Pengantar Kombinatorik

Transkripsi

1 Pegatar Kombiatorik Makalah disampaika dalam kegiata Pelatiha Pedalama Materi Peluag da Metode Pembelajaraaya Megguaka Pedekata Kotekstual Utuk Guru SMA 16 da 17 Nopember 2005 Oleh: Dra. Djamilah Boda Widjajati, M Si JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2005

2 Pegatar Kombiatorik A. Pedahulua Berbagai idikator meujukka masih redahya mutu pedidika di Idoesia. Meskipu berbagai usaha perbaika telah bayak dilakuka baik oleh pemeritah, sekolah, guru maupu masyarakat amu hasilya belum ampak meggembiraka, megigat kompleksya masalah yag ada. Meurut Tim Broad-Based Educatio (Depdikas, 2002) pedidika di Idoesia kii meghadapi masalah yag serius, atara lai: (1) cukup bayak lulusa SLTP da Sekolah Meegah yag tidak melajutka studi, yag jika tidak dibekali dega kemampua bekerja atau mecari/memperoleh afkah, aka meambah jumlah pegaggura, (2) bayak lulusa SLTP da Sekolah Meegah yag tidak mampu meerapka pegetahua yag didapat dari sekolah ke dalam kehidupa sehari-hari, sehigga seaka-aka mereka terasig di ligkugaya sediri da serigkali mejadi sumber keributa, da (3) dega berlakuya AFTA pada tahu 2003, teaga kerja asig aka segera masuk ke Idoesia, sehigga jika tidak siap, maka kita aka mejadi pecudag di egara kita sediri. Utuk megatasi berbagai masalah medasar yag ada, saat ii Depdikas sedag mesosialisasika kosep Pedidika Beroretasi Kecakapa Hidup (Life Skills) melalui Pedekata Pedidika Berbasis Luas (Broad-Based Educatio). Berkaita dega kosep Pedidika Beroretasi Kecakapa Hidup dimaa layaa pedidika harus beroretasi pada pegembaga life skills, saat ii tegah dikembagka Kurikulum Berbasis Kompetesi (KBK). Terdapat dua model KBK, yaitu KBK yag dikembagka oleh Pusat Kurikulum da KBK yag dikembagka oleh Direktorat Meegah Umum. KBK utuk SMA udah mulai diujicobaka di sejumlah sekolah da sosialisasiya juga sudah mulai dilaksaaka, sedagka implemetasi secara asioal direcaaka pada tahu pelajara 2004/2005 (Depdikas, 2002). 1

3 Ada beberapa hal yag perlu dipersiapka sekolah da guru utuk dapat melaksaaka KBK dega baik sesuai tujuaya sebagai saraa pedukug pelaksaaa pedidika beroretasi kecakapa hidup (life skills) melalui broad based educatio. Utuk guru, khususya guru matematika SMA, termasuk hal yag harus dipersiapka adalah memperkaya diri dega berbagai metode atau pedekata pembelajara matematika, agar siap melaksaaka pembelajara sesuai tututa kebutuha. Salah satu pedekata dalam pembelajara matematika yag saat ii sedag bayak direkomedasika oleh para pakar pedidika matematika adalah pegguaa masalah kotekstual. Pegguaa masalah kotekstual disii meurut Suryato (Suryato: 2002) dimaksudka utuk meaggapi berbagai tututa, atara lai adalah tututa pemberia tekaa yag besar pada terapa dalam pembelajara matematika da tututa pemberia tekaa pada kesesuaia atara pelajara matematika da pegetahua serta ketrampila yag dibutuhka di duia kerja atau duia yata. Saat ii sudah ada beberapa pedekata atau model pembelajara matematika yag meekaka pegguaa koteks atau masalah kotekstual. Salah satu diataraya adalah Cotextual Teachig ad Learig (CTL) atau Pembelajara Kotekstual. CTL atau Pembelajara Kotekstual adalah pembelajara yag megguaka bermacam-macam masalah kotekstual sebagai titik awal, sedemikia higga siswa belajar dega megguaka pegetahua da kemampuaya utuk memecahka berbagai masalah. (Suryato, 2002). B. Pedekata Kotekstual dalam Pembelajara Peluag di SMA Utuk dapat melaksaaka pembelajara dega pedekata kotekstual, hal yag harus dipersiapka guru adalah membuat atau meracag pembelajara dega memperhatika karakteristik pembelajara yag berbasis CTL, yaitu atara lai pembelajara harus meyeagka, membuat siswa aktif, ada diskusi, da sebagaiya. 2

4 Khusus utuk pembelajara Peluag di SMA, guru dapat megawali pembelajara dega megemukaka masalah kotekstual yag sesuai dega materi pokok dalam KBK. Yag dimaksud masalah kotekstual dalam pembelajara peluag adalah masalah atau soal peluag, yag bear-bear mucul atau mugki dihadapi siswa dalam kehidupa sehari-hari, di duia kerja, atau dalam bidag lai di luar Matematika atau peluag. Materi pokok seperti permutasi da kombiasi relatif mudah dicarika masalah kotekstualya, misalya masalah pembuata tada pegeal dalam betuk omor plat kedaraa bermotor atau masalah peetua bayakya piliha jalur yag dapat dilalui dalam suatu perjalaa. Agar pembelajara dapat berlagsug meyeagka da dapat megaktifka siswa, guru harus meyiapka media yag aka diguaka, pertayaa yag aka diajuka da skeario pembelajara, yaitu apa yag aka dilakuka guru bersama siswaya selama proses pembelajara. Dega lebih bayak bertaya kepada siswa, guru dapat megarahka siswa utuk meemuka pemecaha dari masalah yag diberika. Jaga lupa beri kesempata siswa utuk mediskusika gagasa atau peemuaya dega siswa yag lai. Bahasa Teori Peluag berikut ii selai dimaksudka utuk membatu bapak/ibu guru meigkatka pemahama tetag teori peluag juga dimaksudka utuk memberika cotoh pembelajara peluag dega pedekata kotekstual. Disadari bahwa mecari koteks atau masalah kotekstual yag sesuai juga bukalah hal yag mudah, oleh karea itu dalam makalah ii disampaika beberapa cotoh masalah kotekstual sesuai materi pokok yag harus disampaika, yag diharapka dapat membatu bapak/ibu guru utuk megawali pembelajara. C. Teori Peluag Telah diketahui bahwa Statistika adalah ilmu atau cabag ilmu pegetahua tetag teori da pegguaa metode-metode utuk megumpulka data, megaalisis data tersebut da megguakaya utuk melakuka iferesi statistik. Dega memperhatika bahwa data statistik adalah kumpula hasil pegukura atau perhituga atau pegamata terhadap obyek-obyek yag mejadi perhatia, da iferesi statistik adalah proses pegambila kesimpula terhadap populasi 3

5 berdasarka iformasi yag diperoleh dari cotoh (sampel), maka megguaka statistika dapat diartika sebagai prosedur meyimpulka populasi berdasarka iformasi yag diperoleh dari cotoh represetatif yag diambil dari populasi tersebut. Karea cotoh haya memberika sebagia iformasi tetag populasiya, maka kesimpula yag aka didapatka tidak aka bear secara multlak. Dega demikia agar supaya pegambila kesimpula dapat lebih dipertaggug jawabka, diperluka suatu alat. Alat tersebut adalah apa yag dikeal sebagai peluag. Teori peluag atau teori probabilitas atau teori kemugkia merupaka bagia dari matematika yag membahas hal-hal yag berkaita dega taraf kepastia terjadiya suatu kejadia yag belum terjadi. Perhituga peluag memerluka kaidah tetag peetua bayakya cara suatu kejadia dapat terjadi. Khususya apabila suatu percobaa atau eksperime meghasilka hasil yag cukup bayak atau merupaka suatu proses gabuga dari beberapa proses dega masig-masig proses dapat dilakuka meurut lebih dari satu cara. Kajia tetag peetua bayakya cara atau bayakya kejadia demikia itu disebut kombiatorik. D. Kombiatorik Adaika suatu perusahaa real estate aka meawarka kepada calo pembeli piliha rumah gaya luar berbetuk tradisioal, Spayol, Belada da moder di daerah pusat kota, patai da bukit. Ada berapa bayak piliha yag mugki bagi calo pembeli? Bayakya piliha yag mugki dapat ditetuka dega memperhatika diagram poho berikut. 4

6 (Tradisioal, Kota) Lokasi K P B (Tradisioal, Patai) Tradisioal Spayol Gaya Belada Moder K P B K P B K P B (Tradisioal, Bukit) (Spayol, Kota) (Spayol, Patai) (Spayol, Bukit) (Belada, Kota) (Belada, Patai) (Belada, Bukit) (Moder, Kota) (Moder, Patai) (Moder, Bukit) Pertama, dalam memilih gaya bayakya piliha ada 4 macam, yaitu tradisioal, Spayol, Belada da moder. Utuk setiap piliha gaya tersebut, bayakya piliha utuk lokasi ada 3 macam yaitu kota, patai da bukit. Dega demikia bayakya piliha bagi pembeli ada 12 macam yaitu gaya tradisioal di pusat kota, gaya Spayol di pusat kota, gaya Belada di pusat kota, gaya moder di pusat kota, gaya tradisioal di patai, gaya Spayol di patai, gaya Belada di patai, gaya moder di patai, gaya tradisioal di bukit, gaya Spayol di bukit, gaya Belada di bukit, da gaya moder di bukit. 5

7 Hal tersebut merupaka cotoh fakta yag secara umum dapat diyataka sebagai suatu asas yag dikeal dega Asas dasar membilag. a. Asas Dasar Membilag Ada beberapa rumusa tetag asas dasar membilag, diataraya adalah: (a) Asas Dasar Membilag Sederhaa Jika proses P dapat dilaksaaka dalam m cara, da proses Q dapat dilaksaaka dalam cara, maka ragkaia proses (P,Q) dapat dilaksaaka dalam m cara. Dapat juga asas dasar membilag itu diyataka sebagai berikut: Jika ada m piliha utuk proses P, da ada piliha utuk proses Q, maka ada m piliha utuk pasaga proses (P,Q) Atau dapat juga diyataka sebagai berikut: Jika himpua P mempuyai m aggota, da himpua Q mempuyai aggota, maka ada m piliha utuk megambil pasaga beruruta (a,b) dega a P da b Q. (b) Asas Dasar Membilag Umum Jika proses P 1, P 2, P 3,, P k, berturut-turut dapat dilaksaaka dalam m 1, m 2, m 3,, m k cara, maka ragkaia proses (P 1, P 2, P 3,, P k ) dapat dilaksaaka dalam m 1 m 2 m 3 m k cara. Dapat juga asas dasar membilag itu diyataka sebagai berikut: Jika ada m 1 piliha utuk proses P 1, ada m 2 piliha utuk proses P 2, ada m 3 piliha utuk proses P 3,, ada m k piliha utuk proses P k, maka ada m 1 m 2 m 3 m k piliha utuk ragkaia proses (P 1, P 2, P 3,, P k ). Atau dapat juga diyataka sebagai berikut: Jika himpua P 1, P 2, P 3,, P k, berturut-turut mempuyai aggota sebayak m 1, m 2, m 3,, m k, maka ada piliha sebayak 6

8 m 1 m 2 m 3 m k utuk megambil ragkaia (a 1, a 2, a 3,, a k ) dega a i P i, i=1,2,3,,k. Cotoh Masalah Kotekstual: 1. Dari 6 siswa laki-laki da 4 siswa perempua SMA N I Yogyakarta yag memeuhi syarat utuk dikirim ke Surabaya gua megikuti upacara bedera perigata hari Pahlawa 10 Nopember, haya aka dipilih 1 orag siswa laki-laki da 1 orag siswa perempua. Jika setiap siswa dari kesepuluh siswa tersebut mempuyai hak yag sama utuk terpilih, ada berapa pasag piliha yag mugki? (jawab: ada 24 pasaga yag mugki ) 2. Adaika dari kota A kita dapat pergi ke kota B melalui jala X, jala Y atau jala Z. Dari kota B ke kota C haya ada dua jala yag mugki yaitu melalui jala P atau jala K. Dari kota C ke D haya ada 1 jala yag mugki, yaitu melalui jala M. Ada berapa piliha jala yag mugki dari kota A ke D melalui B da C? (jawab: ada 6 piliha jala yag mugki) 3. Tada pegeal dalam betuk omor plat kedaraa bermotor roda empat harus dibuat dega 2 huruf di depa, 4 agka di tegah, da 2 huruf di belakag. Jika agka pertama omor itu tidak boleh agka 0. Ada berapa bayak tada pegeal yag dapat dibetuk? (jawab: ada tada pegeal ) b. Permutasi Adaika seseorag igi memasag foto-foto dari 3 orag temaya yaitu foto A, foto B, da foto C, berjajar dalam satu baris di dalam album. Kita tahu bahwa ada 6 macam uruta yag mugki utuk meyusu foto-foto tersebut, yaitu: (1) Foto A, foto B, foto C; (4) Foto B, foto C, foto A; (2) Foto A, foto C, foto B; (5) Foto C, foto A, foto B; (3) Foto B, foto A, foto C; (6) Foto C, foto B, foto A; Aka tetapi, kalau fotoya bayak, semua dari orag-orag yag berbeda, kita tidak aka segera tahu berapa bayakya uruta yag mugki dari foto-foto itu, 7

9 seadaiya kita tidak tahu rumusya atau cara yag sistematis utuk meghitugya. Oleh karea itu perlu adaya rumus atau cara yag sistematis utuk memperoleh bayakya uruta itu. Uruta disebut juga permutasi. Bayakya uruta yag mugki dari obyek yag berbeda satu sama lai, atau bayakya permutasi dapat dihitug dega megguaka asas dasar membilag sebagai berikut. Utuk membetuk uruta obyek yag berbeda satu sama lai, ada piliha obyek utuk dijadika sebagai usur pertama, kemudia ada -1 piliha obyek utuk dijadika sebagai usur kedua, kemudia ada -2 piliha obyek utuk dijadika sebagai usur ketiga, da seterusya, sampai yag terakhir, ada satu piliha obyek utuk dijadika sebagai obyek yag ke-. Oleh karea itu, berdasarka Asas Dasar Membilag Umum, ada (-1) (-2) (-3) 2 1 uruta yag dapat dibetuk dari obyek yag berbeda satu sama lai. Jadi bayakya permutasi obyek yag berbeda satu sama lai, yag lazim diyataka dega lambag P, adalah (-1) (-2) (-3) 2 1, ditulis!, dibaca faktorial Permasalaha lai megeai uruta atau permutasi dapat terjadi sbb. Adaika seseorag membeli koper yag dilegkapi dega kode kuci pegama dalam 4 agka, lupa berapa omor kode utuk membuka koperya. Ada berapa omor yag mugki harus ia coba sehigga ia pasti aka meemuka omor koperya? Megguaka Asas Dasar Membilag Umum maka kita tahu bahwa omer kode yag ia miliki adalah satu diatara = 5040 omor yag mugki. Megapa demikia? Ii adalah masalah membetuk uruta atau permutasi 4 obyek dari 10 obyek (dalam hal ii agka 0, 1, 2,, 9) yag berbeda. Kita hitug bayakya permutasi k obyek dari obyek berbeda satu sama lai, sebagai berikut: ada piliha obyek utuk dijadika sebagai usur pertama, kemudia ada -1 piliha obyek utuk dijadika sebagai usur kedua, kemudia ada -2 piliha obyek utuk dijadika sebagai usur ketiga, da seterusya, sampai yag terakhir, ada ( k+1) piliha obyek utuk dijadika sebagai obyek 8

10 yag ke-k. Oleh karea itu, berdasarka Asas Dasar Membilag Umum, ada (-1) (-2) (-3) ( k+1) uruta k obyek yag dapat dibetuk dari obyek yag berbeda satu sama lai. Setiap uruta tersebut disebut permutasi k obyek dari obyek atau permutasi k dari. Jadi bayakya permutasi k obyek dari obyek berbeda, yag lazim diyataka dega lambag P k! (-1) (-2) (-3) ( k+1) =. ( k )! Bagaimaa halya jika obyek yag aka diurutka tidak semuaya berbeda? Sebagai cotoh, misalka suatu poho Natal aka dihias dega 9 bola lampu yag diragkai seri. Kesembila bola lampu tersebut terdiri atas 3 bola berwara merah, 4 bola berwara kuig da 2 bola berwara biru. Jika haya diperhatika susua wara yag terbetuk, ada berapa susua yag mugki? Adaika kesembila bola lampu tersebut berbeda satu sama lai, maka aka terdapat 9! susua atau uruta yag mugki. Di atara 9! uruta tersebut, tidak semua uruta berlaia karea beberapa bola lampu berwara sama. Karea ada 3 bola merah yag sama, maka setiap 3! uruta diaggap 1 uruta yag sama. Dega 9! 9! demikia bayakya uruta yag ada mejadi. Tetapi sejumlah uruta 3! 3! iipu belum semuaya berlaia karea terdapat 4 bola berwara kuig. Karea ada 4 bola kuig yag sama, maka setiap 4! uruta yag adapu diaggap uruta yag sama. Dega demikia bayakya uruta yag ada mejadi 9!. Tetapi 3! 4! 9! sejumlah uruta iipu tidak semuaya berlaia, karea terdapat 2 bola 3! 4! berwara biru. Dega pealara yag sama, maka bayakya uruta yag ada 9! mejadi = Jadi ada cara meragkai 9 bola lampu tersebut. 3! 4! 2! Dega pealara seperti tersebut di atas, bayakya permutasi dari obyek yag terdiri dari r 1 obyek jeis pertama, r 2 obyek jeis kedua, dst, r k obyek jeis kek adalah! r! r!... r! 1 2 k 9

11 Cotoh Masalah Kotekstual: 1. Empat bedera PDI da 4 bedera PPP aka dipasag berjajar di depa gedug walikota utuk meyambut kehadira ibu Megawati da bapak Hamzah Haz. Ada berapa susua yag mugki terbetuk? (jawab: ada 70 susua yag mugki ) 2. Dega berapa carakah dapat ditaam 5 poho akasia, 5 poho cemara da 10 poho berigi berjajar lurus dalam satu tepi jala, bila poho yag sejeis tidak dibedaka? (jawab: ada cara yag mugki) 3. Berapa bayak bilaga terdiri dari 8 agka yag dapat dibuat dari dua buah agka 1, dua buah agka 2, dua buah agka 3 da 2 buah agka 4? (jawab: ada 2520 bilaga ) c. Kombiasi Adaika dari satu kelas yag terdiri dari 34 siswa aka dipilih 4 siswa utuk mewakili kelas tersebut dalam acara perpisaha dega bapak Kepala Sekolah yag memasuki masa pesiu. Ada berapa macam piliha yag mugki? Bearkah ada piliha yag mugki? Kelihataya tidak masuk akal! Terlalu bayak piliha yag mugki? Ii adalah cotoh masalah meetuka bayakya himpua bagia 4 aggota dari himpua dega 34 aggota. Himpua bagia yag demikia disebut juga kombiasi. Jadi yag aka dihitug adalah berapa bayak himpua bagia atau kombiasi yag mugki. Kita hitug bayakya kombiasi tersebut sebagai berikut. Dari setiap kombiasi atau himpua bagia yag mempuyai 4 aggota itu, kita buat uruta atau permutasi, maka ada sebayak 4! permutasi yag mugki. Apabila bayakya kombiasi yag dicari diyataka dega k, maka dari semua kombiasi yag mugki dapat dibetuk uruta atau permutasi sebayak k 4!. Aka tetapi, meurut rumus tetag bayakya permutasi, maka bayakya permutasi 4 dari 34 adalah 34 P 4 34!. Hal ii meujukka bahwa k 4! = 30! 10

12 34!. Jadi dapat disimpulka bahwa bayakya kombiasi 4 aggota dari 30! himpua dega 34 aggota adalah k = 34! 4!(30!) = Dega pealara serupa di atas dapat kita simpulka bahwa bayakya kombiasi r obyek dari obyek berbeda, yag lazim diyataka dega C r atau C r atau ( r ) atau C, r adalah!. r!( r)! Cotoh Masalah Kotekstual: 1. SMA N I Yogyakarta sedag mempertimbagka apakah sekolah perlu memberika tambaha pelajara bahasa Iggris khusus persiapa utuk test TOEFL bagi siswa kelas III ataukah tidak. Utuk keperlua tersebut diperluka iformasi berapa rata-rata skor TOEFL siswa kelas III. Karea keterbatasa daa, sekolah haya mampu megirim 10 siswa utuk megikuti test TOEFL di suatu lembaga bahasa. Utuk itu aka dipilih secara acak 10 siswa di atara 150 siswa kelas III yag ada. Jika semua siswa kelas III mempuyai hak yag sama utuk terpilih, ada berapa piliha yag mugki? (jawab: ada 1, piliha yag mugki) 2. Ada 5 titik yag tidak segaris. Jika setiap titik dihubugka dega keempat titik yag lai, ada berapa ruas garis yag terbetuk? (jwb: ada 10 ruas garis ) 3. Jika himpua A mempuyai 20 aggota, ada berapakah himpua bagia dari A yag mepuyai 4 aggota? (jawab: ada himpua bagia) d. Partisi Adaika terdapat 7 maia berbeda yag aka dibagika kepada 3 aak, yaitu A, B, da C, dega ketetua A medapat 3 maia, B medapat 2 maia da C medapat 2 maia. Ada berapa cara membagiya? Jika kita pilihka maia utuk A terlebih dahulu maka ada C 7 3 piliha utuk A. Dari 4 maia sisaya jika kita pilihka maia utuk B maka ada C 4 2 piliha, da kemudia haya ada C 2 2 = 1 piliha utuk C dari 2 sisa maia yag ada. Megguaka Asas Dasar Membilag Umum, didapatka C 7 C 3 4 C 2 2 = 7! 2 3!2!2! cara membagi 11

13 9 maia tersebut dega ketetua medapat 3 maia, B medapat 2 maia da C medapat 2 maia. Dega pealara serupa, dapat dijelaska bahwa bayakya cara memartisi (membagi, meempatka) obyek berlaia kedalam k tempat (k sel, atau k kotak), dega r 1 obyek ditempatka pada tempat pertama, r 2 obyek ditempatka pada tempat kedua, dst, r k obyek ditempatka pada tempat ke-k adalah Cotoh Masalah Kotekstual:!. r! r!... r! 1 2 k 1. Dega berapa carakah 12 orag dapat dibagi mejadi 3 kelompok yag masig masig terdiri atas 4 orag? (jawab: ada cara) 2. Sembila orag aka bepergia ke tempat yag sama. Adaika tersedia 3 mobil, masig-masig dapat membawa 2, 4 da 5 peumpag. Ada berapa cara membagi kesembila orag tersebut dalam 3 mobil yag ada? (jawab: 4.410) 3. Seorag pemborog hedak membagu 9 rumah dega racaga berbeda. Dega berapa carakah dia dapat meempatka rumah tersebut di suatu jala bila tersedia 6 petak pada satu pihak jala da 3 petak pada pihak yag lai? (jawab: ada cara) e. Koefisie Biomium Berapakah koefisie dari x 10 y 11 dalam hasil pemagkata (x + y) 21? Tapa harus meguraika keseluruha hasil (x + y) 21, koefisie dari x 10 y 11 dapat ditetuka dega pealara sbb. (x + y) 21 = 21 faktor ( x y )( x y )...( x y ) Koefisie dari x 10 y 11 adalah 21 C 10, sebab x 10 y 11 terjadi jika pada perkalia 21 faktor (x + y) yag dikalika: x dari 10 faktor da y dari 11 faktor, sedagka memilih 10 dari 21 faktor itu ada 21 C 10 piliha. Secara umum, pada hasil pemagkata (x + y), suku x r y -r mempuyai koefisie C r karea suku itu terjadi jika dari faktor (x + y) dalam perpagkata itu yag dikalika x dari r faktor da y dari -r faktor sisaya. 12

14 Jadi (x + y) = C x + C 1 x -1 y + C 2 x -2 y C 0 y, karea maka hasil pemagkata itu dapat juga diyataka sebagai berikut: (x + y) = C 0 x + C 1 x -1 y + C 2 x -2 y C y C r = C r, Pemagkata (x + y) itu disebut pemagkata dua-suku atau pemagkata sukudua, atau pemagkata biomium. Oleh karea itu, barisa koefisie C 0, C 1, C 2,, C disebut barisa koefisie biomium. Koefisie C r serig juga diyataka dega lambag ( r ). Daftar Pustaka Bai & Egelhart Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics. Califoria: Duxbury Press Glass & Hopkis Statistical Methods i Educatio ad Psychology. New Jersey: Pretice Hall Suryato Peluag (Paket Pembiaa Utuk Siswa Peggemar Matematika). Yogyakarta: PPPG Matematika Suryato Pegguaa Masalah Kotekstual Dalam Pembelajara Matematika (Pidato Pegukuha Guru Besar). Yogyakarta: Uiversitas Negeri Yogyakarta Tim Broad-Based Educatio Kosep Pedidika Beroretasi Kecakapa Hidup (Buku I). Jakarta:Departeme Pedidika Nasioal. Suryo Gurito Peluag da Statistika. Yogyakarta: FMIPA UGM Walpole.R.E Pegatar Statistika (Terjemaha: Bambag Sumatri). Jakarta: PT Gramedia Walpole.R.E. & Myers.R.H Ilmu Peluag da Statistika utuk Isiyur da Ilmuwa. Badug:ITB 13