PENJADWALAN KEBERANGKATAN KERETA API DI JAWA TIMUR DENGAN MENGGUNAKAN MODEL PETRINET DAN ALJABAR MAX-PLUS

Transkripsi

1 PENJADWALAN KEBERANGKATAN KERETA API DI JAWA TIMUR DENGAN MENGGUNAKAN MODEL PETRINET DAN ALJABAR MAX-PLUS AHMAD AFIF 1, SUBIONO 2 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya ABSTRAK. Jaringan Kereta api merupakan salah satu moda transportasi darat yang disukai oleh masyarakat, khususnya di Jawa Timur. Kapasitas orang dan barang di kereta api yang cukup besar dan biaya yang murah menyebabkan moda transportasi ini banyak disukai masyarakat untuk melakukan perjalanan keluarga maupun pekerjaan. Jalur kereta api yang unik menyebabkan sistem jaringan kereta api memiliki kelemahan dalam proses pelayanan publik. Kurangnya pelayanan dari segi ketepatan waktu sering terjadi pada sistem tranportasi kereta api. Hal ini disebabkan jalur kereta api tidak bisa dilalui sekaligus oleh dua atau lebih kereta api sehingga terjadi saling tunggu di tiap stasiun. Penjadwalan yang tepat sangat diperlukan untuk mengurangi kelemahan kereta api dalam melayani ketepatan waktu kedatangan dan keberangkatan. Jenis kereta api yang banyak semakin menambah waktu tunggu kereta api di stasiun. Penelitian ini akan dilakukan penjadwalan keberangkatan kereta api di Jawa Timur menggunakan model petrinet dan aljabar max-plus. Dari penelitian ini diharapkan memperoleh desain penjadwalan kereta api di Jawa Timur di masing masing stasiun. Kata kunci : kereta api, jadwal, petrinet, aljabar max-plus. 1. PENDAHULUAN Sistem transportasi merupakan bentuk sinkronisasi antara penumpang, barang, sarana dan prasarana guna terpenuhi perpindahan orang dan barang yang baik. Sistem transportasi dikatakan baik jika proses pergerakan penumpang dan barang dapat dicapai secara optimum dalam ruang dan waktu dengan berbagai faktor, yaitu faktor keamanan, kenyamanan, kelancaran, dan efisiensi atas waktu dan biaya [4] Kereta api adalah moda transportasi darat pada jalan rel yang sudah ada sejak tahun 1804 diperkenalkan oleh Richard Trevithick [3]. Di Negara maju dan berkembang moda transportasi ini berkembang sangat pesat. Indonesia adalah salah satu Negara berkembang yang memanfaatkan jenis transportasi ini untuk menunjang aktifitas penduduknya yang padat. Kapasitas orang dan barang di kereta api yang cukup besar dan biaya yang murah menyebabkan moda transportasi ini banyak disukai masyarakat untuk melakukan perjalanan keluarga maupun pekerjaan. Jalur kereta api yang unik menyebabkan sistem jaringan kereta api memiliki kelemahan dalam proses pelayanan publik. Kurangnya pelayanan dari segi ketepatan waktu sering terjadi pada sistem tranportasi kereta api. Hal ini disebabkan jalur kereta api tidak bisa dilalui sekaligus oleh dua atau lebih kereta api sehingga terjadi saling tunggu di tiap stasiun. Penjadwalan yang tepat sangat diperlukan 92

2 untuk mengurangi kelemahan kereta api dalam melayani ketepatan waktu kedatangan dan keberangkatan. Keberadaan jadwal kedatangan dan keberangkatan kereta api memegang peran penting dalam pemodelan sistem jaringan kereta api. Sistem jaringan kereta api merupakan Sistem Event Diskrit yang dapat dimodelkan menggunakan petrinet dan aljabar max-plus. Kemudahan petrinet dan aljabar max-plus dalam menyelesaikan proses sinkronisasi yang menyebabakan penulis tertarik mengadakan penelitian ini. Berdasarkan proses sinkronisasi ini akan digunakan sebagai acuan desain penjadwalan kereta api.. 2. TINJAUAN PUSTAKA/RUMUSAN MASALAH SISTEM JARINGAN KERETA API DI JAWA TIMUR Sistem jaringan kereta api di Jawa Timur mempunyai 5 jalur, diantaranya yaitu : jalur Surabaya Madiun, jalur Malang Madiun, jalur Surabaya Cepu, jalur Surabaya Banyuwangi, dan jalur Surabaya Malang. Jalur Surabaya Madiun merupakan lintas daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya dan daerah operasi (DAOP) VII Madiun. Daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya meliputi stasiun Surabaya Gubeng (SGU) Mojokerto (MR) dan daerah operasi (DAOP) VII Madiun meliputi stasiun Curahmalang (CM) Madiun (MD). Jalur Malang Madiun merupakan lintas daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya dan daerah operasi (DAOP) VII Madiun. Daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya meliputi stasiun Malang (ML) Blitar (BL) dan daerah operasi (DAOP) VII Madiun meliputi stasiun Rejotangan (RJ) Madiun (MD). Jalur Surabaya Pasarturi Cepu merupakan lintas daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya dan daerah operasi (DAOP) IV Semarang. Daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya meliputi stasiun Surabaya Pasarturi (SBI) Kapas (KPS) dan daerah operasi (DAOP) IV Semarang meliputi stasiun Bojonegoro (BJ) Cepu (CP). Jalur Surabaya Gubeng Banyuwangi merupakan lintas daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya dan daerah operasi (DAOP) IX Jember. Daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya meliputi stasiun Surabaya Gubeng (SGU) Bangil (BG) dan daerah operasi (DAOP) IX Jember meliputi stasiun Pasuruan (PS) Banyuwangi (BW). Jalur Surabaya Malang merupakan kesemuanya daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya. Penelitian ini, yang dikaji adalah jaringan kereta api di Jawa Timur dengan acuan data dari Grafik Perjalanan Kereta Api (GEPEKA) PT. KAI Berikut diberikan tabel waktu tempuh kereta api antar stasiun di setiap jalur di Jawa Timur. Jalur Dari Tujuan Waktu Tempuh (menit) Jumlah kereta 1 Madiun Nganjuk Nganjuk Kertosono Kertosono Jombang Jombang Mojokerto Mojokerto Surabaya Surabaya Mojokerto Mojokerto Jombang Jombang Kertosono Kertosono Nganjuk Nganjuk Madiun 39 0 Tabel 1. Waktu tempuh dan alokasi jumlah Kereta api eksekutif/ bisnis jalur 1 Jalur Dari Tujuan Waktu Tempuh (menit) Jumlah kereta 1 Kertosono Jombang Jombang Mojokerto Mojokerto Surabaya Surabaya Mojokerto Mojokerto Jombang Jombang Kertosono 19 0 Tabel 2. Waktu tempuh dan alokasi jumlah Kereta api ekonomi jalur 1 Seminar Nasional Matematika Prosiding

3 Jalur Dari Tujuan Waktu Tempuh (menit) Tabel 3. Waktu tempuh dan alokasi jumlah Kereta api eksekutif/bisnis jalur 2 Jalur Dari Tujuan Waktu Tempuh (menit) Jumlah kereta 2 Madiun Nganjuk Nganjuk Kertosono Kertosono Kediri Kediri Blitar Blitar Malang Malang Blitar Blitar Kediri Kediri Kertosono Kertosono Nganjuk Nganjuk Madiun 38 0 Jumlah kereta 3 Cepu Bojonegoro Bojonegoro Lamongan Lamongan Surabaya Surabaya Lamongan Lamongan Bojonegoro Bojonegoro Cepu 31 0 Tabel 5. Waktu tempuh dan alokasi jumlah Kereta api eksekutif/bisnis jalur 3 Jalur Dari Tujuan Waktu Tempuh (menit) Jumlah kereta 2 Kertosono Kediri Kediri Blitar Blitar Malang Malang Blitar Blitar Kediri Kediri Kertosono 34 0 Tabel 4. Waktu tempuh dan alokasi jumlah Kereta api ekonomi jalur 2 Jalur Dari Tujuan Waktu Tempuh (menit) Jumlah kereta 4 Banyuwangi Jember Jember Probolinggo Probolinggo Bangil Bangil Surabaya Surabaya Bangil Bangil Probolinggo Probolinggo Jember Jember Banyuwangi Tabel 6. Waktu tempuh dan alokasi jumlah Kereta api eksekutif/bisnis jalur 4 Jalur Dari Tujuan Interval Waktu Tempuh (menit) Jumlah kereta 5 Surabaya Bangil Bangil Malang Malang Bangil Bangil Surabaya 45 0 Tabel 7. Waktu tempuh dan alokasi jumlah Kereta api ekonomi jalur 5 Berdasarkan data data diatas dapat disusun graf dari jaringan kereta api di Jawa Timur adalah sebagai berikut: Keterangan : Warna arc SBY MD : Jalur 1 t 1 t 26 ML MD : Jalur 2 t 11 t 10 SBY CP : Jalur 3 t t 25 t SBY BW : Jalur 4 t 2 t 22 SBY ML : Jalur 5 t 12 t t 24 Node 9 t 3 t 4 t 5 t 19 t SBY : Surabaya 23 t 18 t 13 t 17 t 8 t 7 t 14 t 15 t 16 t 6 t 31 t 35 t 38 t 30 t 36 t 32 t 37 t 29 Gambar 1. Gambar graf jalur kereta api di Jawa Timur Seminar Nasional Matematika Prosiding t 28 t 33 t 34 t 27 MR JG KTS NJK MD KDR BL ML LMG BJ CP BG PB JR BW : Mojokerto : Jombang : Kertosono : Nganjuk : Madiun : Kediri : Blitar : Malang : Lamongan : Bojonegoro : Cepu : Bangil : Probolinggo : Jember : Banyuwangi

4 MODEL PETRINET A. Notasi dan Definisi Petrinet Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960-an. Petrinet merupakan salah satu alat untuk memodelkan Sistem Event Diskrit. Pada Petrinet event berkaitan dengan transisi. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan harus terpenuhi terlebih dahulu. Keadaan pada petrinet dinyatakan dengan place. Place dapat berfungsi sebagai masukan atau keluaran suatu transisi. Place sebagai masukan menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah keluaran dari transisi. Definisi 1.[1] Petrinet adalah 4-tuple, dengan : himpunan berhingga place, { 1 2 }, : himpunan berhingga transisi, { 1 2 }, : himpunan arc, ( ) ( ), : fungsi bobot, 1, Petrinet dapat digambarkan sebagai graf berarah. Node dari graf berupa place yang diambil dari himpunan place P atau transisi yang diambil dari himpunan transisi T. Pada Petrinet graf diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau lebih dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini dikenal dengan struktur multigraf. B. Petrinet Bertanda dan Ruang Keadaan Transisi pada Petrinet menyatakan event pada Sistem Event Diskrit dan place merepresentasikan kondisi agar event dapat terjadi. Token adalah sesuatu yang diletakkan di place yang menyatakan terpenuhi tidaknya suatu kondisi. Secara grafik token digambarkan dengan dot dan diletakkan di dalam place. Jika jumlah token lebih dari 5 maka dituliskan dengan angka. Definisi 2. [1] Petrinet bertanda (marked) adalah 5-tuple 0 dimana adalah Petrinet dan 0 adalah penanda awal. Penanda dinyatakan dengan vektor yang berisi bilangan bulat nonnegatif yang menyatakan jumlah token. Jumlah elemen sama dengan banyak place petrinet. Elemen ke- pada vektor merupakan jumlah token pada place, { }. Jumlah token pada place adalah sebarang bilangan bulat nonnegatif, tidak harus terbatas (bounded). Ruang keadaan (state space) X pada Petrinet bertanda dengan place didefinisikan oleh semua vektor berdimensi dengan elemen elemennya adalah bilangan bulat nonnegatif, sehingga { }. Penyusunan model petrinet dan model aljabar max-plus, yang diperlukan sebagai berikut. a. Jalur - jalur pada jaringan kereta api di Jawa Timur. b. Jumlah dan distribusi kereta api di tiap tiap Jalur. c. Aturan sinkronisasi antar keberangkatan kereta api. d. Waktu tempuh antar stasiun di tiap tiap jalur. Berdasarkan dari informasi jadwal keberangkatan dan lamanya waktu perjalanan, maka dapat disusun aturan sinkronisasi pada jaringan kereta api di Jawa Timur dengan 5 (lima) jalur sebagai berikut. Jalur 1 : Kelas eksekutif/bisnis Keberangkatan kereta api ke- dari MD 1 menuju NJK 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari NJK 1 menuju MD 1. Seminar Nasional Matematika Prosiding

5 Keberangkatan kereta api ke- dari NJK 1 menuju KTS 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MD 1 menuju NJK 1. Keberangkatan kereta api ke- dari KTS 1 menuju JG harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari NJK 1 menuju KTS 1. Keberangkatan kereta api ke- dari JG menuju MR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS 1 menuju JG. Keberangkatan kereta api ke- dari MR menuju SBY 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG menuju MR. Keberangkatan kereta api ke- dari SBY 1 menuju MR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR menuju SBY 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju SBY 2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 1 menuju SBY 3 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 2 menuju SBY 4. Keberangkatan kereta api ke- dari MR menuju JG harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY 1 menuju MR. Keberangkatan kereta api ke- dari JG menuju KTS 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR menuju JG. Keberangkatan kereta api ke- dari KTS 1 menuju NJK 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG menuju KTS 1. Keberangkatan kereta api ke- dari NJK 1 menuju MD 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS 1 menuju NJK 1. Kelas ekonomi Keberangkatan kereta api ke- dari KTS 1,1 menuju JG 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG 1 menuju KTS 1,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR 1 menuju KTS 2,1 Keberangkatan kereta api ke- dari JG menuju MR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS 1 menuju JG 1. Keberangkatan kereta api ke- dari MR 1 menuju SBY 1,1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG 1 menuju MR 1. Keberangkatan kereta api ke- dari SBY 1,1 menuju MR 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR 1 menuju SBY 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 2 menuju SBY 4. Keberangkatan kereta api ke- dari MR 1 menuju JG 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY 1 menuju MR 1. Keberangkatan kereta api ke- dari JG 1 menuju KTS 1,1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR 1 menuju JG 1. Jalur 2 : Kelas eksekutif/bisnis Keberangkatan kereta api ke- dari MD 2 menuju NJK 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari NJK 2 menuju MD 2. Keberangkatan kereta api ke- dari NJK 2 menuju KTS 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MD 2 menuju NJK 2. Keberangkatan kereta api ke- dari KTS 2 menuju KDR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari NJK 2 menuju KTS 2. Keberangkatan kereta api ke- dari KDR menuju BL harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS 2 menuju KDR. Keberangkatan kereta api ke- dari BL menuju ML 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR menuju BL. Seminar Nasional Matematika Prosiding

6 Keberangkatan kereta api ke- dari ML 1 menuju BL harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL menuju ML 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 2 menuju ML 2. Keberangkatan kereta api ke- dari BL menuju KDR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari ML 1 menuju BL. Keberangkatan kereta api ke- dari KDR menuju KTS 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL menuju KDR. Keberangkatan kereta api ke- dari KTS 2 menuju NJK 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR menuju KTS 2. Keberangkatan kereta api ke- dari NJK 2 menuju MD 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS 2 menuju NJK 2. Kelas ekonomi Keberangkatan kereta api ke- dari KTS 2,1 menuju KDR 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR 1 menuju KTS 2,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG 1 menuju KTS 1,1. Keberangkatan kereta api ke- dari KDR 1 menuju BL 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS 2,1 menuju KDR 1. Keberangkatan kereta api ke- dari BL 1 menuju ML 1,1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR 1 menuju BL 1. Keberangkatan kereta api ke- dari ML 1,1 menuju BL 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL 1 menuju ML 1,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 2 menuju ML 2. Keberangkatan kereta api ke- dari BL 1 menuju KDR 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari ML 1 menuju BL 1. Keberangkatan kereta api ke- dari KDR 1 menuju KTS 2,1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL 1 menuju KDR 1. Jalur 3 : Keberangkatan kereta api ke- dari CP menuju BJ harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BJ menuju CP. Keberangkatan kereta api ke- dari BJ menuju LMG harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari CP menuju LMG. Keberangkatan kereta api ke- dari LMG menuju SBY 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BJ menuju LMG. Keberangkatan kereta api ke- dari SBY 2 menuju LMG harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju SBY 2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR menuju SBY 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 1 menuju SBY 3 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 2 menuju SBY 4. Keberangkatan kereta api ke- dari LMG menuju BJ harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY 2 menuju LMG. Keberangkatan kereta api ke- dari BJ menuju CP harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju BJ. Jalur 4 : Keberangkatan kereta api ke- dari BW menuju JR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JR menuju BW. Keberangkatan kereta api ke- dari JR menuju PB harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari PB menuju BG 1. Seminar Nasional Matematika Prosiding

7 Keberangkatan kereta api ke- dari BG 1 menuju SBY 3 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari PB menuju BG 1. Keberangkatan kereta api ke- dari SBY 3 menuju BG 1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 1 menuju SBY 3 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR menuju SBY 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR 1 menuju SBY 1,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju SBY 2. Keberangkatan kereta api ke- dari BG 1 menuju PB harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY 3 menuju BG 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari ML 2 menuju BG 2. Keberangkatan kereta api ke- dari PB menuju JR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 1 menuju PB. Keberangkatan kereta api ke- dari JR menuju BW harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari PB menuju JR. Jalur 5 : Keberangkatan kereta api ke- dari SBY 4 menuju BG 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 2 menuju SBY 4 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR 1 menuju SBY 1,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju SBY 2. Keberangkatan kereta api ke- dari BG 2 menuju ML 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY 4 menuju BG 2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari PB menuju BG 1. Keberangkatan kereta api ke- dari ML 2 menuju BG 2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG 2 menuju ML 2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL 1 menuju ML 1. Keberangkatan kereta api ke- dari BG 2 menuju SBY 4 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari ML 2 menuju BG 2. Selanjutnya, setelah aturan sinkronisasi diberikan maka dibuat suatu model jaringan kereta api. Berikut pendefinisian variabel pada model sistem jaringan kereta api. Var. Definisi keberangkatan kereta api dari : Var. Definisi keberangkatan kereta api dari : 1 1 ke 1 pada saat ke ke 2 pada saat ke- 2 1 ke 1 pada saat ke ke 1 pada saat ke- 3 1 ke pada saat ke ke 1 pada saat ke- 4 ke pada saat ke ke 1 1 pada saat ke- 5 ke 1 pada saat ke ke 1 pada saat ke- 6 1 ke pada saat ke ke 1 pada saat ke- 7 ke pada saat ke ke 2 1 pada saat ke- 8 ke 1 pada saat ke- 33 ke pada saat ke- 9 1 ke 1 pada saat ke- 34 ke pada saat ke ke 1 pada saat ke- 35 ke 2 pada saat ke ke 1 pada saat ke ke pada saat ke ke 1 pada saat ke- 37 ke pada saat ke ke 1 1 pada saat ke- 38 ke pada saat ke ke 1 pada saat ke- 39 ke pada saat ke ke 1 pada saat ke- 40 ke pada saat ke ke 1 1 pada saat ke- 41 ke 1 pada saat ke ke 2 pada saat ke ke 3 pada saat ke ke 2 pada saat ke ke 1 pada saat ke- Seminar Nasional Matematika Prosiding

8 19 2 ke pada saat ke ke pada saat ke- 20 ke pada saat ke- 45 ke pada saat ke- 21 ke 1 pada saat ke- 46 ke pada saat ke ke pada saat ke ke 2 pada saat ke- 23 ke pada saat ke ke 2 pada saat ke- 24 ke 2 pada saat ke ke 2 pada saat ke ke 2 pada saat ke ke Tabel 6. Pendefinisian variabel 4 pada saat ke- Pertama, disusun Petrinet untuk tiap jalur, kemudian disinkronisasi berdasarkan aturan sinkronisasi di atas. Petrinet yang disusun berikut dimaksudkan untuk menggambarkan sinkronisasi antar keberangkatan kereta api berdasarkan aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atasnamun tidak dimaksudkan untuk menggambarkan pergerakan jaringan kereta api secara simultan. Berdasarkan definisi petrinet variabel variabel yang dipakai sebagai berikut. : himpunan berhingga place, { }, dengan jumlah token pada setiap place menunjukkan jumlah distribusi kereta api pada masing masing jalur yang bersesuian. : himpunan berhingga transisi, { }. Transisi merepresentasi event keberangkatan kereta api di tiap tiap stasiun. Berikutnya, masing masing notasi transisi diganti dengan, yaitu { }. Hal ini bertujuan supaya sesuai dengan tabel 6 pendefinisian variabel dan dalam penyusunan model aljabar max-plus. : himpunan arc,, yaitu : { }. : fungsi bobot, { }, yaitu semua arc dalam himpunan bobotnya adalah 1. Penanda awal, yaitu 0, menunjukkan jumlah token untuk setiap Berikut petrinet untuk keberangkatan kereta api di Jawa Timur. MODEL ALJABAR MAX-PLUS A. Notasi dan Definisi Aljabar Max-plus Definisi 3. [5] Diberikan { } dengan adalah himpunan semua bilangan real dan. Pada didefinisikan operasi berikut: { } dan. Dimana operasi dibaca o-plus dan dibaca o-times. Selanjutnya, diberikan merupakan semiring dengan elemen netral dan elemen satuan. Untuk mempermudah penulisan semiring ditulis sebagai. Seminar Nasional Matematika Prosiding

9 Pangkat dalam aljabar max-plus diperkenalkan dengan menggunakan sifat asosiatif dari operator. B. Vektor dan Matriks dalam Aljabar Max-Plus Himpunan matriks dalam aljabar max-plus dinyatakan dalam. Untuk dengan, didefinisikan { }. Elemen dari matriks pada baris ke- dan kolom ke- dinyatakan dengan untuk dan. Dalam hal ini matriks ditulis sebagai [ ] biasanya elemen 1 2 juga dinotasikan sebagai Penjumlahan matriks dinotasikan oleh didefinisikan sebagai { } untuk dan. Untuk dan matriks, perkalian skalar dengan matriks dinotasikan didefinisikan sebagai untuk dan. Untuk matriks dan, perkalian matriks didefinisikan sebagai { } untuk dan. Perkalian ini serupa dalam perkalian matriks aljabar biasa dimana + diganti dengan max dan dengan +. C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 4. [5] Diberikan matriks persegi. Jika adalah skalar dan adalah vektor yang memuat sedikitnya satu elemen berhingga sedemikian hingga Maka disebut nilai eigen dan adalah vektor eigen dari. D. Algoritma Power Algoritma power adalah salah satu algoritma yang digunakan menentukan nilai eigen dan vektor eigen dalam semiring max-plus. Algoritma ini dimulai dengan pemberian vektor awal, ini artinya vektor awal memuat sedikitnya satu elemen berhingga, dan selanjutnya dilakukan iterasi dari bentuk persamaan linier (1) hingga diperoleh dua vektor dan sebuah konstanta, sedemikian hingga. Berikut langkah langkah algoritma power untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks. 1. Ambil sebarang vektor awal, dimana adalah vektor yang hanya memuat elemen. Seminar Nasional Matematika Prosiding

10 2. Iterasi persamaan (1) hingga ada bilangan bulat dengan dan bilangan real, sedemikian hingga. 3. Hitung nilai eigen Hitung vektor eigen ( ). Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan program Scilab dalam Max Plus Toolbox. Selanjutnya, dalam pembahasan untuk memudahkan dalam penghitungan nilai eigen dan vektor eigen akan digunakan program Scilab dan Max-Plus Toolbox tersebut. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan aturan sinkronisasi yang telah dibuat dan berdasarkan tabel 6 pendefinisian variabel dapat dikontruksi model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur sebagai berikut. Jalur 1 : 1 = = 6 2 = 1 1 = 1 3 = 2 2 = 1 4 = 3 3 = 1 5 = 4 4 = 1 6 = = = 6 6 = 6 8 = 7 7 = 6 9 = 8 8 = 6 10 = 9 9 = 6 11 = = = = = = = ( ) = = = = = 14 Jalur 2 : 17 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Seminar Nasional Matematika Prosiding

11 = = ( ) = = = = = 30 Jalur 3 : 33 = = = = = = = ( ) = = = = = 37 Jalur 4 : 39 = = = = = = = = = ( ) = = = = = = = Jalur 5 : 47 = ( ) = = = = ( ) = = Selanjutnya, dari model diatas dapat dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus sebagai berikut : (2) dimana vektor dan matriks adalah matrik berukuran, yakni : [ ] dan [ ] Berikutnya, selain dari model diatas dapat juga dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus sebagai berikut : (3) Seminar Nasional Matematika Prosiding

12 dimana vektor dan matriks adalah matriks berukuran,yakni [ ] dan [ ] dimana untuk alasan kemudahan notasi ε diganti dengan.. Bentuk model (2) dan (3) masih sulit untuk mendesain penjadwalan kereta api di Jawa Timur. Berikut diberikan lemma 9 yang menyatakan keterhubungan keperiodikan model (2) dan (3). Lemma 1. (Fahim, 2013) Jika dengan memenuhi model (2) dan. Maka dengan memenuhi model (3). Selanjutnya, selain lemma diatas sifat yang dimiliki model (2) dan (3) adalah jika didapatkan nilai dari maka dapat diperoleh. Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk menyusun penjadwalan kereta api di Jawa Timur cukup dengan hanya menyelesaikan model (2). Yakni cukup menentukan dan sedemikian hingga model (2) mempunyai sifat untuk. Dengan demikian dapat ditentukan nilai dari sedemikian hingga model (3) mempunyai sifat untuk. DESAIN PENJADWALAN Penyusunan desain penjadwalan kereta api di Jawa Timur menggunakan informasi mengenai nilai eigen dan vektor eigen dari matriks pada persamaan (2). Nilai eigen dan vektor eigen dapat ditentukan dengan algoritma power. Dalam penelitian ini untuk membantu menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks dan digunakan bantuan aplikasi program Scilab dan fungsi fungsi yang terdapat pada Maxplus Toolbox. Seminar Nasional Matematika Prosiding

13 Dengan menggunakan Scilab dan Maxplus Toolbox diperoleh nilai eigen adalah 382. Vektor eigen matriks, yaitu : [ ] T. Selanjutnya, hasil nilai eigen menyatakan keperiodikan sistem. Interpretasi dari nilai eigen adalah periode keberangkatan kereta api di stasiun adalah setiap menit sekali, yaitu menit. Berikutnya, hasil vektor eigen hanya digunakan untuk awal keberangkatan kereta api di stasiun asal untuk kereta api yang di definisikan dengan variabel Sedangkan untuk keberangkatan kereta api yang didefinisikan dengan variabel digunakan model 3. Model ini digunakan untuk menentukan dengan cara mensubstitusi pada model 3 dengan. Dengan menggunakan program Scilab dan Maxplus Toolbox diperoleh =[ )] T Sehingga dapat didefinisikan vektor keberangkatan awal yang sudah mewakili semua variabel penjadwalan yaitu ( ) Selanjutnya, disusun penjadwalan dengan menggunakan sebagai acuan keberangkatan awal. Untuk mempermudah penentuan jadwal keberangkatan awal kereta api didefinisikan vektor keberangkatan awal yang baru sebagai berikut. dengan dan Sehingga diperoleh vektor akhir keberangkatan yang berukuran. Hasil akhir dari proses perhitungan ini yakni vektor sebagai waktu keberangkatan awal penjadwalan dan selanjutnya dapat disusun jadwal periodik keberangkatan kereta api dari setiap stasiun dengan periode menit atau 6 jam 22 menit untuk setiap keberangkatan kereta api. Hasil terlihat bahwa 9 1, sehingga untuk selanjutnya stasiun Cepu (CP) disebut titik acuan penjadwalan. Berdasarkan kondisi sebenarnya keberangkatan awal kereta api dari stasiun Surabaya rata rata dimulai pukul 8.00 WIB sehingga dalam penelitian ini keberangkatan awal kereta api di stasiun Surabaya juga dimulai pukul 8.00 WIB. Karena pada stasiun Surabaya bernilai 274 sehingga keberangkatan awal di stasiun Cepu pukul Dengan penentuan awal keberangkatan pada titik acuan ini maka selanjutnya dapat disusun penjadwalan kereta api di Jawa Timur. Berikut jadwal keberangkatan kereta api di Jawa Timur. No. Stasiun Keberangkatan No. Stasiun keberangkatan Keberangkatan ke- 1 ke- 2 Keberangkatan ke- 1 ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke Seminar Nasional Matematika Prosiding

14 7 ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke KESIMPULAN Berdasarkan hasil analisa yang telah dilakukan dalam memodelkan dan mendesain penjadwalan kereta api di Jawa Timur, maka dapat disimpulkan bahwa : a. Aljabar max-plus dan petri net dapat diterapkan dalam penyusunan model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur. Model yang disusun menggunakan aljabar maxplus ini adalah dan dengan analisa penyusunan jadwal regular dilakukan pada matriks. b. Model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur menghasilkan periode keberangkatan di masing masing stasiun adalah setiap menit sekali. Sedangkan waktu keberangkatan awal kereta api di setiap stasiun diperoleh dari vektor eigen. c. Desain dan model penjadwalan sistem jaringan kereta api di jawa timur dipengaruhi oleh banyaknya kereta api, waktu tempuh, dan aturan sinkronisasi. DAFTAR PUSTAKA [1] Adzkiya, D., 2008, Membangun Model Petri Net Lampu Lalu Lintas dan Simulasinya, Tesis Magister, ITS, Surabaya. [2] Fahim, K, 2013, Aplikasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Busway yang Di integrasikan dengan Kereta APi Komuter, Skripsi Magister, ITS, Surabaya. [3] Sejarah Kereta Wikipedia, tanggal akses : 17 Pebruari [4] Sistem Transportasi, tanggal akses 17 Pebruari [5] Subiono, 2013, Aljabar Maxplus dan Terapannya, Buku Ajar Mata Kuliah Pilihan Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya. Seminar Nasional Matematika Prosiding

15 [6] Winarni, Penjadwalan jalur bus dalam kota dengan model petrinet dan aljabar max-plus (studi kasus busway transjakarta), Jurnal CAUCHY. Seminar Nasional Matematika Prosiding