ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD

Transkripsi

1 ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD TESIS Oleh JEMONO /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

2 ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh JEMONO /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

3 Judul Tesis : ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD Nama Mahasiswa : Jemono Nomor Pokok : Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 3 Juni 2013

4 Telah diuji pada Tanggal 3 Juni 2013 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Muhammad Zarlis 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si

5 PERNYATAAN ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, 3 Juni 2014 Penulis, Jemono i

6 ABSTRAK Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi dari cuplikan dengan informasi lain yang diketahui atau disebut juga dengan prior sehingga lebih dikenal sebagai peluang subjektif. Andaikan X 1,X 2,...,X n,... merupakan suatu barisan variabel acak yang terdistribusi dan saling bebas dengan suatu distribusi kumulatif, F (x), serta fungsi densitas probabilitas, f(x). Selanjutnya, barisan {U(n),n 1} disebut dengan jumlah cuplikan informasi. Distribusi Pareto merupakan suatu distribusi yang digunakan di bidang sosial, ilmiah, geofisika, aktuaria dan fenomena di bidang lainnya. Estimasi Bayes yang digunakan pada suatu parameter Pareto merupakan suatu fungsi implisit tanpa adanya penyelesaian secara numerik. Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk mengkaji estimasi Bayes pada parameter Pareto dengan serta dilakukan penyempurnaan bilangan (iterasi numerik) dengan metode Newton-Raphson. Sehingga, model dapat digunakan di berbagai bidang, khususnya bidang sosio-ekonomi. Kata Kunci : Estimasi bayes, Distribusi pareto, Fungsi likelihood. ii

7 ABSTRACT Bayesian Method is a method that combines information of records with any known other information or also called priors known as subjective probability. Suppose that x 1,x 2,...,X n,... is a sequence of random variables distributed and independent with a cumulative distribution, F (x), and the probability density function, f(x). Furthermore, the sequence {U(n),n 1} is called by the number of pieces of information records. Pareto distribution is a distribution that is used in the social, scientific, geophysical, actuarial and other phenomena in the field. Bayesian estimation in a Pareto parameter is only an implicit function without any numerical solution. This research is conducted to assess the parameters of Bayesian estimate and made improvements by numerical iterations with the Newton-Raphson method. Thus, the model can be used in many fields, especially in the field of socio-economic development. Keywords : Bayesian estimate, distribution Pareto, likelihood function. iii

8 KATA PENGANTAR Dengan rasa rendah hati, penulis mengucapkan puju dan syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia yang telah dilimpahkan-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains di Program Studi Magister Matematika FMIPA Medan. Dalam penyusunan tesis ini, penulis telah banyak mendapat dukungan, bimbingan dan petunjuk dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya pada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku Rektor. Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan Ketua Komisi Pembimbing yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan juga selaku anggota komisi pembimbing yang telah penuh memberikan motivasi dan bimbingan kepada penulis hingga penulisan tesis ini telah diselesaikan. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan masukan dalam perbaikan dan kesempurnaan tesis ini. Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku anggota komisi pembanding yang telah banyak memotivasi dan membimbing dalam penulisan tesis ini. Dr. Marwan Ramli, M.Si sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini. Bapak Drs. H. Pargino, M.Si selaku Kepala SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu. iv

9 Ibunda tercinta Ibunda Ngadiyem dan seluruh keluarga. Istri tercinta, Siti Hidayani, S.Pd dan anak-anakku tersayang, yaitu Aisyah Nabilah dan Muhammad Azmi Pramono. Seluruh teman-teman stambuk 2011 ganjil Program Studi Magister Matematika. Seluruh teman-teman di SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu Semoga tesis ini bermanfaat. Medan, Juni 2013 Penulis, Jemono v

10 RIWAYAT HIDUP Jemono dilahirkan di Kw.Bingai Kabupaten Langkat pada tanggal 18 Juni 1976 dan merupakan anak ke-11 dari 13 bersaudara. Anak dari Ayah Poniman (Alm.) dan Ibu Ngadiyem. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) Negeri di Stabat pada tahuun 1988, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Stabat Kabupaten Langkat pada tahun 1991 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri di Stabat jurusan Fisika pada tahun Tahun 1996 memasuki perguruan tinggi di Universitas Negeri Medan (UNIMED) jurusan Pendidikan Matematika dan memperoleh gelar sarjana pendidikan pada tahun Tahun 2003 sampai dengan tahun 2008 mengajar bidang studi Matematika dan sebagai guru kelas di SD Swasta Harapan 2 Medan. Tahun 2008 mengajar bidang studi Matematika di SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu Kabupaten Serdang Berdagai sampai sekarang. Tahun 2011 mengikuti sekolah pada Program Studi Magister Matematika (USU) Medan. vi

11 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI i ii iii iv vi vii BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 3 BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA Estimasi Bayes Parameter Pareto Distribusi Posterior 8 BAB 3 LANDASAN TEORI Metode Estimasi Bayes Parameter Pareto Distribusi Posterior 18 BAB 4 ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENG- GUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD Estimasi Maximum-Likelihood 20 vii

12 4.2 Estimasi Bayes untuk Parameter Pareto Distribusi prediktif Prosedur Algoritma Newton-Raphson 25 BAB 5 KESIMPULAN Kesimpulan Riset Lanjutan 27 DAFTAR PUSTAKA 28 viii