BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
|
|
- Susanti Hermanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf G adalah pasangan (V (G), E(G)) dengan V (G) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurut dari titik-titik yang berbeda di V (G) yang disebut sisi (Abdusakir et al.,2009). Titik disajikan dalam bentuk noktah atau lingkaran kecil dan sisi disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik. Titik pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c,, u, v,, dengan bilangan asli, 1, 2, 3, atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan titik u dengan titik v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan lambang e 1, e 2,. Jadi, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik u dan titik v, maka e dapat ditulis sebagai e = (u, v), u dan v disebut sebagai titik ujung dari sisi e. Sisi-sisi yang memiliki titik ujung sama disebut sisi ganda dan suatu sisi yang menghubungkan sebuah titik ke dirinya sendiri disebut loop. Cara yang paling mudah dalam menyajikan graf adalah dengan menggunakan gambar atau grafis, dengan bentuk inilah sifat-sifat graf dapat dikenali secara detail. Contoh 2.1 Berikut merupakan contoh representasi grafis dari sebuah graf Gambar 2.1 : Sebuah graf 6
2 7 Andaikan G adalah sebuah graf. Misalkan u dan v adalah titik di G. Sebuah jalan dengan panjang m yang menghubungkan titik u dan v di G merupakan sebuah barisan m sisi dalam bentuk {u = v v, u 1 }, {v 1, v 2 },..., {v m 1, v m = v}, juga dapat dinotasikan dengan u = v 0 v 1 v 2 v m 1 v m = v. Untuk lebih sederhananya, sebuah jalan dengan panjang m yang menghubungkan titik t u dan v dinotasikan dengan u v. Sebuah jalan dengan u v dikatakan terbuka dan sebuah jalan dengan u = v dikatakan tertutup. Sebuah jalan memungkinkan terdapat sisi yang berulang. Sebuah jalan tanpa perulangan sisi disebut sebagai lintasan. Lebih lanjut dalam sebuah lintasan sangat memungkinkan juga terdapat penggunaan titik secara berulang. Sebuah lintasan tanpa pengulangan titik, kecuali mungkin titik-titik ujungnya, disebut sebagai sebuah lintasan sederhana. Panjang lintasan adalah jumlah sisi pada lintasan tersebut. Sebuah lintasan dikatakan terbuka apabila u v dan dikatakan tertutup (cycle) apabila u = v. Sebuah lingkaran adalah suatu lintasan tertutup. Jarak dari u dan v, yaitu d(u, v) merupakan panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v. Teorema 2.1 Andaikan G adalah sebuah graf. Setiap jalan yang menghubungkan titik u dan titik v di G memuat lintasan yang menghubungkan titik u dan titik v. Bukti. Andaikan W : u = v 0 v 1 v 2 v m = v adalah sebuah jalan yang menghubungkan titik u dan titik v. Jika semua titik v 1, v 2, v t 1 adalah berbeda, maka W adalah sebuah lintasan yang menghubungkan u dan v. Jika tidak, maka terdapat bilangan i dan j dengan i j sehingga v i = v j. Buang jalan v i v i+1 v j 1 sehingga dihasilkan sebuah jalan W yang menghubungkan u dengan v dan lebih pendek dari jalan W. Jika W memuat titik tengah yang berulang, maka ulangi proses di atas sehingga pada akhirnya ditemukan sebuah jalan W yang tidak memuat titik tengah berulang. jalan W adalah sebuah lintasan yang menghubungkan titik u dengan titik v. 2.2 Matriks Ketetanggaan (Adjacency) Merepresentasikan graf secara grafis merupakan cara yang mudah untuk menjelaskan suatu graf, tetapi memiliki kelemahan ketika akan mempelajari graf melalui hitungan matematis atau ketika mengolah data graf menggunakan aplikasi komputer. Merepresentasikan graf dalam bentuk matriks akan memberikan
3 8 kemudahan untuk menyelesaikan permasalahan yang melibatkan graf dengan bantuan komputer. Matriks ketetanggaan dari graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (n n) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai 1 jika titik v i terhubung langsung dengan titik v j serta bernilai 0 jika titik v i tidak terhubung langsung dengan titik v j. 1, jika v i ke v j E(G) a ij = 0, jika v i ke v j / E(G) Oleh definisi matriks ketetanggaan, diperoleh a ij = a ji untuk semua 1 i, j n. Akibatnya, matriks ketetanggaan A(G) dari G adalah matriks simetris. Contoh 2.2 Berikut adalah sebuah graf Gambar 2.2 : Graf 4-wheel (W) Matriks ketetanggaan dari graf pada gambar 2.2 adalah A(G) =
4 9 2.3 Graf Terhubung Titik u dan v di G dikatakan terhubung jika terdapat sebuah jalan di G yang menghubungkan titik u dengan titik v. Sebuah titik dalam sebuah graf adalah terhubung dengan dirinya sendiri. Sehingga relasi 2 titik terhubung adalah refleksif. Jika u dan v adalah 2 titik yang terhubung maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v, tetapi dengan bergerak mundur diperoleh sebuah jalan yang menghubungkan v dengan u. Sehingga v terhubung dengan u. Jadi relasi 2 titik terhubung adalah relasi simetrik. Selanjutnya jika u dan v adalah terhubung dan titik v dan w adalah terhubung, maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v dan jalan yang menghubungkan v dengan u. Hal ini berakibat bahwa jalan yang menghubungkan u dengan v, kemudian dilanjutkan dengan jalan yang menghubungkan v dengan w adalah sebuah jalan yang menghubungkan u dengan w. Sehingga titik u terhubung dengan titik w. Jadi relasi 2 titik terhubung adalah transitif. Dapat disimpulkan bahwa relasi 2 titik terhubung adalah relasi ekivalensi. Kelas ekivalensi dari relasi 2 titik terhubung disebut sebagai komponen terhubung dari graf G. Sebuah graf G dikatakan terhubung jika G mempunyai tepat satu komponen terhubung, artinya sebuah graf dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah jalan yang menghubungkan titik u dengan titik v. Berikut diberikan sebuah cara untuk mendeteksi keterhubungan dari sebuah graf. Teorema 2.2 Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks ketetanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A A n 1 mempunyai entri yang semuanya positif. Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dan misalkan B = A + A A n 1. Teorema 2.1 menjamin bahwa untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah lintasan sederhana yang menghubungkan titik i dengan titik j. Karena G mempunyai n titik dan pada lintasan sederhana tidak terdapat titik berulang kecuali i = j, jika i j terdapat lintasan sederhana dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan i dengan j. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j yang berbeda, terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 k n 1 sehingga entri a (k) ij 0. Sehingga semua entri selain entri diagonal dari matriks B adalah positif. JIka i = j, maka terdapat sebuah
5 10 lingkaran dengan panjang 2 yang memuat titik i, sehingga entri a (2) ii 0 untuk semua i = 1, 2,, n. Jadi entri diagonal dari matriks B adalah positif. Dapat disimpulkan bahwa semua entri dari matriks B = A + A A n 1 adalah positif. Selanjutnya, misalkan setiap entri dari matriks A + A A n 1 adalah positif. Akibatnya untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah bilangan positif k dengan 1 k n 1 sehingga a (k) ij 0. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang menghubungkan i dan j. Sehingga oleh definisi G adalah sebuah graf terhubung. Contoh 2.3 Berikut contoh graf terhubung dan tidak terhubung Gambar 2.3 : Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung Gambar 2.3(a) menunjukkan graf terhubung karena terdapat jalan dari setiap pasangan titik di G dan gambar 2.3(b) menunjukkan graf yang tidak terhubung karena tidak terdapat jalan yang menghubungkan titik v 5 dengan titik lainnya. Proposisi-proposisi berikut menjelaskan beberapa sifat-sifat jalan pada sebuah graf terhubung. Proposisi 2.3 Misalkan G merupakan sebuah graf terhubung dengan u, v G. Maka, setiap jalan u m v dapat diperpanjang menjadi jalan u m+2t v untuk suatu bilangan bulat positif t. Bukti. Ambil u dan v merupakan titik di G dan misalkan W : u = v 0 v 1 v 2 v m 1 v m = v merupakan jalan u m v di G. Maka jalan W yang dimulai dari u berjalan ke v sepanjang jalan W dan kemudian berpindah t kali mengelilingi lingkaran v v t 1 v merupakan sebuah jalan u m+2t v.
6 11 Proposisi 2.4 Misalkan G merupakan sebuah graf terhubung dengan u, v, w adalah titik yang berbeda di G dan m adalah sebuah bilangan positif. Terdapat u m w dan v m w jika dan hanya jika terdapat u 2m v di G. Bukti. Andaikan u dan v adalah dua titik berbeda di G sehingga terdapat u m m w dan v w untuk suatu titik w di G. Maka u m w yang dilanjutkan dengan jalan w m v adalah sebuah u 2m v. Sebaliknya, asumsikan bahwa W : u = v 0 v 1 v 2 v 2m 1 v 2m = v merupakan u 2m v di G. Jika w = v m, maka terdapat u m w dan v m w di G. 2.4 Primitifitas suatu Graf Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif, jika terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u k v. Teorema 2.5 Andaikan G adalah suatu graf, G dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran dengan panjang ganjil. Bukti. Andaikan G adalah suatu graf dan G adalah primitif, maka terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan titik v di G terdapat u k v. Akibatnya, G adalah terhubung. Untuk setiap pasangan titik u dan titik v di G terdapat jalan dengan panjang m untuk semua m k. Misalkan m adalah ganjil. Untuk setiap titik u dan titik v di G dapat dibentuk jalan dengan panjang ganjil. Andaikan u u adalah jalan yang menghubungkan titik u ke dirinya sendiri. Misalkan p uv adalah lintasan yang menghubungkan titik u ke titik v. Jalan u v dapat dibentuk dari titik u ke titik v melalui lintasan p uv dan kembali ke titik u melalui lintasan p uv yang sama. Misalkan l(w uu ) adalah panjang jalan dari titik u ke titik u. l(w uu ) adalah genap, agar w uu mempunyai panjang ganjil maka w uu harus melewati 1 lingkaran ganjil disebarang titik, misalkan titik x. Jalan w uu yang terdiri dari lintasan p ux, lintasan p xx, dan lintasan p xu adalah suatu jalan w uu dengan panjang ganjil. Sehingga untuk setiap titik u dan v di G haruslah mempunyai lingkaran ganjil.
7 12 Contoh 2.4 Berikut contoh graf primitif Gambar 2.4 : Contoh graf primitif Pada Gambar 2.4, graf tersebut merupakan graf primitif karena memuat lingkaran dengan panjang ganjil 3 yaitu v 1 v 5 v 2 v Matriks Tak Negatif dan Eksponen dari Graf Matriks Tak Negatif Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri a ij dari A adalah bilangan bulat tak negatif. Jika setiap entri a ij dari matriks A adalah bilangan bulat positif, maka matriks tersebut disebut matriks positif. Contoh matriks tak negatif dan matriks positif dapat dilihat pada 2 buah matriks berikut. A = , matriks tak negatif; B = , matriks positif. Secara umum, sebuah matriks ketetanggaan A dikatakan primitif jika terdapat sebuah bilangan bulat positif k sedemikian sehingga A k adalah sebuah matriks positif. Matrik ketetanggaan dari graf pada gambar 2.4 adalah sebagai berikut A(G) =
8 13 Matriks ketetanggaan dikatakan primitif jika semua entri a k ij dari matriks A k bernilai positif. Perhatikan matriks berikut a. Untuk k = 1; diperoleh A 1 = Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 11 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif b. Untuk k = 2; diperoleh A 2 = Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 4 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif c. Untuk k = 3; diperoleh A 3 = Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 1 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif d. Untuk k = 4; diperoleh A 4 = Karena seluruh entri a ij 0, maka A 4 merupakan matriks positif, sehingga A adalah matriks primitif.
9 Eksponen dari Graf Eksponen dari sebuah graf G merupakan bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di G terdapat jalan dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(g). Eksponen lokal u dan v, dinotasikan exp G (u, v), merupakan bilangan bulat terkecil k sehingga u m v untuk semua m k, sehingga exp(g) = max u,v V (G) {exp G (u, v)} Teorema 2.6 Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (a ij ) adalah sebuah matriks ketetanggaan dari G. Misalkan a k ij adalah elemen (i, j) dari matriks A k, maka a k ij menyatakan banyaknya jalan berbeda dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j di G. Bukti. Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika. Untuk k = 1, entri a 1 ij = aij dari A menyatakan banyaknya jalan dengan panjang 1 yang menghubungkan titik i dengan titik j. Asumsikan bahwa entri a k ij dari A k menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a (k+1) ij dengan panjang k + 1 di G dengan k 1. adalah banyaknya jalan dari i ke j Setiap jalan dari titik i ke j di G dengan panjang k + 1 yang terdiri dari jalan i ke l dengan panjang k untuk l = 1, 2,, n, dan dilanjutkan dengan sisi dari titik l ke titik j, sehingga a k il a lj menyatakan jalan dengan panjang k + 1 dari titik i ke titik j di G untuk k = 1, 2,, n. Jika tidak terdapat jalan yang panjangnya k dari titik i ke titik j di G, maka a (k) ij = 0 sehingga a (k) ij a ij = 0. Hal ini berakibat tidak terdapat jalan yang panjangnya k + 1 dari titik i ke titik j yang melalui titik l di G sehingga diperoleh banyaknya jalan dengan panjang k + 1 dari titik i ke titik j di G adalah karena a (k) i1 a 1j + a (k) i2 a 2j a (k) in a nj = A k+1 = A k A n i=1 a k ila lj maka a (k) ij = n i=1 a k ila lj
10 15 Sehingga a (k+1) ij adalah menyatakan banyaknya jalan dari titik i ke titik j yang panjangnya k + 1 di G. Contoh matriks untuk graf pada Gambar 2.4, nilai k = 6 yang diperoleh adalah jalan dengan panjang terkecil dari setiap pasang titik yang ada di G, maka eksponen dari graf pada Gambar 2.4 adalah exp(a)=exp (G(A))= Scrambling Index Scrambling Index Graf Primitif Sebuah graf dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran dengan panjang ganjil. Menurut Alkelbek dan Kirkland (2009a), untuk titik u, v dan w dari graf G, jika {u, w}, {v, w} E(G), maka titik w dikatakan sebagai tetangga persekutuan luar bersama (common out-neighbour) dari titik u dan v. Scrambling index dari graf primitif G adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang dua titik u dan v yang berbeda di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u k w dan v k w, yang dapat juga dikatakan sebagai bilangan bulat terkecil k sehingga setiap pasang titik dari G mempunyai tetangga persekutuan luar bersama di G k. Scrambling index dari G akan dinotasikan sebagai k(g). Untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif k u,v (G) yang didefinisikan sebagai k u,v (G) = min w V {k : u k w dan v k w} Dari definisi scrambling index k(g) dan scrambling index lokal k u,v (G) diperoleh hubungan k(g) k u,v (G). Karena G adalah graf terhubung, maka untuk setiap bilangan bulat l k u,v (G) dapat ditemukan sebuah titik w sehingga terdapat u l w dan v l w. Hal ini mengakibatkan nilai dari k(g) yang juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai scrambling index lokal k u,v (G) yang didefinisikan sebagai berikut: k(g) = max u v {k u,v(g)}
11 16 Berdasarkan definisi, scrambling index lokal dari graf pada Gambar 2.4 sebagai berikut, k v1,v 2 (G) =min{2, 2, 2, 3, 1} = 1 k v1,v 3 (G) =min{2, 1, 2, 1, 1} = 1 k v1,v 4 (G) =min{3, 2, 3, 4, 2} = 2 k v1,v 5 (G) =min{2, 1, 2, 3, 2} = 1 k v2,v 3 (G) =min{2, 2, 2, 3, 1} = 1 k v2,v 4 (G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1 k v2,v 5 (G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1 k v3,v 4 (G) =min{3, 2, 4, 3, 2} = 2 k v3,v 5 (G) =min{2, 1, 2, 3, 2} = 1 k v4,v 5 (G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1 Dari definisi diperoleh k(g) = max {k u,v (G)} u,v V (G) = max {1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1} u,v V (G) = 2 Sehingga scrambling index dari graf diatas k(g) = 2. Scrambling index dari suatu graf dapat diperoleh dari matriks ketetanggaannya. Scrambling index dari matriks primitif A adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga untuk setiap dua baris dari A k memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama, dan dinotasikan oleh k(a). Scrambling index dari matriks primitif A juga dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga A k (A T ) k seluruh entrinya bernilai positif. Perhatikan contoh matriks dari graf primitif pada Gambar Untuk k = 1, diperoleh A 1 =
12 17 A tidak memiliki scrambling index 1, karena pada baris ketiga dan keempat tidak memiliki entri positif di kolom yang sama. 2. Untuk k = 2, diperoleh A 2 = karena setiap dua baris dari A k dengan k = 2 memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama, maka k(a)=2. Chen dan Liu (2010) memperlihatkan hubungan antara scrambling index dan eksponen dari graf primitif, jika G adalah graf primitif dengan order n 2 dan u, v adalah pasangan titik dari G expg (u, v) k u,v (G) 2 dan exp(g) k(g) = 2 dimana a adalah integer terkecil a. Graf pada Gambar 2.4 memiliki exp(g) = 4, maka nilai scrambling indexnya adalah exp(g) k(g) = 2 4 = 2 = Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil Graf berbentuk cycle (s-graf cycle) dengan titik sebanyak s dengan s 3 disebut graf cycle dan ditulis C s. Graf cycle yang banyak titiknya ganjil disebut cycle ganjil dan cycle yang banyak titiknya genap disebut cycle genap. Graf cycle
13 18 sering disebut sebagai graf lingkaran karena gambarnya dapat dibentuk menjadi lingkaran. Gao dan Shao (2013) memberikan teori mengenai scrambling index pada lingkaran dengan panjang s adalah ganjil, C s : v 1 v 2 v s 1 v s v 1 Proposisi 2.7 Andaikan C s adalah sebuah lingkaran dengan panjang ganjil s 3, maka k(c s ) = (s 1)/2. Bukti. Jalan yang menghubungkan titik v 1 dengan v s dengan panjang genap terpendek adalah v 1 v 2 v s 1 v s dengan panjang s 1. Oleh proposisi 2.4 terdapat titik w C s sehingga ada (s 1)/2 (s 1)/2 jalan v 1 w dan v s w. Sehingga k v1,v s (C s ) = (s 1)/2, Akibatnya k(c s ) (s 1)/2. Selanjutnya diperlihatkan bahwa k(c s ) (s 1)/2. Pertama, diperlihatkan bahwa untuk setiap dua titik berbeda v i dan v j di C s terdapat jalan yang menghubungkan v i dan v j dengan panjang genap m (s 1). Jika d(v i, v j ) adalah genap, maka terdapat jalan dari v i ke v j dengan panjang genap m = d(v i, v j ) s 1. Jika d(v i, v j ) adalah ganjil, maka terdapat jalan yang menghubungkan u dan v dengan panjang genap m = s d(v i, v j ) s 1. Proposisi 2.3 menjamin bahwa untuk setiap dua titik v i dan v j yang berbeda terdapat v i (s 1) v j. Oleh proposisi 2.4, untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda terdapat titik w di C s sehingga (s 1)/2 (s 1)/2 ada jalan v i w dan v j w. Sehingga k(c s ) (s 1)/2, Karena terpenuhi k(c s ) (s 1)/2 dan k(c s ) (s 1)/2, maka k(c s ) = (s 1)/ Graf dengan Scrambling Index 1 Walni (inpress) memberikan syarat perlu dan cukup untuk graf dengan scrambling index 1. Proposisi 2.8 Andaikan G adalah sebuah graf primitif dengan n 3 titik dan tanpa loop. Scrambling index k(g) = 1 jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi
14 19 berikut. 1. Setiap titik dari graf G berada pada sebuah segitiga. 2. Untuk titik u dan v yang terletak pada dua segitiga berbeda, terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v. Bukti. Andaikan k(g) = 1, dan misalkan u adalah sebarang titik di G. Karena G terhubung, maka terdapat sebuah titik v di G sehingga {u, v} adalah sebuah sisi di G. Karena k(g) = 1, terdapat sebuah titik w sehingga {u, w} dan {v, w} masing-masing adalah sebuah sisi dari graf G. Akibatnya, sisi {u, v}, {u, w} dan {v, w} membentuk sebuah segitiga yang memuat u. Jadi setiap titik di G terletak pada sebuah segitiga. Andaikan x dan y adalah dua titik di graf G yang terletak pada sebuah segitiga berbeda. Karena k(g) = 1, maka terdapat sebuah titik z di G sehingga {x, z} dan {y, z} masing-masing adalah sebuah sisi pada graf G. Akibatnya jalan x z y adalah sebuah jalan yang menghubungkan x dan y dengan panjang 2. Sekarang misalkan G adalah primitif dan memenuhi kondisi (1) dan kondisi (2) pada proposisi 2.8. Untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda diperlihatkan bahwa k u,v (G) = 1. Jika u dan v terletak pada sebuah segitiga, maka terdapat titik w pada segitiga sehingga ada jalan u 1 1 w dan v w. Jadi k u,v (G) = 1. Jika u dan v berada pada dua segitiga yang berbeda, maka kondisi (2) menjamin bahwa terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v. Hal ini berakibat terdapat titik w di graf G sehingga ada u 1 w dan v 1 w. Jadi k u,v (G) = 1. Oleh definisi k(g) = max u v {k u,v(g)} = 1.
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf adalah cabang kajian matematika yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara sederhana, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut titik yang terhubung
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Penelitian
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Graf merupakan pokok bahasan matematika yang banyak mendapat perhatian karena aplikasinya sangat berguna untuk menyelesaikan persoalan kehidupan manusia.
Lebih terperinci2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D.
BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAF PRIMITIF
6 BAB 2 DIGRAF PRIMITIF Pada bagian ini, peneliti akan menjelaskan bahwa digraf k D n merupakan sebuah digraf primitif. Penjelasan tersebut diperkuat dengan memaparkan beberapa definisi digraf dan beberapa
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi
Lebih terperinciDAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR GAMBAR BAB 1. PENDAHULUAN 1
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv v vi viii BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang Penelitian 1 1.2. Perumusan Masalah 3 1.3.
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAPH. Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1. Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks.
BAB 2 DIGRAPH Pada bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar tentang digraph yang meliputi definisi dua cycle, primitifitas dari digraph, eksponen, dan lokal eksponen. Dengan demikian, akan mempermudah
Lebih terperinciVERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitifitas,
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciSCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P 110803067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 Teori Dasar Pada bagian ini diberikan definisi-definisi dasar dalam teori graf berikut penjabaran mengenai kompleksitas algoritma beserta contohnya yang akan digunakan dalam tugas akhir ini. Berikut
Lebih terperinciUniversitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Sebuah graph G adalah sebuah objek yang terdiri atas sekumpulan titik yang disebut verteks dan garis yang menghubungkan dua buah verteks yang disebut sisi atau edge.
Lebih terperinciUniversitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Penelitian mengenai eksponen digraf dwiwarna telah banyak dilakukan. Shader dan Suwilo (003) adalah yang pertama sekali melakukan penelitian tersebut. Pada
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciBAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf
BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciPertemuan 12. Teori Graf
Pertemuan 2 Teori Graf Derajat Definisi Misalkan adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik (simbol d()) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Penelitian
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Studi mengenai eksponen dari sebuah digraph menjadi pembahasan yang lebih sederhana setelah Wielandt (Schneider, H. 2002) mengemukakan sebuah gagasan mengenai
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas
Lebih terperinciDiscrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika
Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.
III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk 00) Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi pewarnaan graf Pewarnaan titik pada
Lebih terperinciIV. MATRIKS PEMADANAN MAKSIMAL
{(1,),(2,4),(,1),(4,2)} yang berarti pada periode ke dua yaitu baris ke tiga pada kolom pertama, agen 1 dipasangkan dengan agen. Lalu pada kolom dua agen 2 dipasangkan dengan agen 4, pada kolom berikutnya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf
Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya.
Lebih terperinciTeori Dasar Graf (Lanjutan)
Teori Dasar Graf (Lanjutan) MATRIKS DAN GRAF Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. Matriks-matriks yang dapat menyajikan
Lebih terperinciBAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciTeori Dasar Graf (Lanjutan)
Teori Dasar Graf (Lanjutan) ATRIKS DAN GRAF Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. atriks-matriks yang dapat menyajikan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciBAB III PELABELAN KOMBINASI
1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik
Lebih terperinci2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT RELASI
MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan himpunan dan beberapa definisi yang berkaitan dengan himpunan, serta konsep dasar dan teori graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Himpunan
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 1 6 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT AIDILLA DARMAWAHYUNI, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciDEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah
Lebih terperinciStruktur dan Organisasi Data 2 G R A P H
G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik pencacahan dalam bentuk definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang akan dilakukan. 2.1
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinci9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota
Lebih terperinciBagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E
Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciSCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING-STAR DAN VARIASINYA
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING-STAR DAN VARIASINYA SKRIPSI FITRIANA 100803027 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 SCRAMBLING INDEX
Lebih terperinciR = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Sebelum sampai pada pendefenisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan
Lebih terperinciMatematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi
Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciGraf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan
Lebih terperinciBilangan Ramsey untuk Graf Bintang Genap Terhadap Roda Genap
Vol.4, No., 49-53, Januari 08 Bilangan Ramsey untuk Graf Bintang Genap erhadap Roda Genap Hasmawati Abstrak Untuk sebarang graf G dan H, bilangan Ramsey R(G,H) adalah bilangan asli terkecil n sedemikian
Lebih terperinci3.1 Beberapa Nilai Dimensi Partisi pada Suatu Graf. Dalam dimensi partisi suatu graf, terdapat kelas graf yang nilai dimensi partisinya
BAB III DIMENSI PARTISI n 1 3.1 Beberapa Nilai Dimensi Partisi pada Suatu Graf Dalam dimensi partisi suatu graf, terdapat kelas graf yang nilai dimensi partisinya cukup mudah atau sederhana. Kelas graf
Lebih terperinciGraf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017
Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012
Lebih terperinciRelasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). = ( ) {1,2,3,, } dengan syarat
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.00). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciMisalkan dipunyai graf G, H, dan K berikut.
. Pewarnaan Graf a. Pewarnaan Titik (Vertex Colouring) Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan-k (k-colouring) untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua
Lebih terperinciHasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a A dan b B.
III Relasi Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
39 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Graf 2.1.1 Definisi Graf Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari hari. Salah satu bentuk dari graf adalah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Untuk menjelaskan pelabelan analytic mean pada graf bayangan dari graf bintang K 1,n dan graf bayangan dari graf bistar B n,n perlu adanya beberapa teori dasar yang akan menunjang
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A = a a M a 2 m a a a 2 22 M m 2
Lebih terperinciCatatan Kuliah (2 sks) MX 324 Pengantar Teori Graf
Catatan Kuliah (2 sks) MX 324 Pengantar Teori Graf (Draft Versi Desember 2008 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana DAFTAR
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Terminologi graf Tereminologi termasuk istilah yang berkaitan dengan graf. Di bawah ini akan dijelaskan beberapa definisi yang sering dipakai terminologi. 2.1.1 Graf Definisi
Lebih terperinciPENGERTIAN GRAPH. G 1 adalah graph dengan V(G) = { 1, 2, 3, 4 } E(G) = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) } Graph 2
PENGERTIAN GRAPH 1. DEFINISI GRAPH Graph G adalah pasangan terurut dua himpunan (V(G), E(G)), V(G) himpunan berhingga dan tak kosong dari obyek-obyek yang disebut himpunan titik (vertex) dan E(G) himpunan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan. 2.1. Konsep Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciSPEKTRUM ADJACENCY, SPEKTRUM LAPLACE, SPEKTRUM SIGNLESS-LAPLACE, DAN SPEKTRUM DETOUR GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K( 1, 2,, n )
MATEMATIKA LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA SPEKTRUM ADJACENCY, SPEKTRUM LAPLACE, SPEKTRUM SIGNLESS-LAPLACE, DAN SPEKTRUM DETOUR GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K(, 2,, n ) Oleh: ABDUSSAKIR, M.Pd DEASY
Lebih terperinciRelasi. Oleh Cipta Wahyudi
Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinci5. Representasi Matrix
5. Representasi Matrix Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Matrix Ketetanggaan 2. Walk Pada Graph dan Digraph 3. Matrix Insidensi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Definisi Graf Suatu graf G terdiri dari himpunan tak kosong terbatas dari objek yang dinamakan titik dan himpunan pasangan (boleh kosong) dari titik G yang dinamakan sisi. Himpunan
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf di gunakan untuk merepresentasikan objek objek diskrit dan hubungan antara
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
4 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Kemacetan Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas
Lebih terperinciGraf. Matematika Diskrit. Materi ke-5
Graf Materi ke-5 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya
Lebih terperinciGraf dan Operasi graf
6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT GRAF KOSET DAN GRAF KONJUGASI DARI GRUP NON KOMUTATIF
MATEMATIKA LAPORAN PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI SIFAT-SIFAT GRAF KOSET DAN GRAF KONJUGASI DARI GRUP NON KOMUTATIF Spektrum Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Disusun
Lebih terperinciBAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super
BAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super 2.1 Graf dan Beberapa Definisi Dasar Graf G=(V,E) didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan berhingga dan tak hampa V dan himpunan E. Himpunan V dinamakan
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN n GANJIL, n 3
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 34 40 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN
Lebih terperinciRepresentasi Graph dan Beberapa Graph Khusus
Modul 2 Representasi Graph dan Beberapa Graph Khusus Prof. Dr. Didi Suryadi, M.Ed. Dr. Nanang Priatna, M.Pd. W PENDAHULUAN alaupun representasi graph secara piktorial merupakan hal yang sangat menarik
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinci& & # = atau )!"* ( & ( ( (&
MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan
Lebih terperinciDigraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments)
Digraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments) Oleh : Hazrul Iswadi Departemen Matematika dan IPA (MIPA) Universitas Surabaya (UBAYA), Jalan
Lebih terperinciPenerapan Teorema Mesh dalam Penyederhanaan Arus Bolak Balik serta Penyelesaian Matriks (Minor, Kofaktordan Determinan)
RESUME RANGKAIAN LISTRIK II Penerapan Teorema Mesh dalam Penyederhanaan Arus Bolak Balik serta Penyelesaian Matriks (Minor, Kofaktordan Determinan) Tujuan 1. Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan
Lebih terperinci