MA101 MATEMATIKA A Hendra Gnawan Semester II, 013/014 5 Maret 014
Kliah yang Lal 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat Cartesis di R 3 11. 4 Vektor, HasilkaliTitik Titik, HasilkaliSilang 11.5 Fngsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kra 11.6 Garis dan Garis Singgng di Rang 11.8 Permkaan di Rang 3/7/014 (c Hendra Gnawan
Kliah Hari Ini 10.1 Parabola, aaboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem Koordinat Cartesis di R 3 11. 4 Vektor, HasilkaliTitik, HasilkaliSilang 11.5 Fngsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kra 11.6 Garis dan Garis Singgng di Rang 11.8 Permkaan di Rang 3/7/014 (c Hendra Gnawan 3
MA101 MATEMATIKA A 11.1 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS DI R 3 Memahami sistem koordinat Cartesis di R 3 Mengenali dan menggambar grafik persamaan di R 3 3/7/014 (c Hendra Gnawan 4
Apa yang Akan Dipelajari Kelak kita akan membahas ektor di bidang (R dan di rang (R 3, dan setelah it kita akan membahas pla fngsi bernilai ektor. Sistem koordinat Cartesis (dan polar di R telah kita pelajari dengan baik. Sekarang kita akan mempelajari sistem koordinat Cartesis di R 3. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 5
Sistem Koordinat Cartesis di R 3 Sistem Koordinat Cartesis di R 3 terdiri dari 3 smb yang saling tegak lrs dan berpotongan di titik O, yang kemdian disebt sebagai titik asal. Ketiga smb tsb biasanya disebt sebagai smb x, smb y, dan smb z, dan membagi rang menjadi 8 oktan. x (pos. z (pos O y (pos 3/7/014 (c Hendra Gnawan 6
Sistem Koordinat Cartesis di R 3 Setiap titik P di R 3 dinyatakan sebagai koordinat P(x,y,z, seperti pd gambar. Jarak antara titik P(x 1,y 1,z 1 dan Q(x,y,z diberikan oleh rms PQ = ( x x1 ( y y1 ( z z1. z O P y x 3/7/014 (c Hendra Gnawan 7
Persamaan Bola, Bidang, dan Garis Persamaan Bola, Bidang, dan Garis 1. Persamaan bola yang berpsat di P(a,b,c dan berjari jari R adalah. ( ( ( R c z b y a x. Persamaan mm bidang di R 3 adalah. ( ( ( R c z b y a x 0 C B A D C B A 3. Persamaan 0., C B A D Cz By Ax c z b y a x menyatakan garis lrs yang melalit(a,b,c r q y p e yata a ga s s ya g ea (a,b,c dan searah dengan ektor (p,q,r. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 8
Contoh: Menggambar Bidang di R 3 Gambarlah bidang yang memiliki persamaan x y 3 z 6. Jawab: Bidang melali titik iikp(600 P(6,0,0, Q(030 Q(0,3,0, dan R(0,0,. z R O Q y P x 3/7/014 (c Hendra Gnawan 9
Soal Gambarlah bidang di R 3 yg memiliki persamaan x 3z 1. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 10
MA101 MATEMATIKA A 11. 4 VEKTOR, HASILKALI TITIK, DAN HASILKALI SILANG Memahami sifat sifat ektor di R dan R 3 Menghitng jmlah da ektor, hasilkali ektor dengan skalar, dan besar ektor Menghitng hasilkali titik dan hasilkali silang da ektor, dan mengetahi sifatsifatnya 3/7/014 (c Hendra Gnawan 11
Apa dan Mengapa Vektor Kantitas panjang, massa, dan wakt merpakan skalar, yang dapat dinyatakan dengan sebah bilangan. Kantitas fisis lainnya seperti kecepatan dan gaya tidak hanya mempnyai panjang ata besar (magnitde tetapi jga arah. Besaran ata kantitas tsb dikenal sebagai ektor. Pemahaman tentang ektor jga diperlkan ntk mempelajari fngsi dengan banyak pebah. bh 3/7/014 (c Hendra Gnawan 1
Vektor: Pendekatan Geometri Secara geometri, ektor dinyatakan sebagai anak panah, yang mempnyai titik awal (ekor dan titik akhir (kepala, dan ditliskan dengan hrf tebal misalnya ata. kepala ekor Da ektor dikatakan sama ata setara apabila keda ektor tsb mempnyai panjang dan arah yang sama. Sbg contoh, dan di atas setara. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 13
Penjmlahan Da Vektor Diberikan da ektor, kita dapat menghitng jmlahnya dengan da cara: + Cara Segitiga + Cara Jajargenjang 3/7/014 (c Hendra Gnawan 14
Perkalian dengan Skalar Kita jga dapat mengalikan ektor dgn skalar: Selisih da ektor,, dimaknai sebagai hasil operasi + ( 1. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 15
Vektor: Pendekatan Aljabar Di R : ektor dinyatakan sebagai pasangan terrt ( 1,. [Dalam hal ini, ekor ektor adalah O(0,0 dan kepalanya adalah ( 1, ].] O ( 1, ( 1,, 3 Di R 3 : ektor dinyatakan sebagai tripel ( 1,, 3. O 3/7/014 (c Hendra Gnawan 16
Perkalian dengan Skalar dan Penjmlahan lh Di R : Jika = ( 1,, = ( 1,, dan c c := (c 1,c + := ( 1 + 1, + R, maka Di R 3 : Jika = ( 1,, 3, = ( 1,, 3, dan c R, maka c := (c 1,c,c 3 + := ( 1 + 1, +, 3 + 3 3/7/014 (c Hendra Gnawan 17
Vektor Basis Di R : ektor i = (1,0 dan j = (0,1 disebt sebagai ektor basis (bak. Vektor dapat ditliskan sebagai = ( 1, = 1 i + j. Di R 3 : ektor i = (1,0,0, j = (0,1,0, dan k = (0,0,1 merpakan ektor basis (bak. = ( 1,,, 3 3 = 1i + jj + 3k. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 18
Besar ata Panjang Vektor Di R : 1 1. Di R 3 :. 1 3 Catatan. Vektor yang panjangnya sama dengan 1 disebt ektor satan. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 19
Teorema (Sifat Aljabar Vektor 1. + = + 5. a(b = (ab. ( + + w = + ( + w 6. a( + = a + a 3. + 0 = 0 + = 7. (a + b = a + b 4. + ( = 0 8. 1 = 9. a a. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 0
Hasilkali Titik Di R : :. 1 1 Di R 3 :. : 1 1 33 Catatan:. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 1
Sifat Hasilkali Titik 1.. ( w w 3. c( ( c 4. 0 0 3/7/014 (c Hendra Gnawan
Teorema Jika θ adalah sdt tak negatif antara da ektor tak nol dan, maka cos. Definisi: Da ektor dan tegak lrs jika dan hanya jika 0. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 3
Hasilkali Silang di R 3 Definisi: Hasilkali silang antara dan adalah x := ( 3 3, 3 1 1 3, 1 1 i j k 1 3. 1 3 Dapat diperiksa bahwa x = ( x. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 4
Sifat Hasilkali Silang 1. ( 0 (. yakni x tegak lrs pada dan..,, dan x membentk tripel tangan kanan. 3. sin. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 5
Sifat Hasilkali Silang Sifat Hasilkali Silang 1 ( w w 1.. ( w w ( ( ( k k. k. ( ( ( k k k 3.. ( ( w w 3/7/014 (c Hendra Gnawan 6
Soal Bktikan bahwa: i x j = k, j x k = i, k x i = j. 3/7/014 (c Hendra Gnawan 7