BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Sistem kejadian dinamik diskrit (discrete-event dynamic system) merupakan sistem yang keadaannya berubah hanya pada titik waktu diskrit untuk menanggapi terjadinya suatu peristiwa tertentu. Perilaku dari sistem kejadian dinamik diskrit dapat digambarkan menggunakan sebuah matriks dengan operasi maksimum dan penjumlahan, yang biasanya disebut dengan istilah aljabar max-plus. Salah satu contoh dari sistem kejadian dinamik diskrit adalah sistem jaringan transportasi. Berikut diberikan sebuah contoh yang dapat mengilustrasikan penggunaan aljabar max-plus pada kehidupan sehari-hari yang diperoleh dari Turek and Turek [2011] pada persimpangan Vapenice-Olomoucka-Svatoplukova dan persimpangan Svatoplukova-Ujezd di Prostejov. Dalam permasalahan persimpangan yang dijelaskan Turek and Turek [2011], setiap persimpangan terdapat lima arus masuk kendaraan sehingga dalam permasalahan berikut terdapat dua persimpangan dan sepuluh arus kendaraan yang diperlihatkan pada Gambar 1.1. Gambar 1.1 Gambar Persimpangan Sebelum diberikan asumsi dan model matematika yang berlaku pada dua persimpangan ini, berikut diberikan variabel-variabel yang digunakan : 1
2 V i = arus kendaraan ke-i, dengan i = 1, 2,, 10, z i (k) = mulainya lampu hijau di arus kendaraan ke-i di fase ke-k, dengan i = 1, 2,, 10, t i (k) = lamanya lampu hijau di arus ke-i di fase ke-k, dengan i = 1, 2,, 10, t = waktu transit antara persimpangan, m ij = waktu rata-rata antara berakhirnya lampu hijau di arus kendaraan ke-i dan mulainya lampu hijau di arus kendaraan ke-j di persimpangan, dengan i, j = 1, 2,, 10. Berikut diberikan asumsi yang terjadi pada dua persimpangan tersebut : 1. Diagram fase yang ditentukan dengan prinsip dari koordinasi, diperlihatkan pada Gambar 1.2: Gambar 1.2 Gambar Digram Fase 2. Arus yang didefinisikan serupa yaitu arus V 1 dengan V 6 dan V 5 dengan V 10. Selanjutnya, model matematika dari persimpangan tersebut : z 1 (k + 1) = max{z 3 (k) + t 3 (k) + m 31, z 9 (k) + t 9 (k) + m 9,10 } (1) z 2 (k + 1) = max{z 3 (k) + t 3 (k) + m 32, } (2) z 10 (k + 1) = max{z 3 (k) + t 3 (k) + m 31, z 9 (k) + t 9 (k) + m 9,10 } (3) z 4 (k + 1) = max{z 2 (k) + t 2 (k) + m 24, } (4) z 5 (k + 1) = max{z 2 (k) + t 2 (k) + m 25, z 10 (k) + t} (5) z 6 (k + 1) = max{z 1 (k) + t, } (6) z 7 (k + 1) = max{z 10 (k) + t 10 (k) + m 10,7, } (7)
3 z 8 (k + 1) = max{z 10 (k) + t 10 (k) + m 10,8, } (8) z 3 (k + 1) = max{z 5 (k) + t 5 (k) + m 53, } (9) z 9 (k + 1) = max{z 6 (k) + t 6 (k) + m 69, z 7 (k) + t 7 (k) + m 79 } (10) Dengan menggunakan notasi vektor dan matriks atas aljabar max-plus diperoleh sistem : x(k + 1) = A x(k), (1.1) dengan t j (r) + m ji, jika (V j, V i ) S 1 ; t, jika (V j, V i ) S 2 ; a ij =, t j (r) + m jk, jika (V i, V k ) S 3 dan (V j, V k ) S 1 ; ε, jika yang lain. Himpunan S 1 menyatakan pasangan arus antara fase yang berdekatan. Himpunan bagian S 2 menyatakan himpunan pasangan arus yang didefinisikan serupa. Sedangkan S 3 menyatakan himpunan pasangan arus pada persimpangan berbeda dengan fase yang sama. Persamaan 1.1 merupakan persamaan perubahan keadaan. Dengan menggunakan iterasi, diperoleh : x(k + 1) = A A A x(1) yang menunjukkan keadaan x(k) pada sistem meningkat oleh waktu, dengan keadaan awal x(1) yang diberikan dan operator representasi matriks A. Dalam masalah operasional, muncul pertanyaan yang menarik, yaitu Harus bagaimana sistem diatur agar terjamin bahwa sistem akan bergerak dalam langkah reguler, yaitu untuk suatu konstanta λ, interval antara permulaan dari cycle yang berurutan pada setiap persimpangan adalah λ? Nilai λ apa yang mungkin? Dengan menggunakan notasi aljabar max-plus, masalah ini dimodelkan dengan x(k + 1) = λ x(k) Karena x(k + 1) = A x(k), sehingga harus diselesaikan A x(k) = λ x(k)
4 yang merupakan masalah nilai eigen dan vektor eigen, atau disebut juga masalah eigen. Permasalahan ini telah diteliti oleh Cuninghame-Green [1979], Farlow [2009] dan Butkovic [2010]. Selain itu misalkan terdapat jadwal dari sistem yang diberikan, dibutuhkan interval waktu antara dua permulaan yang berurutan dari semua pekerjaan tidak melebihi nilai µ. Apakah mungkin untuk memulai sistem dengan cara ini sehingga jadwal akan berlanjut? Dengan kata lain apakah ada vektor x sehingga A x µ x? Vektor x yang memenuhi A x µ x kemudian disebut dengan sub-vektor eigen (sub-eigenvector). Permasalahan tersebut telah diteliti oleh Cuninghame-Green [1979] dan Butkovic [2010]. Dua permasalah tersebut dapat dihubungkan dengan masalah program linear, sehingga diperoleh sebuah metode untuk mencari solusi masalah eigen dalam aljabar max-plus dengan menggunakan program linear. Dalam tesisnya, Chung [1995] menjelaskan beberapa metode dalam mencari masalah eigen, yaitu metode maksimum rata-rata cycle, metode power dan penerapan program linear. Kelemahan metode maksimum rata-rata adalah sukarnya mendata semua sirkuit yang ada apabila ukuran matriksnya cukup besar. Selain itu dijelaskan bahwa metode power dapat digunakan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen atas aljabar max-plus. Kendala dari metode power yaitu iterasinya tidak dapat diketahui apakah konvergen atau tidak karena batas atas dari periodenya tidak diketahui. Sedangkan dengan menggunakan penerapan program linear dapat dicari nilai eigen dari aljabar max-plus tanpa memerlukan iterasi. Selanjutnya, subvektor eigen terbesar x dalam A x λ x merupakan vektor eigen atas aljabar max-plus yang berkorespondensi dengan nilai eigen λ. 1.2 Rumusan Masalah 1. Apa sifat-sifat masalah eigen yaitu vektor eigen, nilai eigen dan sub-vektor eigen pada aljabar max-plus?
5 2. Bagaimana karakterisasi agar masalah eigen atas aljabar max-plus mempunyai solusi berhingga? 3. Bagaimana hubungan masalah eigen pada aljabar max-plus dengan masalah program linear? 1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penyusunan tesis ini adalah untuk mengetahui sifat-sifat masalah eigen yaitu vektor eigen, nilai eigen dan sub-vektor eigen pada aljabar max-plus dan karakterisasi agar masalah eigen tersebut mempunyai solusi berhingga. Selain itu untuk mengetahui hubungan masalah eigen pada aljabar max-plus dengan masalah program linear. 1.4 Tinjauan Pustaka Penelitian ini berawal dari permasalahan transportasi jalan raya yang salah satunya tentang koordinasi lampu lalu lintas pada persimpangan jalan yang diteliti oleh Pesko et.al. [2009]. Permasalahan dan model matematika koordinasi lampu lalu lintas dijelaskan Turek and Turek [2011]. Permasalahan tersebut terkait masalah nilai eigen, vektor eigen dan sub-vektor eigen yang dapat dihubungkan dengan masalah program linear dan telah diteliti oleh Cuninghame-Green [1979]. Dalam bukunya, Cuninghame-Green [1979] menjelaskan hubungan tersebut pada aljabar minimax. Merujuk pada penelitian tersebut, Butkovic [2010] menjelaskan hubungan tersebut pada kasus aljabar max-plus. Selanjutnya Chung [1995] menjelaskan kekurangan dan kelebihan metode-metode mencari nilai eigen dan vektor eigen, yaitu metode maksimum rata-rata, metode power dan penerapan program linear. Sebagai pendukung diperlukan juga beberapa buku dan artikel sebagai bahan referensi diantaranya buku Bacceli et.al [2001] yang menjelaskan struktur dari aljabar max-plus, Butkovic [2010] menjelaskan definisi aljabar max-plus, vektor dan matriks atas aljabar max-plus, operasi aljabar yang berlaku, definisi dan beberapa sifat nilai
6 eigen dan vektor eigen pada aljabar max-plus. Teori graf yang membahas definisi dan sifat-sifat digraf, graf komunikasi, lintasan, cycle, cyle elementer dan bobot lintasan merujuk pada tesis Farlow [2009], buku Bacceli et.al [2001] kemudian digunakan untuk melengkapi pendefinisian loop yang tidak dijelaskan pada tesis tersebut, Andersen [2002] digunakan untuk mendefinisikan digraf terhubung kuat. Definisi matriks tidak tereduksi dan tereduksi diperoleh dari Butkovic [2010]. Sedangkan teori maksimum rata-rata cycle, matriks R-astik dan klosur transitif digunakan Butkovic [2010]. Jurnal yang ditulis Carre [1971] digunakan untuk mempelajari definisi matriks definit. Sedangkan teori semimodul dan sub-semimodul yang merupakan teori dasar ruang bagian aljabar max-plus mengacu pada Golan [2009]. Terakhir teori masalah program linear merujuk pada buku yang ditulis Beck and Kolman [1995]. 1.5 Metode Penelitian Konsep mendasar yang dipelajari terlebih dahulu adalah konsep aljabar maxplus dan teori graf, meliputi definisi aljabar max-plus, matriks dan vektor atas aljabar max-plus, sifat isotonik pada aljabar max-plus, serta hubungan antara teori graf dan matriks atas aljabar max-plus. Selain itu juga dipelajari tentang matriks R-astik baris, matriks R-astik kolom, matriks R-astik dobel, matriks definit, klosur transitif lemah, klosur transitif kuat dan ruang bagian atas aljabar max-plus. Target dari penelitian ini adalah untuk menjawab 3 buah rumusan masalah. Buku yang dituliskan Cuninghame-Green [1979] telah menjelaskan ketiga permasalahan tersebut dalam kasus aljabar minimax. Aljabar minimax merupakan kondisi umum dari aljabar max-plus. Dengan teori-teori pada aljabar minimax, diselidiki apakah sifat-sifat masalah eigen pada minimax masih berlaku pada aljabar max-plus. 1.6 Sistematika Penulisan Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN
7 Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodelogi penelitian, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar penelitian. Bab ini memuat penjelasan mengenai konsep aljabar max-plus meliputi definisi aljabar max-plus, vektor dan matriks atas aljabar max-plus, hubungan aljabar maxplus dengan teori graf, matriks R-astik, matriks definit, maksimum rata-rata cyle, klosur transitif, ruang bagian aljabar max-plus dan program linear. BAB III SOLUSI MASALAH EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM LINEAR Pada bab ini akan dijelaskan tentang hasil-hasil yang diperoleh dalam permasalahan yang diungkapkan pada Bab I. Hasil yang diperoleh antara lain tentang masalah eigen, solusi masalah eigen yang berupa nilai eigen utama, ruang eigen utama, vektor eigen berhingga, nilai eigen dan vektor eigen matriks tereduksi. Selain masalah eigen dan vektor eigen tersebut, diperoleh pula hasil sub-vektor eigen dan penerapan program linear pada masalah eigen. Dari hasil-hasil sebelumnya diperoleh algoritma mencari vektor eigen berhingga dari suatu matriks. BAB IV KESIMPULAN Pada bab ini disebutkan kesimpulan dan saran yang dapat diambil dari materi-materi yang telah dibahas dalam bab-bab sebelumnya. BAB V LAMPIRAN Pada bab ini diperlihatkan running program WIN QSB berupa input dan output dalam menyelesaikan contoh dalam bab IV.