Materi Bahasan. Pemrograman Bilangan Bulat (Integer Programming) Pemrograman Bilangan Bulat. 1 Pengantar Pemrograman Bilangan Bulat

Mater Bahasa Pemrograma Blaga Bulat (Iteger Programmg) Kulah - Pegatar pemrograma blaga bulat Beberapa cotoh model pemrograma blaga bulat Metode pemecaha blaga bulat Metode cuttg-plae Metode brach-ad-boud Metode brach-ad-boud utu pemrograma blaga bulat ber TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Pemrograma Blaga Bulat Pegatar Pemrograma Blaga Bulat Pemrograma blaga bulat (teger programmg) mesyarata bahwa beberapa varabel eputusa harus mempuya la yag bulat (bua pecaha) Pembahasa haya dtuua utu masalah pemrograma ler blaga bulat (teger lear programmg problem) TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Jes Pemrograma Blaga Bulat Fugs Varabel Ber Pemrograma ler blaga bulat mur, (pure teger lear programmg, PILP) Pemrograma ler blaga bulat campura, (med teger lear programmg, MILP) Pemrograma ler blaga bulat ber, (bary teger lear programmg, BILP) Peagaga pembatas ether-or Peagaa la lebh dar satu yag mug dar suatu pembatas Represetas betu la dar varabel blaga bulat TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Pembatas Ether-Or Fugs dega N Nla yag Mug () atau PL ormat: da atau da + + + + M + + + + M + + My + + M ( y) y {,} Perumusa PLBB: (, L ) d atau d atau Latau d N N (, L, ) N y d y {, },,, L N y, TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Fugs dega N Nla yag Mug () Represetas Ber utu Varabel Blaga Bulat () Perumusa PLBB: + y atau atau + y + y + y + y + y y {,},,, TI Peelta Operasoal I 9 Batas-batas utu varabel : u N dmaa N + u Represetas ber: N y {, },,, L N y, TI Peelta Operasoal I + bl. bulat Represetas ber: Represetas Ber utu Varabel Blaga Bulat () y + y + y u utu u utu ( y + y + y ) + ( w + w + w + w ) y {,},,, {,},,,, w TI Peelta Operasoal I Beberapa Cotoh Model Pemrograma Blaga Bulat TI Peelta Operasoal I

Beberapa Cotoh Model-model Pemrograma Blaga Bulat Fed charge problem Kapsac problem Set coverg problem Set Parttog Problem Travelg salesma problem Job (Mache) schedulg problem Fed Charge Problem () Msala terdapat es produ p harga satua produ K baya tetap utu memprodus produ (depede terhadap umlah produs) c baya varabel utu memprodus produ (proporsoal terhadap umlah produs) b apastas sumber (, m) ebutuha sumber utu per ut produ a TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Fed Charge Problem () Fed Charge Problem () Permasalaha : Meetua produ maa yag perlu dprodus da umlah produsya masg-masg agar dperoleh prot (selsh peuala dega baya tetap da varabel) total yag masmum dega memperhata ods: - etersedaa apastas - a suatu produ dputusa utu tda dprodus maa umlah produsya ol. Varabel eputusa : umlah produ yag dprodus y eputusa utu memprodus atau tda produ ; y a produ dprodus y a produ tda dprodus TI Peelta Operasoal I Masmas Z p ( K y + c ) dega pembatas-pembatas: a b,, L, m My,, L,,, L, {,}, y,..., TI Peelta Operasoal I

Kapsac Problem () Kapsac Problem () Msala terdapat tem. w berat tem v la tem W apastas muata (berat) dar atog Permasalaha : Meetua umlah tem yag perlu dmasua e dalam atog agar dperoleh la total yag masmum dega memperhata ods apastas muata (berat) dar atog Varabel eputusa : umlah tem yag dmasua e atog Masmas Z v dega pembatas-pembatas: w W da blaga bulat TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Set Coverg Problem () Cotoh masalah set coverg problem dalam meetua loas pedra pos ssamlg Jala G Jala A Jala F Jala E Jala I Jala H Jala B Jala C Jala D Jala K Jala J TI Peelta Operasoal I 9 Set Coverg Problem () Msala terdapat loas pedra pos da m ala. c baya medra pos d loas a ostata ber (-) a a ala dlaya oleh pos yag berloas d a a sebalya Pertayaa: Meetua loas pedra pos dmaa tap ala dapat dlaya mmal oleh satu pos sehgga dperoleh baya total pedra yag mmum Varabel eputusa varabel ber (-) yag meetua eputusa utu medra pos d loas ( a pos ddda d loas sebalya) TI Peelta Operasoal I

Set coverg problem () Set Parttog Problem Mmas Z c dega pembatas-pembatas: a,,..., m {,},,..., Mmas Z c dega pembatas-pembatas: a,,..., m {,},,..., Tap ala tepat dlaya oleh satu pos TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Travelg Salesma Problem () Travelg Salesma Problem () (ara) Msala terdapat tt. c ara atara tt e tt (c utu ) Permasalaha Meetua rute salesma yag beragat dar suatu tt da meguug setap tt yag la palg baya seal, serta embal e tt asal agar dperoleh ara total yag mmum Varabel eputusa eputusa utu meltas atau tda busur (, ) a busur (, ) dltas a busur (, ) tda dltas TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Travelg Salesma Problem () Mmas Z c dega pembatas-pembatas:,, L,,, L, u u +,, L, ;, L, ; {,},, L, ;, L u,,..., Subtour breag costrat TI Peelta Operasoal I Travelg Salesma Problem () Subtour Subtour breag costrat bertuua utu megelmas teradya solus subtour TI Peelta Operasoal I Travelg Salesma Problem () Job Schedulg Problem () Tour Msala -terdapat ob dega operas-tuggal -terdapat satu mes tuggal p watu pegeraa ob bobot epetga ob w Suatu solus travelg salesma problem yag laya (terbetuya suatu tour). TI Peelta Operasoal I Permasalaha: Meetua saat awal (uga secara mplst meetua saat ahr) pegeraa ob agar dperoleh watu peyelesaa tertmbag total (total weghted completo tme) yag mmum dega memperhata bahwa pada suatu saat mes haya dapat megeraa satu operas (ob) TI Peelta Operasoal I

Job Schedulg Problem () Job Schedulg Problem () Varabel eputusa: B saat awal pegeraa ob C saat ahr pegeraa ob y eputusa apaah ob medahulu ob y a ob medahulu ob y a sebalya p p p p p Suatu solus (adwal) pegeraa ob yag laya TI Peelta Operasoal I 9 Mmas Z w C dega pembatas-pembatas: C C p,, L, ( y ) p,, L, ;, L C + M, C C + My p,, L, ;, L; C,,..., { } Dsuctve costrat (Ether-or costrat) y,,,...,,, L B C p,, L, TI Peelta Operasoal I Metode Pemecaha Model Pemrograma Blaga Bulat Metode Pemecaha Model Pemrograma Blaga Bulat Cuttg method Cuttg Plae Search method Brach ad Boud TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Algortma Cuttg Plae Ilustras Suatu Masalah PLBB Dembaga oleh R.E. Gomory Algortma Fractoal algorthm utu masalah pemrograma blaga bulat mur (PILP) Med algorthm utu masalah pemrograma blaga bulat campura (MILP) Mamas Z + 9 dega pembatas-pembatas: + + da blaga bulat TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Daerah laya Solus Optmal Kotyu (dega megabaa ods tegraltas) (, ) (, ) Z TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Ide Dasar dar Cuttg Plae Peambaha Pembatas Seuder Megubah cove set dar daerah ruag pemecaha (soluto space) sehgga tt estrem mead blaga bulat Perubaha dbuat tapa me-slcg o daerah laya dar masalah awal. Perubaha dlaua dega peambaha beberapa secodary costrat. secodary costrat (, ) Z (,) TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Fractoal Algorthm () Fractoal Algorthm () Dguaa utu memecaha masalah pemrograma ler blaga bulat mur (PILP). Mesyarata bahwa semua oese teolog da ostata ruas aa adalah blaga bulat. Tabel ahr optmal utu PL Bass m w w w Solus β + + 9 Pada awalya, masalah PILP dpecaha sebaga PL reguler, yatu dega megabaa ods tegraltas. m m c c m c m c β β m β TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I

Fractoal Algorthm () Fractoal Algorthm () Varabel (,, m) meuua varabel bass Varabel w (,, ) meuua varabel o bass Msala persamaa e- dmaa varabel dasumsa berla blaga bulat β w, β bua blaga bulat (bars sumber) β β + Msal: [ ] [ ] + dmaa N [a] adalah blaga bulat terbesar sehgga N a < < < TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Fractoal Algorthm () Fractoal Algorthm () Dar bars sumber dperoleh: w [ β ] + [ ] w Utu da w utu semua da maa w Agar semua da w adalah blaga bulat, maa ruas aa dar persamaa harus blaga bulat Abatya, ruas r harus blaga bulat Abatya w TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Fractoal Algorthm () Fractoal Algorthm () Karea < maa w < Karea ruas r harus blaga bulat, maa syarat perlu utu memeuh tegraltas adalah: w Pertdasamaa terahr dapat dada sebaga pembatas dalam betu: S w (ractoal cut) TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Fractoal Algorthm (9) Fractoal Algorthm () Tabel setelah peambaha ractoal cut Bass m m w w m m w m S Solus β β β m Dega peambaha ractoal cut, tabel terahr mead tda laya walaupu optmal sehgga metode dual smple dterapa utu meadaa etdalayaa. Algortma berhet a solus optmal blaga bulat dperoleh. S - - - m - c c c c β TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Fractoal Algorthm () Fractoal Algorthm () Keuata ractoal cut w w Cut () dataa lebh uat dar cut () a da utu semua dega strct equalty terpeuh palg sedt satu TI Peelta Operasoal I 9 Atura : ma ma { } TI Peelta Operasoal I Cotoh Peerapa Fractoal Algorthm () Cotoh Peerapa Fractoal Algorthm () Mamas Z + 9 dega pembatas-pembatas: + + da blaga bulat Tabel optmal otyu Bass Solus / / / -/ / / c z -/ -/ Z TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Cotoh Peerapa Fractoal Algorthm () Cotoh Peerapa Fractoal Algorthm () Bars sumber persamaa- + + + + + + + Fractoal cut: S TI Peelta Operasoal I Tabel setelah peambaha ractoal cut Bass S Solus / / / -/ / 9/ S -/ -/ -/ c z -/ -/ TI Peelta Operasoal I Cotoh Peerapa Fractoal Algorthm () Cotoh Peerapa Fractoal Algorthm () Tabel yag dperoleh dega dual smple: Bass S Solus / -/ / / -/ / c z - - Z 9 TI Peelta Operasoal I Bars sumber persamaa- + S + + + + S + Fractoal cut: S S TI Peelta Operasoal I

Cotoh Peerapa Fractoal Algorthm () Cotoh Peerapa Fractoal Algorthm () Tabel setelah peambaha ractoal cut Bass S S Solus / -/ / Tabel yag dperoleh dega dual smple: Bass S S Solus - / -/ / - S -/ -/ - -/ - - c z - c z - Z TI Peelta Operasoal I Solus blaga bulat optmal ; Z TI Peelta Operasoal I Ilustras Fractoal Cut secara Gras () Ilustras Fractoal Cut secara Gras () Fractoal cut : S S ( + ) ( ) S + TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I

Ilustras Fractoal Cut secara Gras () Ilustras Fractoal Cut secara Gras () Fractoal cut : S S S S ( ) ( ) + + + + TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Med Algorthm () Med Algorthm () Dguaa utu memecaha masalah pemrograma ler blaga bulat campura (MILP) Pada awalya, masalah MILP dpecaha sebaga PL reguler, yatu dega megabaa ods tegraltas. Mamas Z + 9 dega pembatas-pembatas: + + da blaga bulat TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

TI Peelta Operasoal I Med Algorthm () w β Msal adalah varabel blaga bulat dar masalah MILP. Persamaa- dalam solus otyu optmal: [ ] + w β [ ] w β (bars sumber) TI Peelta Operasoal I Med Algorthm () Utu adalah blaga bulat, maa [ ] [ ] atau + β β harus dpeuh w Dar bars sumber, ods evale dega w () () TI Peelta Operasoal I Med Algorthm () Msal J + hmpua subscrpts utu J - hmpua subscrpts utu < Dar () da () dperoleh J w + J w () () TI Peelta Operasoal I Med Algorthm () Karea () da (), tda dapat terad secara smulta, maa () da () dapat dgabuga mead satu pembatas dalam betu J J w w S + + (med cut)

Cotoh Peerapa Med Algorthm () Cotoh Peerapa Med Algorthm () Mamas Z + 9 dega pembatas-pembatas: + + da blaga bulat Tabel optmal otyu: Bass Solus / / / -/ / 9/ c z -/ -/ Z TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I Cotoh Peerapa Med Algorthm () Cotoh Peerapa Med Algorthm () Bars sumber persamaa- + J Med cut: + + {}, J {}, S + S TI Peelta Operasoal I Tabel setelah peambaha med cut Bass S Solus / / / -/ / 9/ S -/ -/ -/ c z -/ -/ TI Peelta Operasoal I

Cotoh Peerapa Med Algorthm () Algortma Brach-ad-Boud () Tabel yag dperoleh dega dual smple: Bass S Solus / -/ / -/ / -/ / c z -/ - Z Solus optmal /; Z Metode yag palg baya dguaa dalam prate utu memecaha masalah pemrograma blaga bulat ba mur maupu campura. Dguaa sebaga besar sotware omersal Pada dasarya merupaa prosedur eumeras yag ese utu memersa semua solus laya yag mug. TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Algortma Brach-ad-Boud () Algortma BB utu PLBB () Algortma BB utu PLBB (Mur & Campura) Algortma BB utu PLBB Ber Msala dbera suatu masalah pemrograma blaga bulat sebaga berut: Masmas Z c dega pembatas A b blaga bulat utu I dmaa I adalah hmpua varabel blaga bulat TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Algortma BB utu PLBB () Algortma BB utu PLBB () Lagah pertama adalah memecaha masalah PLBB sebaga PL dega megabaa pembatas blaga bulat (boudg) Msala masalah PL dyataa sebaga PL- yag mempuya la optmal dar ugs tuua Z. PL- Masmas Z c dega pembatas A b TI Peelta Operasoal I Asumsa bahwa solus optmal dar PL- megadug beberapa varabel blaga bulat yag mempuya la pecaha. Oleh area tu, solus optmal blaga bulat utu PLBB belum dperoleh da Z mead batas atas (upper boud) dar la masmum Z utu PLBB. Lagah berutya adalah memparts daerah laya dar PL- dega mecabaga (brachg) salah satu varabel blaga bulat yag laya pecaha TI Peelta Operasoal I Algortma BB utu PLBB () Algortma BB utu PLBB () Msala varabel dplh utu dcabaga dega la pecaha β dalam PL-. Msala dbuat dua masalah pemrograma ler baru, PL- da PL- dega memasua masg-masg pembatas baru [β] da [β]+ PL- Masmas Z c dega pembatas A b [β] PL- Masmas Z c dega pembatas A b [β]+ TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I

Algortma BB utu PLBB () Algortma BB utu PLBB () Memecaha (boudg) PL- da PL- Solus pecaha Z PL- Solus pecaha PL- Z β ] [ β ] + [ PL- Solus pecaha Z Asumsa solus PL- da PL- mash pecaha Lagah berutya adalah memlh ode (masalah PL) yag aa dcabaga. TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Algortma BB utu PLBB () Algortma BB utu PLBB (9) Setelah masalah PL dplh utu dcabaga lebh laut, lagahya selautya adalah memlh varabel blaga bulat dega la pecaha yag aa dcabaga utu membetu dua masalah PL baru (proses brachg) memecaha masalah PL yag baru (proses boudg) Ja solus blaga bulat dperoleh dar suatu masalah PL maa la Z-ya mead batas bawah (lower boud) dar la masmum Z utu masalah PLBB. Proses brachg da boudg berlaut hgga semua ode dalam ods athomed. Fathomg suatu ode (masalah PL): Solus optmal PL merupaa blaga bulat Masalah PL adalah ta laya Nla optmal Z dar masalah PL tda lebh ba darpada batas bawah (lower boud) saat utu masalah masmsas batas atas (upper boud) saat utu masalah mmsas TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Algortma BB utu PLBB () Algortma BB utu PLBB () Solus pecaha PL- Z Z β ] [ β ] + [ PL- Solus pecaha Z Z β ] [ β ] + [ Solus pecaha Z PL- β ] [ β ] + [ PL- Solus pecaha Z Solus pecaha Z PL- PL- β ] [ β ] + β ] [ β ] + [ [ Solus pecaha Z PL- PL- PL- PL- PL- Solus pecaha Z > Z PL- Solus bulat Z Tda laya Solus bulat Z Tda laya Solus pecaha Z < Z TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Algortma BB utu PLBB () Cotoh Peerapa Algortma BB () Eses dar algortma BB Boudg Brachg Fathomg Mamas Z + dega pembatas-pembatas: + + 9 da blaga bulat TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

PL PL X Mamas Z + dega pembatas-pembatas: + + 9 Z X TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I 9 Cotoh Peerapa Algortma BB () PL Z PL- Mamas Z + dega pembatas-pembatas: + + 9 < X Z Feasble Soluto Area 9 X TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I 9

PL Cotoh Peerapa Algortma BB () Mamas Z + dega pembatas-pembatas: + + 9 > X Feasble Soluto Area Z Z PL- Z PL- PL- Z 9 X TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I 9 PL PL Mamas Z + dega pembatas-pembatas: + + 9 < < X Z Mamas Z + dega pembatas-pembatas: + X + 9 < > Feasble Soluto Area 9 X Z FSA 9 X TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I 9

Cotoh Peerapa Algortma BB () Cotoh Peerapa Algortma BB () Z PL- Z PL- PL- Z Z PL- Z PL- PL- Z PL- PL- PL- PL-, Z Z, Z Z TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I 9 Cotoh Peerapa Algortma BB () Cotoh Peerapa Algortma BB () Z PL- Z PL- PL- Z Z PL- Z PL- PL- Z PL-, Z PL- Z PL- PL-, Z Z Fathomed area perbedaa la Z dega lower boud < da semua oese ugs tuua adalah bulat Solus blaga bulat optmal Z TI Peelta Operasoal I 99 TI Peelta Operasoal I

Solus Optmal Cotoh Peerapa Algortma BB () X Pecabaga dar PL- Z PL- Z X TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Cotoh Peerapa Algortma BB (9) Cotoh Peerapa Algortma BB () Z PL- Z PL- PL- Z Z PL- Z PL- Z 9 PL- PL- Z PL- Tda laya TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Cotoh Peerapa Algortma BB () Cotoh Peerapa Algortma BB () Z PL- Z PL- Z 9 PL- PL- Z PL- Z PL- Z PL- Z 9 PL- PL- Z PL- Tda laya Tda laya, Z PL- PL-, Z TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Cotoh Peerapa Algortma BB () Cotoh Peerapa Algortma BB () Z PL- Z PL- Z, Z 9 PL- PL- PL- Z PL- PL- Tda laya, Z Z PL- Z PL- Z, Z 9 PL- PL- PL- Z PL- PL- Tda laya, Z TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Cotoh Peerapa Algortma BB () Cotoh Peerapa Algortma BB () Z PL-, Z PL- Z PL- PL-9 Z Z, Z 9 PL- PL- PL- Z PL- PL- Tda laya, Z Z PL-, Z PL- Z PL- PL-9 Z Z, Z 9 PL- PL- PL- Z PL- PL- Tda laya, Z TI Peelta Operasoal I 9 TI Peelta Operasoal I Cotoh Peerapa Algortma BB () Atura Pecabaga () Z PL-, Z PL- Z PL- PL-9 Z Fathomed area perbedaa la Z dega lower boud < da semua oese ugs tuua adalah bulat Z, Z 9 PL- PL- PL- Z PL- PL- Tda laya, Z Atura-atura pecabaga varabel adalah sebaga berut: Plh varabel blaga bulat yag mempuya la pecaha terbesar dalam solus PL. Plh varabel blaga bulat yag mempuya prortas palg tgg. Meuua eputusa yag terpetg dalam model Mempuya oese prot/baya palg besar Mempuya la yag rts yag ddasara pegalama peggua Atura pemlha bebas, msal, plh varabel blaga bulat dega des palg ecl TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Atura Pecabaga () Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber () Atura peetua masalah PL yag heda dcabaga: Nla optmal dar ugs tuua LIFO(Last-I Frst-Out), yatu masalah PL yag dpecaha palg belaaga. Mamas Z 9 + + + dega pembatas-pembatas: + + + + - + + - + {, } TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber () Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber () ; ) ( ) PL-,,,; ( Z (,,, ; Z) PL-,,,; PL- PL- (,,, ; ) ( ) (,,,;9 ) TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I

Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber () Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber () (,,, ; Z) PL-,,,; PL- PL- (,,, ; ) ( ) (,,,;9 ) (,,, ; Z) PL-,,,; (,,,;9 ) PL- PL- (, ),, ;,,, (,, ),; PL- PL- ( ) ( ;) TI Peelta Operasoal I TI Peelta Operasoal I Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber () Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber () (,,, ; Z) PL-,,,; (,,,;9 ) PL- PL- (, ),, ;,,, (,, ),; PL- PL- ( ) (,,, ;) PL- ( ;) PL- Tda laya TI Peelta Operasoal I 9 (,,, ; Z) PL-,,,; (,,,;9 ) PL- PL- (, ),, ;,,, (,, ),; PL- PL- ( ) (,,, ;) (,,,;) PL- ( ;) PL- PL-9 PL- Tda laya TI Peelta Operasoal I Tda laya

Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber () Cotoh Algortma BB utu PLBB Ber (9) (,,, ; Z) PL-,,,; (,,,;9 ) PL- PL- (, ),, ;,,, (,, ),; PL- PL- ( ) (,,, ;) (,,,;) PL- PL- ( ;) PL-9 PL- Tda laya TI Peelta Operasoal I Tda laya (,,, ; Z) PL-,,,; (,,,;9 ) PL- PL- (, ),, ;,,, (,, ),; PL- PL- ( ) (,,, ;) (,,,;) PL- ( ;) PL- PL-9 PL- Tda laya TI Peelta Operasoal I Tda laya