7// Suarato Suirham Matematika II ISI Turua Fugsi-Fugsi: Fugsi Poliom Perkalia Fugsi, Pagkat ari Fugsi, Fugsi Rasioal, Fugsi Imlisit FugsiTrigoometri, TrigoometriIersi, Logaritmik, Eksoesial Itegral: Itegral Tak-Tetu Itegral Tetu Persamaa Diferesial Persamaa Diferesial Ore- Persamaa Diferesial Ore- Pegertia-Pegertia Turua Fugsi-Fugsi - Kita telah melihat baha kemiriga garis lurus aalah m Bagaimaakah ega garis legkug?
7// f P Garis Legkug Garis lurus ega kemiriga / memotog garis legkug i ua titik, P Jarak keua titik otog semaki kecil jika i erkecil mejai *, P * f P * Paa koisi meekati ol, kita eroleh f f lim lim f Ii meruaka fugsi turua ari f i titik P Paa suatu garis legkug f, kita aat memeroleh turuaa i berbagai titik aa garis legkug tersebut f i titik, aalah turua i titik,, f i titik, aalah turua i titik, Ekiale ega kemiriga garis siggug i titik P Jika aa suatu titik i maa lim maka ikataka baha fugsi f aat iiferesiasi i titik tersebut lim bear aa Jika alam suatu omai suatu fugsi f aat i-iferesiasi i semua alam alam omai tersebut kita kataka baha fugsi f aat i-iferesiasi alam omai. kita baca turua fugsi terhaa Peurua ii aat ilakuka jika memag meruaka fugsi. Jika tiak, tetulah eurua itu tiak aat ilakuka. f k f f lim f f lim 8 Mooom f Fugsi ram Fugsi tetaa 7 8
7// f f lim lim lim Turua fugsi mooom agkat berbetuk mooom agkat kura garis lurus f f lim lim lim Turua fugsi mooom agkat berbetuk mooom agkat kura arabola 9 Secara umum, turua fugsi mooom Jika maka kura fugsi f m aalah m m berbetuk garis lurus * a turuaa berua ilai kosta, f k Jika >, maka turua fugsi fugsi, f m aka meruaka Fugsi turua ii aat ituruka lagi a kita meaatka fugsi turua berikuta, ag mugki masih aat ituruka lagi f turua ari f f turua ari f * Utuk berua bilaga tak bulat aka ibahas kemuia f isebut turua ertama, f turua keua, f turua ke-tiga, st. Kura fugsi mooom f m ag memiliki beberaa turua aka berotoga ega kura fugsi-fugsi turuaa. Fugsi a turua-turuaa f ; ; - - - -
7// f { } { } f lim 8 - Poliom f ' f - -, -,, Turua fugsi ii sama ega turua f karea turua ari tetaa aalah. f f 8 f f f - - - - Secara Umum: Jika F f K maka Fʹ f f Secara Umum: { } { } lim 8 f { } { } lim 8 Turua fugsi oliom, ag meruaka jumlah beberaa mooom, aalah jumlah turua masig-masig mooom ega sarat setia mooom ag membetuk oliom itu memag memiliki turua. Jika Fugsi Yag Meruaka Perkalia Dua Fugsi maka
7// 8 Turua aalah Jika iaag sebagai erkalia ua fugsi u u u u u u u u u u Jika u u Jika iaag sebagai erkalia tiga fugsi 7 Cotoh ii meujukka baha Secara Umum: 8 Fugsi Yag Meruaka Pagkat ari suatu Fugsi Kita gabugka relasi turua utuk erkalia ua fugsi a agkat suatu fugsi 9 Fugsi rasioal meruaka rasio ari ua fugsi atau Jai: Fugsi Rasioal
7// 9 9 ; ega agar eebut tiak ol Bilaga tiak bulat ega a aalah bilaga bulat a / / Jika, kita aatka / / Fugsi Beragkat Tiak Bulat sehigga / aalah fugsi ag bisa ituruka / / / Formulasi ii miri ega keaaa jika bulat, haa erlu ersarata baha utuk / <. Aabila kita memuai ersamaa maka relasi atara a aat iataka alam t. Persamaa emikia isebut ersamaa arametrik, a tisebut arameter. Jika kita elimiasi tari keua ersamaa i atas, kita aatka ersamaa ag berbetuk F Kaiah ratai Fugsi Parametrik a Kaiah Ratai f t a f t Jika F aat ituruka terhaa a f t aat ituruka terhaa t, f t g t maka F aat ituruka terhaa t mejai Fugsi Imlisit Sebagia fugsi imlisit aat iubah ke alam betuk elisit amusebagiaag lai tiak. Utuk fugsi ag aat iubah alam betuk ekslisit, turua fugsi aaticariegacaraseertiag suahkitaelajarii atas. Utuk mecari turua fugsi ag tak aat iubah ke alam betuk ekslisit erlu cara khusus, ag isebut iferesiasi imlisit. Dalam cara ii kita megagga baha fugsi aat iiferesiasiterhaa.
7// 8 Fugsi imlisit ii meruaka sebuah ersamaa. Jika kita melakuka oerasi matematis i ruas kiri, maka oerasi ag sama harus ilakuka ula i ruas kaa agar kesamaa teta terjaga. Kita lakuka iferesiasi cari turua i keua ruas, a kita aka eroleh Jika kita eroleh turua Fugsi imlisit ii juga meruaka sebuah ersamaa. Kita lakuka iferesiasi aa keua ruas, a kita aka memeroleh Utuk kita aat memeroleh turua Turua Fugsi Trigoometri Jika si maka Jika cos maka si si si si cos cos si si Utuk ilai ag kecil, Δmeuju ol, cos asi. Oleh karea itu si cos cos cos cos cos cos si si cos Utuk ilai ag kecil, Δmeuju ol, cos a si. Oleh karea itu cos si 7 8 7
7// Turua fugsi trigoometri ag lai tiak terlalu sulit utuk icari. ta si cos si si sec cos cos cos cot cos si cos cos csc si si si sec si si sec ta cos cos cos csc cos cos csc cot si si si Hubuga atara tegaga kaasitor C a arus kaasitor i C aalah C ic C Tegaga aa suatu kaasitor egakaasitasi C - fara meruaka fugsi sius C sitolt. Arus ag megalir aa kaasitor ii aalah C ic C C ic C si t, cos t amere i C..... t [etik] - - 9 Arus aa suatu iuctor L, her meruaka fugsi sius i L,cost amere. Hubuga atara tegaga iuktor L a arus iuktor i L aalah i L L L il L L,,cos t,, si t si t Turua Fugsi Trigoometri Iersi si si cos cos L i L L il..... t[etik] - - cos cos si si 8
7// ta ta cos cos sec si sec cos cos cos si cot cot si si csc cos csc si si si cos Fugsi Trigoometri ari Suatu Fugsi Jika f, maka si si cos cos cos si a si cos si sec cos cos cot cos csc si sec si sec ta cos cos csc csc cot si Jika f, maka si cos a cot sec csc 9
7// Turua Fugsi Logaritmik Fugsi logaritmik f l iefiisika melalui suatu itegral /t f l > t l t t / / l l l Tetag itegral aka ielajari lebih lajut luas biag ag ibatasi oleh kura /t a sumbu-t, alam selag atara t a t l l l t Luas biag ii lebih kecil ari luas ersegi ajag Δ /. Namu jika Δ maki kecil, luas biag tersebut aka maki meekati Δ /; a jika Δ meekati ol luas tersebut sama ega Δ /. 7. Turua Fugsi Eksoesial e l l e eurua secara imlisit i keua sisi l atau e Jai turua ari e aalah e itu seiri Jika ta e e e e st. e e e ta ta ta e e 8 Diferesial a Turua fugsi terhaa iatakaegaformulasi lim f Sekarag kita aka melihat a ag iefiisika seemikia rua sehigga rasio /, jika, sama ega turua fugsi terhaa. Hal ii muah ilakuka jika aalah eubah bebas a meruaka fugsi ari : F a iefiisika sebagai berikut:., ag isebut sebagai iferesial, aalah bilaga ata a meruaka eubah bebas lai selai ;., ag isebut sebagai iferesial, aalah fugsi ari a ag iataka ega F' 9 P θ ta θ Ii aalah eubah bebas Pejelasa secara grafis Ii aalah fugsi eubah tak bebas F' P aalah laju erubaha terhaa erubaha. P θ θ ta θ Jika berubah, maka berubah seemikia rua sehigga / sama ega kemiriga garis siggug aa kura aalah besar erubaha ilai seajag garis siggug i titik P aa kura, jika ilai berubah sebesar Diferesial iagga berilai ositif jika ia megarah ke kaa a egatif jika megarah ke kiri. Diferesial iagga berilai ositif jika ia megarah ke atas a egatif jika megarah ke baah. P θ P θ
7// Dega egertia iferesial seerti i atas, kita kumulka formula turua fugsi a formula iferesial fugsi alam tabel berikut. Dalam tabel ii aalah fugsi. Turua Fugsi Diferesial Aa ua cara utuk mecari iferesial suatu fugsi..mecari turuaa lebih ulu kolom kiri tabel, kemuia ikalika ega. c ; c kosta c c c ; c c c kosta. Megguaka lagsug formula iferesial kolom kaa tabel sehigga c c c c Kita aat ula mecari lagsug ega megguaka formula alam tabel i atas. Itegral Tak Tetu Pegertia-Pegertia Itegral Misalka ari suatu fugsi f ag iketahui,kita imita utuk mecari suatu fugsi seemikia rua sehigga alam retag ilai tertetu, misala a< < b, ieuhi ersamaa f Persamaa ag meataka turua fugsi sebagai fugsi seerti ii isebut ersamaa iferesial. Cotoh ersamaa iferesial
7// Tijauersamaa iferesial f Suatu fugsi F ikataka meruakasolusi ari ersamaa iferesial jika alam retag tertetuia aat ituruka a aat memeuhi F f aat ituliska F f [ F K ] F f Karea F K F fugsi F K juga meruaka solusi maka Itegrasi ruas kiri a ruas kaa memberika secara umum f F K Jai itegral ari iferesial suatu fugsiaalahfugsi itu seiri itambah suatu ilai tetaa. Itegral semacam ii isebut itegral tak tetu i maamasih aa ilai tetaa Kag harus icari Cari solusi ersamaa iferesial ubah ke alam betuk iferesial Kita tahu baha oleh karea itu K / / Carilah solusi ersamaa kelomokka eubah sehigga ruas kiri a kaa megaug / eubah berbea / Jika keua ruas iitegrasi / K K / K K K 7 8
7// Dalam roses itegrasi seerti i atas terasa aaa keharusa utuk memiliki kemamua meugajaaba. Beberaa hal tersebut i baah ii aat memeriga uaa eugaa tersebut.. Itegral ari suatu iferesial aalah itambah kostata K. K. Suatu kostata ag beraa i alam taa itegral aat ikeluarka a a. Jika bilaga, maka itegral ari ieroleh ega meambah agkat ega mejai a membagia ega. K, jika 9 Pegguaa Itegral Tak Tetu Dalam itegral tak tetu, teraat suatu ilai Kag meruaka bilaga ata sembarag. Ii berarti baha itegral tak tetu memberika hasil ag tiak tuggal melaika baak hasil ag tergatug ari beraa ilai ag imiliki oleh K. - - - kura aalah kura berilai tuggal i K i K K K - - - kura K aalah kura berilai baak Dalam emafaata itegral tak tetu, ilai Kieroleh ega meeraka aa ag isebut sebagai sarat aal atau koisi aal. Keceata sebuah bea bergerak iataka sebagai at t keceata erceata aktu Posisi beaaa aktu t aalah bea aa t. s Keceata aalah laju erubaha jarak, Perceata aalah laju erubaha keceata, s s t. at K,t K sehigga aa t osisi bea aalah s; tetukalah osisi a Koisi aal: aa t, s K K s, t s 7 Luas Sebagai Suatu Itegral Kita aka mecari luas biag ag ibatasi oleh suatu kura f sumbu-, garis ertikal, a. A A A lim f A f A A atau f A A K Koisi aal koisi batas aalah A utuk K atau K A A
7// Kasus fugsi sembarag ega sarat kotiu alam retag f A A f f A bisa memiliki ua ilai tergatug ari iliha A f atau A f A f f f aalah suatu ilai ag terletak atara a A A Jika : lim f A A f F K A F F F ] Itegral tetu meruaka itegral ag batas-batas itegrasia jelas. Kose asar itegral tetu aalah luas biag ag iaag sebagai suatu limit. f k k f Biag ibagi alam segme-segme Luas biag ihitug sebagai jumlah luas segme Aa ua eekata alam meghitug luas segme k k k k Luas tia segme ihitug sebagai f k k. Itegral Tetu f Luastiasegmeihitug sebagai f k k f f f k k k k Luas tia segme ihitug sebagai f k k Luas tia segme ihitug sebagai f k k Jika k aalah ilai i atara k a k maka f k k f k k f k k f k k f k k f k k k k k k k Luas biag mejai A f A f F ] F F Jika k ketigajumlahii meekati suatu ilai limit ag sama Nilai limit itu meruaka itegral tetu
7// Defiisi Luas Biag A aalah luas biag ag ibatasi olehfa sumbu- ari samai, ag meruaka jumlah luas bagia ag beraa i atas sumbu- ikuragi ega luas bagia ag i baah sumbu-. Luasatara a sumbu- ari samai. A a,,7 - - - - - A b -,,7 A Aa Ab,7,7 7, Cotoh i atas meujukka baha ega efiisi megeai A, formulasi A f F F teta berlaku utuk kura ag memiliki bagia baik i atas mauu i baah sumbu- f A A A A A f F F A A A A A 7 8 Luas Biag Di Atara Dua Kura Jika a f beraa i atas f Retag ibagi alam segme Asegme A { f f } A jumlah semua segme: A segme { f f } Dega membuat meuju tak higga sehigga meuju ol kita A lim Asegme { f f } samai aa suatu limit 9 beraakah luas biag atara a ari samai. A { } ] 8 Jika a beraakah luas biag ag ibatasi oleh a. Terlebih ulu kita cari batas-batas itegrasi aitu ilai aa erotoga atara a. i atas - -, A - 8 8 8 8
7// - - - - i atas Jika a berakah luas biag ag ibatasi oleh a. Batas itegrasi aalah ilai aa erotoga keua kura atau 8 8 ; A 8, Peeraa Itegral Sebuah irati meera aa W aa tegaga kosta V. Beraakah eergi ag isera oleh irati ii selama 8 jam? Daa aalah laju erubaha eergi. Jika aa iberi simbol a eergi iberi simbol, maka ag memberika Perhatika baha eubah bebas i sii aalah aktu, t. Kalau batas baah ari aktu kita buat, maka batas atasa aalah 8, ega satua jam. Dega emikia maka eergi ag isera selama 8 jam aalah 8 8 8 8 Watt.hour [Wh] t,8 kilo Watt hour [kwh] Arus ag melalui suatu irati berubah terhaa aktu sebagai it, tamere. Beraakah jumlah muata ag iiahka melalui irati ii atara t samai t etik? Arus i aalah laju erubaha trasfer muata,. i sehigga i Jumlah muata ag iiahka alam etik aalah,, i,, coulomb t t Balok Volume Sebagai Suatu Itegral Berikut ii kita aka melihat egguaa itegral utuk meghitug olume. Jika Aaalah luas irisa i sebelah kiri a A aalah luas irisa i sebelah kaa maka olume irisa V aalah A V A Volume balok V aalah V A Aabila cuku tiis a kita megambil A sebagai eggati maka kita memeroleh eekata ari ilai V,aitu: Jika meuju ol a A kotiu atara a maka : luas rata-rata irisa atara A a A. V A V lim A o A
7// Rotasi Biag Segitiga Paa Sumbu- Rotasi Biag Sembarag O P Q A aalah luas ligkara ega jari-jari r; seagka r memiliki ersamaa garis OP. f a b r π f A π V b a π f m: kemiriga garis OP h :jarak O-Q. h h V A π [ r ] h πm πm h πpq/oq h h Vkerucut πr Jika garis OP memotog sumbu- maka ieroleh kerucut terotog Rotasi Gabuga Fugsi Liier f f a b f Fugsi f kotiu bagia emi bagia. Paa gambar i samig ii teraat tiga retag imaa fugsi liier kotiu. Kita aat meghitug olume total sebagai jumlah olume ari tiga bagia.. Persamaa Diferesial Ore- Persamaa Diferesial Pegertia Persamaa iferesial aalah suatu ersamaa i maa teraat satu atau lebih turua fugsi. Persamaa iferesial iklasifikasika sebagai berikut:. Meurut jeis atau tie: aa ersamaa iferesial biasa a ersamaa iferesial arsial. Jeis ag keua tiak termasuk embahasa i sii, karea kita haa meijau fugsi ega satu eubah bebas.. Meurut ore: ore ersamaa iferesial aalah ore tertiggi turua fugsi ag aa alam ersamaa.. Meurut erajat: erajat suatu ersamaa iferesial aalah agkat tertiggi ari turua fugsi ore tertiggi. 7 e aalah ersamaa iferesial biasa, ore tiga, erajat ua. 8 7
7// Solusi Suatu fugsi f ikataka meruaka solusi arisuatu ersamaa iferesial jika ersamaa tersebut teta tereuhi ega igatikaa a turuaa alam ersamaa tersebut oleh f a turuaa. Persamaa Diferesial Ore- Dega Peubah Yag Daat Diisahka Pemisaha Peubah ke aalah solusi ari ersamaa karea turua ke aalah ke a jika ii kita masukka alam ersamaa aka kita eroleh ke ke Persamaa tereuhi. Jika emisaha eubah ii bisa ilakuka maka ersamaa iferesial aat kita tuliska alam betuk f g Suku-suku terbetuk ari eubah ag berbea Aabila kita lakuka itegrasi,kita aka meaatka solusi umum ega satu tetaa sembarag K, aitu Paa umuma suatu ersamaa ore aka memiliki solusi ag megaug tetaa sembarag. f g K 9 7 e Itegrasi keua ruas memberika: Persamaa ii aat kita tuliska e e ag kemuia aat kita tuliska sebagai ersamaaega eubah terisah e e K sehigga e e K atau e e K Pemisaha eubah aka memberika betuk atau Itegrasi keua ruas: l K K atau e e l K Persamaa Diferesial Homoge Ore Satu Suatu ersamaa isebut homoge jika ia aat ituliska alam betuk F Ii aatijaikasebagaieubah bebas baru ag aka memberika a F Pemisaha eubah: F F atau: F 7 7 8
7// Usahaka mejai homoge / F / / Peubah baru / F Peubahterisah atau 7 Kita harus mecari solusi ersamaa ii utuk meaatka sebagai fugsi. Kita coba hitug Sukuke-uaii berbetuk/ akita tahu baha l l l Hasil hituga ii aat iguaka utuk megubah betuk ersamaa mejai l Itegrasi ke-ua ruas: l l K l K l l K l K K / K K 7 Persamaa Diferesial Liier Ore Satu Dalam ersamaa iferesial liier, semua suku bererajat satu atau ol Olehkareaituersamaa iferesial ore satu ag juga liier aat kita tuliska alam betuk: P Q Pa Q meruaka fugsi atau tetaa Pembahasaaka ibatasi aa situasi imaa Paalah suatu tetaa. Hal ii kita lakuka karea embahasa aka lagsug ikaitka ega emafaata raktis alam aalisis ragkaia listrik. Persamaa iferesial ag aka itijau ituliska secara umum sebagai a b f t Dalam alikasi aa aalisis ragkaia listrik, ft tiak terlalu berariasi. Mugki ia berilai, atau memuai betuk sial utama ag haa aa tiga, aitu aak tagga, eksoesial, a sius. Kemugkia lai aalah baha ia meruaka betuk komosit ag meruaka gabuga ari betuk utama. Persamaa iferesial liier ore satu seerti ii biasa kita temui aa eristia trasie atau eristia eraliha alam ragkaia listrik. Cara ag aka kita guaka utuk mecari solusi aalah cara eugaa Peubah aalah keluara ragkaia atau biasa isebut taggaa ragkaia ag aat berua tegaga atauu arus seagka ilai a a b itetuka oleh ilai-ilai eleme ag membetuk ragkaia. Fugsi ft aalah masuka aa ragkaia ag aat berua tegaga atauu arus a isebut fugsi emaksa atau fugsi eggerak. Persamaa iferesial liiermemuai solusi totalag meruaka jumlah ari solusi khususa solusi homoge. Solusi khusus aalah fugsi ag aat memeuhi ersamaa ag iberika,seagka solusi homogeaalah fugsi ag aat memeuhi ersamaa homoge a b 7 7 9
This image caot curretl be islae. 7// Hal ii aat ifahami karea jika f tmemeuhi ersamaa ag iberikaa fugsi f tmemeuhi ersamaahomoge, maka f f aka juga memeuhi ersamaaag iberika, sebab f f a b a b f f f f f a bf a bf a bf Jai f f aalah solusi ari ersamaaag iberika, a kita sebut solusi total. Dega kata lai solusi total aalah jumlah ari solusi khusus a solusi homoge. Solusi Homoge Persamaa homoge a b Jika a aalah solusiamaka a a b a Itegrasi keua ruas memberika sehigga b l a t K a b t K a b / a t a e Kae b l a t K a Iilah solusi homoge 77 78 Jikasolusikhusus aalah, maka a b f t Betuk ft ii meetukabagaimaabetuk. Dari suatu aalisis ragkaia ieroleh ersamaa Carilah solusi total jika koisi aal aalah V. Jika f t Jika f t A kosta, kosta K αt αt Jika f t Ae eksoesial, eksoesial Ke Jika f t Asi ωt, atau f t Acos ωt Kc cosωt K s si ωt Dugaabetuk-betuksolusi ag tergatugarift ii aat ieroleh karea haa ega betuk-betuk seerti itulah ersamaa iferesial aat ieuhi Jika ugaa solusi total aalah Persamaa ii meruaka ersamaa homoge, ft.solusi khusus berilai ol. Peeraa koisi aal: Solusi total: l t K t K t e Kae Ka e t V Masih harus itetuka melalui koisi aal. 79 8
7// Suatu aalisis ragkaia memberika ersamaa Dega koisi aal V, carilah taggaa legka. Solusi homoge: a a t a Kae a a Solusi khusus: kareaft Solusi total ugaa: Peeraa koisi aal: Solusi total: t total Kae t total e V Ka K a 8 Paa koisi aal V,suatu aalisis trasie meghasilka ersamaa cos t Carilah solusi total. Solusi homoge: a a Solusi khusus: Ac cos t As sit a a l a t K t a Kae Ac sit As cost Ac cost As sit cost As cost Ac cost cost A s Ac Ac sit As sit A c As As 8 A c t Solusi total ugaa: cost 8sit K a e Peeraa koisi aal: K K a a Solusi total : t cost 8sit e 8 Persamaa Diferesial Ore- Utuk semetara ii megeai ersamaa iferesial ore- silahka ilihat Buku Aalisis Ragkaia Listrik Jili- Matematika II Suarato Suirham 8 8