Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak meter. Berapa jarak ang ditempuh pembalap setelah jam? Dalam fisika, gerak ang dialami oleh sepeda tersebut dinamakan Gerak Lurus Beraturan (GLB. GLB adalah gerak benda ang melintasi garis lurus dan dalam selang waktu ang sama benda menempuh perpindahan ang sama pula. Perhitungan untuk kasus tersebut dapat diterjemahkan ke dalam koordinat Cartesius. Dalam koordinat tersebut, lamana waktu dan jarak tempuh akan membentuk suatu garis lurus. Setelah ditentukan persamaan garis lurusna, dapat ditentukan penelesaian untuk kasus di atas. Sebenarna, apa ang dimaksud dengan garis lurus? Bagaimana dengan sifat-sifat dan perhitunganna? Pelajarilah materi bab ini dengan saksama. A. B. C. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus 7
Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.. Misalkan fungsi f: + 5 mempunai daerah asal A {,,, 0,,, }. a. Tentukan daerah hasil fungsi f. b. Natakan dalam himpunan pasangan terurut. c. Gambarlah grafik fungsi f. d. Bagaimana bentuk grafik fungsi f?. Diketahui fungsi f(. Tentukan nilai f( untuk: a. b. 0 c.. Gambarkan grafik fungsi dari soal nomor. A. Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baikna kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut.. Koordinat Cartesius Pada bab sebelumna, kamu telah mengenal tentang bidang Cartesius. Coba kamu perhatikan Gambar. dengan seksama. Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius ang memiliki sumbu mendatar (disebut sumbu- dan sumbu tegak (disebut sumbu-. Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar., titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0. Sekarang, bagaimana menggambar titik atau garis pada bidang koordinat Cartesius? O Gambar. : Bidang koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinatakan dengan pasangan berurutan dan, di mana merupakan koordinat sumbu- (disebut absis dan merupakan koordinat sumbu- (disebut ordinat. Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (,. Pada Gambar., terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut. 8 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
C B 0 Gambar. : Enam titik koordinat pada bidang Cartesius. F A E D A (, A (, B (, B (, C (, C (, D (, D (, E (, E (, 0 F (, F (0, Soal. Diketahui titik-titik pada bidang koordinat Cartesius sebagai berikut. a. (0, 5 c. ( 7, e. (, 9 b. (, 8 d. (6, Tentukan absis dan ordinat dari masing-masing titik tersebut. a. Dari titik (0, 5 diperoleh absis: 0, ordinat: 5 b. Dari titik (, 8 diperoleh absis:, ordinat: 8 c. Dari titik ( 7, diperoleh absis: 7, ordinat: d. Dari titik (6, diperoleh absis: 6, ordinat: e. Dari titik (, 9 diperoleh absis:, ordinat: 9 Sekilas Matematika Rene Descartes (596 650 Soal. Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat Cartesius. a. P (, c. R (0, e. T (, b. Q (, 0 d. S (, Q (, 0 P (, T (, S (, R (0, Rene Descartes adalah seorang matematikawan berkembangsaan Prancis. Ia adalah orang ang pertama kali memperkenalkan metode penulisan titik ang diwakili oleh sepasang bilanganbilangan ang merupakan jarak-jarak dari masingmasing sumbu. Metode penulisan titik seperti ini dinamakan koordinat cartesius. Sumber: Ensiklopedia Matematika dan Peradaban Manusia, 00 Persamaan Garis Lurus 9
b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius Kamu telah memahami bagaimana menggambar titik pada bidang koordinat Cartesius. Sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang ang sama? Coba perhatikan Gambar. (a (b k T U P Q R S 0 0 Gambar. : Garis pada Bidang Koordinat Cartesius. Problematika Diketahui lima titik koordinat, aitu P(,, Q(a,, R(,, S(b,, dan T(, c. Jika kelima titik itu membentuk garis lurus, tentukan nilai a, b, dan c. Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik ang letakna sejajar. Dari Gambar.(a, terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak ang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k, seperti ang digambarkan pada Gambar.(b. Sebuah garis lurus dapat terbentuk dengan sarat sedikitna ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius. Soal.. Tentukan apakah titik-titik berikut membentuk garis lurus atau tidak? a. A(0, 0, B(,, C(, c. G(,, H(, 0, I(, b. D(,, E(,, F(0, 0 d. J(,, K(, 0, L(,. Gambarkan garis lurus ang melalui titik P(, dan Q(,.. a. b. C B A 0 F 0 E D Jadi, titik-titik A, B, dan C membentuk garis lurus Jadi, titik-titik D, E, dan F membentuk garis lurus 0 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
c. d. I G H 0 L K 0 J Jadi, titik-titik G, H, dan I tidak membentuk garis lurus. Garis lurus ang melalui titik P(, dan Q(, dapat digambar sebagai berikut. Soal. Gambarlah garis dengan persamaan: a. +, b. Q 0. Menggambarkan Persamaan Garis Lurus Setelah kamu mempelajari materi sebelumna, apa ang dapat kamu ketahui tentang persamaan garis lurus? Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan ang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai atau secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Untuk lebih jelasna, pelajari Soal. a. Langkah pertama adalah menentukan nilai dan ang memenuhi persamaan +. Misalkan: 0 maka 0 +, sehingga diperoleh titik koordinat (0,, maka +, sehingga diperoleh titik koordinat (,. P Jadi, titik-titik J, K, dan L tidak membentuk garis lurus Sekilas Matematika Pierre de Fermat (60 665 Pierre de Fermat adalah seorang pengacara asal Prancis ang menggemari matematika. Ia adalah orang pertama ang mengungkapkan bahwa persamaan-persamaan dapat ditunjukkan sebagai bentuk-bentuk atau bangun-bangun jika persamaan tersebut diletakkan pada sebuah dan sumbu- tersebut memiliki titik asal O, tempat sumbu-sumbu tersebut berpotongan, aitu di titik (0, 0. Sumber: Ensiklopedia Matematika dan Peradaban Manusia, 00 Persamaan Garis Lurus
Kemudian, dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus seperti berikut. 0 Plus + Untuk memudahkan menggambar persamaan garis lurus, tentukan titik ang memotong sumbu- dengan cara memisalkan 0. Kemudian, tentukan titik ang memotong sumbu- dengan cara memisalkan 0. b. Seperti sebelumna, tentukan dahulu nilai atau ang memenuhi persamaan. Misalkan: 0 maka 0 0, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 0, maka, sehingga diperoleh titik koordinat (, Kedua titik tersebut dapat digambar menjadi sebuah garis lurus sebagai berikut. 0 Uji Kompetensi. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Tentukan absis dan ordinat dari titik-titik koordinat berikut. a. A(, d. D(0, 8 b. B(, e. E( 5, 0 c. C(, 7. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius di samping, kemudian tentukan titik koordinat dari masing-masing titik tersebut. A (...,... F (...,... B (...,... G (...,... C (...,... H (...,... D (...,... I (...,... E (...,... J (...,... 5 G E F D B 0 A J 5 H I C Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
. Dalam satu bidang koordinat Cartesius, gambarkan titik-titik berikut ini. a. P(5, d. S(, 5 b. Q(, e. T(0, c. R(,. Buatlah garis lurus pada bidang koordinat Cartesius ang melalui titik-titik berikut. a. A(0, 0 dan B(, b. C(, dan D(0, c. E(, dan F(0, d. G(, 5 dan H(, e. I(, 0 dan J(0, 5. Gambarkan garis ang memiliki persamaan garis berikut. a. d. b. e. + c. + B. Gradien Coba kamu perhatikan dengan saksama Gambar. berikut ini. F E D 6 5 0 5 6 C B A Gambar. Garis lurus pada bidang koordinat Cartesius Dari Gambar. terlihat suatu garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A( 6,, B(,, C(,, D(,, E(,, dan F(6,. Perbandingan antara ordinat ( dan absis ( untuk masing-masing titik tersebut adalah sebagai berikut. Titik A ( 6, Titik D (, 6 Titik B (, Titik E (, Titik C (, Titik F (6, 6 Perhatikan perbandingan ordinat dengan absis untuk setiap titik tersebut. Semua titik memiliki nilai perbandingan ang sama, aitu. Nilai tetap atau konstanta dari perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien. Biasana gradien dilambangkan dengan m. Apa sebenarna ang dimaksud dengan gradien? Coba kamu pelajari uraian berikut ini.. Pengertian Gradien Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika a, kamu pasti akan menusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah ang tidak sama, ada ang curam ada juga ang landai. Sama halna dengan garis ang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis Persamaan Garis Lurus
Problematika Sumber: Dokumentasi Penulis Gambar di atas memperlihatkan sebuah tangga dengan kemiringan tertentu. Tinggi ujung tangga pada tembok ke lantai adalah m, sedangkan jarak ujung tangga pada lantai ke tembok adalah m. Berapakah kemiringan tangga itu? inilah ang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus pada Gambar., berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau gradien garis tersebut adalah.. Perhitungan Gradien Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis ang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis. a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis m Seperti ang telah dijelaskan sebelumna, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut. Gradien ordinat absis m m Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m ang terletak di depan variabel, dengan sarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk m. Untuk lebih jelasna, pelajarilah Soal.5 Soal.5 Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. d. + 0 b. e. 6 0 c. a. Persamaan garis sudah memenuhi bentuk m. Jadi, diperoleh m. b. Persamaan garis sudah memenuhi bentuk m. Jadi, diperoleh m. c. Persamaan garis diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m sehingga Persamaan garis sudah memenuhi bentuk m. Jadi, diperoleh m. d. Persamaan garis + 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m sehingga + 0 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
Persamaan garis m. sudah memenuhi bentuk m. Jadi, diperoleh e. Persamaan garis 6 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m sehingga 6 0 6 6 Persamaan garis sudah memenuhi bentuk m. Jadi, diperoleh m b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis m + c Sama halna dengan perhitungan gradien pada persamaan garis m, perhitungan gradien pada garis m + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel. Untuk lebih jelasna, coba kamu perhatikan Soal.6 Soal.6 Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. + 6 d. 6 + 9 b. 5 8 e. + + 5 c. + a. Persamaan garis + 6 sudah memenuhi bentuk m + c. Jadi, nilai m. b. Persamaan garis 5 8 sudah memenuhi bentuk m + c. Jadi, nilai m 5. c. Persamaan garis + diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m + c sehingga + + + 6 Jadi, nilai m. d. Persamaan garis 6 + 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m + c sehingga 6 + 9 6 + 9 + + Jadi, nilai m. e. Persamaan garis + +5 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m + c sehingga + + 5 + 5 + + + Jadi, nilai m Persamaan Garis Lurus 5
c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis a + b + c 0 Sama seperti sebelumna, gradien pada persamaan garis a + b + c 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk m + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel. Perhatikan Soal.7 Soal.7 Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. + + 6 0 d. + 5 9 b. 8 0 e. 6 + 0 c. + 0 0 a. Persamaan garis + + 6 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m + c sehingga + + 6 0 6 6 - Jadi, nilai m. b. Persamaan garis 8 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m + c sehingga 8 0 + 8 8 8 8 Jadi, nilai m. Plus + Mencari gradien garis dengan persamaan a + b + c 0 adalah dengan menghitung nilai a b c. Persamaan garis + 0 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m + c sehingga + 0 0 + 0 Jadi, nilai m. d. Persamaan garis + 5 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m + c sehingga + 5 9 5 9 9-5 9 5 5 5 + 9 Jadi, nilai m 5 5. e. Persamaan garis 6 + 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk m + c sehingga 6 + 0 6 6 6 Jadi, nilai m 6 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
d. Menghitung Gradien pada Garis ang Melalui Dua Titik Coba kamu perhatikan Gambar.5 berikut. (a C (b F (c I cm D cm E cm cm A cm B Gambar.5 : Tiga buah segitiga G cm H Gambar.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI ang memiliki sisi miring dengan tingkat kemiringan atau gradien ang berbedabeda. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai berikut. Segitiga ABC Gradien AC ordinat cm absis BC AB cm Segitiga DEF Gradien DF ordinat cm absis EF DE cm Segitiga GHI Gradien GI ordinat cm absis HI GH cm 6 5 6 5 P 0 5 6 7 R Q Gambar.6 : Menentukan gradien Sekarang, perhatikan Gambar.6. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada bidang koordinat ang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis ang melalui titik P dan R, aitu: Gradien PR ordinat absis QR PQ 6 7 6 Persamaan Garis Lurus 7
Jadi, gradien garis ang melalui P(, dan R(7, 6 pada Gambar.6 adalah. Dari uraian tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis ang melalui dua titik, sebagai berikut. Soal.8 m Untuk lebih jelasna, perhatikan Soal.8 berikut ini. Cerdas Berpikir Sebuah segitiga siku-siku terbentuk dari titik koordinat, aitu: A(a, 5, B(,, dan C(, b. Tentukan kemungkinan segitiga ang terbentuk, kemudian cari gradienna. Petunjuk: kerjakan dengan cara menggambar Tentukanlah gradien garis ang melalui titik-titik koordinat berikut. a. A(, dan B(, b. C(, dan D(, c. E(, dan F(, a. Untuk titik A(, maka,. Untuk titik B(, maka,. m Jadi, gradienna adalah. b. Untuk titik C(, maka,. Untuk titik D(, maka,. m Jadi, gradienna adalah. c. Untuk titik E(, maka,. Untuk titik F(, maka,. m ( 5 5 ( Jadi, gradienna adalah 5 Soal.9 Perhatikan garis pada bidang koordinat berikut. Tentukan: a. gradien garis k, b. gradien garis l, c. gradien garis m. a. Dari gambar di samping kanan, terlihat bahwa k garis melalui titik (0, 0 dan (,. Untuk titik (0, 0 maka 0, 0 Untuk titik (, maka, m 0 0 l 5 0 5 k m Jadi, gradien garis k adalah. 8 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
b. Dari gambar terlihat bahwa garis l melalui titik (, dan (0,. Untuk titik (, maka,. Untuk titik (0, maka 0,. m 0 ( Jadi, gradien garis l adalah. c. Dari gambar terlihat bahwa garis m melalui titik (, 0 dan (,. Untuk titik (, 0 maka, 0. Untuk titik (, maka,. m 0 Jadi, gradien garis m adalah. Sifat-Sifat Gradien Ada beberapa sifat gradien ang perlu kamu ketahui, di antarana adalah gradien garis ang sejajar dengan sumbu-, gradien garis ang sejajar dengan sumbu-, gradien dua garis ang sejajar, dan gradien dua garis ang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut. a. Gradien Garis ang Sejajar dengan Sumbu- Perhatikan gambar berikut. 5 A B 0 5 k Gambar.7 : Garis ang melalui titik dan sejajar sumbu-. Pada Gambar.7, terlihat garis k ang melalui titik A(, dan B(,. Garis tersebut sejajar dengan sumbu-. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut. Untuk titik A(, maka,. Untuk titik B(, maka,. m 0 0 ( Coba kamu periksa titik-titik lain pada garis k dan hitunglah gradienna. Apakah nilai gradienna sama dengan 0? Uraian tersebut memperjelas tentang gradien garis ang sejajar dengan sumbu-, aitu sebagai berikut. Jika garis sejajar dengan sumbu- maka nilai gradienna adalah nol. Persamaan Garis Lurus 9
b. Gradien garis ang sejajar dengan sumbu- Perhatikan gambar berikut. l C 5 0 5 D Gambar.8 : Garis l ang melalui titik C dan D dan sejajar sumbu-. Pada Gambar.8, garis l ang melalui titik C(, dan D(,. letakna sejajar dengan sumbu-. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut. Untuk titik C(, maka,. Untuk titik D(, maka,. m - - - - 0 Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut. Jika garis sejajar dengan sumbu- maka garis tersebut tidak memiliki gradien. c. Gradien Dua Garis ang Sejajar Sekarang coba kamu perhatikan Gambar.9. 5 A k B l D 0 5 C Gambar.8 : Garis k dan l ang sejajar. Garis k dan l merupakan dua garis ang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut? Perhatikan uraian berikut. Garis k melalui titik A(, 0 dan B(0,. Untuk titik A(, 0 maka, 0. Untuk titik B(0, maka 0,. m AB - 0-0 ( 50 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
Garis l melalui titik C(0, dan D(, 0. Untuk titik C(0, maka 0,. Untuk titik D(, 0 maka, 0. m CD - 0 - ( - - 0 Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien ang sama. Setiap garis ang sejajar memiliki gradien ang sama. d. Gradien Dua Garis ang Tegak Lurus Coba kamu perhatikan Gambar.0. Pada gambar tersebut terlihat garis k tegak lurus dengan garis l. 5 k A D B l C 0 5 Gambar.0 : Garis k dan l ang saling tegak lurus. Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut. Garis k melalui titik C(, 0 dan D(0,. Untuk titik C(, 0 maka, 0. Untuk titik D(0, maka 0,. m CD - 0 - -. - 0 - - Garis l melalui titik A(, 0 dan B(0,. Untuk titik A(, 0 maka, 0. Untuk titik B(0, maka 0,. m AB - 0-0 ( Hasil kali kedua gradien tersebut adalah m AB m CD Uraian tersebut memperjelas hal berikut: Hasil kali antara dua gradien dari garis ang saling tegak lurus adalah. Untuk lebih jelasna, coba kamu perhatikan dan pelajari contoh-contoh soal berikut. Persamaan Garis Lurus 5
Soal.0 Tugas. Kamu telah mengetahui sifat gradien dari dua garis ang sejajar dan saling tegak lurus. Sekarang, bagaimana dengan gradien dari dua garis ang berimpit? Diskusikanlah bersama temanmu untuk mengetahui jawabanna, kemudian laporkan hasilna kepada gurumu. Tentukan apakah garis lurus berikut sejajar dengan sumbu- atau sumbu-. a. Garis k melalui A(, 5 dan B(, b. Garis l melalui C(, dan D(, c. Garis m melalui E(, dan F(0, a. Gradien garis k, aitu: Dari titik A(, 5 maka, 5 Dari titik B(, maka, m AB - ( 5 9-0 Jadi, garis k sejajar dengan sumbu-. b. Gradien garis l, aitu: Dari titik C(, maka, Dari titik D(, maka, m CD - 0 0 - - 5 Jadi, garis l sejajar dengan sumbu-. c. Gradien garis m, aitu: Dari titik E(, maka, Dari titik F(0, maka 0, m EF - 0 0-0 - Jadi, garis m sejajar dengan sumbu- Soal. Tentukan apakah kedua garis berikut sejajar atau saling tegak lurus? a. Garis p ang melalui A(, dan B(0, 0 dan garis q ang melalui C(, dan D(0, 0. b. Garis r ang melalui E(, dan F(8, 6 dan garis s ang melalui G(, 6 dan H(0, 0. a. Mencari gradien garis p, aitu: Untuk titik A(, maka,. Untuk titik B(0, 0 maka 0, 0. m AB - 0 - - 0 - Mencari gradien garis q, aitu: Untuk titik C(, maka,. Untuk titik D(0, 0 maka 0, 0. m CD - 0 - - 0 ( Dari kedua perhitungan tersebut diperoleh m AB m CD. Jadi, garis p dan q saling tegak lurus. b. Cari gradien garis r, aitu: Untuk titik E(, maka, Untuk titik F(8, 6 maka 8, 6 m EF 6 ( 9 - - 8 6 5 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
Mencari gradien garis s, aitu: Untuk titik G(, 6 maka, 6. Untuk titik H(0, 0 maka 0, 0. m GH - 0 6 6 - - - 0 - Dari kedua perhitungan tersebut ternata diperoleh m EF m GH. Jadi, garis r dan s merupakan garis-garis ang sejajar. Soal. Garis k memiliki gradien. Tentukan gradien garis l jika garis tersebut: a. sejajar dengan garis k, b. tegak lurus dengan garis l. a. Diketahui m k. Jika garis l sejajar dengan garis k maka m l m k. b. Diketahui m k. Jika gradien l tegak lurus dengan garis k maka m k m l m l m l m l Uji Kompetensi. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. b. 5 c. 7 d. 8 e.. Tentukanlah gradien (m dan konstanta (c dari persamaan garis berikut. a. + 6 b. 8 c. 7 + d. 6 9 e. + 5. Tentukanlah gradien (m dan konstanta (c dari persamaan garis berikut. a. + + 0 b. 5 0 c. 7 + 6 + 0 d. + 6 0 e. 5 + 0. Tentukanlah gradien dari garis ang melalui titiktitik koordinat berikut ini. a. P(, 6 dan Q(, 8 b. K(, 5 dan L(, c. X(0, 8 dan Y (, 5 d. M(9, dan N(6, 8 e. A(6, 6 dan B(0, 0 Persamaan Garis Lurus 5
5. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius di bawah ini. Tentukanlah gradien dari: a. garis k, d. garis n, b. garis l, e. garis o. c. garis m, 5 m 0 5 6. Tentukan apakah garis berikut sejajar dengan sumbu- atau sumbu-? a. Garis p ang melalui A(8, dan B(5, b. Garis q ang melalui C(6, 0 dan D(, 0 c. Garis r ang melalui E(, dan F(, d. Garis s ang melalui G(0, 6 dan H(0, e. Garis t ang melalui I(, dan J(, n o k l 7. Tentukan apakah pasangan garis berikut sejajar atau saling tegak lurus? a. Garis a ang melalui A(7, dan B(, garis b ang melalui C( 9, 0 dan D( 5, 6 b. Garis m ang melalui P(, 5 dan Q(0, 0 garis n ang melalui R(0, 0 dan S( 5, 8. Gradien garis m adalah. Tentukan gradien garis n jika: a. garis m sejajar dengan garis n, b. garis m saling tegak lurus dengan garis n. 9. Sebuah garis lurus ang memiliki gradien 5 8 melalui titik P(, n dan Q(5, n. a. Tentukan nilai n. b. Tentukan koordinat P dan Q. c. Jika garis k sejajar dengan garis tersebut, tentukan gradien garis k. d. Jika garis l saling tegak lurus dengan garis tersebut, tentukan gradien garis l. 0. Diketahui sebuah garis lurus memiliki persamaan + 5. Tentukan apakah persamaan garis tersebut membentuk garis ang sejajar atau saling tegak lurus dengan: a. 8 b. + 6 0 c. 6 d. - z + 9 e. 7 + 0 C. Menentukan Persamaan Garis Lurus Pada subbab sebelumna, kamu telah mempelajari bagaimana menggambar persamaan garis lurus pada bidang koordinat Cartesius dan menentukan gradien dari suatu persamaan garis. Sekarang, bagaimana menentukan persamaan garis dari suatu titik atau gradien? Masih ingatkah kamu tentang gradien ang diperoleh dari perbandingan ordinat dan absis? Bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. Gradien ordinat absis m m Bentuk m merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis ang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat. Untuk lebih jelasna, perhatikan Soal. 5 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
Soal. Tentukan persamaan garis untuk garis ang melalui titik O (0, 0 dan memiliki: a. gradien, b. gradien, c. gradien. a. m maka ( b. m maka ( c. m maka ( Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut. m + c Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhanana, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c. Hal ini menunjukkan bahwa garis ang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0. Setelah kamu memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien.. Menentukan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat Plus + Persamaan garis lurus disebut juga fungsi linier. Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar.. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(, dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar. dapat dituliskan: m + c...( Adapun bentuk umum persamaan garis ang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan: m + c...( A(, 0 k Gambar. ]: Garis k ang melalui titik A(,. Persamaan Garis Lurus 55
Jika ditentukan selisih dari persamaan ( dan persamaan ( maka diperoleh: m + c m + c Solusi Matematika Persamaan garis ang sejajar dengan garis + + 6 0 dan melalui titik (, 5 adalah... a. + 0 b. + 6 0 c. + 0 d. 9 0 Jawab: Gradien garis + + 6 0 adalah + + 6 0 maka 6 Jadi, gradien garis + + 6 0 adalah. Sarat dua garis sejajar adalah gradienna sama. Persamaan garis ang melalui titik (, 5 dan bergradien adalah m ( 5 ( + + 5 + atau + 0 Jadi, persamaan garis ang sejajar dengan + + 6 0 dan melalui titik (, 5 adalah + 0 Jawaban: c Soal UN, 007 m m + c c m m m ( Selanjutna diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradien dan titik koordinat, aitu: m ( Untuk lebih jelasna, coba kamu perhatikan dan pelajari Soal. dan Soal.5 Soal. Tentukan persamaan garis ang melalui titik P(, 5 dan memiliki gradien. Untuk titik P(, 5 maka, 5. Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis: fi m ( 5 ( 5 + 6 + 6 + 5 + atau + 0 Soal.5 Tentukan persamaan garis ang melalui: a. titik K(, dan sejajar dengan garis + 5 0, b. titik R(, dan sejajar dengan garis ang melalui titik A(, dan B(,, c. titik L(5, dan tegak lurus dengan garis + 0. a. Langkah pertama, tentukan gradien garis + 5 0. + 5 0 + 5 diperoleh m. Oleh karena garis h sejajar dengan garis + 5 0 maka garis h memiliki gradien ang sama, aitu m. Garis h melalui K(, maka,. Langkah kedua, tentukan persamaan garis h sebagai berikut m ( ( ( ( + 6 6 0 Jadi, persamaan garis h adalah 0 atau + + 0 0 56 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
b. Langkah pertama, tentukan gradien garis ang melalui titik A(, dan B(,. Untuk titik A(, maka,. Untuk titik B(, maka,. m AB ( 5 5 Oleh karena garis h sejajar dengan garis ang melalui titik A dan B maka garis h ang melalui titik R (, memiliki gradien ang sama dengan garis AB aitu m m AB 5. h Untuk titik R(, maka, Langkah kedua, tentukan persamaan garis h dengan rumus m ( ( 5 ( + 5 + 5 5 + 5 5 5 atau 5 + + 0 atau + 5 + 0 5 Jadi, persamaan garis h adalah + 5 + 0 c. Langkah pertama, tentukan gradien garis + 0. + 0 + + + diperoleh m. Oleh karena h tegak lurus dengan garis + 0 maka gradien garis h ang melalui titik L(5, adalah m L. m m L. ( Solusi Matematika Diketahui garis g dengan persamaan +. Garis h sejajar dengan garis g dan melalui titik A (, maka garis h mempunai persamaan... a. + b. + 6 c. d. + Jawab: Gradien garis + adalah. Garis h sejajar dengan garis g, sehingga gradienna sama, aitu m. Garis h melalui titik (,, sehingga persamaan garisna: m ( ( 6 Jawaban: c Soal UAN SLTP, 00 m L Langkah kedua, tentukan persamaan garis m L m h gradien garis h melalui titik L(5, dengan h melalui gradien m. Untuk titik L(5, maka 5,. m ( ( 5 + 0 + 0 + + atau + 0 Jadi, persamaan garisna h adalah + atau + 0 Persamaan Garis Lurus 57
Solusi Matematika Persamaan garis lurus ang melalui titik (, dan (, 7 adalah... a. + 5 b. c. 5 d. + 7 Jawab: Untuk titik (, maka dan. Untuk titik (, 7 maka dan 7. Persamaan garis dicari dengan: - - - - - - - 7- - - - - - 8 - - ( - - 8( - - + - 8 + 6 - - 8+ - Jawaban: b EBTANAS, 996. Menentukan Persamaan Garis ang Melalui Dua Titik Pada bagian sebelumna, kamu telah mempelajari cara menentukan persamaan garis ang melalui satu titik koordinat dan gradienna diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan persamaan garis ang melalui dua titik. Carana hampir sama dengan rumus umum ang telah dipelajari sebelumna. Coba kamu perhatikan uraian berikut : m ( adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat. m adalah rumus gradien dari dua titik koordinat. Dari kedua rumus tersebut, dapat diuraikan sebagai berikut m ( ( ( ( - ( ( ( ( - - Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis ang melalui dua titik koordinat adalah - Untuk lebih jelasna, coba kamu perhatikan Soal.6 Soal.6 Tentukan persamaan garis ang melalui titik-titik koordinat berikut. a. A (, dan B (, b. C (, dan D (, c. E (6, 0 dan F ( 5, a. Untuk titik A (, maka dan. Untuk titik B (, maka dan. Persamaan ang diperoleh: 58 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
( ( + + 6 + 6 0 0 Jadi, persamaan garisna adalah 0. b. Untuk titik C (, maka dan Untuk titik D (, maka dan Persamaan garis ang diperoleh: ( ( + ( ( + 8 + 8 + 0 + 7 0 Jadi, persamaan garisna adalah + 7 0. c. Untuk titik E (6, 0 maka 6 dan 0 Untuk titik F( 5, maka 5 dan Persamaan garis ang diperoleh: 0 6 0 5 6 0 6 8 ( 0 8 ( 6 + 0 8 + 8 8 + 0 8 0 8 + 6 0 Jadi, persamaan garisna adalah 8 + 6 0 Plus + Cara cepat menelesaikan bentuk a c b d adalah dengan melakukan perkalian silang, aitu a c ad bc b d. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus Coba kamu perhatikan Gambar. (a 5 k l 0 5 5 (b k l A(, 0 5 Gambar. : memperlihatkan (a Garis k dan l ang sejajar (b Garis k dan l ang ber potongan di titik A. Gambar. : Titik Potong Garis Persamaan Garis Lurus 59
Problematika Apakah garis + 0 dan garis + 0 berpotongan di satu titik? Jika a, tentukan titik potongna Dari Gambar., terdapat dua garis dalam bidang koordinat, aitu garis k dan l. Dalam Gambar.(a, kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada Gambar.(b, kedua garis tersebut tidak sejajar sehingga keduana berpotongan di suatu titik, aitu titik A (,. Jadi, koordinat titik potong dapat dicari dari dua garis ang tidak sejajar. Sekarang, bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari dua persamaan garis ang diketahui? Ada dua cara ang dapat digunakan, aitu cara menggambar (cara grafik dan cara substitusi. Untuk itu, pelajari uraian berikut. a. Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar. Perhatikan Soal.7. Soal.7 5 Dengan cara grafik, tentukan titik potong antara garis + 5 dan garis 7. 5 A Garis + 5. Untuk maka sehingga diperoleh titik (,. Untuk 0, maka 5 sehingga diperoleh titik (0, 5. Garis 7. Untuk 5 maka sehingga diperoleh titik (5,. Untuk maka sehingga diperoleh titik (,. Kemudian, gambarlah grafik dari titik-titik ang didapat tersebut. Dari gambar dapat dilihat bahwa koordinat titik potong dua garis tersebut adalah titik A (, b. Cara Substitusi Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis ang diketahui dimasukkan (disubstitusikan ke dalam variabel ang sama dari persamaan garis ang lain. Untuk lebih jelasna, perhatikan Soal.8. Soal.8 Dengan cara substitusi, tentukan koordinat titik potong antara garis + 5 dan garis 7. Ikuti langkah-langkah berikut. Ambil salah satu persamaan garis, misalna + 5. Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalna. + 5 maka 5. Substitusikan nilai tersebut ke dalam persamaan garis ang lain. 60 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
7 (5 7 5 + 9 7 + 9 7 + 5 Substitusikan nilai ke dalam salah satu persamaan garis. + 5 ( + 5 6 + 5 5 6 Diperoleh dan. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (,. Aplikasi Persaman Garis Lurus Dalam kehidupan sehari-hari, banak sekali bidang-bidang ang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalna, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi. Coba kamu pelajari Soal.9. Soal.9. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 5 km/jam. Setelah jam, mobil tersebut menempuh jarak 5 km. Berapa lama waktu ang diperlukan mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?. Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp.00,00. Tentukan: a. harga sebuah permen, b. harga sebuah cokelat, c. harga buah permen dan buah cokelat.. Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari soal kecepatan-jarak-waktu ang diberikan. Titik koordinat A (5, merupakan kecepatan mobil, aitu 5 km/jam. Titik koordinat B (5, merupakan jarak dan waktu tempuh mobil ang diketahui, aitu 5 km dalam waktu jam. Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penelesaian bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam. Tugas. Carilah permasalahan lain ang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari. Lalu, buatlah contoh kasus seperti pada Soal.9, dan tentukan penelesaianna. Laporkan hasil pekerjaanmu kepada gurumu. waktu (t 7 6 5 A B 0 0 0 0 50 60 70 80 90 jarak (s Persamaan Garis Lurus 6
. Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut. Gunakan pemisahan untuk nama benda. Misalkan: permen cokelat Terjemahkan ke dalam model matematika. permen + cokelat Rp800,00 berarti + 800 permen + 5 cokelat Rp00,00 berarti + 5.00 Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelna. + 5.00 maka.00 5. Substitusikan nilai ke dalam persamaan ang lain + 800 (.00 5 + 800.00 0 + 800.00 7 800 7 800.00 7.00 00 Substitusikan nilai ke dalam salah satu persamaan. + 5.00 + 5 (00.00 +.000.00.00.000 00 Dengan demikian, diperoleh: a. harga sebuah permen Rp00,00 b. harga sebuah cokelat Rp00,00 c. harga buah permen dan buah cokelat + (Rp00,00 + (Rp00,00 Rp600,00 Uji Kompetensi. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Tentukan persamaan garis ang melalui titik pusat P(0, 0 dan memiliki gradien sebagai berikut. a. m - b. m c. m d. m e. m. Tentukan persamaan garis ang melalui titik P(0, 0 dan sejajar dengan garis: a. + 5 b. c. 6 0 d. + 5 0 e. 0. Tentukan persamaan garis ang melalui titik pusat P(0, 0 dan tegak lurus dengan garis: a. + 0 b. 5 c. + d. 5 6 0 e. + + 6 0. Sebuah garis ang melalui titik A(, memiliki gradien ang sejajar dengan garis + 6 0. Tentukan persamaan garis tersebut. 5. Sebuah garis ang melalui titik B(, memiliki gradien ang tegak lurus dengan garis. Tentukan persamaan garis tersebut. 6. Sebuah garis memiliki gradien. Tentukan persamaan garis tersebut jika melalui titik: a. P(, b. Q(, 0 c. R(0, 5 d. S(, e. T(, 5 6 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
7. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius berikut ini. a b 5 5 Tentukan: a. persamaan garis a, b. persamaan garis b, c. persamaan garis c, d. persamaan garis d, e. persamaan garis e. c d e 8. Tentukan titik potong garis + 5 dengan : a. garis + 8, b. garis +, c. garis + 0, d. garis + 6, e. garis 5. 9. Seorang anak bersepeda dengan kecepatan konstan 5 km/jam. Setelah menempuh 0 km selama jam, anak tersebut beristirahat selama jam. Kemudian, melanjutkan perjalanan kembali dengan kecepatan ang sama selama jam. a. Gambarkan soal cerita tersebut ke dalam grafik. b. Tentukan total waktu ang diperlukan anak tersebut. c. Tentukan total jarak ang ditempuh anak tersebut. 0. Harga tiga buku tulis dan empat buku gambar adalah Rp5.600,00. Adapun harga dua buku tulis dan tiga buku gambar adalah Rp.00,00. Tentukan: a. harga buku tulis, b. harga buku gambar, c. harga 5 buku tulis dan 5 buku gambar. Rangkuman. Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika ang jika digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus.. Dalam koordinat Cartesius, setiap titik di natakan dengan pasangan terurut (, di mana koordinat disebut absis dan koordinat disebut ordinat.. Gradien adalah tingkat kemiringan garis. Gradien dilambangkan dengan m.. Berbagai bentuk persamaan garis, antara lain: a. m b. m + c c. a + b + c + 0 5. Gradien garis ang melalui dua titik dicari dengan rumus: m 6. Gradien garis ang sejajar dengan sumbu- adalah nol. 7. Garis ang sejajar dengan sumbu- tidak mempunai gradien. 8. Garis ang saling sejajar memiliki gradien ang sama. 9. Hasil kali gradien garis ang saling tegak lurus adalah. 0. Rumus untuk menentukan persamaan garis dari gradien dan titik koordinat, aitu: m (. Rumus untuk menentukan persamaan garis dari dua titik koordinat, aitu: - Persamaan Garis Lurus 6
Pada bab Persamaan Garis Lurus ini, adakah materi ang menurutmu sulit untuk kamu pahami? Mengapa? Pada bab ini, materi-materi apa saja ang belum kamu pahami dan telah kamu pahami dengan baik? Kesan apa ang kamu dapat setelah mempelajari bab ini? Peta Konsep Persamaan Garis Lurus mempelajari tentang Persamaan Garis Lurus Gradien terdiri atas Perhitungan Sifat-Sifat Bentuk Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus rumus m - Gradien Garis ang Sejajar Sumbu- 0 m m + c a + b + c 0 Gradien Garis ang Sejajar adalah Sama Dari Gradien dan Satu Titik Koordinat rumus Dari Dua Titik Koordinat rumus Hasil Kali Gradien Garis ang Saling Tegak Lurus adalah m( - - 6 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
Uji Kompetensi Bab A. Pilihlah satu jawaban ang benar.. Sebuah titik terletak pada absis dan ordinat. Penulisan ang benar untuk koordinat titik tersebut adalah... a. (, c. (, b. (, d. (,. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius berikut ini. E B D A C 5 Dari gambar tersebut, titik ang memiliki ordinat ang sama adalah titik... a. E dan D c. A dan C b. B dan D d. A dan E. Dari gambar pada soal nomor, titik ang memiliki absis ang sama adalah titik... a. E dan D c. A dan C b. B dan D d. A dan E. Berikut ini adalah titik koordinat ang dilalui oleh garis +, kecuali... a. A (, 6 c. C (, 7 b. B (, 0 d. D (0, 5. Gradien dari persamaan garis + 6 adalah... a. c. 6 b. d. 6 6. Konstanta dari persamaan garis adalah... a. c. b. d. 7. Persamaan garis berikut ang memiliki gradien adalah... a. + 6 7 0 b. + 0 c. + 5 0 d. + 0 0 8. Titik-titik koordinat ang membentuk garis sejajar dengan sumbu adalah... a. A (0,, B (, b. C (, 5, D (, 5 c. E (,, F (, 0 d. G (,, H (, 9. Gradien garis ang melalui titik (, dan titik (0, 0 adalah a. c. b. d. 0. Perhatikan gambar berikut. 5 Gradien garis k adalah... a. b. c. d.. Garis k adalah garis ang sejajar dengan garis l. Jika gradien l adalah adalah... a. c. k maka gradien garis k b. d.. Persamaan garis ang melalui titik A (, 0 dan B (, 8 adalah... a. + c. + b. d.. Garis a dan garis b adalah dua garis ang saling tegak lurus. Jika gradien garis a adalah maka gradien b adalah... a. b. c. d. Persamaan Garis Lurus 65
. Sebuah garis memiliki gradien dan melalui titik (,. Persamaan garis tersebut adalah... a. + + 7 0 b. + 7 0 c. 7 0 d. + 7 0 5. Titik koordinat A(, dan B(, 7 dapat mem bentuk suatu garis lurus ang memiliki persamaan... a. c. + b. + d. 6. Persamaan garis ang sejajar dengan garis + dan melalui titik (, 0 adalah... a. 6 c. 6 b. + 6 d. + 6 7. Persamaan garis ang tegak lurus dengan garis 6 dan melalui titik (, adalah... a. + 5 c. + 5 b. 5 d. 5 8. Garis + akan tegak lurus dengan garis... a. 6 b. + 6 c. + d. 5 9. Gambar ang tepat untuk persamaan garis + 6 adalah... a. c. 6 b. d. 6 0. Koordinat titik potong garis + dan garis adalah... a. (, c. (, b. (, d. (, 6 6 B. Kerjakanlah soal-soal berikut. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius berikut ini. A 5 B D C k m 5 Dari gambar tersebut, tentukanlah: a. titik koordinat A, B, C, dan D, b. gradien garis k, l, dan m, c. persamaan garis k, l, dan m,. Tentukanlah gradien dari persamaan-persamaan garis berikut, kemudian gambarlah pada bidang koordinat Cartesius. a. 6 0 d. + 0 b. + 0 e. + 0 c. + + 0. Buatlah persamaan garis dari data berikut ini. a. Titik A(, 5 dan gradien m. b. Titik B(, dan titik C(,. c. Titik D(, dan titik pusat koordinat. d. Gradien m dan titik pusat koordinat. e. gradien m dan titik E(, 0.. Tentukanlah koordinat titik potong dari persamaan garis berikut. a. dan + 5 b. 5 dan c. dan 7 + 5 d. 9 dan + 6 e. + dan + 8 5. Harga kg beras dan kg terigu adalah Rp8.000,00. Sedangkan harga kg beras dan kg terigu adalah Rp5.000,00. Hitunglah: a. harga kg beras, b. harga kg terigu, c. harga kg beras dan 5 kg terigu. l 66 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII