BAB III PERBANDINGAN ANALISIS REGRESI MODEL LOG - LOG DAN MODEL LOG - LIN A. Regres Model Log-Log Pada prnspnya model n merupakan hasl transformas dar suatu model tdak lner dengan membuat model dalam bentuk logartma. Untuk memudahkan pemahaman akan dgunakan pendekatan emprs dengan memanfaatkan model regres eksponensal, yang mempunya model umum yatu : = 3. dengan : varabel terkat : varabel bebas, : parameter-parameter : error Dar persamaan d atas bak varabel maupun parameternya tdak lner, sehngga model tersebut bukan merupakan model regres lner. Akan tetap model tersebut bsa dtransformaskan menjad bentuk lner. Dengan mengambl logartma natural dar persamaan 3. pada kedua ssnya, maka dperoleh : ln = 4
4 ln = + + ln = + ln + ln = + ln + 3. dengan menganggap = maka persamaan 3. dapat dtuls menjad ln =+ ln + 3.3 Model n merupakan model regres lnear, karena parameter dan dalam model n berbentuk lnear. Menarknya, model n juga lnear karena varabel Y dan X dnyatakan dalam bentuk logartma. Karena bentuk lneartaas yang demkan n, maka model sepert persamaan 3.3 dsebut model log ganda (kedua varabelnya berbentuk logartma lnear).. Estmas Parameter Satu Varabel Bebas Dengan menerapkan metode kuadrat terkecl pada model 3.3 akan dtaksr nla-nla, β. Secara matemats, memnmalkan nla error dapat dlakukan melalu langkah-langkah berkut : sehngga =ln lny =ln " +# ln $ % =$ln # # ln % 3.4
43 Penaksr-penaksr kuadrat terkecl, β dperoleh dengan menghtung turunan pertama (secara parsal) dar % terhadap ˆ β ˆ, β dan kemudan dsamakan dengan nol : ( % (# = # $ln # # ln = 3.5 ( % (# = $ln ln # # ln = 3.6 dar (3.5) dperoleh persamaan normal: ln# +# $ln =$ln 3.7 dar (3.6) dperoleh persamaan normal: # $ln +# $ ln % =$ln ln 3.8 Dar (3.7) dperoleh # : # =/ = ln # ln 3.9 dengan mensubsttuskan persamaan 3.9 ke dalam persamaan 3.8, maka dperoleh # : # = ln ln ln ln % ln % 3.
44. Estmas Parameter Dua Varabel Bebas Dengan menerapkan metode kuadrat terkecl pada model tga varabel yatu ln = + ln + % ln + 3. akan dtaksr nla-nla,, dan %. Secara matemats, memnmalkan nla error dapat dlakukan melalu langkah-langkah berkut : sehngga = = # +# ln +# % $ % =$ # # # % % 3. Penaksr-penaksr kuadrat terkecl,, dan % dperoleh dengan menghtung turunan pertama (secara parsal) dar % terhadap #, ", dan # % kemudan dsamakan dengan nol : ( % (# = $ # # ln # % = 3.3 % ( = $ln # # ln # % = 3.4 (# % ( = $ln % # # ln # % % = 3.5 (# % dar (3.3) dperoleh persamaan normal: ln# +# $ln +# % $ln =$ln 3.6
45 dar (3.4) dperoleh persamaan normal: # $ln +# $ ln % +# % $ln ln % =$ln ln 3.7 dar (3.5) dperoleh persamaan normal: # $ln % # $ln ln % # % $ ln % % =$ln % ln 3.8 dar (3.6) dperoleh / = # # % % 3.9 Dengan mensubsttus (3.9) ke 3.4 dperoleh : # = % % lnln ln ln % lnln % % % % ln ln % % 3. Dengan mensubsttus 3.9 dan 3. ke 3.5 dperoleh : # % = % lnln % ln ln % lnln % % % ln ln % % 3. B. Regres Model Log-Ln Model log-ln adalah suatu model dmana varabel terkat dalam bentuk logartma, sedangkan varabel bebas berbentuk lner. Model n berfungs pada
46 fenomena ekonom dmana model-model regres yang parameter ataupun varabelnya lner mungkn kurang cocok atau kurang memada. Untuk memudahkan pemahaman, proses transformas tdak djabarkan dengan pendekatan teot statstk matematk, tetap akan dgunakan pendekatan emprs dengan memanfaatkan salah satu model yang ada dalam teor ekonom, yatu model laju pertumbuhan. Bentuk umum model laju pertumbuhan sebaga berkut : = +3 4 3. dmana : nla Y mula-mula atau awal : nla Y pada waktu t 3 : laju pertumbuhan majemuk (dalam hal n, dar waktu ke waktu) dar Y Dengan mengambl logartma natural dar persamaan 3. pada kedua ssnya, maka dperoleh : ln = +3 5 ln = + +3 5 ln = + +3 3.3 dengan menganggap = = +3 3.4 3.5
47 maka persamaan dapat dtuls menjad ln = + 3.6 Dengan menambahkan faktor gangguan ke dalam persamaan 3.6, maka dapat dperoleh : ln = + + 3.7 Model n sepert model regres lnear lannya, d mana parameter dan dalam model n berbentuk lnear. Perbedaannya hanya terletak pada varabel terkatnya yang merupakan logartma dar Y.. Estmas Parameter Satu Varabel Bebas Estmas parameter regres lner berganda bertujuan untuk menjelaskan pengaruh satu atau lebh varabel bebas terhadap varabel terkat. Dalam hal n akan dgunakan metode Ordnary Least Squares (OLS) untuk menaksr parameterparameternya. Nla-nla β, β pada model 3.36 dtaksr dengan menerapkan metode kuadrat terkecl, menggunakan sampel sebanyak n. Secara matemats, memnmalkan nla error dapat dlakukan melalu langkah-langkah berkut : sehngga =ln lny =ln # +# % =ln # # % 3.8
48 Penaksr-penaksr kuadrat terkecl β, β dperoleh dengan menghtung turunan pertama (secara parsal) dar % terhadap ˆ β ˆ, β dan kemudan dsamakan dengan nol : u ˆ β u ˆ β ( ( ) ˆ ˆ β β ) = ln Υ Χ = (3.9) ( ( ) ˆ β ˆ β ) = Χ ln Υ Χ = (3.3) dar (3.9) dperoleh persamaan normal: ln ( Υ ) = ˆ β + ˆ β Χ (3.3) n dar (3.3) dperoleh persamaan normal: Χ ln ( Υ ) Dar (3.3) dperoleh ˆβ : = ˆ β Χ + ˆ β Χ (3.3) ˆ β ( Υ ) ln ˆ β Χ = = ln n ( Υ ) ˆ β Χ (3.33) Dengan mensubttus (3.33) ke dalam (3.3) dperoleh: ln ( Χ Χ Χ ) ( Υ ) Χ Χ ln ( Υ ) ˆ = β 3.34
49. Estmas Parameter Dua Varabel Bebas Menaksr nla-nla β, β, β pada model : ln Υ = β + βχ + βχ + u dengan menerapkan metode kuadrat terkecl, menggunakan sampel sebanyak n. galat: = ln Υ ln Υ atau: u = ln Υ ˆ β ˆ β Χ ˆ β Χ sehngga: ( ln ˆ ˆ ˆ ) u = Υ β β Χ β Χ Penaksr-penaksr kuadrat terkecl β, β, β dperoleh dengan menghtung turunan pertama (secara parsal) dar dsamakan dengan nol: u terhadap ˆ, ˆ β ˆ, β β dan kemudan ˆ β u ( ˆ β ˆ β ˆ β ) = ln Υ Χ Χ = (3.35) ˆ β u ( ˆ β ˆ β ˆ β ) (3.36) = Χ ln Υ Χ Χ = ˆ β u ( ˆ β ˆ β ˆ β ) (3.37) = Χ ln Υ Χ Χ = dar (3.35) dperoleh persamaan normal: ln Υ = n ˆ β + ˆ β Χ + ˆ β Χ (3.38)
5 dar (3.36) dperoleh persamaan normal: Χ ln Υ = ˆ β Χ + ˆ β Χ + ˆ β ΧΧ (3.39) dar (3.37) dperoleh persamaan normal: Χ lnυ = ˆ β Χ + ˆ β Χ Χ + β Χ (3.4) Dar (3.38) dperoleh ˆ β : # = 678 9" 5 9 " : 5 : ; =ln <<<<<< # <<<< # % <<<< % 3.4 Dengan mensubttus (3.4) ke dalam (3.39) dperoleh: # = % % ln % % ln % % % % % 3.4 Dengan mensubttus (3.4) dan (3.4) ke dalam (3.4) dperoleh: # % = % % % ln % ln % % % % % 3.43 C. Interpreatas Model Log-Log dan Model Log-Ln Pada umumnya pengnterpretasan model log-log dan log-ln sama. Untuk slope merupakan raso antara perubahan relatf varabel terkat (Y) terhadap perubahan absolut varabel bebas (X).
5 Bla slope bernla negatf maka untuk setap kenakan satu satuan varabel bebas mengakbatkan penurunan nla Y sebesar nla slope tersebut. Namun bla slope bernla postf, maka untuk setap kenakan satu satuan varabel bebas akan mengakbatkan penngkatan nla Y sebesar nla slope tersebut.