Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 06 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 1 / 14
Mari mengingat Derivatif Integral tak tentu. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 2 / 14
Mari mengingat Derivatif Integral tak tentu. Aturan rantai Metode substitusi. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 2 / 14
Mari mengingat Derivatif Integral tak tentu. Aturan rantai Metode substitusi. Derivatif dari perkalian dua fungsi Integral parsial: (uv) = u v + uv uv = (uv) vu. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 2 / 14
Integral parsial (uv) = u v + uv uv = (uv) vu. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 3 / 14
Integral parsial (uv) = u v + uv uv = (uv) vu. udv = d(uv) vdu. udv = uv vdu. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 3 / 14
Contoh: Integral parsial (sekali) xe x dx? NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 4 / 14
Contoh: Integral parsial (sekali) xe x dx? x u(x) e x v (x) dx = x u(x) e x v(x) e x v(x) 1 u (x) dx = xe x e x + C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 4 / 14
Contoh: Integral parsial (sekali) xe x dx? x u(x) e x v (x) dx = x u(x) e x v(x) e x v(x) 1 u (x) F (x) = x sin x dx? dx = xe x e x + C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 4 / 14
Contoh: Integral parsial (sekali) xe x dx? x u(x) e x v (x) dx = x u(x) e x v(x) e x v(x) 1 u (x) F (x) = x sin x dx? dx = xe x e x + C. Karena sin x = d dx ( cos x) maka F (x) = x( cos x) ( cos x) 1 dx = x cos x + sin x + C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 4 / 14
The invisible dv ln x dx? NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 5 / 14
The invisible dv ln x dx? ln x dx = ln x u(x) 1 dx v (x) = ln x x 1 x x dx = x ln x 1 dx = x ln x x + C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 5 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) x 2 e 2x dx? NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 6 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) x 2 e 2x dx? x 2 u(x) e 2x v (x) dx = x 2 e2x e 2 2x 2x dx 2 { = x 2 e2x e 2 2x } e 4 2x 2x 4 2 dx { } = x 2 e2x e 2 2x e2x 2x 4 8 2 + C = 1 2 x 2 e 2x 1 2 xe2x + 1 4 e2x C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 6 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) Hitung e 2x cos(3x) dx. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 7 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) Hitung e 2x cos(3x) dx. Misalkan I = e 2x cos(3x)dx, maka I = cos(3x) e 2x dx u(x) v (x) = 1/2e 2x cos(3x) + 3/2 e 2x sin(3x)dx = d.s.t = 1/2e 2x cos(3x) + 3/2 2 e 2x sin(3x) (3/2) 2 I. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 7 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) Hitung e 2x cos(3x) dx. Misalkan I = e 2x cos(3x)dx, maka I = cos(3x) e 2x dx u(x) v (x) = 1/2e 2x cos(3x) + 3/2 e 2x sin(3x)dx = d.s.t = 1/2e 2x cos(3x) + 3/2 2 e 2x sin(3x) (3/2) 2 I. Sehingga e 2x cos(3x)dx = e 2x /13(2 cos(3x) + 3 sin(3x)) + C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 7 / 14
Reduksi order Perhatikan dengan a adalah suatu konstanta. I 0?, I 1?, I 3?, dan I 5? I n = x n e ax dx. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 8 / 14
Reduksi order Perhatikan I n = x n e ax dx. dengan a adalah suatu konstanta. I 0?, I 1?, I 3?, dan I 5? Untuk semua n 0, dengan integral parsial: I n = x n 1 a eax nx n 1 1 a eax dx = 1 a x n e ax n x n 1 e ax dx. a NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 8 / 14
Reduksi order Perhatikan I n = x n e ax dx. dengan a adalah suatu konstanta. I 0?, I 1?, I 3?, dan I 5? Untuk semua n 0, dengan integral parsial: I n = x n 1 a eax nx n 1 1 a eax dx = 1 a x n e ax n x n 1 e ax dx. a I n = 1 a x n e ax n a I n 1. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 8 / 14
Contoh: Reduksi order x 3 e ax dx? NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 9 / 14
Contoh: Reduksi order x 3 e ax dx? Perhatikan bahwa I 3 = 1 a x 3 e ax 3 a I 2 = 1 a x 3 e ax 3 { 1 a a x 2 e ax 2 } a I 1 = 1 a x 3 e ax 3 { 1 a a x 2 e ax 2 ( 1 a a xeax 1 )} a I 0. Karena I 0 = 1 a eax + C maka x 3 e ax dx = 1 a x 3 e ax 3 a 2 x 2 e ax + 6 a 3 xeax 6 a 4 eax + C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 9 / 14
Quiz (maks. 20 menit) Misalkan S n = x n sin x dx. 1 Hitung S 0 dan S 1. 2 Tunjukkan bahwa S n = x n cos x + nx n 1 sin x n(n 1)S n 2. 3 Dengan menggunakan nomor 1 dan 2, hitung x 2 sin x dx dan x 3 sin x dx. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 10 / 14
Pembahasan Quiz 1 S 0 = cos x + C dan S 1 = x cos x + sin x + C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 11 / 14
Pembahasan Quiz 1 S 0 = cos x + C dan S 1 = x cos x + sin x + C. 2 S n = x n cos x + n x n 1 cos x dx = x n cos x + nx n 1 sin x n(n 1) x n 2 sin x dx = x n cos x + nx n 1 sin x n(n 1)S n 2. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 11 / 14
Pembahasan Quiz 1 S 0 = cos x + C dan S 1 = x cos x + sin x + C. 2 S n = x n cos x + n x n 1 cos x dx = x n cos x + nx n 1 sin x n(n 1) x n 2 sin x dx 3 Can t you? = x n cos x + nx n 1 sin x n(n 1)S n 2. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 11 / 14
A useful rumus reduksi order Integral I n = dx (1 + x 2 ) n, yang akan muncul di integral fungsi pecah rasional, mempunyai rumus reduksi order I n = untuk n > 1 (Cek!!!) 1 x 2n 3 2(n 1) (1 + x 2 + ) n 1 2n 2 I n 1 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 12 / 14
A useful rumus reduksi order (lanjutan) Karena I 1 = arctan x + C maka dx (1 + x 2 ) 2 = I 2 = I 1+1 = 1 x 2 1 (1 + x 2 ) 1 + 2 1 1 2 1 I 1 = 1 x 2 1 + x 2 + 1 2 arctan x + C. NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 13 / 14
Soal-soal Latihan 1 Hitung e ax sin bx dx where a 2 + b 2 = 0. [Hint: parsial dua kali.] 2 Tunjukkan bahwa x n e x dx = x n e x n x n 1 e x dx dan gunakan hasilnya untuk menghitung x 2 e x dx. 3 Tunjukkan bahwa x m (ln x) n dx = x m+1 (ln x) n m + 1 n m + 1 x m (ln x) n 1 dx, untuk m = 1, dan gunakan hasilnya untuk menghitung: (ln x) 2 dx. x 3 (ln x) 2 dx. x 3 (ln x) 2 dx.