KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS

Transkripsi

1 KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Annisa Rahmawati, Siswanto, Muslich Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Abstrak. Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunan R max dimana R max = R { } yang dilengkapi operasi maksimum dan penjumlahan. Himpunan matriks berukuran n n atas aljabar maks-plus dinotasikan sebagai Rmax. n n Penelitian ini bertujuan untuk membahas mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dan regularitas serta menyelidiki hubungan antara matriks reguler kuat dengan matriks Gondran-Minoux reguler. Matriks A Rmax n n dikatakan reguler kuat jika dan hanya jika permanen kuat. Untuk menentukan nilai permanen pada matriks, perlu dicari permutasi matriks yang memiliki bobot maksimum. Selanjutnya, matriks dikatakan memiliki permanen kuat apabila hanya terdapat satu permutasi yang memiliki bobot maksimum. Matriks A Rmax n n dikatakan Gondran minoux reguler jika ap(a) P n + atau ap(a) Pn. Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa setiap matriks yang reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler dan himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika himpunan vektor tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang membentuk ruang linear. Kata Kunci: Aljabar maks-plus, matriks, permutasi, kebebasan linear Gondran-Minoux, reguler kuat, Gondran-Minoux reguler. 1. Pendahuluan Aljabar linear merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata. Adapun masalah dalam kehidupan nyata tersebut antara lain masalah penjadwalan mesin produksi dalam sebuah perusahaan atau pabrik, antrian dan proses jaringan. Selain digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata, aljabar juga berguna sebagai bahan riset para ilmuan, antara lain teori graf dan teori automata dimana permasalahan riset tersebut akan lebih mudah untuk dipahami dengan menggunakan teori-teori dalam aljabar. Menurut Konigsberg[10] aljabar maks-plus adalah himpunan R max dimana R max = R { } yang dilengkapi dua operasi penjumlahan = max dan perkalian = + dan dinotasikan dengan R max = (R max,,, ε, e). Elemen Identitas untuk penjumlahan adalah (yang selanjutnya dinotasikan ε) dan elemen identitas untuk perkalian adalah e, dimana nilai e = 0. Seiring dengan perkembangan aljabar maks-plus, banyak penelitian yang telah dilakukan yang membuat aljabar maks-plus semakin berkembang. Salah satu 1

2 penelitian yang dilakukan adalah mengenai kebebasan linear atas maks-plus. Berawal dari Cunninghame-Green[5] yang mendefinisikan kebebasan linear secara lemah. Himpunan vektor dikatakan bebas linear secara lemah jika himpunan tersebut tidak memuat suatu vektor yang merupakan kombinasi linear dari vektor lain. Selanjutnya, Izhakian[9] berpendapat bahwa suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear secara tropical jika himpunan vektor tidak memuat kombinasi linear dari vektorvektor pada himpunan tersebut sedemikian sehingga nilai maksimum dari tiap baris diperoleh paling tidak dua kali. Selanjutnya, Gondran-Minoux[7] mempunyai definisi yang berbeda tentang kebebasan linear. Gondran-Minoux mendefinisikan kebebasan linear dari suatu himpunan yaitu himpunan vektor dikatakan bebas linear jika himpunan tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang membangun sebuah ruang linear. Pada tahun 2010, Tam[12] mempublikasikan tesisnya yang memuat sistem linear pada aljabar maks-plus, himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Selanjutnya, pada tahun yang sama Butkovic[4] dalam bukunya menyebutkan bahwa setiap matriks reguler kuat merupakan matriks reguler Gondran-Minoux. Oleh karena itu, dalam artikel ini dikaji ulang mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dalam aljabar maks-plus, termasuk matriks regular kuat dan matriks reguler Gondran- Minoux yang telah dibahas oleh Butkovic[4]. 2. Graf Berarah dan Matriks atas Aljabar Maks-Plus Berikut diberikan penjelasan mengenai graf berarah yang mengacu pada Farlow[6] Definisi 2.1. Graf berarah D merupakan pasangan (V, E) dimana V adalah himpunan vertex dari graf D dan E adalah himpunan arcs (edge berarah) yaitu pasangan berurutan dari vertex-vertex yang berbeda dari graf D. Definisi 2.2. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, π = (v 1,..., v p+1 ) disebut path jika (v 1,..., v p+1 ) adalah barisan vertex, sedemikian sehingga v i V, i = 1,..., p+ 1 dan (v i, v i+1 ) E, i = 1,..., p. Sebut v 1 sebagai vertex awal dan v p+1 sebagai vertex akhir sehingga path π memiliki panjang p. Definisi 2.3. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, σ = (v 1,..., v p+1 ) disebut cycle jika σ merupakan path dan v 1 = v p+1. Cycle dengan panjang 1 disebut loop. Definisi 2.4. Suatu cycle disebut cycle dasar jika tidak ada vertex yang diulang, kecuali vertex awal

3 Definisi 2.5. Himpunan matriks berukuran m n dengan elemen-elemen R maks atas aljabar maks-plus dinotasikan dengan R m n maks untuk m, n N. Banyaknya baris dalam suatu matriks adalah m dan banyaknya kolom adalah n. Himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai R m n maks = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij R maks. Elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan dengan a ij. Matriks tersebut dapat dituliskan sebagai A = (a ij ) dengan i = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n. Definisi 2.6. Matriks A R n n maks disebut normal jika semua elemen diagonalnya bernilai nol dan elemen-elemen yang lain bernilai non-positif. Definisi 2.7. Diberikan matriks A = (a ij ) R n n maks, Z A adalah digraf nol dari matriks A dengan verteks himpunan N yang memiliki arc (i, j) jika dan hanya jika a ij = e dengan i j. 3. Permutasi Berikut diberikan definisi permutasi yang mengacu pada Meyer[11]. Definisi 3.1. Suatu n-permutasi yang dinotasikan dengan P n adalah himpunan barisan bilangan yang terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3,, n. Setiap permutasi adalah hasil dari cycle sehingga Butkovic mendefinisikan sign dari permutasi siklik (cycle) sebagai berikut. Definisi 3.2. Sign dari permutasi siklik ( cycle) σ = (i 1 i 2 i k ) adalah sgn(σ) = ( 1) k 1. Bilangan integer k dikatakan panjang dari cycle σ. Definisi 3.3. Jika π 1,..., π r adalah konstituen cycle dari permutasi π P n maka sign π adalah sgn(π) = sgn(π 1 ) sgn(π k ). Definisi 3.4. Permutasi π dikatakan ganjil jika sgn(π) = 1 dan genap untuk yang lain. Lema 3.1. Jika π adalah permutasi ganjil maka setidaknya satu dari konstituen cycle π memiliki panjang genap

4 P n Selanjutnya, diperkenalkan simbol P n + sebagai himpunan permutasi genap dan sebagai himpunan permutasi ganjil yang akan digunakan untuk merumuskan kriteria regularitas. Definisi 3.5. ap + (A) = ap(a) P + n ap (A) = ap(a) P n. Selanjutnya, Farlow[6] mendefinisikan matriks permutasi sebagai berikut. Definisi 3.6. Matriks permutasi adalah sebuah matriks persegi dengan setiap baris dan setiap kolom memuat tepat satu elemen sama dengan 0 dan elemen yang lain sama dengan ε. Jika π : {1, 2,, n} {1, 2,, n} adalah sebuah permutasi, Maka matriks permutasi dari π (P π = (p ij )) didefinisikan sebagai p ij = { 0, untuk i = π(j) ε, untuk i π(j) sedemikian hingga kolom ke-j dari P π memiliki elemen 0 pada baris π(j). Definisi 3.7. Misalkan A R n n maks dan π, σ P n, A(σ, π) merupakan matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mempermutasi baris-baris (kolom-kolom) A dengan σ(π). Oleh karena itu, untuk suatu matriks permutasi P dan Q berlaku A(σ, π) = P A Q. Menurut Goverde[8], suatu matriks permutasi P R n n max dan matriks B R n n max, hasil dari P B adalah perubahan baris dari B dan B P merupakan perubahan kolom dari B. 4. Permanen Berikut diberikan penjabaran mengenai permanen yang mengacu pada Butkovic[3]. Diberikan A = (a ij ) R n n maks dan P n adalah himpunan semua permutasi dari N. Permanen maks-aljabar dari A dapat didefinisikan sebagai berikut. maper(a) = a i,π(i). π P n i N Apabila dibaca dengan notasi aljabar konvensional menjadi maper(a) = maks π Pn a i,π(i). i N

5 Selanjutnya, bobot dari permutasi π untuk π P n didefinisikan w(a, π) = i N a i,π(i) = i N a i,π(i). Himpunan dari semua permutasi optimal dinotasikan dengan ap(a), yaitu ap(a) = {π P n ; maper(a) = i N a i,π(i) }. Definisi 4.1. Matriks A dikatakan memiliki permanen kuat jika ap(a) = Pembahasan 5.1. Kebebasan Linear pada Aljabar Maks-Plus. Berikut diberikan definisi dan Teorema mengenai kebebasan linear yang diambil dari Tam[12]. Definisi 5.1. Diberikan vektor-vektor a 1, a 2,..., a n R m max. Vektor-vektor tersebut dikatakan bergantung linear jika salah satu dari vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari yang lain. Sebaliknya, vektor-vektor dikatakan bebas linear apabila tidak bergantung linear. Definisi 5.2. vektor-vektor dikatakan bebas linear kuat jika terdapat b R n sedemikian sehingga b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari a 1, a 2,..., a n R m max secara tunggal. Definisi 5.3. Matriks A = (a 1, a 2,..., a n ) dengan vektor-vektor a 1, a 2,..., a n yang bebas linear kuat disebut matriks reguler kuat jika ukuran matriks m = n. Lema 5.1. Misalkan A matriks persegi. Jika A adalah matriks reguler kuat maka A memiliki permanen kuat. Lema 5.2. Jika A R n n max dan A B maka ap(a) = ap(b) Kebebasan Linear Gondran-Minoux. Konsep lain dari kebebasan linear pada aljabar maks-plus adalah kebebasan linear Gondran-Minoux. Pada bagian ini dibahas mengenai kebebasan linear Gondran- Minoux untuk matriks yang terbatas. Berikut Akian et al.,[2] memberikan definisi mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux. Definisi 5.4. Vektor-vektor a 1, a 2,, a n R m dikatakan bergantung linear Gondran- Minoux jika terdapat dua subhimpunan S, T K := {1,..., k}, S T =,

6 S T = K, dan α 1,..., α k R sedemikian hingga α i a i = α j a j. (1) i S j T Namun, jika persamaan (1) tidak terpenuhi maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear Gondran-Minoux. Matriks persegi dengan kolom-kolom yang bebas linear Gondran-Minoux disebut Gondran-Minoux reguler. Berikut diberikan contoh vektor yang bergantung linear Gondran-Minoux berdasarkan Definisi 5.4 yang diambil dari Akian [2]. Contoh 5.1. Diberikan vektor v i := [i, 1, i] t dengan i = 1, 2, 3, 4. Vektor v i bergantung linear Gondran-minoux karena memenuhi 1 v 1 2 v 3 = 2 v 2 1 v 4. Teorema 5.1. Jika matriks A Rmax n n maka ap(a) P n + atau ap(a) Pn Gondran-Minoux reguler. Bukti. Setiap matriks adalah ekuivalen dengan bentuk normalnya, sehingga matriks A ekuivalen dengan matriks normal B = P A Q dengan P dan Q adalah matriks diagonal sedemikian sehingga id ap(b) dan id adalah permutasi genap (ap(b) P + n ). Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks normal B reguler. Oleh karena B adalah matriks normal, maka maper(b) = 0 sehingga ap(b) = {π P n ; b i,π(i) = 0}. Jika π ap(b) maka semua unsur cycle permutasi dari π dapat diidentifikasi sebagai cycle pada digraf Z B. Cycle pada digraf dikatakan ganjil (genap) jika memiliki panjang ganjil (genap). Jika terdapat cycle genap pada Z B, misal L = (i 1, i 2,..., i k ) dan dilengkapi dengan loop (i, i) untuk i N L, maka cycle permutasi yang bersesuaian berada pada bagian ganjil. w(π, B) = i L b ii i L b i,π(i) = i L b ii i L 0 i N b ii = w(id, B) w(π, B). Oleh karena π P n dan π P n maka π ap (B) dimana id ap + (B). Akibat 5.2. Diberikan matriks A R n n max dan matriks B merupakan bentuk normal dari matriks A. Jika matriks A adalah reguler Gondran-Minoux maka Z B tidak mengandung cycle genap

7 Bukti. Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks B juga reguler. Regularitas dari matriks normal B = (b ij ) ekuivalen dengan ketidakberadaan permutasi ganjil σ P n pada matriks normal B sedemikian sehingga b i,σ(i) = 0 untuk setiap i N. Berdasarkan Lema 3.1 berarti terbukti bahwa jika matriks A adalah reguler Gondran-Minoux maka Z B tidak mengandung cycle genap. Akibat 5.3. Setiap matriks reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler Bukti. Mengacu pada Lema 5.1 bahwa setiap matriks reguler kuat pasti permanen kuat. Artinya ap(a) = 1. Oleh karena permutasi yang memenuhi adalah tunggal, misalkan π, pasti π memenuhi salah satu dari permutasi ganjil atau permutasi genap. Sehingga pasti terpenuhi salah satu dari ap(a) P n + atau ap(a) Pn. Dengan demikian berdasarkan Teorema 5.1 terbukti bahwa setiap matriks reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler. Teorema 5.4. Jika matriks A R m n Gondran-Minoux maka m n. memiliki kolom-kolom yang bebas linear Bukti. Andaikan A = (a ij ) R m n dan m < n, dibuktikan bahwa A memiliki kolom-kolom bergantung linear. Dikarenakan kolom-kolom bebas linear tidak terpengaruh oleh perkalian kolom dengan konstanta, diasumsikan tanpa menghilangkan keumuman bahwa baris terakhir matriks A adalah nol. Misalkan B adalah submatriks m m dari A dengan maper(b) maksimum. Diasumsikan juga bahwa B mencakup kolom m pertama matriks A dan id ap(b). Selanjutnya, diberikan matriks C merupakan matriks n n yang muncul dengan penambahan n m baris nol pada A. Jelas bahwa maper(c) = maper(b) dan ap(c) memuat permutasi yang merupakan perpanjangan id dari ap(b) ke permutasi N. Ketika A telah memiliki baris nol dan ditambahkan setidaknya satu lagi, maka C memiliki paling tidak dua baris nol, dengan demikian ap(c) memuat paling tidak sepasang permutasi yang berbeda. Dengan demikian, berdasarkan Teorema 5.1 C bukan reguler Gondran-Minoux dan jika kolom C dinotasikan dengan C 1,, C n maka didapat α j C j = j S α j C j j T berlaku untuk α R, S dan T dua buah sub himpunan disjoint tidak kosong dari himpunan N. 6. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan

8 (1) Suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika himpunan vektor tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan yang saling asing yang membangun sebuah ruang linear. Jika matriks A R m n Gondran-Minoux reguler maka m n. (2) Hubungan antara matriks reguler kuat dan Gondran minoux reguler tertera pada Akibat5.3. Pustaka [1] Akian, M., G. Kohen, S. Gaubert, J. P. Quadrat, and M. Viot,Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control, Proceeding of the Internasional Congress of Mathematicians,(1994) [2] Akian, M., S. Gaubert, and A. Guterman,Linear Independence Over Tropical Semirings and Beyond. [3] Butkovic, P.,Strong Regularity of Matrices-a Survey of Result, Discrete Applied Mathematics 48 (1994) [4] Butkovic, P.,Max Linear System: Theory and Algoritm, Springer,London, [5] Cunninghame-Green, R.A.,Minimax Algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical System, Springer, Berlin, Vol. 166,1979. [6] Farlow, K. G., Max-Plus Algebra, Master s thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, [7] Gondran, M. and M. Minoux, Linear Algebra in Dioids: A Survey of Recent Result, Annal of Discreate Mathematics, Elsevie Science publisher B.V. North Holland.Vol. 119 (1984), [8] Goverde, R. M. P., Punctuality of Railway Operations and Timeable Stability Analysis, Ph.D thesis, Transport and Planning Department of Delft University of Technology, [9] Izhakian,Z., Tropical Arithmetic and Tropical Matriks Algebra, [10] Konigsberg,Z. R., A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices Over The Max-Plus Algebra, International Mathematichal Forum, Instituto Politecnico Nacional, CIC, Mexico, (2009) [11] Meyer, C. D., Matriks Analysis and Applied Linear Algebra, The Macmillan Publishing Company, New York, [12] Tam, K. P., Optimizing and Approximating Eigen Vectors in Max-Algebra, University of Birmingham, Birmingham,