9 BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode (diketahui) dan suatu komponen tren yang berupa fungsi pangkat. Dengan kata lain sebarang titik, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut : dengan adalah fungsi periodik dengan periode, menyatakan kemiringan tren dimana dan (diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali bahwa adalah fungsi periodik, sehingga semua titik dan seluruh, dengan adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut 3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson dengan Tren Fungsi Pangkat Berdasarkan Rachmawati (2010), misalkan suatu, hanya terdapat sebuah realisasi dari proses Poisson yang terdefinisi pada suatu ruang peluang dengan fungsi intensitas seperti pada yang diamati pada interval terbatas. Karena adalah fungsi periodik dengan periode, maka masalah menduga pada titik dengan dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik dengan.
10 Diasumsikan fungsi intensitas global bagi merupakan nilai rata-rata dari pada yaitu. yaitu Misalkan adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, dan misalkan pula adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut : (K.1) merupakan fungsi kepekatan peluang. (K.2) terbatas. (K.3) memiliki daerah definisi pada. 3.1.1 Pendugaan Berdasarkan modifikasi penduga pada Rachmawati (2010), diperoleh penduga seperti berikut :. Untuk mendapatkan penduga, cukup diperlihatkan bahwa Karena memenuhi, maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis Perhatikan suku pertama, dengan menggunakan asumsi adalah fungsi intensitas global dari maka. Sedangkan suku kedua dari
11 adalah dengan padanan stokastiknya yaitu. Langkah berikutnya, mengganti maka diperoleh Jika kedua ruas dikalikan dengan diperoleh sehingga Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika dan, sehingga. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai maka diperoleh penduga dari, yaitu seperti pada. Lema 3.1 Misalkan fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, maka, dengan Dengan kata lain, merupakan penduga yang konsisten bagi, dengan Mean Square Error-nya adalah. Bukti : Berdasarkan dapat dihitung sebagai berikut :
12. Ruas kanan adalah Karena fungsi intensitas seperti, maka Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika dan. Sehingga. Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai Dengan mensubstitusikan ke, diperoleh seperti pada. Ragam dari diperoleh dengan cara serupa, yaitu : Karena adalah proses Poisson, maka sehingga persamaan di atas dapat ditulis
13 Karena fungsi intensitas seperti, maka Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika, dan. Sehingga Dengan mensubstitusikan pada, maka diperoleh seperti pada. Didefinisikan berikut : dimana. Berikutnya, substitusikan dan pada, maka diperoleh Langkah selanjutnya, dengan menjumlahkan dan menyederhanakan hasil pada maka diperoleh seperti pada. Telah dibuktikan dan, sehingga Lema 3.1 terbukti. Teorema 3.1 (Kekonsistenan ) Penduga merupakan penduga konsisten bagi, yaitu
14. Bukti : Untuk membuktikan, berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh, berarti, ada sehingga Sehingga bahwa. Jadi membuktikan, digunakan ketaksamaan Chebychev, sehingga diperoleh Berdasarkan Lema 3.1, diperoleh sehingga diperoleh. Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.1 terbukti. 3.1.2 Pendugaan Berdasarkan Farida (2008) dan Rachmawati (2010), diperoleh modifikasi penduga dari pada titik sebagai berikut : dengan,, adalah suatu kernel dan adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol, yaitu, serta adalah penduga bagi seperti. Lema 3.2 Jika fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, serta kernel memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan, maka
15, asalkan adalah titik Lebesgue dari. Jika kernel memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan,, maka. Bukti : Berdasarkan, dapat dihitung sebagai berikut : Dari dapat dimisalkan maka dapat dinyatakan sebagai Suku pertama pada ruas kanan diperoleh sebagai berikut (Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Selanjutnya, suku kedua dari ruas kanan adalah
16 Dengan menggunakan pada persamaan di atas, maka diperoleh. Dengan mensubstitusikan dan pada, maka diperoleh persamaan seperti. Ragam dari diperoleh dengan menggunakan sehingga menjadi Dengan memisalkan seperti maka persamaan di atas dapat ditulis
17 kanan (Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Nilai suku kedua dari ruas dapat ditentukan sebagai berikut Dengan menggunakan pada persamaan di atas, maka diperoleh. Dari dan, dengan menggunakan ketaksamaan Chauchy Schwarz, dapat diperoleh suku ketiga ruas kanan persamaan yaitu
18. Karena dan maka sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi. Kemudian, dengan mensubstitusikan hasil dan pada maka diperoleh seperti pada. Teorema 3.2 (Kekonsistenan ) Jika fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, serta kernel memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan maka, asalkan adalah titik Lebesgue dari. Bukti : Untuk setiap berlaku jika. Menggunakan ketaksamaan segitiga, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut : Berdasarkan, diperoleh kemudian setiap, ada sehingga Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh bahwa
19 dengan menggunakan ketaksamaan Chebychev pada persamaan di atas, diperoleh Menggunakan hasil pada, maka dapat dituliskan sebagai berikut. Melihat hubungan antara persamaan di atas dan, maka terbukti bahwa jika. Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.2 terbukti. 3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson dengan Tren Fungsi Pangkat Fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval. Secara matematis, penduga bagi fungsi intensitas global pada dapat dinyatakan dengan. Memodifikasi hasil pada Yuliawati (2008), kita asumsikan bahwa periode diketahui, tetapi fungsi pada tidak ketahui, didefinisikan penduga sebagai berikut dengan adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan, yaitu dan seperti. Teorema 3.3 (Kekonsistenan ) Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka,
20 Bukti : Teorema 3.3 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 3.4 dan Teorema 3.5. Teorema 3.4 (Pendekatan Asimtotik Bias dari ) Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka. Bukti : Pertama, akan dibuktikan sebagai nilai harapan dari yaitu Perhatikan, suku pertama pada ruas kanan, yaitu dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka persamaan di atas dituliskan sebagai berikut
21 Berdasarkan, suku pertama ruas kanan menjadi Diketahui bahwa jika (Lihat Titchmarsh 1960). diperoleh Langkah selanjutnya, dengan mensubstitusikan pada, maka jika Kemudian perhatikan suku kedua pada ruas kanan berikut
22 Perhatikan salah satu komponen berikut, jika Dengan mensubstitusikan pada, diperoleh jika
23 Selanjutnya, dengan menggabungkan dan, maka diperoleh ruas kanan pada seperti berikut : jika Berikutnya, perhatikan suku kedua ruas kanan yaitu Dengan menggunakan maka kuantitas di atas menjadi. Selanjutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari dan ke, maka diperoleh seperti pada. Bedasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.4 terbukti. Teorema 3.5 (Pendekatan Asimtotik Ragam dari ) Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka dan
24 jika Bukti : Akan dibuktikan dan. Catatan, setiap dimana j,k = 1,2,, maka dan tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga dan adalah bebas,. Telah didefinisikan penduga bagi yaitu pada sehingga dapat dihitung sebagai dengan memisalkan Perhatikan suku pertama ruas kanan dari Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, dapat dibedakan dalam tiga kasus, yaitu dan. Untuk kasus diperoleh jika. Untuk kasus diperoleh jika.
25 Untuk kasus diperoleh jika. (Lihat Yuliawati, 2008). Berikutnya suku kedua ruas kanan sehingga dapat diperoleh sebagai berikut Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan atas, diperoleh persamaan berikut pada persamaan di. Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz pada suku ketiga ruas kanan diperoleh sebagai berikut Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, ekspresi di atas dapat dibedakan dalam tiga kasus, yaitu dan. Untuk kasus dan sehingga
26 Dengan kata lain, diperoleh, sehingga,. Dengan kata lain, diperoleh, sehingga,. Berdasarkan hasil yang tunjukkan pada langkah-langkah sebelumnya, diperoleh,. Dengan cara yang sama dilakukan kedua kasus berikutnya, yaitu kasus dan kasus. Diperoleh dan,, akibatnya dan, sehingga,. Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari langkah-langkah di atas ke sehingga diperoleh yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut, yaitu Untuk kasus. Dengan kata lain diperoleh seperti pada. Untuk kasus
27. Dengan kata lain diperoleh seperti pada. Untuk kasus. Dengan kata lain diperoleh seperti pada. Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.5 terbukti. Bukti Teorema 3.3 : Berdasarkan diperoleh atau dapat ditulis sebagai jika Sedangkan dari dan diperoleh atau dapat ditulis juga sebagai jika Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa adalah penduga konsisten bagi, yaitu bahwa setiap berlaku jika. Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
28 Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka menjadi Berdasarkan, ada sehingga setiap. Dengan mensubstitusikan ke, diperoleh Kemudian dengan melihat hubungan antara dan diperoleh Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pertaksamaan di atas, dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh Perhatikan, dengan menggunakan pada dapat ditunjukkan hubungan bahwa jika. Berdasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.3 terbukti.