MENENTUKAN POLINOMIAL MINIMAL ATAS GF YANG MEMBANGUN GF Nuug Ara 1 a Bambag Irawato 1 Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Jl Pro H Soearto SH Tembalag Semarag Abstract Let F s te el wth elemets eote by GF I E be a exteso el o F a α E s the algebra elemet o F the olyomal o F o smallest egree such that ( α ) = 0 x calle mmal olyomal o F I α s rmtve elemet the ( ) whose calle rmtve olyomal s the mmal olyomal o F whose geerate the elemets o GF The mmal olyomal o F whose geerate the elemets o GF s the actor o x x = because the elemets o GF are the soluto o = 0 are kow we have = x x I we actorg t wll be obtae olyomal o F whose geerate the elemets o GF where F o egree that cota a rmtve elemet So a the mmal s some rreucble actor Keywor: te el exteso el rreucble olyomal mmal olyomal rmtve elemet 1 PENDAHULUAN Msalka F aalah laaga F hmua semua olomal alam x atas F a (x) F suatu olomal mok a tak tereuks Suatu hmua yag bagu oleh suatu olomal tak tereuks meruaka eal maksmal [4] Selajutya Galla juga meyataka suatu rg hasl bag R oleh eal maksmalya meruaka laaga Akbatya jka F laaga a aalah olomal yag tak tereuks F atas F maka aalah laaga Laaga yag elemeya berhgga sebut laaga berhgga Laaga berhgga ega eleme ega rma sebut juga Galos Fel a otaska ega GF Paag olomal ( x ) atas laaga F [6] megataka bahwa seta olomal bererajat ost atas F aat sajka sebaga ergaaa ar koese utama a sejumlah olomal mok yag tak tereuks atas F Dega emka olomal bererajat atas F blaga bulat ost memuya alg bayak akar yag berbea alam F Dalam tulsa bahas metoe atau lagkah-lagkah utuk memeroleh olomal mmal atas GF yag membagu GF LAPANGAN PEMISAH Suatu laaga yag memuat laaga yag la sebaga hmua bagaya sebut laaga erluasa Des 1 [5] Msalka E a F laaga E sebut laaga erluasa ar F jka F aalah laaga baga (subel) ar E tuls ega F E 65
Jural Matematka Vol 11 No Agustus 008:65-7 Dega emka jka E laaga erluasa ar F maka F aalah laaga baga ar E a jka F aalah laaga baga ar E maka E aat aag sebaga ruag vektor atas F Dmes ar ruag vektor E atas F atau E ( F ) sebut erajat ar laaga erluasa E atas F otaska ega [ E : F ] [ 7] Keberaaa laaga erluasa ar suatu laaga jam oleh teorema Kroecker berkut Teorema (Teorema Kroecker) Jka F aalah laaga a olomal yag tak kosta alam F maka teraat laaga erluasa E ar F maa teraat akar ar Artya teraat α E seemka sehgga ( α ) = 0 Semetara es a teorema megea laaga emsah (Slttg Fel) aalah sebaga berkut Des 3 [ 6] Jka E megaug semua akar ar F maa F E a tak aa laaga baga la ar E sela E tu ser yag memuat semua akar maka E sebut laaga emsah ar x ( ) Cotoh 1 1) Laaga emsah ar olomal = x + 1 R atas R aalah C sebab = ( x )( x + ) C a C = { R( ) = a + b a b R} ) Laaga emsah ar olomal x = x Q x atas Q aalah Q ( ) [ ] ( ) = { a + b ab Q} = x = ( x )( x + ) sebab Teorema 4 [5 ] Jka F suatu laaga a olomal yag tak kosta alam F maka teraat laaga emsah E utuk atas F Bukt: Aka buktka ega uks aa eg ( ) = Jka eg ( ) = 1 maka olomal lear a F = E Dasumska bear utuk olomalolomal yag bererajat lebh kecl ar aka buktka bear utuk eg ( ) = Msal F aalah aktor tak tereuks ar (meggat F suatu DFT) Meurut teorema F teraatlah laaga E yag meruaka laaga erluasa ar F a memlk akar α 1 E sehgga eroleh = ( x α1) q alam E a = ( x α1 ) q g Oleh karea q g memlk erajat 1 maka ega hotess uks teraatlah laaga emsah E utuk q g yag memuat akar-akar α α 3 α ar Sehgga teraktorsas lear E x a F( α α α α ) E alam [ ] 1 3 aalah laaga emsah ar atas F Jka F suatu laaga a S = { 1 } F maka E = meruaka laaga emsah E utuk S ega utuk E laaga emsah = 1 3 atas F Msalka F aalah laaga a F olomal yag tak tereuks atas F Jka α aalah akar ar alam erluasa E atas F maka F ( α) laaga yag bagu oleh α somors F ega [4 ] Msalka F laaga a E laaga emsah atau F E maka meurut [6] E meruaka erluasa aljabar (algebrac exteso) Artya 66
Nuug Ara Bambag Irawato (Meetuka Polomal Mmal atas G P yag membagu G P N ) seta eleme E meruaka eleme aljabar atas F atau seta eleme E meruaka akar-akar ar olomal x x = Jka F laaga berhgga ega eleme a E aalah erluasa berhgga ar F seemka sehgga [ E : F] = maka E memlk eleme [7] AKAR-AKAR LAPANGAN PEMISAH Polomal (x) F maa (x) = 0 ega α F maka α sebut akar ar (x) = 0 Teorema 5 [7] Msalka F suatu sublaaga ar laaga E (x) F a (x) tak tereuks serta E memuat akar ar (x) maka (x) tak memuya akar-akar gaa alam E jka a haya jka '( x) 0 Teorema 6 [4] Msalka E suatu laaga ega eleme ega blaga rma yag termuat alam eutu aljabar Z ar Z maka eleme-eleme E aalah akar-akar Z atau ar olomal x x Z E = { a Z / a akar ar x x Z } Teorema 7[7] Msalka F olomal tak kosta atas F a E laaga erluasa ar F Eleme α E aalah akar berlat ar jka a haya jka α aalah ' x akar ersekutua ar Bukt: a ( ) ( ) Msalka α akar berlat ar a m aalah multlstas ar α ega m x = x α g x ega m maka ( ) ( ) ( ) g olomal atas E seemka hgga g ( α ) 0 ega emka ' m 1 m = m( x α ) g + ( x α ) g ' a karea m maka m 1 ' α = m α α g α + α α m ( ) ( ) ( ) ( ) g '( α ) = 0 Ja α aalah akar ersekutua ar a ' ( ) Msalka α aalah akar ersekutua ar a ' a aaka α buka akar gaa (akar berlat) ar alam hal = ( x α ) g ega g olomal atas E seemka sehgga g ( α ) 0 Utuk x = α maka '( x) = ( x α ) g'( x) + g( x) = ( α α ) g '( α ) + g( α) 0 Sehgga aat smulka bahwa α buka akar ersekutua ar a ' bertetaga ega yag ketahu Ja egaaa harus gkar x a α aalah akar berlat ar ( ) Teorema 8 [7] Jka F suatu laaga ega karakterstk rma 0 maka olomal x x F[ X ] memlk Bukt: = ega 1 akar-akar yag berbea Dketahu olomal x x = maka ' = x 1 1 Msalka F laaga ega karakterstk 0 karea 1 F maka = 1 + 1+ + 1 = 0 sehgga = 0 Karea = 0 maka ' = 1 Sehgga meurut teorema 5 a ' tak memuya akarakar yag sama lebh ar 1 Dega kata la jka F suatu laaga berhgga ega karakterstk 0 maka olomal x x F[ X ] memlk = 1 akar-akar yag berbea Teorema 9 [1] Msal blaga rma a blaga bulat 1 akar-akar olomal 67
Jural Matematka Vol 11 No Agustus 008:65-7 = x x Z alam laaga emsah atas Z yag semuaya berbea membetuk laaga ega eleme Bukt: Dar olomal x x ' = x 1 1 blaga rma a Z 1 ' = 0 x 1 = 1 0 Teorema 8 = maka Selajutya karea maka a meurut memlk akar-akar yag berbea Polomal = x x bererajat a memlk akar-akar yag semuaya berbea sehgga jumlah akarakarya aalah Msal F hmua semua akar-akar ar atau F = { a Z a akar ar = x x} aka tujukka F aalah laaga atau b Ambl a b a a b F maka a = 0 = a begtu juga b b = 0 atau a + b a b = sehgga ( ) ( + ) = 0 a ( a b) = ( a + b) + selajutya aat 1 ( a b ) = a ( b ) 1 Dega emka F aalah laaga a karea jumlah akarya maka F aalah laaga ega eleme atau GF Selajutya meurut teorema 6 a teorema 8 eleme ar GF aalah akar- akar ar x x = Akhrya meurut teorema 7 a teorema 9 F laaga ega eleme atau GF jka a haya jka F aalah laaga emsah ar x x = 4 MENENTUKAN POLINOMIAL MINIMAL ATAS GF YANG MEMBANGUN GF Des 10 Jka E laaga erluasa atas F a α E eleme aljabar atas F maka x atas F ega olomal mok ( ) erajat terkecl yag memeuh ( α ) = 0 sebut olomal mmal atas F Jka erajat ar olomal mmal atas F tersebut sama ega maka α kataka sebaga eleme aljabar atas F yag bererajat Teorema 11 [] Msalka E laaga erluasa atas F a α E eleme aljabar atas F Msalka juga F aalah olomal ega erajat terkecl seemka hgga ( α ) = 0 maka () aalah olomal yag tak tereuks atas F () Jka g F seemka sehgga g ( α ) = 0 maka g () Teraat ega tuggal F ega erajat terkecl seemka α = sehgga ( ) 0 Bukt: () Aaka berlaku sebalkya yatu aalah olomal yag tereuks atas F maka = h q maa eg h a eg q kurag ar eg Maka ( α ) = h( α ) q( α ) = 0 berart h ( α ) = 0 atau q ( α ) = 0 Dega emka α memeuh sebuah oomal ega erajat kurag ar erajat I bertetaga ega kemmala ar sehgga egaaa harus gkar Ja aalah olomal yag tak tereuks atas F () Msalka g F a aalah olomal seert aa () Berasarka algortma embaga teraat olomal q a r F seemka hgga berlaku g = q + r r = 0 atau eg r < eg Karea g ( α ) = 0 maka 68
Nuug Ara Bambag Irawato (Meetuka Polomal Mmal atas G P yag membagu G P N ) ( α) = ( α) q( α) + r( α) = 0 r( α) = 0 Karea g aalah olomal ega erajat terkecl seemka hgga ( α ) = 0 maka maka r haruslah 0 Sehgga g = q yatu g x olomal mok ega erajat terkecl seemka hgga memeuh ( α ) = 0 maka ar embukta () eroleh a Karea a keua-uaya aalah olomal mok maka ar a eroleh = I memerlhatka x tuggal () Msalka ( ) bahwa olomal ( ) Teorema 1 [9] Msalka aalah blaga rma ega > 0 a N maka olomal x x meruaka hasl kal semua olomal mok yag tak tereuks Z x yag erajatya membag alam [ ] Bukt: Jka olomal mok x x aktorka Z x maka aka eroleh alam [ ] e x e e e x = 1 s 1 s e s maa 1 1 s aalah olomal olomal mok yag tak tereuks a Z x a e e e N berbea alam [ ] e 1 s Utuk membuktka teorema atas aka aka tujukka beberaa hal berkut (a) Tak aa aktor ar x x yag membag x x lebh ar sekal (b) Jka olomal mok yag tak Z x ega erajat tereuks alam [ ] yag membag maka aalah aktor ar x (ega kata la sama ega salah satu ar ) (c) Derajat ar seta aktor ar x x alam Z harus membag x (ega kata la seta erajat ar membag ) Bukt ar (a): Msalka F = Z laaga a = a0 + a1x + a x + + a x F maka turua ertama ar aalah 1 ' = a 1 + a x + + a x Perlu erhatka bahwa utuk seta olomal a g alam F a sebarag a F seatasa berlaku hal-hal berkut : ( + g) ' = ' + g ' ( g )' = ' g + g ' ( a )' = a ' Msalka = g h utuk utuk sebarag olomal g ega erajat 1 Dar ugs atas meghaslka ' = ggh ' + g h' = g(g' h+ gh') Sehgga a ' memuya aktor bersama yatu g ega erajat 1 Dalam kasus x P = x x sehgga 1 P ' = 1 0 Sesua teorema 3 P tak memuya akar berlat alam erluasa Z Itu artya bahwa P tak memuya aktor yag berulag atau P tak memuya aktor yag membag x x lebh ar sekal Bukt (b): Msalka suatu olomal mok yag tak tereuks alam Z ega erajat membag Aka tujukka membag x x Karea membag maka 1 membag 1 alam Z Dega emka 1 x 1 membag 1 1 x alam Z Da jka keua olomal atas kalka ega x eroleh membag x x alam Z x x 69
Jural Matematka Vol 11 No Agustus 008:65-7 Sekarag tak tereuks alam Z ega erajat sehgga K = Z [ X ] aalah laaga ega eleme Selajutya olomal mmal ar α = x + ( ) K atas Z aalah Karea K* aalah gru ega 1 eleme 1 maka uya α 1 a jka betuk kalka ega α eroleh α α = 0 yatu α aalah akar ar olomal x x Z [x] karea olomal mmal α atas Z aalah maka harus membag x Semetara olomal terakhr membag x x x Ja juga membag x x Bukt (c): Msalka olomal mok yag Z x yag membag tak tereuks alam [ ] x a bererajat Sebagamaa aa embukta (b) aat lhat bahwa x aalah aktor ar x Dega x megasumska juga aktor ar x maka aalah aktor ar gc( x x x x ) Sehgga eroleh x GCD( ) 1 1 1 gc( 1 1) gc( x 1 x 1) = x = x 1 Dar s eroleh x rma relat terhaa semua olomal yag tujukka megalka ega x eroleh D = gc( x x x x) = x x Sebagamaa aa embukta (b) ega K = Z[ x] a α = x + ( ) maka K = Z [α] Kta ketahu bahwa K memuya GCD ( ) eleme a seta eleme ar K aalah akar ar x Dberka e = gc( ) ar uraa atas x x e x x aalah aktor ar x ja x e x memuya akar yag berbea alam K Akar-akar tersebut membetuk sebuah laaga baga L ar K Teta membag x e x ja α L Lagula Z termuat alam L Oleh karea tu K = Z [α] termuat alam L sehgga e L = K karea tu = ja e = Sehgga terbukt membag Dar egerta olomal mmal a uraa sebelumya ketahu bahwa olmmal yag aka tetuka aalah aktor (yag meruaka olomal tak tereuks) ar = x x Sehgga utuk meaatka olmal mmal atas GF yag membagu GF ega a ketahu terlebh ahulu betuk olmal = x x Polomal aktorka ega meetuka kosetkoset sklotomkya a megguaka metoe aktor ersekutua terbesar (gc) Des 13 [8] Msalka suatu blaga bulat tertetu 0 m 1 Koset-koset sklotomk ( moulo m) yag memuat blaga rma a m blaga bulat ost yataka sebaga berkut: { s C = 1 } ega eleme-eleme hmua ambl ar mo m a s blaga bulat terkecl semka sehgga s ( mo m) = { C / 0 m 1} C aalah hmua koset-koset sklotomk ar moulo m Teorema 14 [8] Jka suatu olomal mok bererajat m atas F = GF a g suatu olomal atas F ega eg g x m serta memeuh ( ) 1 [ g ] g ( mo ) r = = gc( g s) maka 1 Bukt: Msalka gc ( g s) membag habs utuk seta s F Selajutya karea 70
Nuug Ara Bambag Irawato (Meetuka Polomal Mmal atas G P yag membagu G P N ) gc gc ( a b) = gc( a b a) ( g s g t) = ( g s s t) = 1 1 a gc utuk s t ega t F maka gc ( gc( g s) gc( g t) ) = 1 utuk s t Dega emka gc x g x s membag habs ( ( ) ( ) ) Dar eesa g membag habs [ g ] g Sehgga aat y = ( y s) maka y [ g ] g = g s a membag habs emka ( g s) g s Dega membag habs gc Terakhr karea a ( g s) gc keuaya olomal mok aat smulka x = gc x g x s ( ) ( ( ) ( ) ) Dar teorema 1 ketahu bahwa aktor atau olomal yag car aalah olomal yag bererajat Kemua satu cr lag ar olomal yag aat megkostruks GF secara mlst aat lhat aa rooss a es eleme rmt berkut Prooss 15 [10] Msalka F laaga berhgga ega eleme Msalka θ eleme rmt ar F a M olomal mmal atas Z Maka F somors ega Z x M x Dalam hal eg M = [ ] ( ) Des 16 [] Msalka θ 0 θ GF a memeuh 1 = ersamaa θ 1 maka θ kataka eleme rmt ar GF jka hasl eragkata θ ega agkat kurag ar 1 ( θ 0 < 1 ) semuaya berbea Dega emka jka θ aalah eleme rmt maka 0 3 θ ( = 1) θ θ θ θ kesemuaya berbea a semua eleme tersebut alam GF serta θ 1 utuk 0 < < 1 Cotoh Msal berka GF ega = 3 maka aat kostruks laaga GF ar 3 olomal x + x + yag meruaka olomal yag tak tereuks atas GF 3 Daat lhat bahwa kelas resu x ar x + x + memuya eleme rmt x = x = x + 1 Kelas-kelas resu tersebut aalah 0 x = [ x ] 5 = x [ ] 1 1 6 [ x ] = x [ x ] = x + 7 [ x ] = x + 1 [ x ] = x + 3 8 [ x ] = x + 1 [ x ] = 1 4 [ x ] = Karea θ 0 < 1 semuaya berbea maka kelas resu x memuya eleme rmt Jka yag guaka aalah x + 1 yag juga tak tereuks atas GF 3 maka mash aka aatka sebuah laaga ega 9 eleme Namu x + 1 tak memuya eleme rmt sebab akar ar x + 1 haya memuya orer 4 sebagamaa yag tujukka berkut Dar x = 1 = eroleh 0 x = [ x ] 3 = x [ ] 1 [ x ] 1 = x [ ] 4 x = [ ] 1 x = Karea θ aalah eleme ar yatu θ meruaka akar ar salah GF satu olomal tak tereuks yag meruaka aktor ar x x = 71
Jural Matematka Vol 11 No Agustus 008:65-7 maka olomal mmal atas GF yag membagu GF haruslah memuya akar yag meruaka eleme rmt Dega erkataa la olomal tersebut harus megaug eleme rmt 5 KESIMPULAN Dar uraa atas aat smulka bahwa olomal mmal atas GF yag membagu GF aat eroleh ega roseur berkut : Msal berka GF ega a ketahu maka aat betuk olomal = x x yag memuya aktor-aktor berua olomal mok yag tak tereuks atas GF Dega meetuka koset-koset sklotomk ar olomal tersebut a megguaka metoe aktor ersekutua terbesar (gc) aka eroleh aktor-aktor yag tak tereuks ar maa erajat ar ast membag utuk seta maa meujukka aktor yag ke- a semuaya berbea Polomal mmal yag maksu aalah yag bererajat a memuya eleme rmt [] Bhattacharya P B (1984) Basc Abstract Algebra Cambrge Uversty Press New York [3] Fralegh J B (1994) A Frst Course Abstract Algebra Aso-Wesley Publshg Comay USA [4] Galla Joseh (1990) A Cotemorary Abstract Algebra Seco Eto DC Heath a Comay Massachuetts [5] Glbert Jmm & La (1998) Elemets o Moer Algebra : Seco eto PWS-KENT Publshg Co Bosto [6] Rasghaa MD a RS Aggarwal (1980) Moer Algebra S Cha a Comay Lt New Delh [7] Subyo (001) Faktorsas Polomal x 1 atas Laaga Berhgga Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Doegoro Semarag [8] O Fte Fels wwwmathuregaca/~szecht/te els Dakses: 8 Me 007 038 WIB [9] Commutatve Rgs a Fte Fels wwwrohassueu/~mosullv/courses/co g04/ff Dakses : 8 Me 007 038 WIB 6 DAFTAR PUSTAKA [1] Bambag Irawato (001) Galos Fel Program Stu Matematka Jurusa Ilmu-lmu Matematka a Pegetahua Alam Uverstas Gajah Maa Yogyakarta 7