GENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN

Transkripsi

1 GENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN TESIS Oleh ALI KADIR LUBIS /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

2 GENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh ALI KADIR LUBIS /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

3 Judul Tesis : GENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN Nama Mahasiswa : Ali Kadir Lubis Nomor Pokok : Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Tulus, M.Si) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 5 Juni 2013

4 Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2013 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si 2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc

5 PERNYATAAN GENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, 5 Juni 2013 Penulis, Ali Kadir Lubis i

6 ABSTRAK Penelitian ini mendiskusikan persoalan generalisasi metode pencabangan pada program integer campuran. Mehrotra dan Li (2004) menunjukkan bahwa permasalahan menemukan pencabangan hyperplane yang baik pada program integer campuran dapat dirumuskan pada adjoint lattice dari Kernel lattice dari kendala kesetaraan tanpa memerlukan pengurangan dimensi. Sebagai akibat algoritma vektor kisi menemukan, seperti algoritma Lenstra, Lenstra, Lovasz (algoritma-lll) atau algoritma pengurangan basis umum dari Lovasz dan Scarf (algoritma-ls) digambarkan dalam variabel ruang asli. Dengan memberikan cara heuristik baru yang alami dalam menghasilkan pencabangan hyperplanes, dan mendiskusikan hubungan dengan teknik reformulasi terbaru Aardal dan Lenstra. Baravykaite dan Ciegis (2007) menyampaikan implementasi template paradigm BnB, C++ untuk semua langkah utama algoritma BnB. Kata kunci : Program linier, Program integer linier campuran, Branch-and bound ii

7 ABSTRACT This study discusses the generalization branching method on mixed integer program. Mehrotra and Li (2004) showed that the problem of finding a good branching hyperplane on mixed integer program can be formulated on the adjoint lattice of Kernel lattice of equality constraints without the need for dimensional reduction. As a result of finding lattice vector algorithm, such as algorithms Lenstra, Lenstra, Lovasz (LLL algorithm) or general basis reduction algorithm of Lovasz and Scarf (algorithm-ls) is described in the original variable space. They provide a natural way of generating new heuristic branching hyperplanes, and discuss the relationship with the latest reformulation techniques of Aardal and Lenstra. Baravykaite and Ciegis (2007) presents a template implementation of the BnB paradigm, C + + for all the major steps on BnB algorithms. Keyword : Linear programming, Mixed integer linear programming,branch-and bound iii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : GENERALI- SASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAM- PURAN. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA sekaligus Pembanding-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA, yang juga sebagai pembimbing I, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, yang juga sebagai pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembanding-I yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si, sebagai staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA yang banyak membantu proses administrasi. iv

9 Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Ibunda dan ayahanda tercinta, Almarhumah Rodiah Nasution dan Kadi Lubis serta keluarga tercinta, isteri : Sri Susilawati, S.Pd dan anak anak : Alisha Rizki Andini Lubis dan Fadhil Anugrah Lubis yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 Ganjil, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan. Medan, Juni 2013 Penulis, Ali Kadir Lubis v

10 RIWAYAT HIDUP Ali Kadir Lubis, dilahirkan di Muara Bungo Jambi pada tanggal 4 Mei 1971, merupakan anak kedua dari delapan bersaudara dari ayah Kadi Lubis dan ibunda Rodiah Nasution. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri Medan pada tahun 1984, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Swasta Hang Kesturi Medan pada tahun 1987, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 6 Medan pada tahun Pada tahun 1990 penulis melanjutkan pendidikan Diploma III pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Pendidikan Matematika di IKIP Medan dan melanjut pada tingkatan strata-1 pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Medan, dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun Pada September 2011 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA. Saat ini penulis, bertugas sebagai tenaga pengajar pada Sekolah SMP Swasta NU Medan, SMK Swasta NU Medan dan SMK Negeri 1 Patumbak Kab. Deli Serdang. vi

11 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metode Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Program Integer Metode Branch and Bound Algoritma Branch and Bound untuk Program Integer Kelayakan Program Integer Algoritma Pencabangan Hyperplane 14 BAB 3 PEMBAHASAN Permasalahan Program Integer Linier Campuran Menemukan Pencabangan Hyperplane untuk Kasus Integer Campuran 16 vii

12 3.3 Pembulatan Matriks Pusat 17 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran 22 DAFTAR PUSTAKA 23 viii

13 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Prinsip branch and bound Calon solusi Calon solusi Calon solusi 3 11 ix