PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINIER FUZZY DENGAN BILANGAN FUZZY LINEAR REAL MENGGUNAKAN METODE SABIHA

PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINIER FUZZY DENGAN BILANGAN FUZZY LINEAR REAL MENGGUNAKAN METODE SABIHA Eky Pawestri Gita Asmara 1, Bambag Irawato, S.Si, M.Si 2, Lucia Ratasari, S.Si, M.Si Departeme Matematika FSM Uiversitas Dipoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalag Semarag eky.pga@gmail.com, b_irawato@yahoo.co.id ABSTRACT. Fuzzy Liear Programmig (FLP) is oe form of a liear programmig that icludes fuzzy umbers. Several methods have bee developed to solve the FLP problems, oe of which Sabiha s Methods. The method is modifyig Two Phase Methods such that it ca be used i the FLP. Modificatio is doe by chagig the geeral form to be adjusted with the "triplet matrix", such that the oe matrix of the triplet matrix is divided ito three sigle matrix. The method is usig Liear Fuzzy Real Numbers (LFR). There are also Kumar s Methods were also modify Two Phase Methods. The compariso of the Sabiha s Methods with Kumar s Methods is resultig the same optimal solutio ad value i the form of fuzzy but there is a differet i the form of crisp. Keywords: Fuzzy Liear Programmig, Kumar s Methods, Liear Fuzzy Real Numbers, Sabiha s Methods, Two Phase Methods. I. PENDAHULUAN Program Liier (PL) adalah sebuah metode matematis yag berkarakteristik liier utuk meemuka suatu peyelesaia optimal dega cara memaksimumka atau memiimumka fugsi tujua terhadap suatu susua kedala. PL dapat diguaka utuk meyelesaika bayak permasalaha dalam duia yata yag mugki terdapat ketidakpastia megeai parameter. Dalam situasi seperti ii parameter dari masalah PL dapat direpresetasika sebagai bilaga fuzzy. Kosep dari pembuat keputusa dalam betuk fuzzy pertama kali diusulka oleh Bellma da Zadeh pada tahu 1970. Setelah itu peelitia da pegguaa Fuzzy Liear Programmig Problem (FLPP) mulai berkembag. Beberapa pakar telah melakuka peelitia, di ataraya yaitu J. Neggers da H. Kim yag mejelaska tetag bilaga Liear Fuzzy Real (LFR). Selai itu ada pula Sabiha Fathil Jawad da Amit Kumar yag memberika metode baru dalam meyelesaika FLPP. Tulisa ii aka membahas Metode Sabiha utuk meyelesaika masalah Program Liier Fuzzy (PLF) dega bilaga LFR. Selai

itu juga dibadigka peyelesaia PLF dega bilaga LFR atara megguaka Metode Kumar dega megguaka Metode Sabiha. 2.1. Bilaga LFR II. HASIL DAN PEMBAHASAN Defiisi 2.1. [] Bilaga LFR didefiisika sebagai triple bilaga riil (a, b, c) di maa a b c dega: 1. μ(x) = 1 jika x = b; 2. μ(x) = 0 jika x a atau x c;. μ(x) = (x a) (b a) 4. μ(x) = (c x) (c b) jika a < x < b; jika b < x < c. Misalka LFR = {μ R [0, 1] μ adalah bilaga LFR}. Seperti yag diketahui dalam defiisi tersebut yag medefiisika bilaga LFR sebagai triple (a, b, c) maka eleme LFR dapat dituliska μ = μ(a, b, c). Dari defiisi tersebut bilaga LFR dapat diilustrasika dega gambar berikut: Gambar 2.1 Bilaga LFR μ(a, b, c) Defiisi 2.2. [] Utuk bilaga riil c, dimisalka ε(c) = μ dega triple yag berhubuga (c, c, c). Maka μ adalah bilaga LFR dega μ(c) = 1 da μ(x) = 0 utuk yag laiya. Karea μ adalah bilaga LFR maka diaggap ε(c) = μ mewakili bilaga riil c itu sediri. Jadi dapat dikataka bahwa himpua R dari semua bilaga riil adalah subset dari himpua bilaga LFR atau dapat ditulis R himpua LFR. 2.1.1. Operasi-operasi Bilaga LFR [] a. Pejumlaha da Peguraga

Diberika dua bilaga LFR yaitu μ 1 = μ(a 1, b 1, c 1 ) da μ 2 = μ(a 2, b 2, c 2 ), maka μ 1 + μ 2 = μ(a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ). Utuk operasi peguraga adalah sebagai berikut μ(a, b, c) = μ( c, b, a) da μ 1 μ 2 = μ(a 1 c 2, b 1 b 2, c 1 a 2 ). b. Perkalia Diberika bilaga LFR yaitu μ 1 = μ(a 1, b 1, c 1 ) da μ 2 = μ(a 2, b 2, c 2 ), maka μ 1 μ 2 = μ(mi{a 1 a 2, a 1 c 2, a 2 c 1, c 1 c 2 }, b 1 b 2, max{a 1 a 2, a 1 c 2, a 2 c 1, c 1 c 2 }). Jadi jika μ i = μ(a i, b i, c i ) utuk i = 1,2,, maka μ 1 μ 2 μ = μ(mi{a 1 a 2 a,, c 1 c 2 c }, b 1 b 2 b, max{a 1 a 2 a,, c 1 c 2 c }). Dega demikia berlaku μ ε(1) = μ utuk setiap μ LFR. c. Pembagia Diberika bilaga LFR yaitu μ 1 = μ(a 1, b 1, c 1 ) da μ 2 = μ(a 2, b 2, c 2 ), maka μ 1 μ 2 = μ 1 1 μ 2 dimaa 1 μ 2 = μ (mi { 1 a 2, 1 b 2, 1 c 2 }, media { 1 a 2, 1 b 2, 1 c 2 }, max { 1 a 2, 1 b 2, 1 c 2 }). Dega demikia utuk μ(a, b, c), jika 0 < a b c maka 1 μ = μ (1 c, 1 b, 1 a ). 2.2. PLF dega Bilaga LFR Megguaka Metode Sabiha Algoritma PLF dega Metode Sabiha dijelaska dalam lagkah-lagkah berikut ii: 1. Fase I [4] a. Megubah ricia tekis dari permasalaha PL ke dalam betuk pertidaksamaa fuzzy da mejadikaya sebagai peryataa sehigga dapat diperoleh fugsi objektif da kedala dalam betuk fuzzy. Dalam betuk umum dapat dituliska sebagai berikut: Memiimumka p T μ x dega kedala : Mμ x μ b atau Mμ x = μ b μ x ε(0)

b. Megubah setiap kedala sedemikia sehigga ruas kaa pada setiap kedala berharga o egatif. Lagkah ii megharuska setiap kedala dega ruas kaa yag berilai egatif dikalika dega -1. c. Megubah setiap pertidaksamaa kedala ke dalam betuk baku, yaitu jika kedala i berbetuk maka ditambahka variabel slack/keloggara (si) pada ruas kiri. Jika kedala i berbetuk maka dikuragi variabel excess (ei ) atau variabel surplus (si) pada ruas kiri. d. Meambahka variabel artificial (semu) (R i ) yag diperluka dari tipe masalah dega kedala = atau utuk memperoleh peyelesaia basis fisibel awal. e. Membetuk fugsi objektif baru dega memiimumka pejumlaha variabel semu terhadap kedala semula yag sudah dibawa ke betuk baku da sudah ditambah variabel semu. R = pejumlaha dari semua variabel semu j R = R i f. Memodifikasika betuk umum utuk disesuaika dega matriks triplet, sedemikia sehigga satu matriks dari matriks triplet dipecah mejadi tiga matriks sigle (tuggal). Oleh karea itu kita pisahka (μ ij ) = (A, B, C), dimaa A = (a ij ), B = (b ij ), da C = (c ij ). g. Mecari peyelesaia basis fisibel awal dari persamaa dega lagkah iterasi [1]. Lagkah iterasi memiliki tiga bagia : i. Meetuka Eterig Variable (EV), yaitu variabel yag masuk mejadi basis dega cara mecari variabel o basis pada persamaa (0) yag memiliki harga egatif terbesar utuk masalah maksimum da harga positif terbesar utuk masalah miimum. i=1 ii. Meetuka Leavig Variable (LV), yaitu variabel basis yag aka keluar dega cara membadigka harga ruas kaa (μ bi ) dega harga koefisie pada variabel yag terpilih mejadi basis

baru pada setiap persamaa ke-i (i = 1,2,, j), yag dipilih adalah yag palig miimum. Selajutya perpotoga atara EV da LV dapat disebut sebagai eleme pivot. iii. Meetuka solusi baru dega melakuka operasi elimiasi Gauss, dega mejadika setiap harga pada variabel baru mejadi ol da eleme pivot mejadi 1. Jika ilai optimal dari fugsi objektif tersebut positif (R > 0) maka PLF mempuyai solusi yag tidak fisibel sehigga megakhiri proses. Jika ilai optimal dari fugsi objektif tersebut sama dega ol (R = 0) maka PLF mempuyai solusi fisibel sehigga dapat dilajutka ke fase II. 2. Fase II [4] Megguaka solusi fisibel dari fase I yaitu peyelesaia fisibel awal (mejadi tabel awal) utuk permasalaha awal/yag sesugguhya dega mesubstitusika persamaa yag diperoleh dari fase I ke dalam persamaa fugsi tujua awal sehigga diperoleh persamaa fugsi tujua baru dega kedalaya adalah persamaa yag diperoleh dari fase I lalu dilakuka iterasi utuk medapatka solusi optimal. Cotoh 1. Diberika kasus seperti di bawah ii: Memaksimalka Z = μ(1, 6, 9). μ x1 + μ(2,, 8). μ x2 dega kedala μ(2,, 4). μ x1 + μ(1, 2, ). μ x2 = μ(6, 16, 0), μ( 1, 1, 2). μ x1 + μ(1,, 4). μ x2 = μ(1, 17, 0), μ xi 0. Peyelesaia Fase I. Setiap pertidaksamaa kedala ke dalam betuk baku sehigga diperoleh persamaa sebagai berikut μ(2,, 4). μ x1 + μ(1, 2, ). μ x2 + R 1 = μ(6, 16, 0)... (i) μ( 1, 1, 2). μ x1 + μ(1,, 4). μ x2 + R 2 = μ(1, 17, 0)... (ii) dega R 1, R 2 ε(0). Dega mejumlahka R 1 dega R 2 dari persamaa di atas diperoleh persamaa fugsi objektif baru yag aka dimiimumka yaitu R + μ(1, 4, 6). μ x1 +

μ(2, 5, 7). μ x2 = μ(7,, 60). Setelah itu melakuka modifikasi da iterasi dega tabel-tabel berikut: Tabel 2.1 Tabel Iterasi 0 Fase I Matriks Tuggal BV μ x1 μ x2 R 1 R 2 μ bi rasio A R 1 2 0 0 7 R 1 2 1 1 0 6 6 R 2-1 1 0 1 1 1 R 4 5 0 0 R 1 2 1 0 16 8 B 17 R 2 1 0 1 17 R 6 7 0 0 60 R C 1 4 1 0 0 10 15 R 2 2 4 0 1 0 2 Demikia seterusya sehigga diperoleh tabel akhir sebagai berikut: Tabel 2.2 Tabel Iterasi 2 Fase I Matriks Tuggal BV μ x1 μ x2 R 1 R 2 μ bi rasio R 0 0-1 -1 0 1 A μ x1 1 0 1 5 1 2 8 μ x2 0 1 R 0 0-1 -1 0 B μ x1 1 0 2 2 7 7 μ x2 0 1 1 5 7 7 R 0 0-1 -1 0 2 C μ x1 1 0 5 10 μ x2 0 1 1 2 6 5 5 Pada iterasi 2 diperoleh ilai optimal dari fugsi objektif sama dega ol (R = 0) maka PLF mempuyai solusi fisibel sehigga dapat dilajutka ke fase II. Peyelesaia Fase II. Tabel optimal fase I mejadi tabel awal fase II (dega fugsi objektif sebearya (Z)). Pada Tabel 2.2 terlihat bahwa keadaa sudah

optimal sehigga tidak perlu dilakuka iterasi lagi da sudah diperoleh ilai μ x1 da μ x2 yaitu μ x1 = μ ( 5, 2, ), μ x2 = μ ( 8, 5, 6). LFR/Z dega ilai optimal yaitu μ x1 = ε(2), μ x2 = ε(5). Nilai μ x1 da μ x2 disubstitusika ke dalam fugsi objektif awal sehigga diperoleh ilai maksimum dari fugsi objektif Z = μ(7, 27, 75) da ilai crisp/pastiya adalah ε(27) di LFR/Z. 2.. PLF dega Bilaga LFR Megguaka Metode Kumar Lagkah-lagkah dari Metode Kumar dalam meyelesaika PLF dega LFR adalah sebagai berikut [2]: 1. Megubah ricia tekis dari permasalaha ke dalam betuk pertidaksamaa fuzzy da mejadikaya sebagai peryataa sehigga dapat diperoleh fugsi objektif da kedala dalam betuk fuzzy seperti pada Metode Sabiha. 2. Jika semua parameter p T, μ x, M, μ b direpresetasika oleh bilaga LFR μ(p j, q j, r j ), μ(x j, y j, z j ), μ(f ij, g ij, h ij ), μ(b i, c i, d i ), berdasarka lagkah 1 dapat ditulis: Memiimumka Z = j=1 μ(p j, q j, r j ). μ(x j, y j, z j ) dega kedala: j=1 μ(f ij, g ij, h ij ). μ(x j, y j, z j ) μ(b i, c i, d i ) atau j=1 μ(f ij, g ij, h ij ). μ(x j, y j, z j ) = μ(b i, c i, d i ) da μ(x j, y j, z j ) ε(0) dimaa i = 1, 2,, m da j = 1, 2,,.. Diasumsika μ(f ij, g ij, h ij ). μ(x j, y j, z j ) = μ(e ij, k ij, l ij ), berdasarka lagkah sebelumya dapat ditulis: Memiimumka Z = j=1 μ(p j, q j, r j ). μ(x j, y j, z j ) dega kedala: j=1 μ(e ij, k ij, l ij ) μ(b i, c i, d i ) atau μ(e ij, k ij, l ij ) j=1 = μ(b i, c i, d i ) da μ(x j, y j, z j ) ε(0) dimaa i = 1, 2,, m da j = 1, 2,,. 4. Dega megguaka operasi aritmatika dalam sifat-sifat bilaga LFR da berdasarka lagkah maka PLF diubah mejadi Program Liier Crisp (PLC) sebagai berikut: Memiimumka Z = j=1 μ(p j, q j, r j ). μ(x j, y j, z j ) dega Z 1 = j=1 p j. x j, Z 2 = j=1 q j. y j, Z = j=1 r j. z j dega kedala j=1 e ij = b i, j=1 k ij = c i, j=1 l ij = d i dimaa i = 1, 2,, m da j = 1, 2,,.

5. Meemuka solusi optimal crisp x j, y j, da z j dega meyelesaika masalah CLP berdasarka lagkah 4. megguaka metode dua fase. 6. Meemuka solusi optimal fuzzy dega memasukka ilai dari x j, y j, da z j ke dalam μ x = μ(x j, y j, z j ). 7. Meemuka ilai optimal fuzzy dega memasukka ilai μ x ke dalam fugsi tujua p T μ x. 8. Melakuka peegasa (defuzzificatio) ilai optimal fuzzy dega megguaka fugsi perigkat (rakig fuctio) R(A ) = a+2b+c, dimaa a, b, c adalah eleme dari bilaga LFR μ(a, b, c). Cotoh 2. Diberika kasus yag sama dega Cotoh 1 amu peyelesaia dilakuka megguaka Metode Kumar. Dalam Fase I kasus diubah ke dalam betuk baku mejadi: Memaksimalka Z = μ(x 1 + 2x 2, 6y 1 + y 2, 9z 1 + 8z 2 ) dega Z 1 = x 1 + 2x 2, Z 2 = 6y 1 + y 2, Z = 9z 1 + 8z 2, dega kedala 2x 1 + x 2 + R 1 = 6 x 1 + x 2 + R 2 = 1 y 1 + 2y 2 + R = 16 y 1 + y 2 + R 4 = 17 4z 1 + z 2 + R 5 = 0 2z 1 + 4z 2 + R 6 = 0 4 R 1 = 6 2x 1 x 2 R 2 = 1 + x 1 x 2 R = 16 y 1 2y 2 R 4 = 17 y 1 y 2 R 5 = 0 4z 1 z 2 R 6 = 0 2z 1 4z 2 Dari persamaa-persamaa tersebut diperoleh persamaa fugsi objektif baru yag aka dimiimumka yaitu R + x 1 + 2x 2 + 4y 1 + 5y 2 + 6z 1 + 7z 2 = 100. Utuk memiimumka variabel artifisial R maka dilakuka iterasi-iterasi sebagai berikut: Tabel 2. Tabel Iterasi 0 Fase I BV x1 x2 y1 y2 z1 z2 R1 R2 R R4 R5 R6 BFS Rasio R 1 2 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 100 R1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 R2-1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 16 R4 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 17

BV x1 x2 y1 y2 z1 z2 R1 R2 R R4 R5 R6 BFS Rasio R5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 10 15 R6 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 1 0 Demikia seterusya sehigga diperoleh tabel akhir sebagai berikut: 2 Tabel 2.4 Tabel Iterasi 6 Fase I BV x1 x2 y1 y2 z1 z2 R1 R2 R R4 R5 R6 BFS Rasio R 0 0 0 0 0 0-1 -1-1 -1-1 -1 0 x1 1 0 0 0 0 0 1 1 5 0 0 0 0 1 2 8 x2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 y1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 7 7 0 0 2 y2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 7 7 0 0 5 2 z1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 10 z2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 5 5 6 Pada iterasi 6 diperoleh ilai optimal dari fugsi objektif sama dega ol (R = 0) maka PLF mempuyai solusi fisibel sehigga dapat dilajutka ke fase II. Tabel optimal fase I mejadi tabel awal fase II (dega fugsi objektif sebearya (Z)). Pada fase II, kolom R 1, R 2, R, R 4, R 5, da R 6 dihapus, karea R = R 1 + R 2 + R + R 4 + R 5 + R 6 = 0. Pada Tabel 2.10 terlihat bahwa keadaa sudah optimal sehigga tidak perlu dilakuka iterasi lagi da sudah diperoleh ilai x 1 = 5, x 2 = 8, y 1 = 2, y 2 = 5, z 1 =, z 2 = 6. Dari ilai-ilai tersebut diperoleh solusi optimal fuzzy yaitu μ x1 = μ ( 5, 2, ) da μ x2 = μ ( 8, 5, 6) serta ilai optimal fuzzy utuk masalah PLF yaitu Z = μ(7, 27, 75). Kemudia dilakuka peegasa (defuzzificatio) ilai optimal fuzzy mejadi ilai optimal crisp dega fugsi perigkat sehigga diperoleh ilai optimal crisp Z = 4. Dari Metode Sabiha da Metode Kumar tersebut diperoleh solusi optimal fuzzy yag sama yaitu μ x1 = μ ( 5, 2, ) da μ x2 = μ ( 8, 5, 6), ilai optimal fuzzy dari fugsi tujuaya juga sama yaitu Z = μ(7, 27, 75). Namu diperoleh

perbedaa ilai optimal crisp dari fugsi tujua. Dari peyelesaia megguaka metode Kumar diperoleh ilai crisp Z = 4, amu dega metode Sabiha diperoleh Z = 27. III. KESIMPULAN Metode Sabiha dapat diguaka utuk meyelesaika masalah program liier pada bilaga LFR. Metode Sabiha merupaka modifikasi dari Metode Dua Fase yag diguaka pada bilaga fuzzy. Modifikasi dilakuka dega megubah betuk umum utuk disesuaika dega matriks triplet, sedemikia sehigga satu matriks dari matriks triplet dipecah mejadi tiga matriks sigle (tuggal). Modifikasi tersebut dilakuka sebelum iterasi fase I da diguaka sampai akhir iterasi fase II. Hal tersebut berpegaruh dalam tabel iterasi. Dalam satu kali iterasi dilakuka peghituga terhadap tiga matriks sekaligus. Jika Metode Sabiha dibadigka dega Metode Kumar maka diperoleh solusi da ilai optimal yag sama dalam betuk fuzzy amu terdapat perbedaa dalam betuk crisp. Hal tersebut dikareaka dalam Metode Sabiha peegasa dilakuka megguaka defiisi bilaga LFR semetara dalam Metode Kumar peegasa dilakuka dega megguaka fugsi perigkat. IV. DAFTAR PUSTAKA [1] Hillier, F.S, Lieberma, G.J. 2001. Itroductio to Operatio Research. New York : McGraw-Hill. [2] Kumar, A, Kaur, J, Sigh, P. 2010. A New Method for Solvig Fully Fuzzy Liear Programmig Problems. Applied Mathematical Modellig. Vol. 5 pp. 817-82. [] Rogers, F, Neggers, J, Ju, Y. 2008. Method for Optimizig Liear Problems with Fuzzy Costraits. Iteratioal Mathematical Forum. Vol., No. 2, pp. 1141-1155. [4] Towfik, Z.S, Jawad, S.F. 2010. Proposed Method for Optimizig Fuzzy Liear Programmig Problems by Usig Two-Phase Techique. Iraq J. Electrical ad Electroic Egieerig. Vol. 6, No. 2, pp. 89-96.