BAB V TEOEMA-TEOEMA AGKAIA 5. Teorema Superposs Teorema superposs bagus dgunakan untuk menyelesakan permasalahan-permasalahan rangkaan yang mempunya lebh dar satu sumber tegangan atau sumber arus. Konsepnya adalah melhat bahwa besar arus yang mengalr pada tap cabang merupakan penjumlahan dar tap-tap arus yang dhaslkan oleh masng-masng sumber tegangan atau sumber arus yang terpasang pada rangkaan tersebut. Msalkan dalam sebuah rangkaan ada sumber. Kta ngn menghtung besar arus I yang melewat pada salah satu cabang rangkaan. Caranya adalah, pertama kta plh salah satu sumber kta paka sebaga sumber tunggal. Untuk sumber yang lan berlaku ketentuan berkut: Jka sumber lannya berupa sumber tegangan, maka dlakukan hubung sngkat. Jka sumber lannya berupa sumber arus, maka sumber arus dputus (rangkaan terbuka). Kemudan kta htung besar arus yang melewat cabang yang dtanyakan untuk sumber pertama, msalnya I. Dengan cara yang sama kta kerjakan untuk sumber yang lan, msalnya dperoleh I 2, I 3, I. Maka besar arus yang melewat cabang tersebut adalah : I = I + I 2 + I 3 +..+ I. Teorema n hanya berlaku untuk rangkaan yang bersfat lner, yatu rangkaan yang memenuh persamaan f(x) = k x, dmana k = konstanta dan x = varable, dengan beberapa buah sumber tegangan atau sumber arus. Contoh 5. Tentukan besar arus pada rangkaan berkut menggunakan teorema superposs. FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL
Jawab: Pertama kta plh sumber tegangan 2V kta paka sebaga sumber tunggal. Sedangkan sumber yang lan berupa sumber arus A, dgant dengan rangkaan terbuka (dputus). Maka dperoleh gambar berkut Berdasarkan Gambar datas maka: Selanjutnya kta plh sumber arus A sebaga sumber tunggal. Maka sumber yang lan yatu sumber tegangan 2V, dgant dengan hubung sngkat, dperoleh Gambar berkut. FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 2
Besar arus 2 adalah: Sehngga, besar arus adalah : Contoh 5.2 Tentukan besar arus pada rangkaan berkut menggunakan teorema superposs. Jawab: Sumber tegangan 7V dplh sebaga sumber tunggal. Sumber lannya 6V dhubung sngkat, sedangkan arus 2A dputus, dperoleh Gambar berkut. FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 3
Sehngga dperoleh: Plh sumber tegangan 6V dpaka sebaga sumber tunggal. Sumber lannya 7V dhubung sngkat, dan arus 2A dputus, dperoleh Gambar berkut. Maka besar 2 dapat dhtung dengan cara berkut Sumber arus 2A dpaka sebaga sumber tunggal, sumber lannya 7V dan 6V dhubung sngkat, dperoleh Gambar berkut FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 4
Maka besar 3 dapat dhtung dengan cara berkut Sehngga besar adalah Contoh 5.3 Tentukan besar arus pada rangkaan berkut menggunakan teorema superposs. Jawab: FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 5
angkaan datas hanya mengandung 2 (dua) sumber arus bebas. Karena tu dengan superposs keadaan yang bsa danalss hanya ada dua. Plh arus 8A sebaga sumber tunggal, dperoleh Gambar berkut Besar dhtung dengan cara berkut Plh arus 4A sebaga sumber tunggal, dperoleh Gambar berkut Besar 2 dhtung dengan cara berkut Sehngga besar adalah: FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 6
5.2 Teorema Thevenn Jka dketahu sebuah rangkaan aktf memlk satu sumber atau lebh dan terdr dar susunan tahanan, maka rangkaan tersebut dapat dsederhanakan menggunakan Teorema Thevenn. Teorema Thevenn dgunakan untuk menyederhanakan analss rangkaan, dengan cara menggant rangkaan menjad sebuah rangkaan yang hanya terdr dar sebuah sumber tegangan tunggal yang dhubungkan secara ser dengan sebuah tahanan tunggal. Teorema n menyatakan bahwa Sebuah rangkaan bsa dsederhanakan menjad sebuah sumber tegangan yang dhubungkan ser dengan tahanan penggantnya. Berkut adalah langkah-langkah untuk menentukan besarnya arus dan tegangan dalam suatu rangkaan menggunakan metode Thevenn. Msalkan dketahu rangkaan sepert Gambar 5-(a).. Berdasarkan rangkaan yang dketahu, pertama dcar dahulu Tegangan Thevenn (V TH ), yatu, tegangan yang dperoleh dengan cara melepaskan komponen yang akan dcar besar arus atau tegangannya. 2. Selanjutnya mencar nla tahanan penggant ( TH ) yatu, tahanan yang dperoleh dengan cara berkut: a. Jka semua sumber merupakan sumber bebas, maka sumber tegangan dhubung sngkat sedangkan sumber arus dlepas (rangkaan terbuka). b. Jka ada sumber tak bebas, maka dcar dahulu I TH, kemudan T dcar menggunakan hukum Ohm: TH = V TH /I TH. 3. Gambar rangkaan penggant Thevenn (Gambar 5-(b)) dan pasangkan kompenen yang telah dlepaskan. Dengan menggunakan hukum Ohm dapat dperoleh besar tegangan drop dan kuat arus yang mengalr pada komponen tersebut. angkaan Aktf (a) (b) Komponen yang akan dcar besar I atau V TH V TH + (a) (b) Komponen yang akan dcar besar I atau V (a) Gambar 5-: (a) angkaan aktf (b) (b) angkaan penggant Thevenn FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 7
Contoh 5.4 Tentukan besar arus pada rangkaan berkut menggunakan teorema Thevenn. Jawab: arus pada rangkaan terletak pada tahanan = 4Ω. Ber tanda termnal a-b pada tahanan tersebut. Htung tegangan V TH dttk a-b pada saat konds terbuka. VTH Vab 5 4.6 9 V Karena rangkaan hanya mengandung sumber bebas, maka untuk mencar TH, semua sumber d nonaktfkan. TH ab 8x 4 4 8 Gambar rangkaan penggant Thevennnya adalah FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 8
Sehngga besar arus pada rangkaan adalah : 9 4 4 9 8 A Contoh 5.5 Tentukan besar arus pada rangkaan berkut menggunakan teorema Thevenn. Jawab: arus pada rangkaan terletak pada tahanan = 6Ω. Ber tanda termnal a-b pada tahanan tersebut. Htung tegangan V TH dttk a-b pada saat konds terbuka. Dalam hal n V ab lebh mudah dhtung menggunakan analss node. FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 9
Lhat node v (KC): v 6 v v 2 2 6V 3 Maka : V ab.3 v 2 6 28V 4 Karena rangkaan hanya mengandung sumber bebas, maka untuk mencar TH, semua sumber d nonaktfkan. TH ab 6.2 6 2 4 8 Gambar rangkaan penggant Thevennnya adalah Sehngga besar arus pada rangkaan adalah : 28 2A 8 6 Contoh 5.5 Tentukan besar V ab pada rangkaan berkut menggunakan teorema Thevenn. Jawab: V ab pada rangkaan terletak pada sumber arus 2A. Ber tanda termnal a-b pada sumber arus tersebut. Htung tegangan V TH dttk a-b pada saat konds terbuka. FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL
Menggunakan konsep pembag tegangan: 24 48 V Vab Vax Vxb.( 24).24 24 24 48 24 TH 4 Karena rangkaan hanya mengandung sumber bebas, maka untuk mencar TH, semua sumber d nonaktfkan. V TH ab 24.24 24 24 24.28 24 28 28 Gambar rangkaan penggant Thevennnya adalah Sehngga V ab 4 28.2 52 V Contoh 5.6 Tentukan besar tegangan V pada rangkaan berkut menggunakan teorema Thevenn. FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL
Jawab: V pada rangkaan terletak pada tahanan 3Ω. Ber tanda termnal a-b pada tahanan tersebut. Htung tegangan V TH dttk a-b pada saat konds terbuka. V TH V ab 2. 2 3 2 Kta lhat pada Gambar datas bahwa = 6A, sehngga VTH Vab 3 2 3( 6) 2 3 V Karena pada rangkaan terdapat sumber tak bebas, maka untuk menghtung TH tdak bsa langsung menonaktfkan semua sumber. Karena tu TH dcar dengan cara menghtung I TH terlebh dahulu, yatu arus yang dperoleh saat termnal a-b dhubung sngkat. TH sc 2 6 Hukum KVL: 2 2. 4A 2 2. 2 Sehngga, ITH sc 2 6 4 6 A Maka TH VTH 3 ITH 3 Gambar rangkaan penggant Thevennnya adalah FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 2
Dengan menggunakan konsep ppembag tegangan, maka besar tegangan V adalah: 3 V.3V 5V 3 3 Contoh 5.7 Tentukan besar arus pada rangkaan berkut menggunakan teorema Thevenn. Jawab: arus pada rangkaan terletak pada tahanan Ω. Ber tanda termnal a-b pada tahanan tersebut. Htung tegangan V TH dttk a-b pada saat konds terbuka. VTH Vab 2 3( 6) 6V Karena pada rangkaan terdapat sumber tak bebas, maka TH dcar dengan cara menghtung I TH terlebh dahulu, yatu arus yang dperoleh saat termnal a-b dhubung sngkat. Hukum KVL: FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 3
2 sc sc 3( sc 6 A 5 6) Dalam hal n, 2 I TH sc VTH 6 Jad, TH 5 ITH 6/5 Gambar rangkaan penggant Thevennnya adalah 6 Jad, A 5 5.3 Teorema orton Teorema orton dgunakan untuk menentukan besar arus yang melewat sebuah komponen yang terdapat dalam rangkaan. Dengan teorema n kta bsa menyederhanakan rangkaan hngga menjad rangkaan yang hanya terdr dar sebuah sumber arus I (arus orton) yang dhubungkan secara paralel dengan tahanan ekvelennya (Tahanan orton). Arus orton adalah arus yang mengalr pada komponen, saat komponen tersebut dhubung sngkat. Sehngga arus orton dsebut sebaga arus hubung sngkat. Tahanan orton adalah tahanan penggant rangkaan setelah menonaktfkan semua sumber yang terdapat dalam rangkaan. Gambar 5-2 menunjukkan skema rangkaan ekvalen orton. angkaan Aktf (a) (b) Komponen yang akan dcar besar I atau V I (a) (b) Komponen yang akan dcar besar I atau V (a) (b) Gambar 5-2: (a) angkaan aktf (b) angkaan penggant orton FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 4
Langkah-langkah penyelesaan dengan teorema orton:. Car dan tentukan ttk termnal a-b dmana parameter yang dtanyakan. 2. Lepaskan komponen pada ttk a-b tersebut, short crcut kan pada termnal a-b kemudan htung nla arus dttk a-b tersebut (I ab = I sc = I ). 3. Jka semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nla tahanan dukur pada ttk a-b tersebut saat semua sumber d non aktfkan dengan cara dgant dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas dgant rangkaan short crcut dan untuk sumber arus bebas dgant dengan rangkaan open crcut) ( ab = = th ). 4. Jka terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencar nla tahanan penggant ortonnya ddapatkan dengan cara V I OC 5. Untuk mencar V oc pada termnal ttk a-b tersebut dbuka dan dcar tegangan pada ttk tersebut (V ab = V oc ). 6. Gambarkan kembal rangkaan penggant ortonnya, kemudan pasangkan kembal komponen yang tad dlepas dan htung parameter yang dtanyakan. Contoh 5.8. Dengan mempergunakan teorema orton carlah bag jarngan pada Gambar. 2 kω 3 kω 4 V + 2 ma kω Gambar : Lhat contoh soal. Jawab: FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 5
Untuk mencar arus orton ( SC ) kta gant rangkaan tahanan kω dengan rangkaan hubung sngkat 2 kω 3 kω 4 V + 2 ma Gambar 2: Gambar dmana kω dgant dengan rangkaan hubung sngkat. dengan mempergunakan superposs yatu pertama jka sumber tegangan 4 V bekerja maka sumber arus 2 ma dgant dengan rangkaan hubung terbuka, 2 kω 3 kω 4 V + ( SC ) 4V (a) Gambar 3a: Gambar dmana sumber arus 2 ma dhubung terbuka. ( ) 4 4 2 3 SC V, 8 ma dan kedua yatu dengan menggant sumber tegangan 4 V dengan rangkaan hubung sngkat. FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 6
2 kω 3 kω ( SC ) 2mA 2 ma (b) Gambar 3b: Gambar dmana sumber tegangan 4 V dhubung sngkat. ( ) 2 2 2 3 4 5 SC ma 2, 8 ma maka ( SC ) total,8,8, 6 ma Sehngga rangkaan ekvalen orton untuk Gambar 3 adalah,6 ma 5 kω kω (c) Gambar 3c: Ekvalen orton untuk Gambar. 5 5,6 5 6,6 3 ma FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 7
2. Tentukan nla dengan teorema orton! Jawab: Gambar 4: Lhat contoh soal 2. Superposs : Sumber Arus dpaka sebaga sumber Mencar sc : 6 A 4 A 2 A sc 2 A 4 A Gambar 5. Arus hubung sngkat pada Gambar 4. I I 48 2 24 48 24 24 24 2 6 6 2 A 4 A sehngga: SC 2 I 48 4 2 2 A FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 8
Mencar : Sumber tegangan dpaka sebaga sumber + Gambar 6: Mencar tahanan orton pada Gambar 4. S S 2 24 24 S S 48 2 S 2 S 2 72 36 72 72 36 36 24 24 A 24 Sehngga rangkaan penggant orton: Gambar 7: angkaan ekvalen orton Gambar 4. Sehngga : 2 3 A FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 9
3. Tentukan rangkaan ekvalen Thevenn dan orton sebagamana terlhat dar termnal a b bag jarngan pada Gambar 8. 2 Ω 4 Ω a + + 5 V b Gambar 8: Lhat Contoh Soal 3. Jawab: Pertama-tama kta car tegangan Thevennnya, langkahnya dengan terlebh dahulu mencar besar arus pada loop tunggal : Dengan mempergunakan KVL pada Loop tunggal n n 2 4 5 5 5 A Kemudan mencar tegangan Thevenn pada salah satu loop : 2 Ω 4 Ω + a + + 5 V b Gambar 9: Tegangan Thevenn FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 2
Dengan mempergunakan KVL pada salah satu Loop n n TH OC 4 4 4 V 5 5 5 atau pada loop yang satunya lag, n n TH OC 2 2 2 V Kemudan kta mencar arus ortonnya ( SC ), dengan menghubung sngkatkan termnal a b, sebagamana terlhat pada Gambar, 2 Ω 4 Ω SC + 2 + 5 V Gambar : Arus orton. KVL pada loop, n n FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 2
4 5 4 5,25 A KVL pada loop 2, n n (,25) 2,5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,5,625 A Sehngga arus ortonnya adalah SC 2,625,625,625 A (,25,25) Dkarenakan terdapatnya sumber tegangan tak bebas pada Gambar 8 menghambat kta untuk mencar tahanan Thevenn atau tahanan ortonnya, sehngga cara yang memungknkan adalah dengan persamaan v oc = th sc, TH OC SC,625 6 FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 22
maka angkaan Ekvalen Thevennnya adalah 6 Ω a V + b Gambar : angkaan Ekvalen Thevenn Gambar 8. dan angkaan Ekvalen ortonnya adalah a,625 A 6 Ω b Gambar 2: angkaan Ekvalen orton Gambar 8. Contoh 5.8 Tentukan besar arus pada rangkaan berkut menggunakan teorema orton. Jawab: FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 23
arus pada rangkaan terletak pada tahanan 4Ω. Ber tanda termnal a-b pada sumber tahanan tersebut, kemudan hubung-sngkatkan. Htung arus orton dttk a-b pada saat konds terhubung sngkat. v I sc 4v 3V 2A sc 6 sc 2A Karena dalam rangkaan mengandung sumber tak bebas, maka kta harus menghtung besar tegangan Thevenn dahulu. v V ab 3V 2 x4v 2 6 Vab 8 4 I 2 2 x2 8 8V angkaan penggant ortonnya adalah Sehngga besar arus pada tahanan 4Ω adalah : FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 24
4 x2a A 4 4 Contoh 5.9 Tentukan besar arus pada rangkaan berkut menggunakan teorema orton. Jawab: arus pada rangkaan terletak pada tahanan Ω. Ber tanda termnal a-b pada sumber tahanan tersebut, kemudan hubung-sngkatkan. Htung arus orton dttk a-b pada saat konds terhubung sngkat. 2 I sc sc 3( 6 5 sc sc A 6) 6 5 A 2 Karena dalam rangkaan mengandung sumber tak bebas, maka kta harus menghtung besar tegangan Thevenn dahulu. FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 25
V ab 2 V I ab 3.6 6 6 / 5 6V angkaan penggant ortonnya adalah 5 Sehngga : 5 6 x( ) A A 5 5 FASILKOM-UDIUS T.SUTOJO AGKAIA LISTIK HAL 26