METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Transkripsi

1 METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TESIS Oleh RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

2 METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN T E S I S Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

3 Judul Tesis : METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Nama Mahasiswa : Ruth Mayasari Simanjuntak Nomor Pokok : Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Herman Mawengkang) Ketua (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 17 Desember 2013

4 Telah diuji pada Tanggal 17 desember 2013 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 2. Prof. Dr. Muhammad Zarlis 3. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

5 PERNYATAAN METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya. Medan, Desember 2013 Penulis, Ruth Mayasari Simanjuntak i

6 ABSTRAK Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel, biasanya untuk himpunan konveks. Kelas fungsi vektor simetri yang membentuk pasangan kendala persamaan dan pertidaksamaan telah diperkenalkan. Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi yaitu metode yang melibatkan modifikasi fungsi Lagrange, metode prediksi type proximal, dan metode prediksi type gradient. Kekonvergenan dari metode tersebut dibuktikan. Dari analisa yang dilakukan ketiga metode itu kurang efisien digunakan karena membutuhkan waktu yang lama dalam penyelesaian. Metode proyeksi sederhana, alternating direction method, dan metode ekstragradien adalah metode yang tepat dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional karena menggunakan algoritma, dan algoritma yang dihasilkan menarik, sederhana, dan sangat cepat. Kata kunci: Persoalan pertidaksamaan variasional, Alternating direction method, Optimisasi. ii

7 ABSTRACT Variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The class of symmetric vector functions that form inequality and equality constrains is introduced. There are several methods used to solve the variational inequality problems, i.e the methods involving the modified Lagrange functions, a prediction type proximal, and a prediction type gradient method. The convergence of the methods is proved. The simple projection method, alternating direction method, and extragradient method is a appropriate methods in solving variational inequality problems because the resulting algorithm is attractive, simple, and very fast. Keyword:Variational inequality problem, Alternating direction method,optimization iii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rahmat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSA- MAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Penulis menyampaikan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA sekaligus pembimbing-i yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA sekaligus pembanding-ii yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis, Pembanding-I yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang memberikan bimbingan, arahan, dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMI- PA yang banyak membantu proses administrasi. iv

9 Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Ibunda dan ayahanda tercinta, yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Suami tercinta yang telah memberikan doa, kasih sayang, dukungan baik secara moril maupun materi. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 genap, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan. Medan, Desember 2013 Penulis, Ruth Mayasari Simanjuntak v

10 RIWAYAT HIDUP Ruth Mayasari Simanjuntak, dilahirkan di Tobasari pada tanggal 22 Juli 1983, merupakan anak keempat dari lima bersaudara dari ayah W. Simanjuntak dan ibunda A.Aritonang. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri Kabupaten Simalungun pada tahun 1995, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Pembangunan Kabupaten Simalungun pada tahun 1998, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA RK Budi Mulia Pematangsiantar pada tahun Pada tahun 2002 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Pendidikan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun Pada Februari 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA. vi

11 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI i ii iii iv vi vii BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pertidaksamaan Variasional (Variational Inequalities) Quasi-Variational Inequalities Metode Pengali Lagrange Equality dan Inequality Constraint (Kendala Persamaan dan Pertidaksamaan) 8 BAB 3 LANDASAN TEORITIS Pendekatan Optimasi Kondisi Convex Kondisi Optimal KKT Fungsi Simmetri 10 vii

12 3.5 Kesimetrian Mereduksi Masalah Saddle-Point 13 BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL Metode yang Melibatkan Fungsi Modifikasi Lagrange Metode Prediksi Type Proximal yang Menghubungkan Variabel Dual Metode Prediksi Type Gradient yang Menghubungkan Variabel Primal dan Dual Alternating Direction Method Metode Proyeksi Sederhana Metode Ekstragradien 29 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran 31 DAFTAR PUSTAKA 32 viii