ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI RAYLEIGH PADA DATA TERSENSOR TIPE II DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI

Transkripsi

1 0 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI RAYLEIGH PADA DATA TERSENSOR TIPE II DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI JULHAIDI PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 011

2 1 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI RAYLEIGH PADA DATA TERSENSOR TIPE II DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains JULHAIDI PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 011

3 PERSETUJUAN Judul : ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI RAYLEIGH PADA DATA TERSENSOR TIPE II DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Kategori : SKRIPSI Nama : JULHAIDI Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen Fakultas : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Juni 011 Komisi Pembimbing : Pembimbing II Pembimbing I Drs. Pasukat Sembiring, M.Si Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP NIP Diketahui Oleh: Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP

4 3 PERNYATAAN ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI RAYLEIGH PADA DATA TERSENSOR TIPE II DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 011 JULHAIDI

5 4 PENGHARGAAN Bismillahhirrahmanirrahhim, Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT atas berkat dan limpah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi ini tepat pada waktunya. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Pasukat Sembiring, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian Skripsi ini telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan pada penulis dalam menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan professional telah diberikan agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Serta Bapak Drs. Rachmad Sitepu, M.Si dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si yang telah bersedia menjadi dosen penguji skripsi saya. Terima kasih atas saran dan masukannya. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Dra. Mardiningsih, M.Si Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Semua dosen Departemen Matematika FMIPA USU, Pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah seperjuangan. Akhirnya, tidak terlupakan kepada ayahanda dan ibunda yang saya sayangi dan ketiga adikku tercinta yang telah memberikan semangat, doa dan motivasinya. Serta semua keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga ALLAH SWT akan Membalasnya.

6 5 ABSTRAK Uji hidup adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup suatu unit atau komponen pada keadaan operasional tertentu. Analisis uji waktu hidup adalah salah satu analisis yang digunakan pada dunia industri dan kesehatan. Ada tiga metode yang umum digunakan dalam pengamatan waktu hidup. Sampel lengkap dimana pengamatan berhenti setelah semua sampel yang diamati mati, sensor tipe I pengamatan dilakukan selama unit waktu tertentu, sensor tipe II pengamatan berhenti setelah n kegagalan.data waktu hidup adalah sampel acak yang mempunyai distribusi peluang. Dengan maksimu likelihood dapat diestimasi bentuk dari parameter waktu hidup dari distribusi peluang waktu hidup itu, dan dalam skripsi ini penulis memakai distribusi Rayleigh dan Sensor tipe II dari data waktu hidup dengan menggunakan maksimum likelihood. Fungsi likelihood dalam mengestimasi Sensor tipe II untuk distribusi Rayleigh adalah θ = r t r r i=1 + (n r)t r 1 Agar dapat memudahkan dalam mengetahui karakteristik dari suatu sistem atau komponen waktu hidup dari suatu populasi.

7 6 ABSTRACT Life time analysis is one of the statistic analysis which is many use in industry and health. There are three general method which is often used in life time data analysis. Complete sample which is the observation stoped when all the observation failed type I censored the observation stopped during at an unit time, type II censor the observation stoped at n failure. Lifetime data is random sample which is has a probability distribution. With maximum likelihood can be estimate the parameter the form of lifetime data from its probability distribution, and in this thesis writer use a rayleigh distribution and censoring type II of lifetime data and it is estimate by maximum likelihood estimator. The likelihood form of estimating censoring tipe II for rayleigh distribution is θ = r t r r i=1 + (n r)t r 1 So that can be easier to know the characteristic of system or component life time data of population.

8 7 DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Gambar ii iii iv v vi vii ix Bab 1 Pendahuluan Latar Belakang 1 1. Perumusan Masalah 1.3 Tinjauan Pustaka 1.4 Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian 5 Bab Landasan Teori 6.1 Ruang Sampel dan kejadian Defenisi Ruang Sampel 6.1. Defenisi Kejadian 6. Defenisi Peluang Suatu Kejadian 6..1 Defenisi Peluang Suatu Kejadian A 8.. Defenisi Peluang Bersyarat 8.3 Variabel Random dan Distribusi Peluang Defenisi Variabel Random 8.3. Defenisi Variabel Random Diskrit Defenisi Variabel Random Kontinu 9.4 Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinu Defenisi Distribusi Peluang Diskrit 9.4. Defenisi Distribusi Peluang Kontinu Defenisi Fungsi Densitas Probabilitas Kontinu 10.5 Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi Tahan Hidup Fungsi Kegagalan 1.6 Statistik Terurut 15.7 Sistem Keandalan Sistem Keandalan Seri Sistem Keandalan Paralel Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif Kombinasi Sistem Seri dan Paralel 19.8 Data Tersensor 1.9 Distribusi Weibull.10 Distribusi Rayleigh 3.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood 4

9 8 Bab 3 Pembahasan dan Hasil Estimator Parameter Metode Maksimum Likelihood 6 3. Data Tersensor Tipe II untuk Distribusi Rayleigh Contoh Kasus 30 Bab 4 Kesimpulan dan Saran Kesimpulan Saran 34 DAFTAR PUSTAKA

10 9 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar.1 Sistem keandalaan seri 16 Gambar. Sistem keandalan paralel kelebihan aktif 18 Gambar.3 Sistem keandalan paralel kelebihan pasif 19 Gambar.4 Sistem seri-paralel 19 Gambar.5 Sistem paralel-seri 0