ( a). Peela aka megdefkas deal-deal dar gelaggag polom mrg dalam hal δ =. Lebh jelasya, aka ddefkas hal-hal berku: () deal dar gelaggag polom mrg D [ x; σ ] ; (2) deal prm dar gelaggag polom mrg K [ x; σ ] ; da deal σ prm dar gelaggag polom mrg D [ x; σ ]. Kaa kuc: auomorfsme, daerah egral, σ prm. SOME IDEAL PROPERTIES OF SKEW POLYNOMIAL RING: A LITERATURE STUDY AMIR KAMAL AMIR Mahemacs Deparme, FMIPA, Hasaudd Uversy 9245 Emal : amrkamalamr@yahoo.com ABSTRACT Le R be a rg wh dey ad σ be a edomorphsm of R ad δ be a lef σ dervao. The skew polyomal rg over R a deermae x s: R[ x; σ, δ ] = { f = a x + L + a a R} wh xa = σ ( a) x + δ ( a) The am of hs research s o vesgae he deals he above skew polyomal rg case of δ =. Precsely, we wll vesgae he followg: () he deal of skew polyomal rg D [ x; σ ] ; (2) he deal prm of skew polyomal rg K [ x; σ ] ; ad (3) he σ prm deal of skew polyomal rg D [ x; σ ]. Keywords: auomorphsm, egral area, σ prm.. PENDAHULUAN Defs dar gelaggag polom mrg (gelaggag akkomuaf) perama kal dperkealka oleh Ore (993) yag megombaska de awal dar Hlber (kasus δ = ) da Schlessger (kasus σ = ). Sejak kemucula arkel dar Ore, gelaggag polom mrg elah memeraka pera yag peg dalam eor gelaggag akkomuaf da elah bayak peel yag bergelu dalam eor gelaggag akkomuaf megvesgas beuk gelaggag ersebu dar berbaga sudu padag, seper eor deal, eor order, eor Galos, da aljabar homolog. Berku dberka defs legkap dar gelaggag polom mrg. Defs. Msalka R adalah suau gelaggag dega deas, σ adalah suau edomorfsme dar R, da δ adalah suau σ dervaf, yau: (). δ adalah suau edomorfsme pada R, dega R sebaga grup pejumlaha (). δ ( ab) = σ ( a) δ ( b) + δ ( a) b uuk seap a, b R. Gelaggag polom mrg aas R dega varabel x adalah gelaggag: 6
Amr Kamal Amr 7 R[ x; σ, δ ] = { f = ax + L + a a R } dega xa = ( a) x + ( a), a R. σ δ Suau eleme p dar gelaggag polom mrg R[ x; σ, δ ] mempuya beuk kaok r p = a x, r Z + = {,, L}, a R, =, L, r. Apabla σ = aau σ adalah suau edomorfsme deas, maka gelaggag polom mrg cukup duls R[ x; δ ]. Uuk hal δ =, gelaggag polom mrg cukup duls R[ x; σ ]. Sedagka uuk kasus σ = da δ = gelaggag polom mrg cukup duls R[ x ], yag merupaka gelaggag polom basa. Dalam ulsa gelaggag R yag dguaka adalah gelaggag yag merupaka daerah egral komuaf dega eleme saua yag selajuya dsmbolka dega D. Cooh. Msalka C adalah hmpua blaga kompleks. σ suau edomorfsme pada C yag ddefska sebaga σ ( a + b) = a b, uuk seap a + b C, da δ =. Aka dujukka kedak komuafa dalam gelaggag polom mrg C [ x; σ ]. [(2+ 3 ) x][ (4+ 5 ) x] = (2+ 3 ) [ x(4+ 5 ) ] x = (2+ 3 ) [ σ(4+ 5 ) ] x x 2 2 = (2+ 3 )(4 5 ) x = (23+ 2 ) x [(4+ 5 ) x][ (2+ 3 ) x] = (4+ 5 ) [ x(2 + 3 ) ] x = (4+ 5 ) [ σ(2+ 3 ) ] x x 2 2 = (4+ 5 )(2 3 ) x = (23 2 ) x 2. MASALAH DAN PEMBAHASAN Masalah yag aka dbahas dalam baga adalah megdefkas beuk-beuk deal dar berbaga beuk gelaggag polom mrg. Secara medeal, beuk-beuk deal yag aka ddefkas adalah sebaga berku:.deal dar gelaggag polom mrg D[ x; σ ] ; 2.deal prm dar gelaggag polom mrg K[ x; σ ]; 3.deal σ prm dar gelaggag polom mrg D[ x; σ ]. Sekadar megga kembal, berku dsajka defs dar deal da deal prm. Defs 2. Msalka R adalah suau gelaggag. Suau hmpua baga I dar R dkaaka suau deal kaa dar R jka :. (I,+) adalah suau grup baga dar (R,+), 2. xr berada dalam I uuk seap x dalam I da seap r dalam R. Suau deal kr dar R ddefska serupa dega deal kaa. I dkaaka deal dar R jka I merupaka deal kaa da sekalgus deal kr dar R. Selajuya suau deal P dar R dkaaka deal prm jka da haya jka uuk seap deal-deal A, B dar R mplkas berku berla bear: Jka AB P, maka A P aau B P. Peryaaa erakhr ekuvale dega: jka ab P, maka a P aau b P. 2. Ideal dar Gelaggag Polom Mrg R[ x; σ, δ ] Teorema. Msalka D adalah suau daerah egral komuaf yag buka merupaka lapaga. Jka σ, uuk semua blaga asl da f D[ x; σ ] adalah suau deal dar D[ x; σ ], maka f(x) = x. Buk: Msalka f = f + fx + L + fx, dega f uuk suau {,2, L, }. (). Aka ujukka bahwa f =. Karea f f D[ x; σ ], dperoleh af f D[ x; σ ], a D. Oleh karea u erdapa b D sedemka sehgga af = f b aau a f + fx + L + fx = f + f x + L + fx b. ( ) ( ) Dar persamaa dperoleh af = fb da af = f σ ( b). Karea f dperoleh a = σ ( b), yag megakbaka a b sehgga f =. (). Sebaga kosekwes dar (), dperoleh f = fx + L + fx, (. e. f = ). Selajuya aka ujukka bahwa f. Adaka bahwa f =, maka 2 f = f2x + L + fx f D[ x; σ ]. Dar s dperoleh,
8 Beberapa Sfa Ideal Gelagga Polom Mrg: Suau Kaja Pusaka 2 f = f2x + L+ fx = x. σ ( f2) x+ L+ σ ( f) x f( xdx ) [ ; σ], dega x f D[ x; σ ] da σ ( f2) x + L + σ ( f) x f D[ x; σ ]. Hal koradks dega asums bahwa f D[ x; σ ] adalah deal prm. (). Aka ujukka bahwa f =, >. Adaka erdapa suau k > sedemka sehgga fk. Msalka > adalah blaga erkecl sedemka sehgga f. Dar persamaa ( + + ) = ( + + ) a f x L f x f x L f x b, pada baga () dperoleh af = f σ ( b) da af = f σ ( b). Karea f da f, maka a = σ ( a ). Hal koradks dega σ uuk semua blaga asl. (v). Sekarag dpuya f = fx. Aka dujukka bahwa f =. Adaka f. Karea D adalah buka sauu lapaga, maka dapa dplh suau b D sedemka sehgga bx f xd[ x; σ ] = f D[ x; σ ]. Jelas bahwa f f D[ x; σ ] da bx f D[ x; σ ] eap f. bx = fx. σ ( b) f D[ x; σ ]. Hal koradks dega asums bahwa f D[ x; σ ] adalah suau deal prm. Baga () sampa (v) melegkap buk eorema. Lema. Msalka Λ = D[ x; σ ] adalah suau gelaggag polom mrg da A adalah deal dar Λ. A D = {} jka da haya jka AK[ x; σ ] Ø K[ x; σ ], dalam hal K adalah lapaga pembaga dar D. Buk: (). Pada baga aka dujukka bahwa: jka A D = {}, maka AK[ x; σ ] Ø K[ x; σ ]. Sudah jelas bahwa AK[ x; σ ] K[ x; σ ], jad ggal dujukka bahwa AK[ x; σ ] K[ x; σ ], yau erdapa g K[ x; σ ] sedemka sehgga g AK[ x; σ ]. Plh g = d D, d. Karea A D = {}, maka d AK[ x; σ ] sehgga g AK[ x; σ ]. (). Pada baga aka dujukka bahwa: jka AK[ x; σ ] Ø K[ x; σ ], maka A D = {}. Adaka A D {} berar erdapa d D, d. I berar = dd AK[ x; σ ] yag megakbaka AK[ x; σ ] = K[ x; σ ] karea AK[ x; σ ] adalah suau deal dalam K[ x; σ ]. Hal koradks dega AK[ x; σ ] Ø K[ x; σ ]. Teorema 2. Msalka P adalah deal prm mmal dar Λ = D[ x; σ ] da K adalah lapaga hasl bag dar D, maka PK[ x; σ ] adalah deal prm dar K[ x; σ ]. Buk: (). Aka dujukka bahwa PK[ x; σ ] deal. Msalka g PK[ x; σ ] da h K[ x; σ ]. Uuk membukka bahwa PK[ x; σ ] adalah deal, maka aka dujukka bahwa h g PK[ x; σ ] da g h PK[ x; σ ]. Karea g PK[ x; σ ] berar g = a b dega a P da b K[ x; σ ]. Karea h K[ x; σ ] da K adalah lapaga hasl bag dar D, maka dapa demuka d D, d sedemka sehgga dh D[ x; σ ]. Selajuya, dega alasa yag sama dapa demuka juga e D, e sedemka sehgga dh a e b = h a b, sehgga dperoleh h g = h a b = dh a e b. Karea dh D[ x; σ ], a P, P adalah deal dar D[ x; σ ], da e b ( x ) K [ x ; σ ], maka dapa dsmpulka bahwa: h g = dh a e b PK[ x; σ ]. Pada ss la, g h = a b h = a b h PK [ x; σ], karea a P da b h K[ x; σ ].
Amr Kamal Amr 9 (). Aka dujukka bahwa PK[ x; σ ] prm Uuk meujukka hal, aka dujukka bahwa jka g h PK[ x; σ ], maka g PK[ x; σ ] aau h PK[ x; σ ]. Karea g h PK[ x; σ ], maka dapa dmsalka g h = p k, dega p P da k K[ x; σ ] uuk suau blaga asl. Karea K adalah lapaga hasl bag dar D, maka uuk seap erdapa d D sedemka sehgga dk D[ x; σ ]. Oleh karea u, p dk P karea P adalah deal prm dar D[ x; σ ]. Dar s sudah dapa dsmpulka bahwa erdapa d D sedemka sehgga d p k P. Sehgga dg h = d p k P. Selajuya, adaka g PK[ x; σ ] da h PK[ x; σ ], maka g P da h P. Dega demka g h P, karea P deal prm. Megga P deal prm, dg h P, da g h P, maka d P yag berar bahwa P D = {}. Hal koradks dega Lema. 2.2 Ideal σ prm dar Gelaggag Polom Mrg R[ x; σ, δ ] Defs 3. Msalka R[ x; σ, δ ] adalah suau gelagag polom mrg. Suau σ deal dar R adalah suau deal I dar R sedemka sehgga σ ( I) I. Suau σ deal prm (aau σ prm ) adalah suau σ deal mur I dar R sedemka sehgga jka J, K adalah σ deal yag memeuh JK I, maka J I aau K I. Dalam kasus adalah suau σ prm deal dar R, dkaaka R adalah suau gelaggag σ prm. Teorema 3. Msalka σ adalah suau auomorfsme dar gelaggag R, da msalka I adalah suau deal mur dar R sedemka sehgga σ ( I) = I. I adalah σ prme jka da haya jka uuk sembarag a, c R I, erdapa b R da Z sedemka sehgga abσ ( c) I. Buk: Msalka A, C adalah σ deal yag dak berada dalam deal I. Plh eleme-eleme a A I da c C I, maka erdapa b R da Z sedemka sehgga abσ ( c) I. Kasus. Jka, maka σ ( c) C sehgga dar abσ ( c) I dperoleh AC I. Kasus 2. Jka <, maka dar abσ ( c) I dperoleh σ ( a) σ ( b) c σ ( I ) = I. Dalam kasus, σ ( a) A sehgga AC I. Dar kasus da 2 dsmpulka bahwa I adalah suau deal σ prme. Msalka I adalah σ prme da a, c R I. Hmpua-hmpua A = Rσ ( a) R da j C = Rσ ( c) R j= adalah σ deal yag dak berada dalam deal I, sehgga AC I. j Kosekuesya, σ ( a) bσ ( c) I uuk suau, j, sehgga aσ ( b) σ ( c) I. Teorema 4. Msalka M adalah suau del maksmal dar D[ x; σ ] dega M D {}. Jka x M, maka M D adalah suau deal σ prme. Buk: (). Jelas bahwa M D adalah suau deal (). Aka dujukka bahwa M D adalah σ deal dega jala meujukka bahwa σ M D M D. Ambl a M D da ( ) adaka σ ( a) M D, maka σ ( a) M, karea σ ( a) D. Dega demka σ ( a) x M yag berar xa M. Koradks dega M adalah suau deal.
2 Beberapa Sfa Ideal Gelagga Polom Mrg: Suau Kaja Pusaka (). Aka dujukka bahwa M D adalah σ prme. Msalka J da,k adalah σ deal dar D da JK M D, maka aka dujukka bahwa J M D aau K M D aau sama dega meujukka bahwa jka J M D, maka K M D. Ambl k K da plh j J eap j M D. I berar j M. jk JK M D, maka jk M. Karea j M da M adalah deal prm (deal maksmal pas merupaka deal prm), maka k M. Sehgga dperoleh k M D. Hal membukka bahwa K M D. 3. SIMPULAN Dar papara d aas dapa dark smpula bahwa:. dalam kods σ, deal dar D[ x; σ ] berbeuk xd[ x; σ ]; 2. salah sau beuk deal prm dar gelaggag polom mrg K[ x; σ ] adalah PK[ x; σ ], dega P adalah deal prm mmal; 3. salah sau beuk deal σ prme dar gelaggag polom mrg D[ x; σ ] adalah berbeuk M D dega M adalah maksmal deal dar D[ x; σ ] yag dak memua x. UCAPAN TERIMA KASIH Terma kash kepada Prof. Hdeosh Marubayash, Tokushma Bury Uversy, Japa aas masuk-masuka yag elah dberka. DAFTAR PUSTAKA Ore, O. 933.Theory of No-Commuave Polyomals. Aals of Mahemacs. 34: 48 58.