ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE TESIS Oleh SAFRINA SEMBIRING 127021030/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE T E S I S Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh SAFRINA SEMBIRING 127021030/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Judul Tesis : ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE Nama Mahasiswa : Safrina Sembiring Nomor Pokok : 127021030 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Tulus, M.Si) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 22 Desember 2014
Telah diuji pada Tanggal 22 Desember 2014 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si 2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si
PERNYATAAN ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, 22 Desember 2014 Penulis, Safrina Sembiring i
ABSTRAK Penelitian ini membahas mengenai masalah estimasi bias menggunakan bootstrap dan Jackknife. Pada model ini diasumsikan tentang seberapa besar ukuran sampel yang digunakan untuk memperkirakan nilai bias dan standar error. Metode bootstrap dan jackknife merupakan teknik nonparametrik dan resampling yang digunakan untuk menaksir nilai bias dan mengetahui tingkat kesalahannya (standar error) dengan mengambil suatu sampel dari data yang dilakukan secara berulang-ulang dan menghilangkan sebuah data dan mengulanginya sebanyak sampel yang ada sehingga diperoleh estimasi bias dan standar error yang semakin kecil dengan tujuan dapat membandingkan hasil dari metode bootstrap dan jackknife mana yang mendapatkan nilai bias dan standar error yang paling kecil dengan mengambil sampel. Metode bootstrap dan jackknife yang dikenalkan disini menggunakan program R untuk mencari nilai bias dan nilai standar errornya. Hasil yang didapat dalam penelitian ini, metode bootstrap merupakan metode yang efisien dibandingkan dengan metode Jackknife dalam berbagai kondisi data, hal ini didukung dengan kecilnya tingkat standar error dan nilai biasnya yang dihasilkan. Kata kunci : Estimasi bias, Bootstrap, Jackknife ii
ABSTRACT This study discusses the problem of bias estimation using bootstrap and jackknife. In this model it is assumed about how big the size of the sample used to estimate the value of the bias and standard error. Bootstrap and jackknife method is nonparametric and resampling techniques are used to assess and determine the value of the bias error rate (standard error) by taking a sample of the data that is done repeatedly and removes a sample of the data, and repeat it as much as existing in order to obtain estimates of bias and standard error gets smaller with the aim to compare the results from bootstrap and jackknife methods which are getting value bias and standard error of the smallest by taking samples. Bootstrap and jackknife methods are introduced here using the R program to find the value of the bias and standard error values. The results obtained in this study, the bootstrap method is an efficient method compared with the jackknife method under various conditions of the data, it is supported by the small standard level error and bias in the resulting value. Keyword : Estimation biased, Bootstrap, Jackknife iii
KATA PENGANTAR Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmadnya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada : Ibunda tercinta Drs. Satty Sinukaban dan Ayahanda Alm. M. Yakup Sembiring yang selalu memberikan suport dan semangat serta mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Tak lupa pula kepada kakakku Irma Salviana Sembiring M.Pd, Nurmasitah Sembiring S.Pd dan Almeyda Sembiring yang telah memberikan semangat dan dukungan selama penulisan tesis ini. Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM &H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) dan selaku pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. iv
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMI- PA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 genap (Ratna, Enny, Pak hariyanto, Ferdinan, Melda, Rektor, Amsal, Siti, Metri, Puji, Jaka, Wina, ira) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih. Medan, 22 Desember 2014 Penulis, Safrina Sembiring v
RIWAYAT HIDUP Safrina Sembiring dilahirkan di Medan pada tanggal 26 November 1985 dari pasangan Ayahanda Alm. M. Yakup Sembiring & Ibu Drs. Satty Sinukaban. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar Negeri 104188 Sunggal pada tahun 1997, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Muhammadiyah 47 Sunggal pada tahun 2000, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 3 Binjai tahun 2003. Pada 2004 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Islam Sumatera Utara Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan Jurusan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan lulus 2008. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika. vi
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI i ii iii iv vi vii BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metodologi Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 2.1 Metode Bootstrap 5 2.1.1 Batasan metode bootstrap 7 2.2 Metode Jackknife 7 2.3 Jumlah Replikasi Bootstrap dan Jackknife 8 BAB 3 ESTIMASI BIAS DENGAN MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE 10 3.1 Estimasi Bias 10 3.2 Estimasi Bias dalam Metode Bootstrap 11 3.3 Pembentukan Sampel Bootstrap 12 vii
3.4 Estimasi Bias dalam Jackknife 14 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 15 4.1 Standar Error 15 4.1.1 Estimasi standar error bootstrap 17 4.2 Resample dalam Bootstrap 19 4.3 Standar Error dan Resample Jackknife 21 4.4 Program R 21 4.5 Pada contoh ini, program R akan digunakan untuk menaksir nilai bias dan standar error menggunakan bootstrap dan jackknife 22 4.5.1 Menghitung bias dan standar error menggunakan bootstrap 22 4.5.2 Pengolahan dengan program R dalam bootstrap 22 4.5.3 Grafik menggunakan program R dalam bootstrap 24 4.5.4 Hasil dan pembahasan dengan program R dalam bootstrap 24 4.6 Menghitung Nilai Bias dan Standar Error menggunakan Jackknife 24 4.6.1 Grafik menggunakan program R dalam jackknife 25 4.6.2 Tabel perbandingan hasil nilai bootstrap dan jackknife 26 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 27 DAFTAR PUSTAKA 28 viii