BAB IV PEMBAHASAN. Pada penelitian ini akan dibandingkan antara aplikasi teori graf fuzzy dan

Transkripsi

1 BAB IV PEMBAHASAN Pada penelitian ini akan dibandingkan antara aplikasi teori graf fuzzy dan teori aljabar max-plus dalam pengaturan lampu lalu lintas di simpang empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta. Sampel data didapat dengan pengamatan langsung, pengamatan diantaranya untuk mengetahui banyak motor dan mobil yang melintas untuk setiap arus, lama waktu lampu hijau, lama waktu lampu kuning, lama waktu lampu merah, lama fase clear, dan waktu tempuh dari lampu lalu lintas sebelum simpang empat Beran, yakni simpang empat Denggung. Berdasarkan pengamatan yang dilakukan di lapangan, sistem arus lalu lintas yang diterapkan pada simpang empat Beran terdapat 4 fase, fase pertama yakni pada simpang I dengan arus A, B, dan C yang berjalan secara bersama. Fase kedua yakni pada simpang II dengan arus D, E, dan F. Fase ketiga yakni pada simpang III dengan arus G, H, dan I. Fase keempat yakni pada simpang IV dengan arus J, K, dan L. Semua fase tersebut merupakan fase yang kompatibel dengan masing-masing fase terdapat 3 arus yang berjalan secara bersama. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar

2 1 3,5 m A B C 4 8,5 m L K J D E F 7,5 m 2 I H 6 m 3 G Gambar 4.1 Sistem Lalu Lintas pada simpang empat Beran Dari hasil pengamatan yang sudah dilakukan diperoleh siklus lampu lalu lintas pada simpang empat Beran seperti pada Tabel 4.1 berikut. Tabel 4.1 Lama Waktu Lampu Lalu Lintas Yang Diterapkan Sekarang (Detik) Simpang Lama lampu hijau Lama lampu kuning Lama fase clear Lama Lampu Merah Total satu siklus 14 Berikut merupakan data pengamatan banyak kendaraan motor dan mobil yang melintasi simpang empat Beran, selama 1 jam terdapat sebanyak 26 siklus lampu hijau untuk setiap arus seperti pada Lampiran 1 halaman 94. Dari data banyak kendaraan motor dan mobil kemudian dicari panjang rata-rata antrian untuk setiap 58

3 satu kali fase lampu hijau. Rumus perhitungan panjang antrian kendaraan ditentukan sendiri oleh peneliti dengan mengasumsikan luas mobil = 5m 3m dan luas motor = 2m 1m. Luas mobil dikalikan dengan banyak mobil ditambah banyak motor dikalikan dengan luas motor diperoleh luas jalan yang dipadati kendaraan. Luas jalan yang dipadati kendaraan tersebut dibagi dengan lebar jalan dan banyak siklus lampu hijau dalam satu jam didapatkan rata-rata panjang antrian. Rumus perhitungan tersebut didefinisikan sebagai berikut: Panjang Antrian = (Jumlah Motor luas motor) + (Jumlah Mobil luas mobil) banyak siklus lampu hijau dalam satu jam lebar jalan Panjang Antrian A = ,5 = = 14,2 m Kemudian dihitung untuk masing-masing arus dan didapat seperti pada Tabel 4.2 Tabel 4.2 Data Panjang Antrian Motor dan Mobil No. Arus Lalu Lintas Banyak Motor Banyak Mobil Panjang Antrian 1 A ,2 m 2 B ,8 m 3 C ,7 m 4 D ,1 m 5 E ,5 m 6 F m 7 G ,1 m 8 H ,8 m 9 I m 1 J ,4 m 11 K ,6 m 12 L ,1 m 59

4 A. Penyelesaian Masalah Menggunakan Teori Graf Fuzzy Data pengamatan banyak kendaraan di simpang empat Beran diolah ke dalam fungsi keanggotaan (membership function), dengan fungsi keanggotaan menggunakan data training yang menyesuaikan data banyaknya kendaraan yang melewati simpang empat Beran, dengan fungsi keanggotaan ditentukan sebagai berikut, dengan x merupakan panjang antrian: μ sangat sepi (x;,,2) = { μ sepi (x; 1,3,5) = { 1, x 2 x 2, x 2, 2 x, x 1 x x 5 3, 1 x 3, 3 x 5, 5 x, x 3 x 3, 3 x μ normal (x; 3,5,7) = 7 x, 5 x {, 7 x, x 1 x 5, 5 x 7 μ ramai (x; 5,7,9) = x, 7 x {, 5 x, x 7 x 7 μ sangat ramai (x; 7,1,1) = {, x 1 1, 1 x 6

5 Grafik fungsi keanggotaan untuk parameter panjang antrian ditunjukan pada Gambar 4.2 berikut m(c) 1 Sangat Sepi Sepi Normal Ramai Sangat Ramai Panjang Antrian Gambar 4.2. Fungsi Keanggotaan Fuzzy Variabel Panjang Antrian c Operasi yang berhubungan dengan operasi union atau operasi or pada himpunan, nilai keanggotaa diperoleh dengan mengambil nilai maximum antara kedua himpunan μ (A B) = max{ μa(x), μb(x)} a. Nilai keanggotaan untuk simpul A dengan panjang antrian x = 14,2 m adalah : μ sangat sepi = 2 14,2 2 = 5,8 2 =,29 μ sepi = 14, = 4,2 2 =,21 μ sangat sepi μ sepi = max(,29,,21) =,29 = sangat sepi Jadi nilai keanggotaan untuk simpul A adalah sangat sepi b. Nilai keanggotaan untuk simpul B dengan panjang antrian x = 11,8 m adalah: 61

6 μ sangat sepi =,41 μ sepi =,9 μ sangat sepi μ sepi = max(,41,,9) =,41 = sangat sepi Jadi nilai keanggotaan untuk simpul B adalah sangat sepi c. Nilai keanggotaan untuk simpul C dengan panjang antrian x = 4,7 m adalah: μ sangat sepi =,765 Jadi nilai keanggotaan untuk simpul B adalah sangat sepi d. Nilai keanggotaan untuk simpul D dengan panjang antrian x = 3,1 m adalah: μ sangat sepi =,845 Jadi nilai keanggotaan untuk simpul D adalah sangat sepi e. Nilai keanggotaan untuk simpul E dengan panjang antrian x = 5,5 m adalah: μ normal =,975 μ ramai =,25 μ normal μ ramai = max(,975,,25) =,975 = normal Jadi nilai keanggotaan untuk simpul E adalah normal f. Nilai keanggotaan untuk simpul F dengan panjang antrian x = 1 m adalah : μ sangat sepi =,95 Jadi nilai keanggotaan untuk simpul F adalah sangat sepi 62

7 g. Nilai keanggotaan untuk simpul G dengan panjang antrian x = 2,1 m adalah: μ sangat sepi =,895 Jadi nilai keanggotaan untuk simpul G adalah sangat sepi h. Nilai keanggotaan untuk simpul H dengan panjang antrian x = 5,8 m adalah: μ sangat sepi =,71 Jadi nilai keanggotaan untuk simpul H adalah sangat sepi i. Nilai keanggotaan untuk simpul I dengan panjang antrian x = 1 m adalah: μ sangat sepi =,5 Jadi nilai keanggotaan untuk simpul I adalah sangat sepi j. Nilai keanggotaan untuk simpul J dengan panjang antrian x = 1,4 m ialah: μ sangat sepi =,48 μ sepi =,2 μ sangat sepi μ sepi = max(,48,,2) =,48 = sangat sepi Jadi nilai keanggotaan untuk simpul J adalah sangat sepi k. Nilai keanggotaan untuk simpul K dengan panjang antrian x = 58,6 m ialah: μ normal =,57 μ ramai =,43 μ normal μ ramai = max(,57,,43) =,57 = normal 63

8 Jadi nilai keanggotaan untuk simpul K adalah normal l. Nilai keanggotaan untuk simpul L dengan panjang antrian x = 4,1 m adalah: μ sangat sepi =,795 Jadi nilai keanggotaan untuk simpul L adalah sangat sepi Sehingga diperoleh nilai keanggotaan untuk setiap arus pada simpang empat Beran seperti pada Tabel 4.3 Tabel 4.3 Nilai Keanggotaan Setiap Arus di Simpang Empat Beran Arus μ Arus μ A ss(,29) G ss(,895) B ss(,41) H ss(,71) C ss(,765) I ss(,5) D ss(,845) J ss(,48) E n(,975) K n(,57) F ss(,95) L ss(,795) Pengaturan arus lalu lintas dioptimalkan dengan memodelkan arus lalu lintas ke dalam bentuk graf kompatibel. Suatu arus lalu lintas disebut kompatibel jika antara dua arus berjalan bersama tidak menghasilkan konflik. Misal pada Gambar 4.1, arus A, B, dan C kompatibel, sedangkan B dengan E tidak kompatibel karena jika berjalan pada satu fase dapat menyebabkan perpotongan atau konflik (Yolanda dkk, 214:2). Pada Gambar 4.3 berikut menunjukan graf dengan simpul yang dihubungkan oleh sisi menunjukan pelepasan arus lalu lintas yang saling kompatibel. 64

9 65 A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L (i) (ii) (iv) A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L (iii) A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L (v) (vi)

10 66 (vii) (viii) (x) (ix) (xi) (xii) A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L Gambar 4.3 Graf Kompatibel dari Masing-Masing Arus di Simpang Empat Beran

11 Dari graf kompatibel pada masing-masing arus lalu lintas di simpang empat Beran pada Gambar 4.3 dibentuk graf kompatibel untuk keseluruhan arus lalu lintas di simpang empat Beran dengan bobot untuk masing masing simpul sesuai pada Tabel 4.3. Didapat seperti pada Gambar 4.4 berikut : ss(,795) L ss(,29) A ss(,41) B ss(,765) C n(,57) K ss(,845) D ss(,48) J n(,975) E ss(,5) I F ss(,95) ss(,71) H G ss(,895) Gambar 4.4 Graf Kompatibel Berbobot Dari Seluruh Arus di simpang Empat Beran Pengaturan arus lalu lintas pada simpang empat Beran dapat dioptimalkan dengan mencari subgraph lengkap dari graf kompatibel arus lalu lintas simpang empat Beran. Berikut adalah subgraph lengkap kompatibel dari Gambar

12 ss(,795) L ss(,29) A n(,57) K ss(,48) J ss(,41) I L B ss(,795) ss(,5) ss(,765) C ss(,5) I C ss(,95) ss(,71) H ss(,765) F ss(,845) G E D n(,975) ss(,95) F ss(,895) Gambar 4.5 Subgraph Lengkap Kompatibel untuk Simpang Empat Beran Subgraph lengkap kompatibel pada Gambar 4.5 menyatakan lintasan yang tidak menimbulkan konflik terhadap arus kendaraan jika berjalan bersama. Subgraph lengkap kompatibel tersebut menunjukan fase perngaturan arus lampu lalu lintas, sehingga diperoleh fase arus lalu lintas seperti pada Tabel 4.4 berikut: Tabel 4.4 Fase Arus Lalu Lintas Simpang Empat Beran Fase I Fase II Fase III Fase IV A,B,C,L C,D,E,F F,G,H,I I,J,K,L Fase arus lalu lintas dengan teori graf kompatibel tersebut diterapkan kembali pada simpang empat Beran dan diperoleh fase arus lalu lintas seperti Gambar 4.6 berikut: 68

13 1 3,5 m 4 8,5 m 7,5 m 2 6 m 3 Gambar 4.6 Fase Sistem Lalu Lintas dengan Graf Kompatibel Arah panah bewarna merah adalah fase pertama dengan 4 arus lalu lintas yang berjalan secara bersamaan, arah panah warna biru adalah fase kedua, arah panah warna hijau adalah fase ketiga, dan arah panah warna kuning adalah fase keempat B. Perhitungan Waktu Lampu Lalu Lintas Menggunakan Graf Fuzzy Waktu lampu lalu lintas diperoleh dengan menggunakan teori logika fuzzy untuk menghitung tingkat kemacetan dan lama lampu hijau untuk setiap simpang empat Beran. Simpang empat Beran merupakan simpang yang menghubungkan jalur lintas provinsi yakni dilewati oleh Jl. Magelang dari arah timur dan barat sedangkan dari arah utara dilewati Jl. Pendowoharjo, arah 69

14 selatan Jl. Parasamya. Logika fuzzy yang digunakan ialah Fuzzy Inference System (FIS) dengan tipe Mamdani. Dengan variabel linguistik input panjang antrian dan output lama lampu hijau. Domain dari variabel linguistik input dan output yang digunakan seperti pada Tabel 4.5 berikut: Tabel 4.5 Domain dari Variabel Linguistik Input dan Output Fungsi Variabel Fuzzy Semesta Domain Pembicaraan Sangat Sepi [,2] Panjang Sepi [1,5] Input Antrian Normal [,1] [3,7] Ramai [5,9] Sangat Ramai [7,1] Sangat [,15] Lama Sebentar Output Waktu Sebentar [,6] [5,25] Lampu Sedang [2,4] Hijau Lama [35,55] Sangat Lama [5,6] Fungsi keanggotaan yang digunakan ialah fungsi segitiga. Metode penalaran yang digunakan sebagai dasar untuk teknik implikasi fuzzy adalah sebagai berikut (Kusumadewi, 23: 177) If x is A then z is B Dalam kasus ini terdapat 2 variabel, yakni 1 variabel input, panjang antrian dan 1 variabel, output, lama waktu lampu hijau. Variabel panjang antrian memiliki 5 nilai linguistik, sangat sedikit, sedikit, sedang, banyak, dan sangat banyak. Sedangkan variabel lama waktu lampu hijau memiliki 5 nilai linguistik, sangat sebentar, sebentar, sedang, lama, dan sangat lama. Aturan- 7

15 aturan yang dapat terbentuk jika x dikatikan dengan variabel panjang antrian dan A adalah nilai-nilai linguistiknya, z dikaitkan dengan variabel lama waktu lampu hijau dan B adalah nilai linguistiknya, seperti dalam Tabel 4.6 berikut ini: Tabel 4.6 Aturan yang terbentuk pada inferensi fuzzy Aturan Panjang Antrian Fungsi Implikasi Lama Waktu Lampu Hijau R1 Sangat Sedikit Sangat Sebentar R2 Sedikit Sebentar R3 Sedang Sedang R4 Banyak Lama R5 Sangat Banyak Sangat Lama Kemudian penyelesaian masalah untuk penentuan lama lampu hijau di simpang empat Beran menggunakan metode Mamdani, dipilih metode Mamdani karena lebih menyerupai pola pikir manusia. Pada simpang 1, langkah dengan metode Mamdani ialah sebagai berikut : 1. Langkah Pertama : Fuzzification Panjang antrian terdiri atas 5 himpunan fuzzy, yakni sangat sepi, sepi, normal, ramai, dan sangat ramai. Dari data pengamatan panjang antrian pada simpang 1 yakni arus A, B, dan C didapat rata-rata panjang antrian 3,7 meter, didapat: μ sepi = μ normal = 5 3,7 5 3 = 19,3 2 =,965 3, =,7 2 =,35 71

16 2. Langkah Kedua : Inferrence Fuzzy [R2] JIKA panjang antrian SEPI, MAKA lama lampu merah SEBENTAR a predikat 1 = μ sepi =,965 [R3] JIKA panjang antrian NORMAL, MAKA lama lampu merah SEDANG a predikat 2 = μ normal =,35 Setelah nilai implikasi diperoleh, tahap selanjutnya ialah mengaplikasikan fungsi implikasi untuk R2 dan R3, didapat seperti pada Gambar 4.7 berikut: Sangat sebentar 1,965 sebentar sedang lama Sangat lama.5,35 5 a1 a2 a3 25 a4 45 Gambar 4.7 Aplikasi Fungsi Implikasi R2 dan Fungsi R3 6 [R2] a =, a =,965 a 1 5 = 9,65 atau 25 a 2 = 9,65 a 1 = 14,65 a 2 = 15,35 72

17 [R3] a =,35 4 a =,35 a 3 2 =,35 atau 4 a 4 =,35 a 3 = 2,35 a 4 = 39,65 Setelah didapatkan nilai a 1, a 2, a 3, dan a 4. Digunakan metode MAX untuk komposisi antar semua aturan. Hasilnya seperti pada Gambar 4.8 berikut: Gambar 4.8 Daerah Hasil Komposisi Dengan Pewarnaan Dengan demikian, fungsi keanggotaan untuk hasil komposisi ini, ialah :, z 5 atau z 4, z 5 atau z 4 z z μ sf(z) z 2, 5 z 14,65,965, 14,65 z 15,35 3 2, 15,35 z 25 μ sf(z), 2 z 2,35,35, 2,35 z 39,65 4 z {, 39,65 z Langkah Ketiga : Defuzzification { 1 z 1, 5 z 14,65 1 2,965, 14,65 z 15,35 25 z z 2 3 2, 15,35 z 25, 2 z 2,35,35, 2,35 z 39,65 4 z 4 3, 39,65 z 4 Metode yang digunakan yakni centroid, dipilih metode centroid karena pergerakan nilai defuzzification lebih halus sehingga perubahan dari 73

18 suatu himpunan fuzzy juga akan berjalan dengan halus. Domain kontinyu, sehingga menggunakan rumus sebagai berikut: z z = z zμ(z)dz μ(z)dz = M 1 + M 2 + M 3 + M 4 + M 5 + M 6 A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 Dengan M i merupakan momen sedangkan A i merupakan luas daerah. Sebelum melakukan perhitungan untuk memperoleh hasil defuzzification dengan metode centroid akan dicari momen dan luas daerah sebagai berikut a. Inferensi yang pertama, merupakan fungsi naik, sehingga 14,65 M 1 = ( 1 1 z 1 2 ) zdz = [ 1 3 z3 1 4 z2 ]5 Dan 5 14,65 = [51,15 + 2,83] = 53,233 14,65 A 1 = ( 1 1 z 1 2 ) dz = [ 1 2 z2 1 2 z] ,65 = [3,46 + 1,25] = 4,656 b. Inferensi yang kedua merupakan fungsi linear, sehingga: 15,35 M 2 = (,965)zdz = [,965 Dan 14,65 A 2 = 15,35 14,65 15,35 2 z2 ]14,65 = [113,688 13,555] = 1,133 15,35 (,965)dz = [,965z] 14,65 =,965[15,35 14,65] =,676 74

19 c. Inferensi yang ketiga, merupakan fungsi turun, sehingga 25 M 3 = (2,5 1 1 Dan A 3 = 15, ,35 (2,5 1 z) dz 1 z) zdz = [2,5 2 z z3 ]15,35 = [26, ,968] = 86, = [2,5z 1 2 z2 ] 15,35 = [31, ,594] = 4,656 d. Inferensi yang keempat, merupakan fungsi naik, sehingga 2,35 M 4 = ( 1 2,35 1 z 2) zdz = [ 1 3 z3 z 2 ]2 Dan 2 = [ 133, ,333] =,123 2,35 A 4 = ( 1 2,35 1 z 2) dz = [ 1 2 z2 2z]2 2 = [ 19, ] =,6 e. Inferensi yang kelima, merupakan fungsi linear, sehingga 39,65 M 5 = (,35)zdz = [,35 Dan 2,35 39,65 2 z2 ]2,35 = [27,512 7,247] = 2,265 75

20 39,65 39,65 A 5 = (,35)dz = [,35z] 2,35 2,35 =,35[39,65 2,35] =,676 f. Inferensi yang keenam, merupakan fungsi turun, sehingga 4 M 6 = (4 1 1 z) zdz = [2z2 1 Dan 39, z3 ]39,65 = [166, ,423] =,244 4 A 6 = ( z) dz = [4z 1 2 z2 ]39,65 39,65 = [8 79,994] =,6 Titik pusat diperoleh dengan mensubstitusi momen dan luas dari daerah ke dalam z z = M 1 + M 2 + M 3 + M 4 + M 5 + M 6 A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 = 53, , ,449 +, ,265 +,244 4,656 +, ,656 +,6 +,676 +,6 = 169,447 1,676 = 15,872 Selanjutnya untuk memudahkan dalam perhitungan Fuzzy Inference System (FIS) digunakan aplikasi MATLAB R211b dengan bantuan GUI fuzzy logic toolbox. Fungsi keanggotaan yang akan digunakan ialah representasi segitiga dengan variabel input: panjang antrian seperti pada Gambar 4.9 berikut. 76

21 Gambar 4.9 Variabel Input Matlab Panjang Antrian Sedangkan variabel output ialah lama waktu lampu hijau untuk suatu simpang, dengan fungsi keanggotaan segitiga seperti pada Gambar 4.1 berikut Gambar 4.1 Variabel Output Matlab Lama Lampu Hijau Proses implikasi dilakukan dengan bantuan program Matlab, yakni dengan pilih menu Edit-Rule (Naba, 29:91). Dengan aturan pada Tabel 4.6 menggunakan program matlab didapatkan seperti pada Gambar 4.11 berikut 77

22 Gambar 4.11 Rule Editor MATLAB Simpang Empat Beran Hasil Fuzzy Inference System untuk setiap simpang didapat sebagai berikut: a. Simpang pertama yakni arus A, B, dan C didapat rata-rata panjang antrian adalah 3,7 meter. Dengan input 3,7 ke Rule Viewer diperoleh lama waktu lampu hijau 15,9 detik (dibulatkan menjadi 16 detik) seperti pada Gambar 4.12 berikut: Gambar 4.12 Rule Viewer simpang 1 78

23 b. Simpang kedua yakni arus D, E, dan F didapat rata-rata panjang antrian adalah 54,6 meter. Dengan input 54,6 ke Rule Viewer diperoleh lama waktu lampu hijau 34,4 detik (dibulatkan menjadi 35 detik) seperti pada Gambar 4.13 berikut: Gambar 4.13 Rule Viewer simpang 2 c. Simpang ketiga yakni arus G, H, dan I didapat rata-rata panjang antrian adalah 17,8 meter. Dengan input 17,8 ke Rule Viewer diperoleh lama waktu lampu hijau 13,9 detik (dibulatkan menjadi 14 detik) seperti pada Gambar 4.14 berikut: Gambar 4.14 Rule Viewer simpang 3 79

24 d. Simpang keempat yakni arus J, K, dan L didapat rata-rata panjang antrian untuk sekali putaran lampu merah adalah 73,4 meter. Dengan input 73,4 ke Rule Viewer diperoleh lama waktu lampu hijau 45,8 detik (dibulatkan menjadi 46 detik) seperti pada Gambar 4.15 berikut: Gambar 4.15 Rule Viewer simpang 4 Diperoleh lama waktu lampu hijau untuk setiap simpang empat Beran seperti pada tabel 4.7 berikut Tabel 4.7 Lama Waktu Lampu Hijau Setiap Simpang Menggunakan Logika Fuzzy Arus Lama Waktu Lampu Hijau A, B, dan C 16 detik D,E, dan F 34 detik G, H, dan I 14 detik J, K, dan L 46 detik Dari Tabel 4.4 yakni fase arus lalu lintas yang terbentuk menggunakan graf fuzzy dan Tabel 4.7 yakni lama waktu lampu hijau setiap simpang menggunakan logika fuzzy diperoleh fase lalu lintas sebagai berikut: 8

25 a. Simpul A, B, dan C mempunyai fase lampu hijau 16 detik. Berdasar tabel 4.4 arus lalu lintas C dapat berjalan bersamaan dengan arus lalu lintas D, E, dan F. Sehingga fase lampu hijau untuk arus lalu lintas C menjadi 16+34=5 detik b. Simpul D, E, dan F mempunyai fase lampu hijau 34 detik. Berdasar tabel 4.4 arus lalu lintas F dapat berjalan bersamaan dengan arus lalu lintas G, H, dan I. Sehingga fase lampu hijau untuk arus lalu lintas F menjadi 34+14=48 detik c. Simpul G, H, dan I mempunyai fase lampu hijau 14 detik. Berdasar tabel 4.4 arus lalu lintas I dapat berjalan bersamaan dengan arus lalu lintas J, K, dan L. Sehingga fase lampu hijau untuk arus lalu lintas I menjadi = 6 detik d. Simpul J, K, dan L mempunyai fase lampu hijau 46 detik. Berdasar tabel 4.4 arus lalu lintas L dapat berjalan bersamaan dengan arus lalu lintas A, B, dan C. Sehingga fase lampu hijau untuk arus lalu lintas L menjadi 46+16= 62 detik C. Penyelesaian Masalah Menggunakan Teori Aljabar Max-Plus 1. Pemodelan Matematika untuk Pengaturan Nyala Lampu Lalu Lintas Model matematika untuk pengaturan lampu lalu lintas pada simpang empat Beran dengan aljabar max-plus ialah sebagai berikut: z 1 (k + 1) = max(z 4 (k) + t 4 (k) + m 4,1, ) z 2 (k + 1) = max(z 1 (k) + t 1 (k) + m 1,2, z 5 (k) + t) z 3 (k + 1) = max(z 2 (k) + t 2 (k) + m 2,3, ) z 4 (k + 1) = max(z 3 (k) + t 3 (k) + m 3,4, ) 81

26 Keterangan: z i (k) = waktu mulai lampu hijau menyala pada arus ke- i di siklus ke- k, i {1,2,3,4} z 5 (k) = waktu mulai lampu hijau menyala pada lampu lalu lintas sebelum simpang empat Beran, yakni simpang empat Denggung t i (k) = lama waktu lampu hijau menyala pada arus ke- i di siklus ke- k, i {1,2,3,4} t = lama waktu tempuh dari lampu lalu lintas sebelum simpang empat Beran sebesar 63 detik, yakni simpang empat Denggung menuju ke simpang simpang empat Beran m i,j = waktu jeda antara akhir dari arus ke- i dan awal arus kendaraan ke- j menyala lampu hijau (fase clear), i {1,2,3,4}, j {1,2,3,4} Penjelasan dari model tersebut untuk simpang 1, ialah awal mulai lampu hijau menyala pada simpang 1 didapat dari nilai awal mulai lampu hijau menyala di simpang 4 ditambah lama lampu hijau di kaki simpang 4 menyala ditambah dengan waktu jeda antara akhir masuknya arus kendaraan dari simpang 4 dan awal masuknya dari simpang 1 (fase clear). Dari model matematika yang dihasilkan dibentuk matriks untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen yang merupakan faktor utama dalam penentuan awal lampu hijau menyala pada setiap kaki simpang 82

27 F = ( 1 t 1 (k) + m 1,2 2 t 2 (k) + m 2,3 3 t 3 (k) + m 3,4 4 t 4 (k) + m 4,1 2. Perhitungan Vektor Eigen dan Nilai Eigen dengan Software Scilab 5 t ) Dari data waktu lampu lalu lintas menyala pada Tabel 4.1 dimasukan ke matriks didapat sebagai berikut : F = ( F = ( ) 5 63 ) Kemudian dicari nilai eigen dan vektor eigen. Nilai eigen digunakan untuk patokan awal lama waktu siklus tiap fase sedangkan vektor eigen untuk patokan awal lampu hijau mulai menyala untuk setiap simpang karena dalam perhitungan nilai eigen menggunakan beberapa iterasi sampai didapatkan sebuah siklus. Dalam mempermudah perhitungan digunakan software scilab. Berikut perintah yang digunakan dalam penggunaan program scilab untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen: 83

28 Gambar 4.16 Tampilan Perintah Scilab untuk Membentuk Matriks Gambar 4.17 Tampilan Perintah dan Hasil Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dari Gambar 4.17 diperoleh nilai y merupakan vektor eigen dan nilai x yang merupakan nilai eigen. Elemen-elemen vektor eigen diseuaikan dengan masing-masing aliran kendaraan seperti pada tabel 4.8 berikut: 84

29 Tabel 4.8 Elemen Vektor Eigen Bersesuaian Dengan Tiap Simpang Aliran Kendaraan Elemen vektor eigen Dengan nilai eigen diperoleh λ=36 Untuk memudahkan penghitungan waktu pertama lampu hijau menyala untuk masing masing simpang akan dikurangi dengan nilai terkecil yaitu 518 sehingga didapat hasil pada Tabel 4.9 berikut: Tabel 4.9 Nilai Awal Lampu Hijau Menyala (Detik) Simpang Elemen vektor eigen Setelah didapat nilai awal waktu mulai lampu hijau menyala untuk masing-masing kaki simpang. Langkah selanjutnya ialah menambahkan nilai eigen untuk masing-masing simpang sehingga terbentuk periodesasi dengan nilai eigennya yakni 36 detik sebagai lama tiap periode. Menambahkan nilai eigen untuk masing-masing kaki simpang didapat seperti pada Tabel 4.1: 85

30 Tabel 4.1 Periodesasi Lampu Hijau Menyala Fase 1 lampu hijau menyala di simpang 1 pada detik ke-34 dan pada simpang 5 pada detik ke-, fase II lampu hijau menyala pada simpang 2 pada detik ke 66, fase III lampu hijau menyala pada simpang III pada detik ke 111, dan terakhir fase IV lampu hijau menyala pada simpang IV pada detik ke 134. setiap lampu hijau menyala di fase berikutnya melewati lampu kuning 3 detik dan fase clear 4 detik. Kemudian didapat waktu lampu hijau menyala untuk setiap simpang seperti pada Tabel 4.11 Tabel 4.11 Lama Lampu Hijau Menyala Tiap Simpang (Detik) Simpang Akhir lampu hijau menyala Awal lampu hijau menyala Lama lampu kuning Lama fase clear Lama lampu hijau = Terdapat perbedaan lama lampu hijau pada simpang 1 yang berubah menjadi 25 detik. Lama lampu simpang 5 tidak dihitung karena yang diperhitungkan hanya simpang empat lampu lalu lintas Beran. 86

31 D. Perbandingan Teori Graf Fuzzy dengan Aljabar Max-Plus Dengan menggunakan teori graf fuzzy dan aljabar max-plus didapatkan lama lampu hijau dan lama lampu merah menyala seperti pada Tabel 4.12 berikut: Tabel 4.12 Perbandingan Fase Lampu Hijau Simpang Empat Beran dengan Teori Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus Ruas Lama Lampu Hijau Lama Lampu Merah Yang Diterapkan Graf fuzzy Aljabar Max- Yang Diterapka Graf fuzzy Aljabar Max-Plus Sekarang Plus n Sekarang A B C D E F G H I J K L Total Rata -rata 28 36, ,3 111 Dengan hasil Tabel 4.12 perbandingan fase lampu lalu lintas untuk arus lalu lintas, dapat diketahui presentase bertambah atau berkurangnya fase lampu hijau dan lampu merah dengan menggunakan teori graf fuzzy dan teori aljabar max-plus dibandingkan dengan lampu lalu lintas yang diterapkan saat ini: 87

32 Tabel 4.13 Presentase Bertambah dan Berkurangnya Fase Hijau dan Fase Merah Aplikasi Teori Fase Hijau Fase Merah Graf Fuzzy Bertambah 31% Berkurang 9,8% Aljabar Max-Plus Bertambah 3,6% Bertambah 1,8% Dari Tabel 4.13 dapat dilihat bahwa dari kedua teori yang digunakan presentase fase hijau bertambah lebih banyak dengan menggunakan teori graf fuzzy, yakni bertambah 31% dan presentase fase merah berkurang lebih banyak dengan menggunakan teori graf fuzzy, yakni berkurang 9,8%. 88