Atura Pecacaha A. Atura Perkalia Jika terdapat k usur yag tersedia, dega: = bayak cara utuk meyusu usur pertama 2 = bayak cara utuk meyusu usur kedua setelah usur pertama tersusu 3 = bayak cara utuk meyusu usur ketiga setelah usur kedua tersusu k = bayak cara utuk meyusu usur ke-k setelah objek- usur sebelumya tersusu Maka bayak cara utuk meyusu k usur yag tersedia adalah: 2 3 k Cotoh: Berapa bayak kemugkia jalur yag dapat dilalui dari Kota A ke Kota D? Perhatika jalur dari kota A ke kota D melalui kota B. Dari kota A ke kota B terdapat 4 jalur yag dapat dilalui, sedagka dari kota B terdapat 3 jalur yag dapat dilalui meuju kota D. Jadi bayak cara memilih jalur dari kota A meuju kota D melalui kota B adalah 4 3 = 2 cara. Perhatika jalur dari kota A ke kota D melalui kota C. Terdapat 3 jalur dari kota A meuju kota C da 3 jalur dari kota C meuju kota D. Jadi bayak cara memilih jalur dari kota A meuju kota D melalui kota B adalah 3 3 = 9 cara. Jadi bayak jalur yag dapat dilalui melalui Kota A sampai ke Kota D adalah 2 + 9 = 2 cara. Cotoh: Seorag maajer supermarket igi meyusu barag berdasarka omor seri barag. Dia igi meyusu omor seri yag dimulai dari omor 3000 sampai
dega 8000 da tidak memuat agka yag sama. Tetuka bayak omor seri yag disusu dari agka, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Setiap bilaga yag berada diatara 3000 da 8000 pastilah memiliki bayak agka yag sama yaki 4 agka jika ditampilka dalam betuk kolom mejadi: Perhatika utuk megisi ribua haya dapat diisi agka 3, 4, 5, 6, 7. Artiya terdapat 5 cara megisi ribua. Utuk megisi ratusa dapat diisi agka sampai 8 tetapi haya ada 7 yag mugki. Utuk megisi puluha dapat diisi agka sampai 8 tetapi haya ada 6 agka yag mugki. Utuk megisi satua dapat diisi agka sampai 8 tetapi haya ada 5 agka yag mugki. Dega demika, bayak agka yag dapat megisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut: Bayak susua omor seri barag yag diperoleh adalah: 5 7 6 5 =.050 cara. B. Faktorial Jika bilaga asli maka (dibaca faktorial ), ditulis = ( )( 2)( 3) 3 2 Cotoh: Tetukalah: 6!, 9!, 9!, 0! 6! 6! = 6 5 4 3 2 = 30 2 2 = 30 24 = 720 9! = 9 8 7 6 5 4 3 2 = 72 63 20 6 = 4536 20 = 544320 9! 6! = 9 8 7 6! = 9 8 7 = 72 7 = 504 6! = ( )( 2)( 3) 3 2 = ( )! Jika da haya jika ( )! = 2
( )! = ( )! =! (0)! = 0! = C. Permutasi Permutasi k usur dari usur dega memperhatika uruta tersedia biasa dituliska P k atau P k serta P(, k) dega k, sehigga P(, k) = ( k)! Cotoh: Seorag resepsiois kliik igi mecetak omor atria pasie yag terdiri tiga agka dari agka, 2, 3, da 4. Tetuka bayak piliha omor atria yag dapat dibuat dari empat agka yag berbeda! Jika omor atria disusu dega megguaka agka, 2, 3, 4 maka bayak susua omor atria adalah P(, k) = P(4,3) = ( k)! 4! (4 3)! P(4,3) = 4 3 2 = 2 2 = 24 Jadi, bayak piliha omor atria yag dapat dibuat dari empat agka yag berbeda adalah 24 cara D. Permutasi Siklis Misalka dari usur yag berbeda yag tersusu meligkar. Bayak permutasi siklis dari usur tersebut diyataka P Siklis = ( )! Cotoh: Bey (B), Edo (E), Lia (L)da, Siti (S) berecaa maka bersama di sebuah restora. Setelah memesa tempat, pramusaji meyiapka sebuah meja budar buat mereka. Berapa bayak cara keempat orag tersebut duduk megeliligi meja budar tersebut? 3
P Siklis = ( )! = (4 )! = 3 2 = 6 Jadi, bayak cara keempat orag tersebut duduk megeliligi meja budar tersebut adalah 6 cara. E. Kombiasi Kombiasi k usur dari usur tapa memperhatika uruta tersedia biasa dituliska C k atau C k serta C(, k) dega k, sehigga C(, k) = ( k)! k! Cotoh: Hasil seleksi PASKIBRA di Kabupate Batul tahu 202, paitia harus memilih 3 PASKIBRA sebagai pegibar bedera dari 5 PASKIBRA yag terlatih. Berapa bayak piliha PASKIBRA yag dimiliki paitia sebagai pegibar bedera? = 5 =, k = 3 C(, k) = ( k)! k! = 5! (5 3)! 3! = 5 4 3! 2! 3! = 5 4 2 = 20 2 = 0 4
Jadi, bayak piliha PASKIBRA yag dimiliki paitia sebagai pegibar bedera adalah 0 cara. F. Biomial Newto = 2 0 = (a + b) 0 = 2 = (a + b) 2 = 2 2 = (a + b) 2 3 3 = 2 3 = (a + b) 3 = (a + b) (a + b) 0 = a 0 b 0 (a + b) = ()a 0 b 0 + ()a 0 b (a + b) 2 = ()a 2 b 0 + (2)a b + ()a 0 b (a + b) 3 = ()a 3 b 0 + (3)a 2 b + (3)a b 2 + ()a 0 b 3 (a + b) = (d)a b 0 + (d)a b + + (d)a b + (d)a 0 b, d = koefisie (a + b) 0 = C(0,0)a 0 b 0 (a + b) = C(,0)a 0 b 0 + C(,)a 0 b (a + b) 2 = C(2,0)a 2 b 0 + C(2,)a b + C(2,2)a 0 b (a + b) 3 = C(3,0)a 3 b 0 + C(3,)a 2 b + C(3,2)a b 2 + C(3,3)a 0 b 3 (a + b) = C(, 0)a b 0 + C(, )a b + + C(, )a b + C(, )a 0 b (a + b) = C(, k)a k b k k=o Cotoh: Jabarka betuk biomial dari (2a + 5) 3! (a + b) 3 = C(3,0)a 3 b 0 + C(3,)a 2 b + C(3,2)a b 2 + C(3,3)a 0 b 3 (2a + 5) 3 = C(3,0)(2a) 3 (5) 0 + C(3,)(2a) 2 (5) + C(3,2)(2a) (5) 2 + C(3,3)(2a) 0 (5) 3 3! 0! (8a3 )() + 3! 2!! (4a2 )(5) + 3!! 2! 3! 0! (8a3 ) + 3 2! 2!! (20a2 ) + 3 2!!2! 3! (2a)(25) + ()(25) 0! 3! (50a) + 3! 0!3! (25) = (8a 3 ) + 3 (20a 2 ) + 3 (50a) + (25) = 8a 3 + 60a 2 + 50a + 25 Jadi, (2a + 5) 3 = 8a 3 + 60a 2 + 50a + 25 5