MENYELESAIKAN RELASI REKURSIF

MENYELESAIKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Oleh : KHOERON NIM : 0450050 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 009

MENYELESAIKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Diajuka Kepada : Uiversitas Islam Negeri Malag Utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata Dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh : KHOERON NIM : 0450050 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 009

MENYELESAIKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Oleh: KHOERON NIM : 0450050 Telah Diperiksa da Disetujui utuk Diuji Taggal: Jauari 009 Pembimbig I, Pembimbig II, Drs. Usma Pagalay, M.Si NIP: 50 37 40 Achmad Nashichuddi, MA NIP. 50 30 53 Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M.Si NIP. 50 38 3

MENYELESAIKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Oleh : KHOERON NIM : 0450050 Telah Dipertahaka di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diyataka Diterima Sebagai Salah Satu Persyarata Utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal, 9 Jauari 009 Susua Dewa Peguji: Tada Taga. Peguji Utama : Wahyu H. Irawa, M.Pd ( ) NIP. 50 300 45. Ketua : Sri Harii, M.Si ( ) NIP. 50 38 3 3. Sekretaris : Drs. Usma Pagalay, M.Si ( ) NIP. 50 37 40 4. Aggota : Achmad Nashichuddi, MA ( ) NIP. 50 30 53 Megetahui da Megesahka Kajur Matematika Fakultas Sais da Tekologi Sri Harii, M.Si. NIP. 50 38 3

MOTTO! ÊŽ!!!ƒ!!!!!Ê!!!!ƒ!!!!!!!!¾!!!!!!!!! Ê!!!Ê!Ê!œ!Ê!! Œ!!!!š!!!!Ž!Œ!ŒÊ!ÊŒ Memag, seorag pemuda itu tergatug tiggi redah tigkat I tikadya, maakala tekadya tiggi lagi matap, tetu aka berhasil apa yag dicita-citakaya. Sebalikya, orag yag tidak puya ketekada da kematapa, tetu tidak aka memperoleh sesuatu yag dituju

Persembaha Ku persembahka kepada Bapak, Ibu, da Saudara-Saudari tercita Yag telah meyayagi da megasihiku setulus hati Sebeig cita da sesuci do a. Kupersembahka kepada Adik-adikku tersayag (Khusul Khotimah) terima kasih atas dukuga da motivasiya da keluarga besarku yag terus medorogku utuk terus maju

KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Segala puji bagi Allah SWT karea atas rahmat, taufik da hidayah-nya, peulis dapat meyelesaika peulisa skripsi sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais (S.Si). Sholawat da salam seatiasa terlimpahka kepada Nabi Muhammad SAW yag telah membawa umat mausia dari duia kegelapa da kebodoha meuju duia yag peuh cahaya da kemajua ilmu pegetahua da tekologi. Peulis meyadari bahwa bayak pihak yag telah berpartisipasi da membatu dalam meyelesaika skripsi ii. Utuk itu, iriga do a da ucapa terima kasih yag sebesar-besarya peulis sampaika, utamaya kepada:. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Uiversitas Islam Negeri Malag.. Prof. Drs. Sutima B.S., SU, DSc. selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Malag. 3. Sri Harii, M.Si. selaku Ketua Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Malag. 4. Drs. Usama Pagalay, M.Si. selaku dose pembimbig, karea atas bimbiga, batua da kesabaraya peulisa skripsi ii dapat terselesaika.

5. Achmad Nashichuddi, MA. selaku selaku Dose Pembimbig Itegrasi Sais da Islam yag juga telah bayak memberi araha kepada peulis. 6. Abdussakir, M.Pd yag bayak memberi masuka da motivasi dalam peulisa skripsi ii da segeap Bapak/Ibu Dose Fakultas Sais da Tekologi, khususya dose jurusa Matematika yag perah medidik da memberika ilmuya yag tak terilai hargaya. 7. Ayah da ibuda tercita yag dega sepeuh hati memberika dukuguga moril maupu spiritual serta ketulusa doaya sehigga peulisa skripsi ii dapat terselesaika. 8. Tema tema matematika, terutama agkata 004 yag telah memberika dukuga da batua dalam peyelesaia skripsi ii. 9. Semua pihak yag telah membatu dalam peyelesaia skripsi ii. Semoga skripsi ii dapat bermafaat da meambah ilmu pegetahua bagi peulis khususya da pembaca umumya serta dapat mejadi ispirasi bagi pembaca yag igi megembagka ilmu pegetahua. Wassalamu alaikum Wr. Wb. 08 Jauari 009 Peulis

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGAJUAN... ii HALAMAN PERSETUJUAN...iii HALAMAN PENGESAHAN... iv MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... ix ABSTRAK... xi BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag.... Rumusa Masalah... 4.3 Tujua Peulisa... 4.4 Mafaat Peulisa... 5. Bagi Peulis... 5. Bagi Pembaca... 5 3. Lembaga... 5.5 Batasa Masalah... 5.6 Metode Peulisa... 5.7 Sistematika Peulisa... 6 BAB II KAJIAN TEORI. Barisa... 8.. Barisa Bilaga Riil... 8.. Limit Barisa...

..3 Barisa Terbatas... 8..4 Barisa Mooto... 9..5 Barisa Diverge... 0. Relasi Rekursif... 3.3 Bilaga dalam Al-Qur a... 7 BAB III PEMBAHASAN 3. Meyelesaika relasi rekursif... 9 3. Implemetasi Relasi Rekursif dalam Agama Islam... 50 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA

ABSTRAK Khoero. 009. Meyelesaika Relasi Rekursif. Skripsi, Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri (UIN) Malag. Pembimbig:(I) Drs.Usma Pagalay, M.Si (II) Achmad Nashichuddi, M.A. Kata Kuci: Relasi Rekursif, Barisa Masalah yag dibahas dalam skripsi ii dirumuska sebagai berikut yaitu; bagaimaa meyelesaika relasi rekursif dega megguaka cara iterasi, dega persamaa karakteristik, da dega fugsi pembagkit. Sedagaka tujua peulisa skripsi ii adalah megetahui tahapa-tahapa meyelesaika Relasi Rekursif dega cara Iterasi, melalui Persamaa Karakteristik, da dega Fugsi Pembagkit. kemudia permasalaha yag dikaji dibatasi dalam barisa bilaga real da relasi rekursif. Dalam meyelesaika relasi rekursif perlu diketahui defiisi-defiisi sebagai berikut: Barisa bilaga real (barisa di R) adalah suatu fugsi dega domai himpua bilaga asli N ke himpua bilaga real R da dapat diotasika dega f : N R. Relasi rekursif adalah persamaa yag meyataka hubuga atara beberapa suku. Dalam kajia ii, peulis megkaji barisa bilaga real yag terdiri dari limit barisa, barisa terbatas, barisa mooto, da barisa diverge yag maa dalam pembahasa dapat memeuhi pada cotoh-cotoh dari relasi rekursif yag dilakuka dega beberapa tahap. Da telah dikaji pula tetag materi relasi rekursif sehigga pada pembahasa dapat mempermudah meyelesaika relasi rekursif dega beberapa tahap. Berdasarka hasil pembahasa dapat diperoleh bahwa meyelesaika relasi rekursif dega cara iterasi, persamaa, da dega fugsi pembagkit dapat meghasilka solusi homoge atau solusi umum. Dari solusi umum tersebut sebearya bisa meetuka ilai-ilai yag diperoleh dega cara memasukka ilai variabel da koefisieya.

BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Dalam kehidupa sehari-hari serig dijumpai permasalaha yag berkaita dega matematika. Hal ii dapat dilihat dari bayakya permasalaha yag dapat diaalisis megguaka matematika. Oleh karea itu diperluka pemahama khusus pada matematika. Alam semesta memuat teori-teori da kosep matematika, meskipu alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isiya diciptaka Allah dega ukura-ukura yag cermat da teliti, dega perhitugaperhituga yag mapa, da dega rumus-rumus serta persamaa yag seimbag da rapi (Abdusysyakir, 007:79). Dalam Al-Qur a surat Maryam ayat 94 telah disebutka bahwa : Artiya : Sesugguhya Allah telah meetuka jumlah mereka da meghitug mereka dega hituga yag teliti. Matematika merupaka pegetahua yag berkeaa dega struktur da hubugaya yag memerluka symbol-simbol atau lambag. Simbol-simbol ii diguaka utuk membatu megkostruksi atura-atura dega operasi yag ditetapka. Simbolisasi mejami adaya komuikasi da mampu memberika

keteraga utuk membetuk suatu kosep baru. Kosep baru terbetuk karea adaya pemahama terhadap kosep sebelumya sehigga kosep-kosep matematika itu tersusu hirarkis atau terurut. ( Heky, 004 : ) Aplikasi matematika dapat diamati dalam proses peyelesaia suatu permasalaha yag dimodelka dalam kosep matematika. Dega memperhatika semesta pembicaraya, kosep tersebut aka lebih mudah diselesaika da dapat diambil suatu perkiraa yag medekati suatu kesimpula. Jika suatu permasalaha itu kompleks, maka dapat dibetuk sistem matematika. Sehigga aplikasi aplikasi matematika seperti perkembaga pesat di bidag tekologi iformasi da komuikasi dewasa ii diladasi oleh perkembaga matematika yag meitikberatka pada perbedaa aspek aspek teori. Dari sudut padag adaya macam macam aspek teori tersebut, ilmu matematika memperlebar cakupa pemahamaya pada beberapa cabag, seperti matematika aalisis, statistik, da pemrograma (Parzyski, 98:49). Suatu barisa adalah suatu yag domai (daerah asal) ya adalah himpua bilaga asli, sedagka fugsi fugsi yag didefiisika pada N (bilaga bilaga asli) adalah suatu subset dari (bilaga bilaga real) yag dapat meujukka ilai dari suatu barisa. Selai itu, kosep barisa diguaka sebagai alat da ide limit dari suatu barisa yag mempersiapka simbol lebih umum yaitu limit fugsi. Sehigga barisa adalah ide dasar utuk semua limit da fugsi,

sedagka utuk fugsi fugsi terbatas pada limit merupaka dasar dari kalkulus (Paul, 978:6). Adapu peerapa Al-Qur'a megeai barisa dapat disebutka dalam surat Al-Kahfi ayat 48 yag berbuyi : Artiya : Da mereka aka dibawa ke hadapa TuhaMu dega berbaris, sesugguhya kamu datag kepada kami sebagaimaa kami meciptaka kamu pada kali yag pertama. Bahka kamu megataka bahwa kami sekali-kali tidak aka meetapka bagi kamu waktu. Abdusysyakir (006: 58) megemukaka bahwa setelah megetahui bahwa Al Qur a berbicara megeai barisa bilaga, maka maka yag dapat ditagkap adalah bahwa orag muslim harus megeal barisa bilaga, karea tapa megeal barisa bilaga, seorag muslim tidak aka memahami Al Qur a dega baik ketika membaca ayat-ayat yag berkaita tetag barisa bilaga tersebut. Dari segi wilayah kajia, Matematika berawal dari ruag ligkup yag sederhaa, yag haya meelaah tetag barisa bilaga da ruag, amu sekarag Matematika sudah berkembag dega meelaah hal-hal yag membutuhka daya pikir da imajiasi tigkat tiggi (Abdusysyakir, 007:6). Limit merupaka kosep matematika yag membahas masalah pedekata ilai, kosep koverge da diverge sebagai suatu aalisis diperkealka melalui

limit da barisa. Barisa bilaga real adalah suatu fugsi dari himpua bilaga asli N ke himpua bilga real. (Bartle da Sherbert, 994: 67). Agar suatu barisa mejadi koverge, maka ilai-ilai yag diperoleh harus medekati ilai pucakya, tetapi tidak harus medekati, ilai-ilai tersebut harus tetap berdekata. Berdekata artiya semaki lama semaki dekat. Jika semaki lama semaki mejauh dari ilai pucakya maka barisa tersebut dikataka diverge. (Purcell, 003: 3) Di dalam Teori Bilaga dikeal macam-macam barisa salah satu di ataraya adalah barisa aritmatik yag berbetuk : f af bf, dega a da b adalah bilaga real yag ditetuka utuk f. Barisa ii didefiisika secara rekursif sehigga ilai-ilai dari suku berikutya dapat diketahui. (Iva Nive, 99: 99). Beragkat dari latar belakag masalah di atas peulis tertarik utuk melakuka peelitia dega judul Meyelesaika Relasi Rekursif.. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag di atas ada beberapa macam kosep da metode utuk meyelesaika permasalaha tetag barisa rekursif. Maka yag pokok dalam pembahasa ii adalah bagaimaa meyelesaika Relasi Rekursif dega cara Iterasi, melalui Persamaa Karakteristik, da dega Fugsi Pembagkit?

.3 Tujua Peulisa Tujua dari peulisa ii adalah megetahui tahapa-tahapa meyelesaika Relasi Rekursif dega cara Iterasi, melalui Persamaa Karakteristik, da dega Fugsi Pembagkit..4 Mafaat Peulisa Adapu mafaat dari peulisa ii adalah:. Bagi Peulis a. Memperluas pegetahua tetag kajia matematika khususya pada Relasi Rekursif.. Bagi Pembaca a. Meambah wawasa serta meigkatka pegetahua tetag matematika khususya megeai materi Relasi Rekursif. b. Memperluas cakrawala berfikir 3. Lembaga a. Hasil peulisa skripsi ii diharapka dapat meambah baha kepustakaa di lembaga khususya di Fakultas Sais da Tekologi UIN Malag sehigga dijadika sebagai saraa pegembaga wawasa keilmua terutama bidag matematika.5 Batasa masalah Utuk mempermudah dalam pembahasa ii, peulis membatasi pada:. Barisa bilaga real. Relasi rekursif.

.6 Metode Peulisa Dalam hal ii peulis megguaka metode peelitia kepustakaa atau peelitia literatur, yaitu peelitia yag dilakuka dega cara megumpulka data da iformasi dega batua bermacam-macam material yag terdapat di dalam ruag perpustakaa, seperti buku-buku, artikel, dokome-dokume, catata, da kisah-kisah sejarah (Mardalis, 995: 8). Dari masig-masig literatur dipilah meurut kategori tertetu da dipilih yag sesuai dega permasalaha yag diagkat. Adapu lagkah-lagkah yag dilakuka peulis di dalam peelitia ii adalah sebagai berikut:. Megumpulka materi da iformasi dega cara membaca da memahami literatur yag berkaita dega permasalaha yag diagkat yaitu bagaimaa meyelesaika Relasi Rekursif dega cara Iterasi, melalui Persamaa Karakteristik, da dega Fugsi Pembagkit.. Dega adaya jariga iformasi berupa iteret, maka peulis juga megambil da mempelajari materi yag berkaita dega barisa. 3. Memilah atau memilih materi yag diperoleh sehigga dapat diguaka utuk megaalisis da mejawab rumusa masalah..7 Sistematika Peulisa Skripsi ii ditulis dega 4 bab yag salig medukug, yaitu bab I pedahulua, bab II kajia teori, bab III pembahasa, da bab IV peutup.

Bab I Bab II Bab III Bab IV : : : : Pedahulua. difokuska pada latar belakag, rumusa masalah yag terdiri dari pokok permasalaha, tujua peulisa, mafaat peelitia bagi peulis, bagi pembaca, da bagi lembaga, batasa masalah, metode peulisa serta sistematika peulisa gua mempermudah dalam peulisa ii. Kajia Teori. berisi tetag seputar barisa bilaga real, Limit barisa, barisa terbatas, barisa mooto, barisa diverge, da relasi rekursif. Pembahasa. berisika uraia tetag cotoh-cotoh yag merupaka relasi rekursif da meetuka solusi umuya dega cara Iterasi, melalui Persamaa Karakteristik, da dega Fugsi Pembagkit. Peutup. Berisi tetag kesimpula dari keseluruha hasil pembahasa yag telah dilakuka sesuai dega rumusa masalah da juga berisi tetag sara terkait dega topik pembahasa yag ada.

BAB II KAJIAN TEORI. Barisa.. Barisa Bilaga Real Defiisi Cotoh Barisa bilaga real (barisa di R) adalah suatu fugsi dega domai himpua bilaga asli N ke himpua bilaga real R da dapat diotasika dega f : N R (Bartle da Sherbert, 994 : 67) Diberika fugsi X : N R yag didefiisika dega X, N maka X adalah barisa di R. Demikia juga, fugsi Y : N R yag didefiisika dega Y 3, N Maka Y juga merupaka barisa di R. Dega kata lai dari defiisi di atas bahwa barisa di R adalah barisa yag diperoleh dega memetaka atau memasagka tepat satu bilaga asli bilaga real R N ke. Bilaga real yag diperoleh disebut aggota atau eleme

barisa atau ilai barisa, atau suku barisa. Biasaya utuk meujukka eleme R yag dipasagka pada N diguaka simbol sebagai berikut x, a, atau z Jika X : N R adalah barisa, maka usur dari X pada diotasika dega x, tidak diotasika dega X(). Sedagka barisa itu sediri diotasika degax, ( x ), atau ( x N ). Dega demikia barisa X da Y pada cotoh (), masig-masig dapat diotasika X= ( x N ) da Y ( 3 N ). Pegguaa tada kurug ii membedaka atara otasi barisa X = ( dega himpua x N. Sebagai cotoh jika X ( ) N N ) adalah barisa yag usurya selag-selig atara - da, yaitu X = (-,, -,,...), sedagka jika X ( ) N yaitu X = {-, }. adalah himpua yag usur-usurya - da, Utuk medefiisika barisa, kadag usur-usur dalam barisa ditulis secara beruruta, sampai rumus utuk barisa tersebut tampak. Perhatika cotoh berikut : Cotoh 3 4 Jika diketahui barisa, 3, 4, 5,... X yag meyataka barisa bilaga real, di maa salah satu rumus umumya adalah : X : N

Demikia juga dega barisa X 3,,,... 3 5 yag meyataka barisa bilaga rasioal dega salah satu rumus umumya adalah X : N. Kadag kala, rumus umum dari suatu barisa dapat diyataka secara rekursif artiya usur atau suku pertama misalya x ditetapka terlebih dahulu kemudia diberika suatu rumus utuk x ( ) dega x telah diketahui. Cotoh 3, Barisa bilaga asli geap dapat diyataka dega rumus : x x x x ( ); Berikut ii aka dipekealka suatu cara yag petig dalam membuat barisa baru dari barisa yag telah diketahui. Defiisi Misalka X x da y Y adalah barisa bilaga real. Jumlah dari barisa X da Y, yag diotasika dega X Y, adalah barisa yag didefiisika dega: X Y x y : N (Bartle da Sherbert, 994: 69)

Cotoh 4 Misalka 3 4 3 4 5 X, N (,,,,...) 3 4 3 4 da Y, 3, 4, 5,... maka 3 4 3 4 3 5 4 X 4, 3, 4 5,... Y : N. 3 4 Defiisi 3 Cotoh 5 Misalka x X adalah barisa bilaga real da c R. Kelipata dari barisa X da c, yag diotasika dega cx, adalah barisa yag didefiisika dega: cx cx : N (Bartle da Sherbert, 994: 69) 3 4 Misalka X : N, 3, 4, 5,... da c = 3 3 4 maka cx 3 : N 6,3 3,3 4,3 5,...

Defiisi 4 Misalka X x da y Y adalah barisa bilaga real, dega Y X 0. Pembagia dari barisa X da Y, yag diotasika dega, adalah Y barisa yag didefiisika dega: X Y X Y : N Cotoh 6 (Bartle da Sherbert, 994: 69) Misalka 3 4 3 4 5 X, N (,,,,...) 3 4 3 4 da Y, 3, 4, 5,... maka X Y, 5,97,,,... : N 3 3 4.. Limit Barisa Defiisi 5 Barisa a diamaka koverge meuju L atau berlimit L da ditulis sebagai lim a L apabila utuk tiap bilaga positif, ada bilaga positif N sehigga utuk

Cotoh 7 N a L Suatu barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga L yag terhigga diamaka diverge. (purcell, 003: 3) Buktika, bahwa utuk setiap p positif bulat (asli), maka lim 0 p Jawab : p Misalka diketahui 0. Pilihlah. Maka utuk a Cotoh 8 N berlakulah L 0 p p p p N p Buktika, bahwa utuk setiap 0< p <, maka lim 0 p Jawab : p Misalka diketahui 0. Pilihlah da p Maka utuk N berlakulah

a Defiisi 6 L 0 p p p p N p Misal X x ) adalah barisa bilaga real. Suatu bilaga real x ( dikataka limit dari X, jika utuk masig-masig ligkuga dari V dari x terdapat suatu bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x adalah aggota V. (Bartle da Sherbert, 994: 70) Jika x adalah limit dari barisa X, maka dikataka bahwa X x ) koverge ke x (mempuyai limit x). Jika barisa mempuyai limit maka barisa tersebut dikataka koverge, begitu juga sebalikya jika barisa tidak mempuyai limit maka barisa tersebut dikataka diverge. Ketika barisa X x ) mempuyai limit x di R maka diotasika sebagai berikut : lim X x atau lim( ) x yag kadag-kadag disimbolka dega x x, dimaa x medekati bilaga x utuk Teorema Bukti : x. Limit suatu barisa bilaga real adalah tuggal. Misalka X x ) barisa bilaga real. ( Adaika X mempuyai lebih dari satu limit. ( Misalka x da x adalah limit dari X, dega x x. (

Misalka ' V adalah ligkuga dari x da '' V adalah ligkuga dari x. Pilih x x, maka V ' V '' Karea x limit dari X maka ada bilaga asli ' K sehigga jika ' K maka: x V ' Karea x limit dari X maka ada bilaga asli '' K sehigga jika '' K maka: x V '' Ambil K maksk ', K '' Maka ' K K sehigga ' x K V da '' K K sehigga x K V '' Berarti x k V ' V '' Jadi V ' V '' Hal ii kotradiksi dega V Berarti pegadaia salah ' V '' Terbukti bahwa X mempuyai limit tidak lebih dari satu. Pada pedefiisia limit suatu barisa bilaga real, masih diguaka istilah ligkuga. Dega demikia, masih dirasa sulit utuk meujukka bahwa suatu barisa bilaga real adalah koverge. Berikut aka diberika suatu teorema yag

ekuivale dega defiisi limit barisa. Teorema ii aka mempermudah utuk meujukka bahwa suatu barisa bilaga real adalah koverge atau diverge. Teorema Misal x ekuivale. X adalah barisa bilaga real da x R. Peryataa berikut a. X koverge ke x. b. Utuk setiap V ligkuga dari x terdapat bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x adalah aggota V. c. Utuk setiap 0 terdapat bilaga asli K sehigga utuk semua K,maka x x x. d. Utuk setiap 0 terdapat bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x x. (Bartle da Sherbert, 994: 7) Bukti :. a b Diketahui X koverge ke x Ambil sebarag V ligkuga dari x Karea V ligkuga dari x, sesuai dega defiisi 3, maka terdapat bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x aggota V.

Karea V diambil sebarag, maka utuk setiap V ligkuga dari x terdapat bilaga asli K sehigga utuk semua K maka x adalah aggota V.. b c Ambil sebarag 0 Misalka V adalah ligkuga dari x Berarti ada bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x V berarti x x x Karea 0 diambil sebarag berarti utuk setiap 0 terdapat bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x x x. 3. c d Ambil sebarag 0 Berarti ada bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x V Karea Karea x V berarti x x x. x x x maka x x Karea 0 diambil sebarag berarti utuk setiap 0 terdapat bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x x. 4. d a Misalka V sebarag Ligkuga dari x

Karea 0, berarti ada bilaga asli K sehigga utuk semua K, maka x x x x berarti x x x Berarti bahwa utuk semua K, maka x x x Jadi x V. Sesuai dari defiisi berarti X koverge ke x. Cotoh 9 Tujukka bahwa lim3 3 Jawab : Utuk meujukka lim3 3, Misal utuk sebarag 0, maka 0 Karea 0, maka terdapat bilaga asli K dega K. Jika K maka diperoleh K, maka

3 3 3 3 Karea 0, maka terdapat bilaga asli K sehigga utuk semua K maka 3 3 Sesuai dega teorema (d), terbukti bahwa lim3 3..3 Barisa Terbatas Defiisi 7 himpua Cotoh 0 Misal X x ) adalah barisa bilaga real, X dikataka terbatas jika ada ( bilaga real M 0 sedemikia higga x M utuk semua N. (Bartle da Sherbert, 994: 78) Berdasarka defiisi, maka barisa X x ) terbatas jika da haya jika x : N dari barisa X terbatas di R. 3 Misalka X,,,...,,.... 3 4 (

X terbatas karea ada bilaga real sehigga, utuk semua N...4 Barisa Mooto Defiisi 8 Misal x adalah barisa bilaga real. Barisa x dikataka barisa mooto aik, jika x, N x Cotoh (Bartle da Sherbert, 994: 87) Misalka x, N 3 4 5 6 Sehigga x 3, 4,,,...,,... N 3 4 Karea x x x3 x 3 5 3 4...... 3 maka x Defiisi 9 merupaka barisa mooto aik. Misal x adalah barisa bilaga real. Barisa x dikataka barisa mooto turu, jika

Cotoh x, N x (Bartle da Sherbert, 994: 87) X, N Misalka X 3, 5, 7, 9,...,... N 3 4 Sehigga x 3 x 5 x3 7 x4 9,... X,... maka X 3 4 Karea merupaka barisa mooto turu...5 Barisa Diverge Defiisi 0 Misalka X x adalah barisa bilaga real. disebut diverge ke, ditulis lim x X x M x R, M > 0, ada K N sehigga M, K (Abdussakir, 006 : 7), jika utuk setiap Cotoh 3 a. Misalka. X,0 Aka ditujukka bahwa lim x Ambil sebarag M K. R da M > 0. Sesuai sifat Archimedes maka ada N sehigga K > M, maka aka diperoleh x Sesuai dega defiisi 0 maka lim x M.

b. Misalka (x ) = (3 + ). Aka ditujukka bahwa lim x Ambil sebarag M. R da M > 0. Sesuai sifat Archimedes, maka ada K diperoleh N sehigga x M. K M. Jika K 3. maka aka Sesuai dega defiisi 0 maka lim x Defiisi Misalka X x adalah barisa bilaga real. disebut diverge ke -, ditulis lim x X x, jika utuk setiap M x R, M > 0, ada K N sehigga M, K (Abdussakir, 006 : 73) Cotoh 4 a. Misalka x Ambil sebarag M ada K. Aka ditujukka bahwa lim x. R da M > 0. Sesuai sifat Archimedes, maka N sehigga K > M. Jika K, maka aka diperoleh x M. Sesuai dega defiisi maka lim x b. Misalka x 5 3. Aka ditujukka bahwa lim x.

Ambil sebarag M R da M > 0. Sesuai sifat Archimedes, maka aka ada K N sehigga K M 3. Jika K 5, maka aka diperoleh x M. Sesuai dega defiisi maka lim x. Teorema 3 Misalka X x adalah barisa bilaga real. Bukti Jika X x mooto aik da tidak terbatas di atas, maka lim x (Abdussakir, 006 : 73). Ambil sebarag M R da M > 0. Karea x tidak terbatas di atas, maka M buka batas atas x. Jadi, ada K N sehigga M x k Karea x mooto aik, diperoleh M x x x x k k k k 3... Teorema 4 Jadi, jika K, diperoleh bahwa x Terbukti bahwa lim x M. Misalka X x adalah barisa bilaga real.

Jika X x mooto turu da tidak terbatas di bawah, maka lim x. (Abdussakir, 006 : 74) Bukti Ambil sebarag M R da M <0. Karea x tidak terbatas di bawah, maka M buka batas bawah x. jadi. ada K N sehigga M x k Karea x mooto turu, maka diperoleh M x x x x k k k k 3... Jadi, jika K, diperoleh bahwa x Terbukti bahwa lim x M. Relasi Rekursif Relasi rekursif adalah suatu topik petig da mearik dalam kombiatorik. Bayak permasalaha dalam matematika, khususya kombiatorik dapat dimodelka ke dalam betuk relasi rekursif. Suatu barisa didefiisika secara rekursif jika kodisi awal barisa ditetuka, da suku-suku barisa selajutya diyataka dalam hubugaya dega sejumlah suku-suku yag sudah diyataka sebelumya. Defiisi Misal k N, relasi rekursif liear dega koefisie kostata order k dapat ditulis dalam betuk

c0 x cx c x... ck xk f ( ) dimaa 0, c, c ck kostata da c,..., f suatu fugsi dalam, c 0. k Jika persamaa f 0 da jika 0 (Sutaro, 005: 50) Cotoh 5, maka disebut relasi rekursif liear homoge order k f disebut relasi rekursif tak homoge order k. x 3x adalah sebuah relasi rekursif liier order dega koefisie kostata. 3x 5x x 5 adalah sebuah relasi rekursif liier tak homoge order dega koefisie kotata. Solusi dari relasi rekursif adalah sebuah barisa p, p R. Sebuah P disebut solusi eksplisit persamaa c x c x c x... c x 0, 0 k k pada iterval I, jika P terdefiisi pada I da bila disubtitusika utuk x ke dalam c x c x c x... c x 0 memeuhi persamaa tersebut utuk setiap 0 k k dalam iterval I.. Teorema 5 Misal c, c R da jika diberika p da q dua solusi dari persamaa c0 x cx c x... ck xk 0 A, B R maka S, dimaa

s A( p p p... pk ) B( q q q... qk ), N juga solusi c x c x c x... c x 0 (Sutaro, 005: 5) 0 k k Bukti : Misal jika p da q c x c x c x... c x 0 maka 0 k k c0p cp cp... ck P k 0 c0q cq cq... ckqk 0 barisa bilaga real, dua solusi dari persamaa persamaa c0p cp cp... c P 0 dikali dega A da k k persamaa c0q cq cq... c q 0 dikali dega B sehigga di dapat k k Ac0 p Ac p Ac p... Ack pk 0 Bc0q Bcq Bcq... Bck qk 0 maka S A( p p p... pk ) B( q q q... q k ) ( Ac p Ac p... Ack pk ) ( Bc0q Bcq... Bc q 0 k k c ( Ap Bq ) c( Ap Bq )... ck ( Ap Bq 0 k k ) ) c S c S c S... c 0 k S k k0 c k S k

karakteristik. Jadi s adalah solusi dari relasi rekursif. Selajutya aka dibahas permasalaha mecari p dega persamaa misal x, c R utuk i,,3,..., k da r adalah sebarag bilaga, N, i i x r, r 0, maka persamaa c0 x cx c x... ck xk 0 mejadi c o r k cr cr... ck r 0 apabila dibagi dega k r diperoleh k k k c0r cr cr... ck 0 disebut persamaa karakteristik dari c x c x c x... c x 0 da dari 0 k k k k k persamaa c r c r c r... ck 0 diperileh ilai r, r, r3,..., rk yag 0 disebut akar-akar persamaa karakteristik. Teorema 6 k k k i. Jika persamaa c r c r c r... c 0 memiliki akar-akar 0 k persamaa karakteristik yag berbeda solusi utuk sembarag kostata r,...,, r, r3 rk, maka p adalah A, A, A,..., A 3 k R sedemikia

sehigga solusi umumya adalah p A r A r A r... A r,,,3,... 3 3 k k k k k ii. Jika persamaa c r c r c r... c 0 memiliki akar-akar 0 k karakteristik yag sama r r r,..., r k r 3 maka p adalah solusi utuk sembarag kostata A, A, A,..., A 3 k R sedemikia higga solusi umumya p A k r A r A r... A r,,,3,... 3 3 k k k k k iii. Jika persamaa c r c r c r... c 0 memiliki akar-akar 0 k persamaa yag kompleks, misal r i da r p A i B i A r cos ri si Br cos aisi Ar cos i si Br cos i si r r Acos Aisi r B cos Bi si ( A B)cos i( A B) si maka solusi umumya adalah p r C ic si C A B, C i( A B). (Sutaro, 005: 53) cos dimaa

.3 Bilaga dalam Al Qur a Pada bagia ii, aka dibahas keterkaita atara bilaga dalam matematika dega Al Qur a yag merupaka kitab suci umat Islam, diataraya sebagai berikut:. Himpua dalam Al Qur a Dalam Al Qur a himpua, relasi himpua da operasi himpua, cukup bayak dibicaraka. Sebagai cotoh, perhatika firma Allah SWT dalam surat Toha ayat 64 : Artiya : Maka himpukalah segala daya kamu sekalia, kemudia dataglah dega berbaris, da sesugguhya berutuglah orag yag meag pada hari ii. Surat Toha ayat 64 tersebut mejelaska tetag peritah utuk meghimpu segala daya upaya makhluk hidup. Maksud dari ayat ii lebih ditujuka atas usahausaha yag dilakuka oleh makhluk Tuha dega iat ibadah kepada Allah da mecari ridhonya. Agar lebih teratur dalam melakuka upaya tersebut maka Allah memeritahka membetuk barisa (salat) yag rapat agar Syaito tidak bisa meggaggu orag yag makhluk yag beribadah. Selai ayat di atas perhatika juga firma Allah dalam surat A-Nuur ayat 45:

Artiya: Da Allah telah meciptaka semua jeis hewa dari air, maka sebagia dari hewa itu ada yag berjala di atas perutya da sebagia berjala dega dua kaki sedag sebagia (yag lai) berjala dega empat kaki. Allah meciptaka apa yag dikehedaki-nya, sesugguhya Allah Maha Kuasa atas segala seuatu. Surat A-Nuur ayat 45 ii membicaraka tetag sekumpula makhluk yag disebut hewa. Diatara sekelompok hewa tersebut ada yag berjala di atas perutya (tapa kaki), sebagia berjala dega dua kaki atau empat kaki sesuai dega yag dikehedaki Allah SWT. Berdasarka kedua ayat di atas dapat diketahui bahwa di dalam Al Qur a teryata juga terdapat kosep matematika terutama yag membahas tetag himpua, yaitu sekumpula objek-objek yag terdefiisi dega jelas. Ketika umat Islam membaca Al Qur a maka pada surat Al Fatehah juga aka dijumpai bahwa mausia terbagi mejadi tiga kelompok, yaitu () kelompok yag diberi ikmat oleh Allah, () kelompok yag dimurkai da (3) kelompok yag sesat. Abdusysyakir (007: 0) megemukaka bahwa jika pembicaraa dari maka surat Al Fatehah dikaitka dega kosep relasi da operasi himpua, maka kelompok yag diberi ikmat aka salig lepas (disjoit) dega kelompok yag dimurkai da sesat.

Berkaita dega relasi bilaga bahwa relasi atau membadigka suatu bilaga biasaya dilakuka pada sepasag bilaga dega atura tertetu. Perhatika firma Allah SWT dalam surat Ash Shaffat ayat 47. Artiya: Da Kami utus dia kepada seratus ribu orag atau lebih.. Operasi Bilaga Adaya bilaga da relasi bilaga belum legkap, jika tidak dapat melakuka suatu aksi pada pasaga bilaga yag diberika da melakuka aksi pada pasaga bilaga biasaya disebut operasi. Operasi yag palig sederhaa adalah operasi hitug dasar bilaga da teryata dalam Al Qur a juga berbicara tetag operasi hitug dasar bilaga diataraya: a. Operasi Pejumlaha b. Operasi Peguraga c. Operasi Pembagia Sebagai cotoh perhatika firma Allah dalam surat Al Kahfi: 5 yag berbuyi: Artiya: Da mereka tiggal dalam gua mereka tiga ratus tahu da ditambah sembila tahu (lagi). Kosep matematika yag disebutka dalam ayat tersebut adalah operasi pejumlaha, yaitu 300 + 9. Jadi maka yag tersirat di balik ayat tersebut adalah

bahwa setiap muslim perlu memahami tetag bilaga da operasi bilaga. Tapa megeal bilaga, seorag muslim tidak aka memahami Al Qur a dega baik ketika membaca ayat-ayat yag berkaita tetag bilaga tersebut (Abdusysyakir, 006: 59). Pedekata terhadap ilai suatu barisa bilaga merupaka suatu hal yag petig utuk dilakuka karea dega melakuka aproksimasi atau peghampira aka diperoleh ilai pedekata terhadap barisa tersebut. Dalam al-qur a surat al- Maidah ayat 35, Allah SWT mejelaska bahwa: Artiya: Hai orag-orag yag berima, bertakwalah kepada Allah da bersugguh-sugguhlah mecari jala yag medekatka diri kepada-nya da berjihadlah pada jala-nya supaya kamu medapat keberutuga (Q.S. Al-Maidah: 35). Ayat ii megajak mausia utuk selalu medekatka diri kepada Allah meskipu dalam hati mereka baru ada secercah ima. Meurut Shihab (00: 87), kata wasilah mirip makaya dega washilah yaki sesuatu yag meyambug sesuatu dega yag lai. Wasilah adalah sesuatu yag meyambug da medekatka sesuatu dega yag lai atas dasar keigia yag kuat utuk medekat. Tetu saja terdapat bayak cara yag dapat diguaka utuk medekatka diri kepada ridha Allah, amu kesemuaya haruslah yag dibearka oleh-nya. Hal ii bermula dari rasa kebutuha kepada-nya.

Lebih lajut Shihab (00: 88) megemukaka bahwa ayat ii dijadika oleh semetara ulama sebagai dalil yag membearka apa yag diistilahka dega tawassul yaitu medekatka diri kepada Allah dega meyebut ama Nabi saw da para wali (orag-orag yag dekat kepada-nya) yaitu berdoa kepada Allah gua meraih harapa demi abi da atau para wali yag dicitai Allah swt. Kosep koverge da diverge dalam matematika sagat mirip dega istilah washilah. Koverge di sii bisa diartika dega terus medekat, sedagka diverge bisa diartika dega semaki mejauh. Semaki besar ilai yag diigika mugki aka semaki medekati pada ilai pucak, begitu juga sebalikya semaki besar ilai yag ditujuka mugki aka mejauhi ilai utama sehigga tidak mempuyai batasa yag jelas. Misalka dalam limit itu terdapat ilai, maka ilai tersebut tidak lepas dari pedekata-pedekata suatu ilai yag dilakuka, misal sebelum ilai tersebut mucul ilai 0.5,0.8, da 0.9 sehigga ilai-ilai tersebut jika diteruska pada pedekata suatu ilai tertetu maka aka sampai pada ilai yag kotiyu.nilai yag seperti ii diamaka ilai yag koverge. Misalka dalam limit itu tidak ditemuka titik atau ilai pucak, walaupu didekati dega ilai yag besar. Maka limit tersebut tidak memiliki ilai karea semaki mejauhi dari ilai pucak. Sehigga ilai tersebut diamaka dega ilai yag diverge.

3. Meyelesaika Relasi Rekursif BAB III PEMBAHASAN. Peyelesaia Relasi Rekuresif Dega Iterasi Peyelesaia relasi rekuresif dega iterasi merupaka metode yag sagat medasar. Prisipya adalah sebagai berikut : Cotoh. Meghitug suku-suku barisa secara beruruta terus meerus higga kita memperoleh pola tertetu.. Kemudia, berdasarka pola tersebut rumus eksplisit dibuat. 3. Utuk medapatka pola-pola suku tersebut, barisa dapat dihitug secara meaik ( dihitug berturut-turut a0, a, a,... ) atau meuru ( dihitug berturut-turut a, a, a,... ). Misalka a0, a, a,... adalah barisa yag didefiisika secara rekursif sebagai berikut : a k dega kodisi awal a0 ak 4 Carilah rumus eksplisit barisa tersebut dega megguaka metode iterasi. Peyelesaia : Metode iterasi aka diselesaika secara meuru da secara meaik. a k ak 4 ak 4 4.4 ak

ak 3 4.4 = 3 3.4 ak ak 4 4 3.4 = 4 4.4 ak ak 5 4 4.4 = 5 5.4 ak Berdasarka pola yag ada, terlihat bahwa : a a k.4 a k.4 k k k 0 Karea a0 maka peyelesaia persamaa rekursif adalah ak k.4 Jika diselesaika dega cara meaik : a a0 4 a a 4 ( a 4) 4 a 4 4 a.4 0 0 0 a a 4 ( a 4 4) 4 a 4 4 4 a 3.4 3 0 0 0 a a 4 ( a 4 4 4) 4 a 4 4 4 4 a 4.4 4 3 0 0 0. ak a0 k.4 4k. Peyelesaia Relasi Rekursif Melalui Persamaa Karakteristik. Relasi Rekursif Liear Dega Koefisie Kosta Misalka da k adalah bilaga-bilaga bulat tidak egative dega k. Relasi rekuresif liear berderajat k adalah relasi yag berbetuk :

c ( ) a c ( ) a... c ( ) a f ( ) 0 k k da c ( ) 0 k Jika c0 ( ), c ( ),..., ck ( ) semuaya kostata, maka relasi rekursif disebut relasi rekursif liear dega koefisie kosta. Jadi relasi rekursif liear dega koefisie kostata adalah : c0a ca... ckak f ( ) Apabila dalam persamaa tersebut, f() = 0, maka relasi rekursifya disebut relasi rekursif homoge liear dega koefisie kosta. Jika tidak demikia, maka o homoge. Misalya: (I). a 3 r r ar adalah sebuah relasi rekursif liear berderajat satu dega koefisie kostata. (II). a a 0; a a a, 3 adalah relasi rekursif liear ohomoge berderajat dua dega koefisie kostata. (III). a a ; a a a, 3 adalah relasi rekursif liier ohomoge berderajat dua dega koefisie kostata. a a ; a a a a a... a a, adalah relasi rekursif liier (IV). 0 0 0 (V). D0 ; D D ( ), adalah relasu rekursif liier ohomoge dega koefisie okostata Dalam kajia ii, ala dibahas cara meyelesaika relasi rekursif liear dega koefisie kosta c0a ca... c a f ( ) k k

Utuk meyelesaikaya, ada lagkah yag harus dilakuka. Pertama, relasi rekursif terlebih dahulu dibuat homoge dega cara megambil f ( ) 0. Lagkah kedua adalah mecari peyelesaia khususya. Peyelesaia relasi rekursif kiear dega koefisie kosta adalah gabuga dari peyelesaia homoge da peyelesaia khusus yag disebut dega peyelesaia total. Cotoh Carilah peyelesaia total relasi rekursif dibawah ii : a 7a 0a 4 utuk dega kodisi awal a0 8 da a 36 Peyelesaia : Relasi rekursif homogeya adalah : a 7a 0a 0 Persamaa karakteristikya adalah x 7x 0 0 Sehigga akar-akar karakteristikya adalah x, x 5 Peyelesaia homogeya adalah a c c5 Karea f 4 da 4 buka akar karakteristik, maka utuk mecari peyelesaia k khusus diuji dalam betuk a P(4).Peyelesaia khusus ii selajutya disubstitusika ke relasi rekursif mula-mula. Sehigga diperoleh : P P P 4 7( 4 ) 0( 4 ) 4 P 4 (4 7.4 0) 4 P4 4 -P = 6

P = -8 k Sehigga peyelesaia khususya adalah a 8(4) Peyelesaia Total = peyelesaia homoge + peyelesaia khusus a c c 5 8(4) Utuk mecari ilai c da c, diguaka kodisi awal yag diberika: a0 8 sehigga 8 c c 5 8(4) 0 0 0 8 c c 8 6 c c a 36 sehigga 36 c c 5 8(4) 36 c 5c 3 68 c 5c Di dapat system persamaa liier c c 6 c 5c 68 yag bila diselesaika aka meghasilka c 4 da c Jadi peyelesaia relasi rekursif mula-mula adalah a 4() (5) 8(4)

. Peyelesaia Relasi Rekursif Homoge Liear Dega Koefisie Kosta kosta : Misalka diberika suatu relasi rekursif homoge limier dega koefisie a ca... ckak 0 dega ck 0 da k..() Persamaa karakteristik yag sesuai dega relasi rekursif tersebut adalah : k k t c t... c k 0..() Misalka,, 3,... k adalah akar-akar persamaa karakteristik. Ada dua kemugkia akar yaitu :. Semua akar berbeda Jika semua akar persamaa karakteristik () berbeda, maka relasi rekursif () mempuyai peyelsaia : a c c c (3)... kk dega c, c,..., c k adalah kostata yag ilaiya ditetuka berdasarka kodisi awal.. Ada akar yag kembar. Misalka persamaa karakteristik () mempuyai p buah akar yag sama. Jadi akarakarya adalah :...,,..., p p k Maka peyelesaia relasi rekursif () adalah :

a c c... c c... c (4) p p p P k k dega c, c,..., c k adalah kostata-kostata yag ialiya ditetuka berdasarka kodisi awal. Cotoh a 3a 4a utuk dega kodisi awal a0 da a 3 Peyelesaia : Relasi rekuresi a 3a 4a 0,merupaka relasi rekursif homoge liier dega koefisie kosta. Persamaa karakteristik yag sesuai adalah t t t t 3 4 ( 4)( ) 0 yag mempuyai akar-akar karakteristik 4 da. Karea semua akar-akar karakteristikya berbesa, maka peyelesaiaya adalah : a c 4 c ( ) Utuk meetuka c da c, diguaka kodisi awal : a0 sehigga c 4 c ( ) 0 0 c c a 3 sehigga 3 c (4) c ( ) 3 4c c

Didapatka system persamaa liear : c c 4c c 3 4 yag mempuyai peyelesaia c da 5 c Maka mempuyai relasi rekursif a 3a 4a 0 adalah 4 a (4) ( ) 5 5 Cotoh 3 Diketahui barisa Fiboacci 0,,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55 yag didefiisika dega persamaa T T T 0 dega kodisi awal T Peyelesaia : 5 T 0 0 da Persamaa karakteristik yag sesuai dega relasi rekursif barisa Fiboacci T T T 0 adalah x x x 0 apabila dibagi dega x maka diperoleh x x 0. Dari persamaa x x 0 diperoleh akar-akar persamaa karakteristikya yaitu : x a b b 4ac

x 4(( )) () x Sehigga diperoleh 5 x 5 x 5 Jadi akar-akar karakteristikya adalah x 5 da x 5 3. Karea x x maka betuk solusi umumya adalah 5 5 P( ) a b Utuk mecari a da b adalah dega memasukka kodisi awal dari permisala P() yaitu P(0) 0 P() sehigga diperoleh sistem persaaa yag berbetuk 0 0 5 5 a b 0 5 5 a b

Dari persamaa terakhir ii, diperoleh a 5 b 5 kemudia disubstitusika ke solusi umumya, maka diperoleh P( ) 5 5 5 Cotoh 4 a 7a 6a a 0 utuk 3 3 dega kodisi awal a0, a 4 da a 8 Peyelesaia : Persamaa karakteristik yag sesuai dega relasi rekursif a 7a 6a a 0 adalah t 3 7t 6t ( t ) ( t 3) 0 3 Persamaa karakteristik mempuyai akar kembar da 3 3, sehigga a c c c 3. peyelesaiaya adalah 3 Dega megguaka kodisi awalya, maka ilai c, c da c 3 bisa ditetuka a0 c c (0) c 3 sehigga 0 0 3 c c 3

a 4 4 c c () c 3 sehigga 4 c c 3c 3 3 4 c c 3c 3 a 8 8 ( c c ) c 3 sehigga 3 8 ( c c )4 9c 3 8 4c 8c 9c 3 Didapat system persamaa liier : c c c c 3c 4 3 4c 8c 9c 8 3 yag mempuyai peyelesaia c 5, c 3 da c3 4 Peyelesaia relasi rekursif a 7a 6a a3 0 adalah : a (5 3 ) 4(3 ).3 Relasi Rekursif Tidak Homoge dega Koefisie Kostata Betuk umum dari relasi rekursif liear tidak homoge dega koefisie kostata adalah sebagai berikut :

a ca... ckak f ( ); ck 0, f ( ) 0, dega k kodisi awal (syarat batas), da utuk i k c = kostata. Belum ada prosedur umum utuk meetuka solusi khusus bagi suatu relasi rekursif. Dalam kasus yag sederhaa, pertama-tama yaitu dega membuat betuk umum dari solusi khusus berdasarka betuk f(), da kemudia meetuka solusi pastiya berdasarka relasi rekursif yag diberika. Perhatika kasus-kasus berikut ii. Kasus Bila f() merupaka suatu poliom berderajat t didalam yaitu, i A A... A A t t t t Maka betuk umum solusi khususya B B... B B t t t t Cotoh Misalka mecari solusi khusus utuk relasi rekursif tidak homoge a a a..() 5 6 3 Solusi khususya mempuyai betuk B B B () 3 dega mesubstitusika () ke dalam (), diperoleh ( B B B ) 5( B ( ) B ( ) B ) 3 3 6( B ( ) B ( ) B ) 3 3 setelah disederhaaka mejadi

B (34B B ) (9B 7B B ) 3..(3) 3 Dega membadigka koefisie kedua ruas (3), maka dapat diperoleh persamaapersamaa B 3 34B B 9B 7B B 3 yag meghasilka 4 B ; 3 B ; 3 4 B 7 88 Jadi, solusi khususya adalah ( p) 3 7 a 4 4 88 Kasus Bila f() berbetuk, maka solusi khususya aka berbetuk umum syarat buka akar karakteristik relasi rekursif tersebut. Cotoh Misalka mecari solusi khusus utuk relasi rekursif tidak homoge B, dega a 5a 6a 4.4..() Solusi khususya mempuyai betuk umum B.4..() Dega mesubstitusika () ke dalam (), dapat diperoleh B B B.4 5.4 6.4 4.4

B B B.4 5.4.4 6.4.4 4.4 B.4 5. B.4 6. B.4 4.4 4 6 4. B.4 4.4 6 B 6 Jadi, solusi khususya adalah a ( p) 6.4 kasus 3 Bila f() berbetuk perkalia atara poliom dega fugsi ekspoe, maka solusi khususya aka berbetuk perkalia atara kasus dega kasus. Yaitu, bila f() berbetuk ( A A... A A ) t t t t Maka betuk umum solusi khususya ( B B... B B ) t t t t Cotoh 3 Misalka mecari solusi khusus utuk relasi rekursif tidak homoge a 3. a...() Persamaa karakteristikya: x 3.

Solusi khususya mempuyai betuk umum B B 0. Dega mesubstitusika () ke dalam (), maka diperoleh B B. B ( ) B. 3. 0 0..() B. B. B. B. B. 3. 0 0 B B B B B 0. 0..... 3. B 3B0 B B.. 3..(3) Dega membadigka koefisie kedua ruas (3), didapat peroleh persamaapersamaa B 3B0 B B 3 da 0 B da B0 3 Jadi, solusi khususya adalah a ( p). 3 3. Meyelesaika Relasi Rekursif dega Fugsi Pembagkit Utuk suatu relasi rekursif ordo ke-k yag mespesifikasika suatu fugsi umeric, maka harus diketahui utuk ilai-ilai berapa saja relasi itu berlaku. Perlu dicatat bahwa relasi itu berlaku haya jika melibatka a i, sesuatu yag tidak didefiisika. k sebab, utuk < k, relasi itu aka

Prosedur umum utuk meetuka fugsi pembagkit bagi fugsi umerik a dari relasi rekursif c0a ca ca... ckak f ( ) yag berlaku utuk persamaa ii dega maka diperoleh s karea s s s, dalam hal ii s k. Dega megalika kedua ruas z da kemudia mejumlahka hasilya dari = s ke, c0a ca ca... ckak z f ( ) z s c a z c A( z) a a z a z... a z s 0 0 0 s c a z c z A( z) a a z a z... a z s 0 s.. s c a z c z A( z) a a z a z... a z k sk k k k 0 sk maka dapat diperoleh s f ( ) z c0 a0 az az... as z s s A( z) c z a0 az az... asz k c0 cz... ck z... k ck z a a z a z... a z sk 0 sk

Cotoh Misalka meyelesaika relasi rekursif a 5a 6a,, dega syarat batas a0 da a, dega terlebih dahulu mecari fugsi pembagkitya, A( z ). Karea az 5 a z 6 az z rz maka diperoleh 4z A( z) a0 az 5 z A( z) a0 6 z A( z) z ( z) yag dapat disederhaaka mejadi 8z 7z 35z 4z A( z) ( z) ( z) ( 3 z) 3 4 5/ 4 / 3 7 / 4 A( z) z ( z) z ( z) 3z Sehigga diperoleh 5 7 a ( ) 3. ( ).3 4 4 7 7 a 4 4. 5..3

3. Implemetasi Relasi Rekursif dalam Agama Islam Telah diuraika pada bab terdahulu bahwa barisa Rekursif dega betuk umum u au bu, diberika koefisie a da b berupa bilaga real buka bilaga kompleks. Barisa ii didefiisika secara rekursif sehigga ilai-ilai dari suku berikutya dapat diketahui dega mudah da dapat meetuka solusi umumya. Pada zama Rasulullah SAW sebearya ilmu matematika terutama yag berhubuga dega barisa telah berkembag meskipu tidak serumit atau sekomplek barisa yag ada di pelajara Matematika. Meski demikia, jika diaalogika dega Al Qur'a, maka dapat ditemui bahwa seolah-olah ada beberapa kaduga ayat Al Qur'a yag berisi tetag rumus-rumus barisa dalam matematika. Hal iilah yag meujukka bahwa Allah SWT Maha Matematis. Perhatika QS Ash Shaf ayat 4 : Artiya : Sesugguhya Allah megetahui orag-orag yag berperag di jalanya dalam barisa yag teratur seaka-aka mereka seperti suatu bagua yag tersusu kukuh. Dega kodisi awal yag telah ditetuka, maka ilai dari barisa rekursif aka selalu bertambah. Hal ii dapat diikmati oleh pembaca bahwa ilai dari barisa rekursif itu tidak terbatas di atas da sampai tak higga. Sebagaimaa kosep

Al_Qur a tetag pemberia ikmat oleh Allah SWT yag sagat luas tak terbatas. Sebagaimaa dalam surat A Nahl ayat 8 yag berbuyi : Artiya : Da jika kamu meghitug-hitug ikmat Allah, iscaya kamu tak dapat meetuka jumlahya. Sesugguhya Allah bear-bear Maha Pegampu lagi Maha Peyayag. Kosep koverge da diverge dari limit suatu barisa meggambarka bahwa terdapat pedekata ilai dari suatu barisa. Ada yag semaki medekati ilai ol, sehigga barisa tersebut bersifat koverge, da ada pula yag ilaiya mejauhi sampai tak higga sehigga barisa tersebut bersifat diverge. Dalam padaga Al-Qur a dapat pula dikaitka dega bagaimaa Allah SWT memberi ikmat pada makhluk-nya. Allah SWT itu maha pemurah, di maa ketika mausia berbuat satu kebaika maka Allah SWT aka memberiya pahala 0, sedagka jika mausia berbuat satu kejahata maka Allah SWT aka membrika catata dosa. Hal ii meujukka betapa Allah SWT Maha Pemurah dalam memberika ikmat-nya. Tetapi di lai itu Allah SWT juga memberi azab bagi yag tidak mesyukuri ikmat-nya. Sebagaimaa yag tercatum dalam surat Ibrahim ayat 7 yag berbuyi : Artiya : Da (igatlah juga), tatkala Tuha-Mu memaklumka. Sesugguhya jika kamu bersyukur, pasti kamu aka meambah (ikmat) kepadamu, da jika kamu megigkari (Nikmat-Ku), maka sesugguhya azabku sagat pedih.

BAB IV PENUTUP 4. Kesimpula Suatu relasi rekursif dapat diaplikasika dalam beberapa betuk formula dikarea megguaka tahapa-tahapa dalam meyelesaikaya. Tahapa yag dimaksud adalah dega cara iterasi, dega persamaa karakteristik, da dega fugsi pembagkit. Dega formula tersebut maka barisa yag didefiisika secara rekursif tidak perlu megguaka kodisi awal lagi dalam meetuka ilaiya. Utuk meetuka ilai suatu barisa yag didefiisika secara rekursif dapat megguaka relasi rekursif. Dalam meyelesaika relasi rekursif dapat megguaka beberapa cara yaitu cara iterasi, persamaa karakteristik, da fugsi pembagkit. Cara iterasi dapat meetuka solusi umum dega beberapa lagkah yaitu: 4. Meghitug suku-suku barisa secara beruruta terus meerus higga kita memperoleh pola tertetu. 5. Kemudia, berdasarka pola tersebut rumus eksplisit dibuat. 6. Utuk medapatka pola-pola suku tersebut, barisa dapat dihitug secara meaik ( dihitug berturut-turut a0, a, a,... ) atau meuru (dihitug berturut-turut a, a, a,... ). Sedagka cara megguaka persamaa karakteristik dapat dispesifikasika dega beberapa tahap yaitu :

. Relasi Rekursif Liear Dega Koefisie Kosta.. Peyelesaia Relasi Rekursif Homoge Liear Dega Koefisie Kosta. 3. Relasi Rekursif Tidak Homoge dega Koefisie Kostata. Cara yag terakhir utuk meyelesaika trelasi rtekursif adalah dega megguaka fugsi pembagkit. Prosedur umum utuk meetuka fugsi pembagkit bagi fugsi umerik a dari relasi rekursif c0a ca ca... ckak f ( ) yag berlaku utuk persamaa ii dega s, dalam hal ii s k. Dega megalika kedua ruas z da kemudia mejumlahka hasilya dari = s ke 4. Sara Peulis saraka kepada pembaca khususya bagi mahasiswa jurusa mahasiswa jurusa matematika agar megembagka kajia tetag relasi rekursif, khususya dalam meetuka solusi umum barisa bilaga real megguaka relasi rekursif. Setelah meetuka solusi umum tersebut mugki pembaca dapat megembagkaya dega meetuka sifat dari solusi umum tersebut apakah koverge atau diverge, da utuk meghitug ilaiya bisa juga dilakuka dega mejalaka program Matlab da agar bisa meampilka grafikya.

DAFTAR PUSTAKA Abdusysysakir. 006. Aalysis Real. Malag: UIN Malag Press. Abdusysyakir. 007. Ketika Kyai Megajar Matematika. Malag: UIN Malag Press. Bartle, R.G ad Sherbet, D.R. 98. Itroductio to Real Aalysis, d ed. New York: Joh Wiley ad sos. Fletcher P. Hoyle H, Waye, C. P. 99. Fudatio of Discrete Mathematic. Bosto: Pws Ket Publishig Compay. Halmos, Paul R. 978. Measure Theory. New York: Spiger Verlag Toppa Compay. Hutahaea, Efedi. 989. Aalisis Real II. Jakarta: Peerbit Karuika Uiversitas Terbuka. Hutahaea, Efedi. 994. Seri Matematika Fugsi Riil. Badug: Peerbit ITB Liu, G. L. Dasar-dasar matematika diskret, edisi kedua. Jakarta: Gramedia. Mardalis. 995. Metode Peelitia Suatu Pedekata Proposal. Jakarta: PT Aksara. Nive, Iva da Zuckerma. 980. A Itroductio To The Theory Numbers. New York: Joh Willey & So. Parzyski ad Zipse. 98. Itroductio to Mathematical Aalysis. New York: Mc Grow Hill Book Compay. Purcell, Edwi J. 003. Kalkulus Jilid. Jakarta: Peerbit Erlagga. Shihab, Muhammad Quraish. 00. Tafsir Al-Misbakh. Jakarta: Letara hati Siag, Jog Jek. 00. Matematika Diskrit da Aplikasiya Pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Adi. Soematri, R. 993. Materi Pokok Aalisis Real I. Jakarta: Peerbit Karuika Uiversitas Terbuka. Sutaro, Heri, dkk. 005. Matematika Diskrit. Malag: UM Press.