BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG MASALAH Pergerakan populas sangat mempengaruh proses dnamka dar epdem penyakt. Hal n dapat dtunjukkan oleh beberapa penyakt menular. SARS pertama kal dlaporkan terjad d Propns Guandong Cna pada November 2002. Penyebarannya sangat cepat yatu dengan kontak orang yang bepergan dengan menggunakan pesawat terbang, kereta ap dan bus. Akhr Jun 2003 penyebarannya telah mencapa 32 negara dan mengakbatkan 800 orang mennggal dan lebh dar 8000 orang ternfeks. Untuk campak, Bartlett (1957) menemukan bahwa ukuran populas adalah faktor yang menentukan dar suatu penyakt yang menahun. D kota-kota besar, dulunya cacar ar adalah adalah endemk dengan kemunculan yang berbeda. D kota kota d bawah batas ukuran populas, cacar ar menunjukkan suatu pola epdemk dengan kemusnahan penyakt yang lengkap antar wabah. Hal n menunjukkan bahwa struktur ruang dan pergerakan populas yang menngkatkan varas spato-temporal dar populas yang dnams dapat berupa faktor pentng terhadap meratanya penyakt. Oleh karena tu pentng untuk mempelajar bagamana pengaruh pergerakan populas, struktur ruang, dan transms penyakt untuk menentukan evolus penyakt. Dalam tess 1
2 yang akan damat adalah Basc Reproducton Number dar pengaruh komponenkomponen tersebut. Basc Reproducton Number ddefnskan sebaga jumlah nfeks yang dhaslkan dalam populas yang sangat rentan terhadap perseorangan yang ternfeks secara ndvdual. Dalam beberapa kasus, hal n merupakan awal dar transms penyakt yang mempunya pengaruh besar terhadap kontrol penyakt. Dalam tess n menggunakan skala ruang sehngga bsa menyajkan ruang tersebut dengan cara terdskrt, dengan kata lan ruang tersebut terbag menjad dua daerah dskrt. Suatu daerah menggambarkan suatu kota atau desa dan pergerakan populas dapat dsmulaskan dengan penyebaran penyakt pada daerah tersebut. Kajan tentang pengaruh dar penyebaran populas pada penyakt menular dengan pengaturan daerah ruang telah dlakukan pada penyakt SARS, nfluenza, cacar ar, TBC dan malara. Peneltan n menyeldk pengaruh penyebaran populas dengan menggunakan smulas komputer. Untuk mensmulaskan evolus dar wabah dalam ruang dan menghtung Basc Reproducton Number, Arno dan Van den Dressche merumuskan model epdem dengan perpndahan populas antar kota yang tempat tnggal dar ndvdu djaga. Brauer dan van dendressche,castllo-chaves dan Yakubu, Wang dan Mulone adalah kajan lan dar model epdem dar meta populas. Asums secara matemats samadengan anggapan bahwa kesempatan dar penyembuhan dengan suatu nterval waktu adalah tetap dengan pengabaan waktu ternfeks. Secara epdemolog hal n memang tdak realstk,
3 sebagamana dtunjukkan dengan kajan statstk dar transms penyakt menular. Pada prakteknya waktu nfeks untuk beberapa penyakt termasuk myxomatoss tampak terdstrbus dengan bak mendekat rata-rata waktu bertahan hdup. 1.2 MANFAAT PENELITIAN Peneltan n dharapkan dapat memberkan manfaat dan sumbangan terhadap perkembangan lmu pengetahuan dan untuk menambah wawasan dalam terapan matematka, khususnya model matematka dengan penyebaran populas dan perode nfeks. 1.3 TUJUAN PENELITIAN Tujuan peneltan n adalah 1. Membentuk model matematka dengan perpndahan populas dan perode nfeks. 2. Menentukan ttk-ttk ekubrum model. 3. Menentukan Basc Reproducton Number (R 0 ). 4. Menentukan kestablan ttk ekulbrum. 1.4 TINJAUAN PUSTAKA Model SIR ( Susceptble-Infected-Recovered ) dperkenalkan pertama kal oleh Kermack dan Mc.Kendrck (1927) ( dalam Zhang, dkk (2008)) dengan laju nsdens blnear. Cooke (1979) ( dalam Zhang,dkk (2008)) memperkenalkan
4 penggunaan waktu nkubas τ > 0 sebaga waktu tundaan dan dmasukkan kedalam laju nsdens sehngga berbentuk βs t I t τ. Dalam model SIR populas dbag menjad tga klas yatu : ndvdu yang rentan, ndvdu yang ternfeks dan ndvdu yang sembuh. Indvdu yang rentan menjad ternfeks setelah kontak dengan ndvdu yang ternfeks. Indvdu yang ternfeks menjad sembuh ketka usa nfeks telah melampau perode nfeks. Campak, Rubella, cacar dan SARS adalah penyakt dengan model SIR. Jka jumlah ndvdu yang rentan dalam populas pada saat dnyatakan dengan S, Jumlah ndvdu yang ternfeks dalam populas pada saat dnyatakan dengan I, jumlah ndvdu yang sembuh dalam populas pada saat dnyatakan dengan R dan jumlah populas dnyatakan dengan N maka akan ddapat bahwa : N = S + I + R dan dn dt = B N t N t μ N (t), dengan B adalah rata-rata kelahran per kapta dan adalah rata-rata kematan perkapta. Anton dan Rorres (2005) memberkan defns tentang nla egen suatu matrks. Kocak dan Hale (1991) memberkan defns tentang matrks jacoban. Perko (1991) menjelaskan tentang eksstens dan ketunggalan solus sstem persamaan dferensal basa, kestablan ttk ekulbrum sstem persamaan dferensal basa nonlnear yang dseldk melalu sstem lnearsas dengan mempertmbangkan matrks jacobannya serta krtera stabl, stabl asmtotk dan tdak stabl. Kestablan ttk ekulbrum sstem persamaan dferensal lnear
5 berdasarkan nla egen djelaskan oleh Olsder (1994). Peter J olver and Chehrzad Shakban (2006) menjelaskan bahwa radus spektral dar matrks ddefnskan sebaga maksmal modulus dar semua nla egen dan memberkan defns dar matrks konvergen. 1.5 METODE PENELITIAN Peneltan n dlakukan dengan cara stud lteratur dengan membentuk model epdem penyakt dengan perpndahan populas dan perode nfeks serta menganalsa kestablan ttk kesembangannya berdasarkan referens-referens yang sudah ada. Peneltan ddasarkan pada jurnal karya Wend Wang dan Xao- Qang Zhao, kontrbus penuls dalam jurnal tersebut adalah menambahkan dagram transfer pembentukan model, menambahkan Lemma 3.3.2, Teorema 3.4.1, melengkap bukt teorema, memberkan langkah-langkah dalam menentukan ttk ekulbrum model, memberkan algortma dalam mencar gambar untuk smulas model dan menggambar potret fase. 1.6 SISTEMATIKA PENULISAN Tess n dsusun dalam empat bab. Bab I. Pendahuluan, memuat latar belakang permasalahan, perumusan masalah, tujuan peneltan, manfaat peneltan, tnjauan pustaka, sstematka penulsan, dan metode peneltan. Bab II. Landasan Teor, mengurakan tentang konsep dasar dan teor-teor yang mendukung untuk pembentukan model SIR. Bab III. Pembahasan memuat tentang
6 pembentukan model dan Basc Reproducton Number dar suatu penyakt serta contoh sebaga gambaran dar pengaruh penyebaran populas pada suatu penyakt. Bab V. Merupakan penutup yang melput kesmpulan dan saran untuk pengembangan peneltan selanjutnya.