PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI DATA PANEL DINAMIS MENGGUNAKAN METODE BLUNDELL DAN BOND SKRIPSI

UIVERSITAS IDOESIA PEAKSIRA PARAMETER MODEL REGRESI DATA PAEL DIAMIS MEGGUAKA METODE BLUDELL DA BOD SKRIPSI SYAHRUL SYAWAL 76261966 FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM PROGRAM STUDI SARJAA MATEMATIKA DEPOK DESEMBER 211

UIVERSITAS IDOESIA PEAKSIRA PARAMETER MODEL REGRESI DATA PAEL DIAMIS MEGGUAKA METODE BLUDELL DA BOD SKRIPSI Diajuka sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar sarjaa sais SYAHRUL SYAWAL 76261966 FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM PROGRAM STUDI SARJAA MATEMATIKA DEPOK DESEMBER 211

HALAMA PERYATAA ORISIALITAS Skripsi ii adalah hasil karya sediri, da semua sumber baik yag dikutip maupu dirujuk telah saya yataka dega bear. ama : Syahrul Syawal PM : 76261966 Tada Taga : Taggal : 27 Desember 211 iii

HALAMA PEGESAHA Skripsi ii diajuka oleh ama : Syahrul Syawal PM : 76261966 Program Studi : Sarjaa Matematika Judul Skripsi : Peaksira Parameter Model Regresi Data Pael Diamis Megguaka Metode Bludell da Bod Telah berhasil dipertahaka di hadapa Dewa Peguji da diterima sebagai bagia persyarata yag diperluka utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Pembimbig : Dra. Siti urrohmah, M.Si ( ) Peguji : Dra. Ida Fithriai, M.Si ( ) Peguji : Dr. Dia Lestari DEA ( ) Peguji : Dra. Riati Setiadi, M.Si ( ) Ditetapka di : Depok Taggal : 27 Desember 211 iv

KATA PEGATAR Alhamdulillah, puji syukur kepada Allah swt. atas semua rahmat da karuia yag telah Dia berika sehigga peulis dapat meyelesaika tugas akhir ii. Peulis sadar bahwa peyelesaia tugas akhir ii tidak terlepas dari batua da dukuga dari berbagai pihak. Oleh karea itu, pada kesempata ii peulis igi megucapka terima kasih kepada pihak-pihak yag telah berjasa dalam peulisa tugas akhir ii maupu selama peulis kuliah. Ucapa terima kasih terhatur kepada: (1) Dra. Siti urrohmah, M.Si selaku pembimbig yag telah bayak meluagka waktu da pikira serta memberika masuka-masuka utuk peulis dalam meyelesaika tugas akhir ii. (2) Dra. Ida Fithriai, M.Si selaku pembimbig akademik peulis selama mejalai masa kuliah. (3) Dr. Dia Lestari, Fevi ovkaiza, M.Si, Mila ovita, M.Si, Dra. Rustia, Dra. Riati Setiadi, M.Si, Dra. Saskya Mary, M.Si yag telah hadir da memberika sara serta masuka bagi peulis pada SIG 1 da SIG 2. (4) Dr. Yudi Satria, MT. Selaku ketua departeme, Rahmi Rusi, S.Si, M.Sc.Tech selaku sekretaris departeme, da Dr. Dia Lestari selaku koordiator pedidika yag telah bayak membatu proses peyelesaia tugas akhir ii. (5) Seluruh staf pegajar di Matematika UI atas ilmu pegetahua yag telah kalia berika. (6) Seluruh karyawa di departeme Matematika UI atas batua yag telah diberika. (7) Orag tua yag selalu memberika doa, semagat, da dukuga bagi peulis. (8) Agustiawati da Achmad Suwadi selaku kakak kadug yag juga telah memberika semagat da dukuga kepada peulis terutama selama peyusua skripsi ii. v

(9) Ferdy, Riski, Farah, Lois, Wida da Toto yag telah berjuag bersama selama peyusua skripsi ii. (1) Widita da Widi yag selalu memberika semagat peulis selama mejalai kuliah da peyusua skripsi ii. (11) ora selaku tema curaha hati peulis yag juga tema seperjuaga dalam mejalai kuliah. Terima kasih atas semagat da dukugaya. (12) Putu, Adi, Yosadha, Gamar, Wiwi, Bowo, Zulfalah, Arif, Stefi, Paramita, Misda, Afi, Hikmah, Siska, Sisca. Terima kasih atas semua dukuga da semagatya. (13) Seluruh tema-tema agkata 27 yag telah memberika pegalama perkuliaha yag tak terlupaka. (14) Kepada semua tema-tema di Matematika UI agkata 26 (terutama ka Farah, ka Arisqiatul, ka Lidya, Ka Yuri da ka Yuita Paca) yag berbaik hati memijamka buku kuliahya, agkata 28 (terutama Luthfah, Hidu, Uchi, Laili, ita) terima kasih atas semagat da dukugaya da utuk agkata 29 (Rizky Reza Fauzi) terima kasih sebesar-besarya atas bimbiga da tetor skripsi saya. Saya doaka mudah-mudaha ilmuya bertambah terus, ami. Peulis juga igi megucapka terima kasih kepada seluruh pihak yag tidak dapat disebutka satu per satu, yag telah membatu dalam peyusua skripsi ii. Akhir kata, peulis moho maaf jika terdapat kesalaha atau kekuraga dalam skripsi ii. Peulis berharap semoga skripsi ii bermafaat bagi pembaca. Peulis 211 vi

HALAMA PERYATAA PERSETUJUA PUBLIKASI TUGAS AKHIR UTUK KEPETIGA AKADEMIS Sebagai sivitas akademik, saya yag bertada taga di bawah ii: ama : Syahrul Syawal PM : 76261966 Program Studi : Sarjaa Matematika Departeme : Matematika Fakultas : Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Jeis karya : Skripsi demi pegembaga ilmu pegetahua, meyetujui utuk memberika kepada Hak Bebas Royalti oeksklusif (o-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yag berjudul : Peaksira Parameter Model Regresi Data Pael Diamis Megguaka Metode Bludell da Bod beserta peragkat yag ada (jika diperluka). Dega Hak Bebas Royalti oeksklusif ii berhak meyimpa, megalihmedia/format-ka, megelola dalam betuk pagkala data (database), merawat, da memublikasika tugas akhir saya selama tetap mecatumka ama saya sebagai peulis/pecipta da sebagai pemilik Hak Cipta. Demikia peryataa ii saya buat dega sebearya. Dibuat di : Depok Pada taggal : 27 Desember 211 Yag meyataka (Syahrul Syawal) vii

ABSTRAK ama : Syahrul Syawal Program Studi : Matematika Judul : Peaksira Parameter Model Regresi Data Pael Diamis Megguaka Metode Bludell da Bod Model regresi data pael diamis merupaka model regresi data pael yag melibatka lag dari variabel depede sebagai variabel eksplaatori yag berkorelasi dega error. Lag dari variabel depede tersebut diamaka variabel edoge eksplaatori. Adaya variabel edoge eksplaatori meyebabka estimasi parameter megguaka metode OLS meghasilka taksira yag bias da tidak kosiste. Oleh karea itu dibutuhka metode lai utuk meaksir parameter, salah satuya adalah metode yag dikembagka oleh Arellao da Bod. Arellao da Bod megembagka metode peaksira parameter melalui proses first differecig da metode istrumetal variabel sehigga taksira yag dihasilka oleh metode ii memiliki sifat tak bias, kosiste da efisie. Metode Arellao da Bod tersebut kemudia dikembagka oleh Bludell da Bod dega cara megkombiasika mome kodisi da matriks istrume atara model first differece da model level utuk meghasilka taksira yag samasama tak bias da kosiste tetapi lebih efisie yag diamaka GMM-System Estimator. Kata Kuci : GMM-System Estimator, metode Bludell da Bod, metode istrumetal variabel, model regresi data pael diamis, variabel edoge eksplaatori. xiii+134 halama : 4 gambar ; 5 tabel Daftar Pustaka : 17 (1992-21) viii

ABSTRACT ame : Syahrul Syawal Study Program : Mathematics Title : Parameter Estimatio of Regressio Model of Dyamic Pael Data Usig Bludell ad Bod Method Regressio model of dyamic pael data is a regressio model of pael data ivolvig lag of depedet variable as explaatory variables which are correlated with the error. Lag of depedet variable is called edogeous explaatory variables. The presece of this lag cause the estimates of the parameters produce the estimator that are biased ad icosistet usig OLS method. Therefore, other methods are eeded to estimate the parameters, oe of is the method developed by Arellao ad Bod. Arellao ad Bod developed a method of parameter estimatio through a process of first-differecig ad istrumetal variable method so that the estimator are ubiased, cosistet ad efficiet. This method is the developed by Bludell ad Bod with combie the momet coditios ad matrix of istrumets betwee first-differece model ad level model to produce the estimator that are both ubiased ad cosistet but more efficiet thus it called GMM-System estimator. Keywords : Bludell ad Bod method, edoge explaatory variable, GMM-System Estimator, istrumetal variable method, regressio model of dyamic pael data. xiii+134 pages : 4 pictures ; 5 tables Bibliography : 17 (1992-21) ix

DAFTAR ISI HALAMA PERYATAA ORISIALITAS... iii HALAMA PEGESAHA... iv KATA PEGATAR... v HALAMA PERYATAA PERSETUJUA PUBLIKASI... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix DAFTAR ISI... x DAFTAR LAMPIRA... xiii 1. PEDAHULUA... 1 1.1 Latar Belakag... 1 1.2 Perumusa Masalah da Ruag Ligkup... 4 1.3 Jeis Peelitia da Metode yag diguaka... 5 1.4 Tujua Peelitia... 5 2. LADASA TEORI... 6 2.1 Betuk da Sifat Matriks... 6 2.1.1 otasi, Defiisi da Traspose Matriks... 6 2.1.2 Ivers Matriks... 8 2.1.3 Turua Matriks... 9 2.1.4 Matriks Blok Bujursagkar... 12 2.1.5 Ivers dari Suatu Matriks Blok Bujursagkar... 12 2.1.6 Karakterisasi dari Matriks Simetris Defiit Positif... 13 2.2 Variabel Tetap da Variabel Radom... 13 2.3 Ekspektasi, Variasi da Matriks Variasi-Kovariasi... 16 2.4 Peaksir Tak Bias... 19 2.5 Peaksir Kosiste... 19 2.6 Weak Law of Large umber (WLL)... 2 2.7 Distribusi Limit (Limitig Distributio)... 23 2.8 Data Pael... 25 x

2.8.1 Defiisi da Cotoh Data Pael... 25 2.8.2 Keuggula Data Pael... 25 2.8.3 Kelemaha Data Pael... 26 2.9 Pemodela Data Pael... 26 2.9.1 Model Regresi Data Pael... 26 2.1 Model Diamis... 28 2.11 Taksira Parameter pada Model Regresi Liier... 29 2.11.1 Taksira Parameter Saat Variabel Eksplaatori Tidak Berkorelasi dega Error... 29 2.11.2 Taksira Parameter Saat Variabel Eksplaatori Berkorelasi dega Error... 33 2.12 Metode Istrumetal Variabel... 35 2.12.1 System Istrumetal Variable (SIV) Estimator... 37 2.13 Method of Momet, Mome Kodisi, Geeralized Method of Momet (GMM).49 2.13.1 Method of Momet... 49 2.13.2 Mome Kodisi... 5 2.13.3 Geeralized Method of Momet (GMM)... 5 3. PEAKSIRA PARAMETER MODEL REGRESI DATA PAEL DIAMIS MEGGUAKA METODE BLUDELL DA BOD... 55 3.1 Model Regresi Data Pael Diamis Simpel utuk Kompoe Error Satu Arah dega Efek Acak... 55 3.2 Metode Istrumetal Variabel... 57 3.2.1 Taksira Parameter dega Megguaka Prisip GMM utuk model First-Differece oleh Arellao da Bod 59 3.3 Peaksira Parameter oleh Bludell da Bod... 67 3.3.1 Oe Step Cosistet Estimator... 72 3.3.2 Two Step Efficiet Bludell ad Bod Estimator (GMM dega Matriks Bobot Optimal)... 79 3.3.3 Pembuktia bahwa Two Step Efficiet Bludell ad Bod xi

Estimator Lebih Efisie dibadigka dega Two Step Efficiet Arellao ad Bod Estimator.. 86 4. APLIKASI METODE BLUDELL DA BOD PADA MODEL REGRESI DATA PAEL DIAMIS... 97 4.1 Latar Belakag Aplikasi... 97 4.2 Data da Variabel... 98 4.3 Tujua Aplikasi... 98 4.4 Peaksira Parameter Model Regresi Data Pael Diamis pada Pejuala rokok di Amerika Serikat Megguaka Metode Bludell da Bod... 99 4.5 Kesimpula... 12 5. KESIMPULA DA SARA... 17 5.1 Kesimpula... 17 5.2 Sara... 18 DAFTAR PUSTAKA...19 LAMPIRA... 111 xii

DAFTAR GAMBAR GAMBAR 3.1 Diagram Alir Metode Istrumetal Variabel... 58 GAMBAR 3.2 Diagram Alir Kosep Pegguaa Metode GMM... 63 GAMBAR 3.3 Diagram Alir Metode Arellao da Bod... 66 GAMBAR 3.4 Diagram Alir Metode Bludell da Bod... 95 DAFTAR LAMPIRA LAMPIRA 1 Bukti Pemiliha Variabel Istrume utuk Model DIF... 111 LAMPIRA 2 Bukti Pemiliha Variabel Istrume utuk Model LEV... 114 LAMPIRA 3 Data Pejuala Rokok di 46 egara Bagia di Amerika Serikat (Kuru Waktu 6 Tahu)... 118 LAMPIRA 4 Output Model Regresi Data Pael Diamis pada Pejuala Rokok di Amerika Serikat Megguaka Metode Bludell da Bod... 133 LAMPIRA 5 Output Model Regresi Data Pael Diamis pada Pejuala Rokok di Amerika Serikat Megguaka Metode Arellao da Bod (sebagai perbadiga)... 134 xiii

BAB 1 PEDAHULUA 1.1 Latar Belakag Ekoometrika adalah suatu ilmu yag meerapka teori ekoomi, matematika ekoomi da statistika ekoomi, utuk memberika dukuga empiris dari model yag dibagu oleh teori ekoomi da utuk memberika hasil dalam agka (umerical result) (Gujarati: 23). Di dalam ekoometrika, terdapat tiga jeis data, yaki data rutu waktu (time series data), data silag (cross sectio data), da data pael (pooled data). Data rutu waktu (time series data) merupaka data yag terdiri dari satu idividu tetapi meliputi beberapa periode waktu misalya haria, bulaa, miggua, tahua, da lai-lai. Cotohya data produksi miyak sawit dari tahu 2 higga 29, data kurs Rupiah terhadap dollar Amerika Serikat dari tahu 2 higga 26, da lai-lai. Dega demikia maka aka sagat mudah utuk megeali jeis data ii. Data rutu waktu (time series data) juga sagat bergua bagi pegambil keputusa utuk memperkiraka kejadia di masa yag aka datag. Karea diyakii pola perubaha data rutu waktu beberapa periode masa lampau aka kembali terulag pada masa kii. Data rutu waktu (time series data) juga biasaya bergatug kepada lag atau selisih. Sebagai cotoh pada beberapa kasus misalya produksi komoditas kopi duia pada tahu sebelumya aka mempegaruhi harga kopi duia pada tahu berikutya. Dega demikia maka aka diperluka data lag produksi kopi, buka data aktual harga kopi. Tabel berikut ii aka memperjelas kosep lag yag mempegaruhi data rutu waktu (time series data). Tabel 1. Produksi da lag produksi kopi duia tahu 2 25 Tahu Produksi Kopi Duia Lag Produksi Kopi (To) 2 7.562.713-21 7.47.986-154.727 22 7.876.893 468.97 1

2 23 7.179.592-697.31 24 7.582.293 42.71 25 7.276.333-35.96 Sumber: FAO (29) Data lag tersebut kemudia dapat diguaka utuk melihat pegaruh lag produksi terhadap harga kopi duia. Data silag (cross sectio data) merupaka data yag terdiri dari sejumlah idividu yag dikumpulka pada suatu waktu tertetu. Cotohya data pejuala pada tiga restora yag diambil pada bula Jauari 29. Ilustrasiya seperti pada tabel di bawah ii. Tabel 2. Data pejuala pada tiga restora A, B, da C pada bula Jauari 29 Restora Sumber: FAO (29) Pejuala A 19.587.2 B 23.584. C 17.211. Data pael merupaka kumpula observasi pada sejumlah idividu yag dikumpulka meurut uruta waktu dalam retag waktu tertetu. Data pael adalah data yag meggabugka data rutu waktu (time series data) da data silag (cross sectio data). Karea itu data pael aka memiliki beberapa objek da beberapa periode waktu. Cotoh data pael dapat dilihat pada tabel berikut ii. Tabel 3. Data pael ekspor da impor kopi Idoesia da Malaysia pada periode tahu 25 27 egara Periode Ekspor (to) Impor (to) Idoesia 25 443.366 1.654 Idoesia 26 411.721 5.92 Idoesia 27 32.6 47.937 Malaysia 25 666 23.826 Malaysia 26 1.49 35.368 Malaysia 27 984 42.165 Sumber: FAO (29)

3 Data ii lebih iformatif mejelaska keberagama suatu data sehigga mejadi sorota hagat pada saat sekarag ii. Salah satu model sederhaa yag dapat dibuat adalah model regresi data pael. Berdasarka kompoe error, model regresi data pael terdiri atas model regresi kompoe error satu arah da model regresi kompoe error dua arah. Pada model regresi kompoe error satu arah, error terdiri dari dua kompoe, yaitu kompoe error yag tidak terobservasi dari suatu idividu tapa dipegaruhi faktor waktu da kompoe error yag bear-bear tidak diketahui dari tiap idividu da waktu. Sedagka pada model regresi kompoe error dua arah, error memiliki kompoe error tambaha yaitu kompoe error yag tidak terobservasi dari suatu waktu tapa dipegaruhi faktor idividu. Berdasarka asumsi, model regresi data pael terdiri atas model efek tetap da model efek acak. Perbedaaya terletak pada pemiliha idividu da waktu yag ditetuka. Pada model efek tetap, idividu da waktu ditetuka secara tetap sehigga efek haya sebatas pada idividu da waktu yag dipilih. Sedagka pada model efek acak, idividu da waktu ditetapka secara acak sehigga efek dari idividu da waktu diasumsika merupaka variabel acak. Pemodela data pael bayak diguaka dalam peyelesaia masalah perekoomia. Selai pemodela regresi data pael dapat juga dibetuk model yag lebih rumit tetapi lebih sesuai dega permasalaha ekoomi yag ada. Salah satu cotohya adalah model data pael diamis yaitu pemodela data pael yag memperhatika lag dari variabel depede. Hal ii dikareaka pada dasarya hubuga variabel-variabel ekoomi merupaka suatu kediamisa, yaki variabel tidak haya dipegaruhi variabel-variabel pada waktu yag sama tetapi juga dipegaruhi variabel pada waktu sebelumya. Oleh sebab itu model regresi data pael diamis lebih sesuai dalam meggambarka keadaa yag sebearya dalam aalisis perekoomia. Peaksira parameter model data pael diamis dapat dilakuka dega metode Ordiary Least Squares (OLS), tetapi ilai taksira yag didapatka dega metode OLS ii aka bersifat bias da tidak kosiste diakibatka oleh lag dari variabel depede berkorelasi dega error. Utuk megatasi permasalaha ii, meurut Aderso da Hsiao (1982) dapat diguaka metode

4 estimasi Istrumetal Variabel (IV), yaki dega megistrumeka variabel yag berkorelasi dega error. Tetapi metode ii haya meghasilka taksira parameter yag kosiste, amu tidak efisie. Metode Aderso da Hsiao ii kemudia dikembagka oleh Arellao da Bod (Arellao ad Bod GMM Estimator) da meghasilka taksira yag tak bias, kosiste, serta efisie. Walaupu GMM estimator yag diusulka oleh Arellao da Bod (1991) diilai sudah efisie, tetapi Bludell da Bod (1998) megajuka estimator yag mereka klaim masih lebih efisie dibadigka estimator yag diusulka oleh Arellao da Bod (1991). Alasaya karea Arellao da Bod haya megguaka mome kodisi da matriks variabel istrume yag terkadug pada model first differece saja. Tugas akhir ii membahas megeai taksira yag dikembagka oleh Bludell da Bod yag megguaka Geeralized Method of Momets System (Bludell ad Bod GMM-System Estimator) dalam meaksir parameter pada model regresi data pael diamis. Bludell da Bod meyaraka pegguaa tambaha iformasi level yaitu mome kodisi da matriks variabel istrume level di sampig first differece dega cara megkombiasika mome kodisi da matriks variabel istrume atar keduaya (first differece da level) yag aka meghasilka GMM-System Estimator. 1.2 Perumusa Masalah da Ruag Ligkup Bagaimaa cara mecari taksira parameter pada model regresi data pael diamis dega metode Bludell da Bod. Ruag ligkup pembahasa masalah dalam skripsi ii dibatasi pada: 1. Model regresi data pael yag aka dibahas adalah model regresi data pael dega kompoe error satu arah (oe way error compoet model). 2. Model regresi data pael yag aka dibahas adalah model regresi data pael dega efek acak.

5 3. Model regresi data pael yag aka dibahas adalah model regresi data pael simpel diamis yaki model regresi data pael yag haya melibatka satu variabel eksplaatori yaki lag dari variabel depede, dimaa lagya terbatas pada satu lag. 1.3 Jeis Peelitia da Metode yag Diguaka Jeis peelitia yag dilakuka adalah studi literatur. Metode yag diguaka adalah metode Bludell da Bod (Bludell ad Bod GMM-System Estimator). 1.4 Tujua Peelitia Tujua dari peelitia skripsi ii adalah mecari taksira parameter pada model regresi data pael diamis megguaka metode Bludell da Bod serta membadigka keefisiea taksira yag didapatka oleh Bludel da Bod dega taksira yag didapatka oleh Arellao da Bod (Beradeta ismawati, Juli 21).

BAB 2 LADASA TEORI Sebelum meaksir parameter model regresi data pael diamis pada bab 3, aka dibahas terlebih dahulu megeai dasar-dasar teori yag diguaka dalam peulisa tugas akhir ii. Hal ii megeai betuk da sifat matriks, variabel tetap da variabel radom, (ekspektasi, variasi da matriks variasi-kovariasi), peaksir tak bias, peaksir kosiste, weak law of large umber (WLL), distribusi limit (limitig distributio), data pael, pemodela data pael, model diamis, taksira parameter pada model regresi liier, metode istrumetal variabel da (method of momet, mome kodisi da geeralized method of momet (GMM). 2.1 Betuk da Sifat Matriks 2.1.1 otasi, Defiisi da Traspose Matriks Matriks adalah susua agka berbetuk rectagular (segiempat pajag). Agka pada matriks disebut etri dari matriks. Matriks terdiri dari baris da kolom, yag aka meetuka ukura matriks tersebut. Matriks yag terdiri dari m-baris da -kolom disebut matriks berukura m. Matriks yag berukura 1 m disebut dega vektor baris, sedagka matriks yag berukura m 1 disebut dega vektor kolom. Pada tugas akhir ii, matriks da vektor aka diotasika dega dega huruf tebal, sedagka eleme dari matriks diotasika dega huruf tipis. Sebelum mejabarka beberapa defiisi dari betuk-betuk matriks, terlebih dahulu aka dijelaska megeai traspose dari matriks. 6

7 Traspose dari suatu matriks A didapat dega cara meukarka baris dega kolom dari matriks A tersebut ataupu sebalikya. otasi dari traspose matriks A adalah A T atau A. Sehigga, jika matriks A berukura m, yag etri-etriya diotasika dega a ij, maka A adalah matriks yag berukura m, da etri ke (i,j) dari A adalah a ji. Jika A adalah matriks berukura m p da B adalah matriks berukura p, maka eleme ke (i,j) dari (AB) adalah AB ij = AB ji = A j. B.i = a jk b ki = B i. A.j = B A ij Sehigga didapat bahwa AB = B A. p k=1 Teorema 2.1 Misalka r da s adalah sebarag skalar. Jika A da B adalah matriksmatriks yag didefiisika sedemikia sehigga operasi-operasi berikut berlaku, maka : 1. (r A) = r A 2. (A ) = A 3. (r A + s B) = (r A) + (s B) = r A + s B 4. (AB) = B A Utuk vektor, traspose dari vektor kolom adalah vektor baris, begitu pula sebalikya. Berikut aka dijabarka megeai beberapa defiisi dari betuk-betuk matriks : Defiisi 2.1 Matriks A berukura m m dikataka matriks simetris jika A=A Defiisi 2.2 Matriks M berukura m m dikataka matriks idempote jika M 2 =M

8 Teorema 2.2 Jika A adalah matriks idempote maka (I A) juga merupaka matriks idempote, dimaa I adalah matriks idetitas yag berukura sama dega A. Bukti : Misalka A adalah matriks idempote, sesuai defiisi 2.2 berlaku A 2 =A, sehigga [I - A] 2 = [I - A] [I - A] = I - A - A + A 2 = I - A - A + A = [I A] (Terbukti) Defiisi 2.3 Rak dari suatu matriks A didefiisika sebagai berikut : Rak (A) = bayakya baris yag liearly idepedet pada A = bayakya kolom yag liearly idepedet pada A. Defiisi 2.4 Misalka A merupaka matriks berukura m m. A disebut matriks semidefiit positif jika A matriks simetris da x Ax utuk setiap x, vektor berukura m 1. Utuk meyataka A matriks semidefiit positif, diguaka otasi A. Misalka A da B matriks yag berukura sama. A B jika A B atau dapat dikataka A-B merupaka matriks semidefiit positif. Cotoh dari matriks semidefiit positif adalah matriks idetitas I. 2.1.2 Ivers Matriks Defiisi 2.5 Suatu matriks B berukura m m dikataka ivers dari matriks A yag juga berukura m m jika AB = BA = I terpeuhi. Jika matriks B ada, maka matriks B dapat diotasika dega A -1 (ivers dari A). Matriks A dikataka osigular apabila matriks A -1 ada.

9 Teorema 2.3 Jika A adalah matriks berukura m, maka peryataa berikut equivale : i. A mempuyai vektor-vektor kolom yag idepedet ii. A A ivertible 2.1.3 Turua Matriks Defiisi 2.6 Misalka f adalah fugsi berilai riil dari suatu vektor x berukura 1 yag dapat didiferesialka terhadap x, maka turua parsial pertama dari f terhadap x ada da dituliska sebagai berikut f x = f x = f x 1, f x 2,, f x Cotoh 1 : Misalka a = a 1 a 2 a adalah vektor baris berukura 1 da x = x 1 x 2 x adalah vektor kolom berukura 1, f x = a x = a 1 a 2 a sehigga x 1 x 2 x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a x f x = f x 1 f x 2 f x = a x x 1 a x x 2 a x x = a 1 a 2 a = a

1 Cotoh 2 : Misalka A = a 11 a 1 a 12 a 1 merupaka matriks simetris berukura a 2 a da x = x 1 x 2 x merupaka vektor kolom berukura 1, f x = x Ax = x 1 x 2 x a 11 a 1 a 12 a 1 a 2 a x 1 x 2 x = a 11 x 1 + + a 1 x a 12 x 1 + + a 2 x a 1 x 1 + + a x = a 11 x 1 + + a 1 x x 1 + a 12 x 1 + + a 2 x x 2 + x 1 x 2 x + a 1 x 1 + + a x x = a 11 x 1 2 + + a 1 x x 1 + a 12 x 2 x 1 + + a 2 x 2 x + + a 1 x 1 x + + a x 2 f x = f x 1 f x 2 f x = x Ax x 1 x Ax x 2 x Ax x = 2a 11 x 1 + a 21 x 2 + + a 1 x + a 12 x 2 + + a 1 x a 21 x 1 + a 12 x 1 + 2a 22 x 2 + + a 2 x + + a 2 x a 1 x 1 + a 2 x 2 + + (a 1 x 1 + a 2 x 2 + + 2a x ) Karea A adalah matriks simetris, maka a ij = a ji, i = 1, ; j = 1,, sehigga betuk diatas mejadi = 2a 11 x 1 + 2a 21 x 2 + + 2a 1 x 2a 12 x 1 + 2a 22 x 2 + + 2a 2 x (2a 1 x 1 + 2a 2 x 2 + + 2a x )

11 = 2 a 11 x 1 + a 21 x 2 + + a 1 x a 12 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 x (a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a x ) = 2 a 11 a 21 a 1 a 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a x 1 x 2 x = 2A x = 2Ax Defiisi 2.7 Misalka f adalah suatu fugsi berilai riil dari suatu matriks X yag berukura m m yag dapat didiferesialka terhadap X. Maka turua dari f terhadap X ada da merupaka suatu matriks berukura m m yag dapat dituliska sebagai berikut Cotoh : f X = f X = f x 11 f x 21 f x m1 f x 12 f x 22 f x m2. f x 1m f x 2m f x mm Misalka X adalah suatu matriks berukura m m, maka f (X) meotasika fugsi berilai riil dari suatu matriks X. Cotoh dari f (X ) adalah f (X ) = a Xa dimaa a adalah vektor kostata berukura m 1. Maka turua dari f (X ) terhadap X adalah f X = f X = a Xa x 11 a Xa x 21 a Xa x m1 a Xa a Xa x 12 x 1m a Xa a Xa x 22 x 2m a. Xa a Xa x m2 x mm

12 2.1.4 Matriks Blok Bujursagkar Misalka M adalah matriks blok yaitu matriks yag dapat dipartisi mejadi submatriks-submatriks atau blok-blok. M dikataka matriks blok bujursagkar jika M adalah matriks bujursagkar da blok-blok diagoal utamaya merupaka suatu matriks bujursagkar. Cotoh 1 : M 1 = 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 9 8 7 6 5 4 4 4 4 4 3 5 3 5 3 Matriks M 1 merupaka matriks blok bujursagkar karea matriks M 1 adalah matriks bujursagkar berukura (5x5) da blok-blok diagoal utamaya merupaka suatu matriks bujursagkar. Cotoh 2 : M 2 = 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 9 8 7 6 5 4 4 4 4 4 3 5 3 5 3 Meskipu matriks M 2 adalah matriks bujursagkar berukura (5x5), tetapi blokblok diagoal utama dari matriks M 2 buka merupaka suatu matriks bujursagkar sehigga matriks M 2 buka merupaka matriks blok bujursagkar. 2.1.5 Ivers dari Suatu Matriks Blok Bujursagkar Misalka M adalah matriks bujursagkar osigular berukura m m. Matriks M dipartisi mejadi submatriks-submatriks atau blok-blok sebagai berikut M = A B C D

13 dimaa A adalah matriks osigular berukura m 1 xm 1, D adalah matriks osigular berukura m 2 xm 2, da m 1 +m 2 =m, maka A C B D = A + A B D CA B CA A B D CA B D CA B CA D CA B 2.1.6 Karakterisasi dari Matriks Simetris Defiit Positif Propositio 2.1 Utuk sembarag matriks simetris M yag berbetuk M = A B T B C, dimaa A matriks ivertible berukura (p p), B matriks berukura (p q), B T matriks berukura (q p) da C matriks berukura (q q) atau A, B, B T da C samasama merupaka suatu matriks bujursagkar berukura (p p), maka sifat berikut terpeuhi : (1) M jika da haya jika A da C B T A B (2) Jika A, maka M jika da haya jika C B T A B 2.2 Variabel Tetap da Variabel Radom Variabel Tetap Pada model regresi liier sederhaa, diketahui bahwa variabel regressor x memiliki hubuga liier dega variabel respo y. Model regresi liier sederhaa diberika sebagai berikut y = α + βx + u dimaa, α da β adalah parameter-parameter yag tidak diketahui da aka ditaksir, u adalah kompoe error radom, y adalah variabel respo yag merupaka variabel radom da x adalah variabel regressor yag dikotrol atau

14 dibuat tetap oleh peeliti sehigga error dari x sagatlah kecil da dapat diabaika (x is measured with egligible error). Tujua dilakukaya regresi adalah utuk memodelka hubuga atara x da y, dimaa x biasaya ditetapka terlebih dahulu oleh peeliti. x disebut juga sebagai variabel tetap yaitu variabel yag dikedalika atau dibuat tetap oleh peeliti sehigga pegaruhya terhadap variabel respo tidak dipegaruhi oleh faktor luar yag tidak diteliti. Cotoh : Misalka aka dilihat pegaruh pedapata permiggu (x) terhadap pegeluara kosumsi permiggu (y) dari suatu keluarga. Misalka, diberika lima jeis pedapata permiggu, yaitu x 1 =8$, x 2 =9$, x 3 =1$, x 4 =11$ da x 5 =12$. Sebagai cotoh, ada 5 keluarga yag pegeluara kosumsi permigguya berbeda-beda berdasarka pedapata sebesar x 1 =8$ yaitu keluarga pertama sebesar 55$, keluarga kedua sebesar 6$, keluarga ketiga sebesar 65$, keluarga keempat sebesar 7$ da keluarga kelima sebesar 75$.. Begitu juga halya utuk x 2 =9$, ada 6 keluarga yag pegeluara kosumsi permigguya berbeda-beda. Utuk x 3 =1$, ada 5 keluarga yag pegeluara kosumsi permigguya berbeda-beda. Utuk x 4 =11$, ada 7 keluarga yag pegeluara kosumsi permigguya berbeda-beda da terakhir utuk x 5 =12$, ada 6 keluarga yag pegeluara kosumsi permigguya berbeda-beda. Utuk lebih memperjelas, perhatika tabel berikut : x Pegeluara kosumsi permiggu (y) dari suatu keluarga 8$ 9$ 1$ 11$ 12$ 55$ 65$ 79$ 8$ 12$ 6$ 7$ 84$ 93$ 17$ 65$ 74$ 9$ 95$ 11$ 7$ 8$ 94$ 13$ 116$ 75$ 85$ 98$ 18$ 118$ - 88$ - 113$ 125$ - - - 115$ -

15 Dari tabel diatas dapat disimpulka bahwa utuk variabel regressor x i (,2,3,4,5) yag meyataka pedapata permiggu berilai tetap (ostochastic) dega variabel respo y i yag meyataka pegeluara kosumsi permiggu dari suatu keluarga bisa berbeda-beda. ilai ekspektasi dari x 1 adalah E(x 1 )=x 1. Begitu juga halya dega variabel regressor laiya yaitu E(x 2 )=x 2, E(x 3 )=x 3, E(x 4 )=x 4 da E(x 5 )=x 5. Variabel Radom Defiisi 2.8 Misalka sebuah percobaa radom mempuyai ruag sampel C. Sebuah fugsi X yag memetaka masig-masig eleme c C ke satu da haya satu bilaga real X(c) = x, disebut variabel radom. Ruag ilai X adalah himpua bilaga real A = {x R ; x = X(c),c C }. Misalka X i adalah suatu variabel radom yag memetaka masigmasig eleme c C ke satu da haya satu bilaga real X i (c) = x i,, 2,,. (X 1, X 2,, X ) adalah suatu vektor radom berukura yag mempuyai ruag ilai A = x 1, x 2,, x R : x 1 = X 1 c,, x = X c, c C, diotasika sebagai berikut X = X 1 X 2 X

16 2.3 Ekspektasi, Variasi da Matriks Variasi-Kovariasi Ekspektasi dari Suatu Variabel Radom Defiisi 2.9 Misalka X adalah suatu variabel radom. Jika X adalah variabel radom kotiu dega pdf f(x) da x f(x) dx < Maka ekspektasi dari X adalah E X = xf(x) dx Jika X adalah variabel radom diskret dega pdf f(x) da x x f(x) < Maka ekspektasi dari X adalah E X = x xf(x) Sifat-sifat : (1) E K = K, dimaa K adalah suatu kostata (2) E K 1 X + K 2 Y = E K 1 X + E K 2 Y = K 1 E X + K 2 E Y dimaa K 1 da K 2 adalah suatu kostata da X da Y adalah suatu variabel radom

17 Ekspektasi dari Suatu Vektor Radom / Matriks Variabel Radom Misalka X = X 1, X 2,, X adalah vektor radom berdimesi. Ekspektasi X didefiisika sebagai E(X) = E(X 1 ), E(X 2 ),, E(X ). Misalka W adalah matriks variabel radom berukura m atau W = W ij = W 11 W m1 W 12 W 1 W m2 W m dimaa W ij adalah variabel radom dega 1 i m da 1 j. Ekspektasi dari matriks variabel radom W didefiisika sebagai berikut E W = E W ij = E W 11 E W m1 E W 12 E W 1 E W m2 E W m Sifat-sifat : Misalka W 1 da W 2 adalah matriks variabel radom berukura m da misalka A 1 da A 2 adalah matriks kostata berukura k m, da misalka B adalah matriks kostata berukura 1. Maka, (1) E A 1 W 1 + A 2 W 2 = A 1 E W 1 + A 2 E W 2 (2) E A 1 W 1 B = A 1 E W 1 B Variasi dari Suatu Variabel Radom Defiisi 2.1 Misalka X adalah suatu variabel radom dega mea berhigga μ sedemikia sehigga E X μ 2 berhigga. Maka variasi dari X didefiisika sebagai E X μ 2 E X μ 2 2 biasaya diyataka dega σ X atau Var(X).

18 Sifat-sifat : (1) Var ax = a 2 Var X, dimaa a adalah suatu kostata da X adalah suatu variabel radom (2) Var ax + by = Var ax + Var by + 2ab cov X, Y = a 2 Var X + b 2 Var Y + 2ab cov X, Y dimaa a da b adalah suatu kostata da X da Y adalah suatu variabel radom Defiisi 2.11 Misalka X adalah suatu variabel radom dega mea berhigga μ 1 da Y adalah suatu variabel radom dega mea berhigga μ 2. Maka kovariasi dari X da Y didefiisika sebagai cov X, Y = E X μ 1 Y μ 2 = E XY μ 1 μ 2 Matriks Variasi-Kovariasi : Misalka X = X 1, X 2,, X adalah vektor radom berdimesi, sedemikia sehigga σ 2 i = Var X i <. Mea dari X adalah μ = E X da matriks variasi-kovariasi didefiisika sebagai berikut cov X = E X μ X μ = σ ij = Σ dimaa σ ii meyataka σ 2 i = Var X i yag merupaka etri dari diagoal ke-i sedagka σ ij yag merupaka etri-etri diluar diagoal utama diyataka dega σ ij = cov X i, X j. Sifat-sifat : Misalka X = X 1, X 2,, X adalah vektor radom berdimesi, sedemikia sehigga σ 2 i = σ ii = Var X i <. Misalka A adalah matriks kostata berukura m, maka

19 (1) cov X = E XX μμ (2) cov AX = A cov X A 2.4 Peaksir Tak Bias Defiisi 2.12 Misalka X adalah suatu variabel radom dega pdf f x; θ, θ Ω. Misalka X 1,X 2,,X adalah sampel radom dari distribusi X da misalka θ meyataka suatu statistik. Suatu statistik θ disebut peaksir tak bias utuk parameter θ jika E θ = θ. Jika E θ θ maka θ adalah peaksir yag bias utuk θ. 2.5 Peaksir Kosiste Defiisi 2.13 Misalka X adalah suatu variabel radom dega pdf f x; θ, θ Ω. Misalka X 1, X 2,, X adalah sampel radom dari distribusi X da misalka θ meyataka suatu statistik. Suatu statistik θ disebut peaksir kosiste utuk p parameter θ jika θ θ atau plim θ = θ. Defiisi 2.14 Misalka X adalah sebuah barisa dari variabel radom da misalka X adalah suatu variabel radom yag terdefiisi di suatu ruag sampel. X dikataka koverge dalam probabilitas ke X jika utuk setiap ε > berlaku atau secara equivale lim Pr X X ε =, lim Pr X X < ε = 1

2 yag diotasika dega X p X atau plim X = X. 2.6 Weak Law of Large umber (WLL) Sebelum mejelaska tetag teorema weak law of large umber (WLL), terlebih dahulu aka dijelaska tetag teorema pertidaksamaa chebyshev. Teorema 2.4 Teorema Pertidaksamaa Chebyshev Misalka X suatu variabel radom yag memiliki suatu distribusi probabilitas dega variasi berhigga σ 2 da mea μ. Maka, utuk setiap k > atau secara equivale Pr ( X μ kσ) 1 k 2 Pr X μ < kσ 1 1 k 2 Teorema 2.5 Teorema Weak Law of Large umber (WLL) : Misalka X adalah suatu barisa dari variabel radom iid dega mea μ da variasi σ 2 <. Misalka X = X = X i atau diotasika plim X = μ atau plim, maka p X i μ X i = E X i Bukti : Karea E X = μ X = μ da Var X = σ X 2 = σ 2 pertidaksamaa Chebyshev, k >,, maka meurut teorema

21 Pr X μ X < kσ X 1 1 k 2 atau Pr X μ < k σ 1 1 k 2 Aka ditujukka bahwa ε > Maka, lim Pr X μ < ε = 1 ε >, Pr X μ < ε = Pr X μ < ε σ σ Misalka k = ε, maka dega megguaka teorema pertidaksamaa σ Chebyshev, diperoleh atau Pr X μ < k σ 1 1 k 2 Pr X μ < kσ X 1 σ2 ε 2 sehigga dapat dikataka ε >, Pr X μ < ε 1 σ2 ε 2 Lalu, limitka kedua ruas utuk lim Pr X σ 2 μ < ε 1 lim ε 2 lim Pr X μ < ε 1, maka karea ilai probabilitas tidak mugki lebih besar dari 1, maka lim Pr X μ < ε = 1

22 Berdasarka defiisi koverge dalam probabilitas dapat dikataka bahwa X = X i p μ utuk dimaa μ = E(Xi ) atau dapat ditulis X = X i p E(Xi ) atau plimx = μ. Teorema WLL ii tidak haya berlaku utuk X i, tetapi dapat juga diperluas ke dalam betuk f X i, dimaa f adalah fugsi yag kotiu yag buka fugsi dari. Maka Cotoh : f X i f X i = X i k p E f Xi. Maka, plim f X i = plim k k X i = E X i Jadi, k X i adalah peaksir yag kosiste utuk X k i. Teorema 2.6 Misalka X adalah sebuah barisa vektor berdimesi p da misalka X adalah suatu vektor radom yag terdefiisi di ruag sampel yag sama, maka X p X jika da aya jika Xj p Xj ; j = 1,2,, p Weak Law of Large umber (WLL) utuk vektor : Misalka X adalah sebuah barisa vektor radom iid dega E X 1 = E X 2 = = E X = μ da matriks variasi-kovariasi adalah Σ. otasika X = i =1 X i dega X = (X 1, X 2,, X p ). Berdasarka teorema Weak Law of Large umber (WLL), X j p μj ; j = 1,, p. Maka berdasarka teorema 2.6, X p μ. Atau dapat dituliska jika X j p μj ; j = 1,, p maka X p μ

23 Teorema 2.7 Jika X da Y adalah variabel-variabel radom dega plim X = C da plim Y = D, maka plim X + Y = C + D plim X Y = CD plim X Y = C D, D Jika W adalah matriks yag eleme-elemeya berisi variabel-variabel radom da jika plim W = Ω, maka plim W = Ω. Jika X da Y adalah matriks-matriks variabel radom dega plim X = A da plim Y = B, maka plim X Y = AB. 2.7 Distribusi Limit (Limitig Distributio) Koverge dalam Distribusi Defiisi 2.15 Misalka fugsi distribusi F y dari suatu variabel radom Y bergatug pada, =1,2,3,. Jika F y adalah suatu fugsi distribusi da jika lim F y = F y dimaa F y kotiu, maka barisa dari variabel-variabel radom Y 1, Y 2, koverge dalam distribusi ke suatu variabel radom dega fugsi distribusi F y, atau dapat diotasika dega D Y Y Teorema 2.8 Teorema Limit Pusat (Cetral Limit Theorem) : Misalka X 1, X 2,, X adalah observasi-observasi dari suatu sampel radom dari suatu distribusi yag mempuyai mea μ da variasi positif σ 2. Maka variabel radom Y = X i μ σ = X μ σ mea da variasi 1, atau dapat diotasika dega memiliki suatu distribusi limit ormal dega

24 X μ σ D (,1) Distribusi limit serig juga disebut sebagai distribusi asimtotik. Berdasarka teorema CLT diatas, jika X μ σ D,1 maka secara asimtotik X ~ μ, σ2 Teorema limit pusat (CLT) diatas dapat juga diperluas pegguaaya utuk vektor variabel radom. Teorema 2.9 Misalka X adalah sebuah barisa vektor radom berukura p yag iid dega mea μ da matriks variasi-kovariasi Σ yag defiit positif. Misalka Y = 1 X i μ = X μ Maka Y koverge dalam distribusi ke distribusi p, Σ, atau diotasika dega X μ D p, Σ Berdasarka teorema diatas, dapat dikataka bahwa jika X μ D p, Σ maka secara asimtotik X ~ p μ, Σ Matriks variasi-kovariasi dari betuk X μ disebut sebagai asymptotic covariace matrix da diyataka dega Avar X μ = Σ. Sedagka Matriks variasi-kovariasi dari X disebut sebagai asymptotic covariace matrix da diyataka dega Avar X = Σ.

25 2.8 Data Pael 2.8.1 Defiisi da Cotoh Data Pael Meurut Doy Dahaa Wirawa, Doktor bidag Riset Pemasara dari Tohoku Uiversity, Data Pael adalah catata ilai variabel-variabel yag diambil dalam jagka waktu tertetu dari suatu kelompok target sampel (pael) yag telah ditetuka. Variabel-variabel tersebut bisa berupa keadaa atau aksi yag dilakuka oleh pael yag dapat berubah seirig dega waktu. Data pael merupaka gabuga dari data silag (cross-sectioal data) da data rutu waktu (time series data). Data silag (cross sectioal data) merupaka data yag terdiri dari sejumlah idividu yag dikumpulka pada suatu waktu tertetu. Sedagka data rutu waktu (time series data) merupaka data yag terdiri dari satu idividu tetapi meliputi beberapa periode waktu tertetu seperti haria, miggua, bulaa, tahua, da lai-lai. Cotoh data pael, misalya data yag memuat catata tahua pedapata da kosumsi suatu produk dari suatu komuitas tertetu. Dalam aalisis perekoomia, data pael sagat bayak ditemui. Sebagai cotoh seperti data perbadiga atara tiga perusahaa garme yag memiliki variabel yag sama misalya jumlah karyawa, jumlah pemesaa, jumlah produksi, uit produksi, market share, da lai-lai. Semua variabel tersebut dikumpulka setiap tahu selama 1 tahu. Kelompok data pael tersebut aka memiliki pegamata sebayak 3 buah pegamata karea 3 perusahaa garme megguaka data selama 1 tahu. 2.8.2 Keuggula Data Pael Hsiao (1986), mecatat bahwa pegguaa data pael dalam peelitia ekoomi memiliki beberapa keuggula utama dibadigka data jeis cross sectio maupu time series, yaitu : Pertama, data pael dapat memberika jumlah pegamata yag besar bagi peeliti.

26 Kedua, data pael dapat memberika iformasi yag lebih bayak yag tidak dapat diberika haya oleh data cross sectio atau time series saja. 2.8.3 Kelemaha Data Pael Di sampig keuggula-keuggula di atas, data pael memiliki kelemaha dari segi biaya, teaga da waktu yaitu dibutuhka daa da teaga kerja yag besar serta waktu yag lama dalam proses pegumpula data pael (Baltagi, 21:7-9). 2.9 Pemodela Data Pael 2.9.1 Model Regresi Data Pael Data pael merupaka gabuga dari data silag (cross sectioal data) da data rutu waktu (time series data), maka model regresi data pael dapat dituliska sebagai berikut : y i,t = α + βx i,t + u i,t i = 1, 2,, t = 1, 2,, T dimaa : = Bayakya observasi T = Bayakya periode waktu x T = Bayakya data pael y i,t x i,t α β u i,t = Variabel respo utuk idividu ke-i pada waktu ke-t = Variabel prediktor utuk idividu ke-i pada waktu ke-t = Itercept model regresi data pael = Parameter model regresi data pael = Kompoe error model

27 Berdasarka Kompoe error u i,t, model regresi data pael terbagi atas : 1. Model regresi kompoe error satu arah y i,t = α + βx i,t + u i,t dimaa u i,t = μ i + v i,t 2. Model regresi kompoe error dua arah y i,t = α + βx i,t + u i,t dimaa u i,t = μ i + λ t + v i,t dimaa : μ i λ t v i,t = Pegaruh yag tidak terobservasi dari idividu ke-i tapa dipegaruhi faktor waktu, misal : keuggula dari masig-masig idividu. = Pegaruh yag tidak terobservasi dari waktu ke-t tapa dipegaruhi faktor idividu, misal : pada suatu waktu tertetu ada peristiwa yag tidak terdata yag megakibatka hasil observasi mejadi tidak lazim dari waktu sebelumya. = error yag bear-bear tidak diketahui (remaider disturbace) dari idividu ke-i pada waktu ke-t. Berdasarka asumsi pegaruh atau effects yag diguaka pada model regresi data pael, model regresi data pael dibagi mejadi 2 : 1. Fixed effects model Pada fixed effects model utuk data pael, pemiliha idividu da waktu ditetuka secara fixed oleh peeliti, sehigga effects haya sebatas pada idividu da waktu yag ditetuka tersebut. Khusus utuk data pael dega kompoe error satu arah, pemiliha idividu ditetuka secara fixed oleh peeliti, sehigga effects haya sebatas pada idividu yag ditetuka tersebut. Dega demikia, effects dari idividu diasumsika sebagai fixed parameter. Karea itu pada fixed effects model utuk data pael dega kompoe error satu arah, perbedaa karakteristik idividu diakomodasika pada itercept sehigga iterceptya berubah atar idividu. Maka fixed effects model utuk data pael dega kompoe error satu arah adalah sebagai berikut :

28 y i,t = α + βx i,t + u i,t dimaa u i,t = μ i + v i,t v i,t ~IID(, σ v 2 ) 2. Radom effects model Pada radom effects model utuk data pael, pemiliha idividu da waktu diakuka secara acak, sehigga effects dari idvidu da waktu diasumsika merupaka variabel acak. Khusus utuk data pael dega kompoe error satu arah, pemiliha idividu diakuka secara acak, sehigga effects dari idvidu diasumsika merupaka variabel acak. Karea itu pada radom effects model utuk data pael dega kompoe error satu arah, perbedaa karakteristik idividu diakomodasika pada error dari model. Maka radom effects model utuk data pael dega kompoe error satu arah adalah sebagai berikut : y i,t = α + βx i,t + u i,t dimaa u i,t = μ i + v i,t μ i ~IID, σ μ 2 ; v i,t ~IID(, σ v 2 ) 2.1 Model Diamis Selai pemodela regresi data pael sebagai model dasar, dapat pula dibagu sebuah model data pael yag lebih rumit amu lebih sesuai dega permasalaha ekoomi yag ada. Data pael dapat diaplikasika ke dalam model diamis, hal ii disebabka karea pada dasarya hubuga variabel-variabel ekoomi merupaka suatu kediamisa, yaki suatu variabel ekoomi tidak haya ditetuka oleh variabel-variabel pada waktu yag sama, melaika juga ditetuka oleh variabel pada waktu sebelumya. Model diamis merupaka salah satu alat aalisis yag dapat diguaka utuk megevaluasi dampak jagka pedek da jagka pajag dari suatu kebijaka ekoomi atau aktivitas bisis. Sebagai cotoh : pemeritah meetapka

29 kebijaka meaikka harga pupuk, aka dilihat apakah kebijaka tersebut memberi pegaruh terhadap peawara beras. Dalam sektor pertaia dampak dari suatu kebijaka yag ditetapka pemeritah saat ii serig baru terlihat beberapa bula bahka beberapa tahu kemudia (dampak jagka pajag). Hal ii dapat disebabka karea aktivitas pertaia mempuyai selag waktu (time lag) dari mulai pegambila keputusa produksi sampai realisasi produksi. Oleh sebab itu model diamis sagat cocok diaplikasika dalam megaalisis pegaruh kebijaka ii. Ciri dari model diamis adalah adaya lag dari variabel depede, hal ii disebabka karea factor habits formatio (kebiasaa). Oleh sebab itu model data pael diamis lebih tepat meggambarka keadaa sebearya dalam aalisis perekoomia. Selajutya megeai model diamis utuk data pael beserta peaksira parameter aka dibahas pada bab 3. 2.11 Taksira Parameter pada Model Regresi Liier 2.11.1 Taksira Parameter Saat Variabel Eksplaatori Tidak Berkorelasi dega Error Perhatika model regresi liier sampel berikut y i = α + βx i + u i ; i = 1, 2,, dega y i α β x i u i = Variabel respo utuk observasi ke-i pada model regresi liier = Itercept pada model regresi liier = Parameter pada model regresi liier = Variabel regressor utuk observasi ke-i pada model regresi liier = Error utuk observasi ke-i pada model regresi liier Utuk meaksir parameter β, salah satu metode peaksira yag dapat diguaka adalah metode Ordiary Least Square (OLS). Metode peaksira ii megguaka prisip memiimumka jumlah peyimpaga kuadrat atara ilai

3 prediksi dari variabel respo dega ilai sebearya. Metode ii pertama kali dikembagka oleh Carl Friedrich Gauss. Dalam pedekataya, Gauss membuat asumsi-asumsi sebagai berikut : 1) Model regresi liier merupaka model regresi yag liier di dalam parameter. 2) x i merupaka variabel regressor yag berilai tetap (ostochastic) pada samplig yag diulag-ulag. 3) ilai mea atau ilai ekspektasi dari radom disturbace u i diberika x i sama dega, Secara tekis dapat diotasika sebagai berikut E u i x i = 4) Variasi dari radom disturbace u i diberika x i adalah sama utuk semua observasi atau dega kata lai variasi dari u i diberika x i adalah idetik. Secara tekis dapat diotasika sebagai berikut Var u i x i = E u i E u i x 2 i x i = σ 2 dimaa otasi Var diatas meyataka otasi utuk variasi. 5) Tidak terjadi autokorelasi atar disturbace. Misalka diberika dua ilai sebarag yaitu x i da x j (i j), maka korelasi atar u i da u j (i j) sama dega. Secara tekis dapat diotasika sebagai berikut cov u i, u j x i, x j = E u i E u i x i u j E u j x j = E u i, u j =, i j dimaa i da j adalah dua observasi yag berbeda da otasi cov diatas meyataka otasi utuk kovariasi. Asumsi ii meegaska bahwa error di satu observasi tidak berkorelasi dega error di observasi laiya. 6) Kovariasi atara x i da u i sama dega atau E x i u i =. Secara tekis dapat diyataka sebagai berikut

31 cov x i, u i = E x i E x i u i E u i = E x i E x i u i karea E u i = = E x i u i E x i u i = E x i u i E E x i u i = E x i u i E x i E u i karea E x i ostochastic = E x i u i karea E u i = = berdasarka asumsi 7) u i x i ~, σ 2 Berdasarka asumsi-asumsi diatas, pada asumsi ke-6 meujukka bahwa variabel regressor (variabel eksplaatori) tidak berkorelasi dega error, atau dega kata lai variabel eksplaatori bersifat eksoge. Taksira parameter yag dihasilka oleh metode OLS ii adalah taksira yag tak bias da kosiste. Pertama-tama aka ditujukka bahwa taksira OLS utuk β dimaa variabel regressor (variabel eksplaatori) tidak berkorelasi dega error meghasilka taksira yag tak bias. β OLS = S xy S xx = y i (x i x ) (x i x ) 2 = c i y i = c i (α + βx i + u i ) = c i α + c i βx i + c i u i dimaa c i = (x i x ) (x i x ) 2 = α c i + β c i x i + c i u i = β + c i u i dimaa c i =, c i x i = 1

32 keteraga : c i = c i x i = (x i x ) (x i x ) 2 = x i x x i x i x 2 = x i x x x (x = i x ) 2 (x i x ) 2 = = = = = x i x x i x i 2 2x i x + x 2 (x 2 i x i x ) x 2 i 2x i x + x 2 x i 2 x i =1 x i x 2 i 2x i x + x 2 x i 2 x i 2 x 2 2x x i + x 2 = x i 2 x 2 x i 2 2x 2 + x 2 2 x i 2 x i 2 x x 2 = 1 Ekspektasika β OLS di kedua ruas : E(β OLS ) = β + E( c i u i ) Karea x i tidak berkorelasi dega u i yag megimplikasika E x i u i =, maka E tak bias utuk β. c i u i =, sehigga E β OLS = β. Jadi β OLS adalah taksira yag Lalu, aka ditujukka bahwa taksira OLS utuk β dimaa variabel regressor (variabel eksplaatori) tidak berkorelasi dega error meghasilka taksira yag kosiste. Bukti : β OLS = β + c i u i = β + x i x u i (x i x) 2 = β + x i x u i (x i x) 2 = β + x i = β + x i u i x u i (x i x) 2 u i (x i x) 2 x u i (x i x) 2

33 Berdasarka teorema WLL : plim x i u i = E x i u i Karea x i tidak berkorelasi dega u i yag megimplikasika E x i u i = maka plim da x i u i = E x i u i =. plim x u i plim (x i x) 2 = x. plim u i = x. E u i = = E (x i x) 2 2 = σ Xi Sehigga plim β OLS = β + 2 σ 2 Xi σ = β Xi Maka, β OLS adalah taksira yag kosiste utuk β. 2.11.2 Taksira Parameter Saat Variabel Eksplaatori Berkorelasi dega Error Dalam aplikasiya, terdapat model liier yag memiliki variabel eksplaatori edoge, yaki variabel eksplaatori berkorelasi dega error. Cotohya dalam model diamis dimaa lag dari variabel depede berkorelasi dega error. Perhatika model regresi liier sampel berikut y i = α + βx i + u i ; i = 1, 2,, Karea x i berkorelasi dega u i maka cov x i, u i sehigga estimasi OLS utuk β aka meghasilka taksira yag bias da tidak kosiste.

34 Berikut aka ditujukka bahwa taksira OLS utuk β pada saat terdapat korelasi atara variabel eksplaatori dega error meghasilka taksira yag bias. Dari pejabara sebelumya diperoleh β OLS = β + c i u i dimaa c i = (x i x ) (x i x ) 2 Ekspektasika β OLS di kedua ruas : E(β OLS ) = β + E( c i u i ) Karea x i berkorelasi dega u i yag megimplikasika E(x i u i ), maka E( c i u i ), sehigga E(β OLS ) β. Jadi β OLS adalah taksira yag bias utuk β. Selajutya aka dibuktika bahwa taksira OLS adalah taksira yag tidak kosiste utuk β jika variabel eksplaatori berkorelasi dega error. Bukti: β OLS = β + c i u i = β + x i x u i (x i x) 2 = β + x i x u i (x i x) 2 = β + x i = β + x i u i x u i (x i x) 2 u i (x i x) 2 x u i (x i x) 2 Berdasarka teorema WLL : plim x i u i = E x i u i Karea x i berkorelasi dega u i yag megimplikasika E x i u i maka plim x i u i = E x i u i. Misalka E x i u i = C, dimaa C adalah ilai dari E x i u i yag tidak sama dega. Maka plim x i u i = E x i u i = C plim x u i = x. plim u i = x. E u i =

35 da Sehigga plim (x i x) 2 = E (x i x) 2 = σ 2 Xi = σ 2 plim β OLS = β + C 2 σ 2 Xi σ = β + C Xi σ β 2 Maka, β OLS buka taksira yag kosiste utuk β. Karea taksira OLS pada saat variabel eksplaatori berkorelasi dega error adalah taksira yag bias da tidak kosiste, maka diperluka metode lai utuk peaksira parameter, salah satuya adalah metode istrumetal variabel. 2.12 Metode Istrumetal Variabel Metode istrumetal variabel merupaka metode yag bertujua meghilagka efek variabel eksplaatori edoge dalam model sehigga taksira parameter yag didapat bersifat tak bias da kosiste. Padag model liier berikut : y = β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β K x K + β K x K + u (2.12.1) E u =, Cov x j, u =, j = 1, 2,, K 1 (2.12.2) dimaa x k berkorelasi dega u atau dega kata lai variabel eksplaatori x 1, x 2,, x K adalah variabel ekspalaatori eksoge, x k adalah variabel eksplaatori edoge da x 1 = 1. Pada model ii variabel x k berkorelasi dega error sehigga Cov(x k, u). Jika hal ii terjadi, maka estimasi OLS utuk β pada (2.12.1) aka meghasilka taksira yag bias da juga tidak kosiste.

36 Utuk megguaka metode istrumetal variabel dibutuhka suatu variabel yag disebut sebagai variabel istrume. Variabel istrume (misal z 1 ) harus memeuhi dua syarat berikut : 1. z 1 tidak berkorelasi dega error u. Cov z 1, u = (2.12.3) z 1 tidak berkorelasi dega u meujukka bahwa z 1 bersama dega x 1, x 2,, x K merupaka variabel eksplaatori eksoge. 2. z 1 berkorelasi dega x k. Utuk mejelaska hal ii, dibutuhka defiisi proyeksi liear x k pada semua variabel eksoge x 1, x 2,, x K, z 1 sebagai berikut : x k = δ 1 x 1 + δ 2 x 2 + + δ K x K + θ 1 z 1 + r K (2.12.4) Hal ii meggambarka hubuga atara z 1 dega variabel eksplaatori edoge, x K. Meurut defiisi error pada proyeksi liier, E r K =, da r K tidak berkorelasi dega x 1, x 2,, x K da z 1. Syarat yag harus dipeuhi pada model (2.12.4) adalah : θ 1 (2.12.5) Kodisi ii serig diartika sebagai z 1 berkorelasi secara parsial dega x K, dimaa x 1, x 2,, x K diaggap kosta. Jika x K merupaka satusatuya variabel eksplaatori pada (2.12.1) maka proyeksi liear pada (2.12.4) mejadi x K = θ 1 z 1 + r K, dimaa θ 1 = cov (z 1,x K ) var (z 1 ) Kodisi (2.12.5) sama saja meyataka bahwa cov(z 1, x K ). Jika z 1 memeuhi kedua syarat (2.12.3) da (2.12.5), maka z 1 merupaka variabel istrumetal utuk x K.. Berdasarka pejelasa diatas, karea x 1, x 2,, x K tidak berkorelasi dega u, maka sebearya x 1, x 2,, x K juga berpera sebagai variabel istrume utuk masig-masig variabel itu sediri. Dega kata lai variabel istrumetal terdiri