Siste Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant A 11 M. Andy udhito Progra Studi Pendidikan Mateatika FKIP Universitas Sanata Dhara Paingan Maguwoharjo Yogyakarta eail: arudhito@yahoo.co.id Abstrak elah dibahas siste linear -plus waktu invariant (SLMI), di ana waktu aktifitasnya berupa bilangan real. Dala siste linear -plus interval waktu invariant (SLMII), ada ketidakpastian dala waktu aktifitasnya, sehingga waktu aktifitas ini diodelkan sebagai interval bilangan real. Artikel ini ebahas tentang generalisasi SLMI enjadi SLMII dan analisis input-output SLMII. Dapat ditunjukkan bahwa SLMII berupa suatu siste persaaan linear -plus interval dan analisa input-output SLMII terkait asalah input paling labat dapat dibahas elalui penyelesaian suatu siste persaaan linear -plus interval. Diberikan juga ilustrasi penerapannya dala siste produksi sederhana. Kata-kata kunci: Siste Linear, Max-Plus, Interval, Waktu Invariant, Input-Output. 1. Pendahuluan Dala asalah peodelan dan analisa suatu jaringan, kadang-kadang waktu aktifitasnya tidak diketahui dengan pasti. Hal ini isalkan karena jaringan asih pada tahap perancangan, data-data engenai waktu aktifitas belu diketahui secara pasti. Ketidakpastian waktu aktifitas jaringan ini dapat diodelkan dala suatu interval, yang selanjutnya di sebut waktu aktifitas interval. Aljabar -plus (hipunan seua bilangan real dilengkapi dengan operasi dan plus) telah dapat digunakan dengan baik untuk eodelkan dan enganalisis secara aljabar asalah-asalah jaringan, seperti asalah: penjadwalan (proyek) dan siste antrian, lebih detailnya dapat dilihat pada Bacelli, et al. (2001), udhito, A. (2003). Dala Schutter (1996) dan udhito, A. (2003) telah dibahas peodelan dinaika siste produksi sederhana dengan pendekatan aljabar -plus. Secara uu odel ini berupa siste linear -plus waktu invariant. Konsep aljabar -plus interval yang erupakan perluasan konsep aljabar -plus, di ana eleen-eleen yang dibicarakan berupa interval telah dibahas dala udhito, dkk (2008). Pebahasan engenai atriks atas aljabar -plus telah dibahas dala udhito, dkk (2011a). Dala udhito, dkk (2011b) telah dibahas eksistensi penyelesaian siste persaaan linear -plus interval. Sejalan dengan cara peodelan dan pebahasan input-output siste linear plus waktu invariant seperti dala Schutter (1996) dan udhito, A. (2003), dan dengan Makalah dipresentasikan dala dengan tea Mateatika dan Pendidikan Karakter dala Pebelajaran pada tanggal 3 Deseber 2011 di Jurusan Pendidikan Mateatika FMIPA UNY
eperhatikan hasil-hasil pada aljabar -plus interval, akalah ini akan ebahas peodelan dan analisa input-output siste linear -plus waktu invarian dengan waktu aktifitas interval, dengan enggunakan aljabar -plus interval. 2. Aljabar Max-Plus Dala bagian ini dibahas konsep dasar aljabar -plus dan siste persaaan linear input-output -plus A x = b. Pebahasan selengkapnya dapat dilihat pada Bacelli, et al. (2001), udhito, A. (2003). Diberikan := { } dengan adalah hipunan seua bilangan real dan : =. Pada didefinisikan operasi berikut: a, b, a b := (a, b) dan a b : = a + b. Keudian (,, ) disebut aljabar -plus, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan. elasi p pada didefinisikan dengan x y. Operasi dan pada dapat diperluas untuk operasi-operasi atriks dala p y x y = : = {A = (A ij ) A ij, untuk i = 1, 2,..., dan j = 1, 2,..., n}. Untuk α, dan A, B didefinisikan α A, dengan (α A) ij = α A ij dan A B, dengan (A B) ij = A ij B ij untuk i = 1, 2,..., dan j = 1, 2,..., n. Untuk A, p n B didefinisikan A B, dengan (A B) ij = A ik B kj. Didefinisikan atriks p k=1 p E, (E ) ij : = n n 0,, jika i = j jika i j dan atriks, ( ) ij := untuk setiap i dan j. elasi p pada didefinisikan dengan A p B A B = B. Didefinisikan n := {x = [ x 1, x 2,..., x n ] x i, i = 1, 2,..., n}. Unsur-unsur dala n disebur vektor atas. Diberikan A dan b. Vektor x siste persaaan linear A x = b jika eenuhi A x disebut subpenyelesaian p b. Suatu subpenyelesaian xˆ dari siste A x = b disebut subpenyelesaian terbesar siste A x = b jika x xˆ untuk setiap subpenyelesaian x dari siste A x = b. Diberikan A dengan p Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 105
unsur-unsur setiap kolonya tidak seuanya saa dengan dan b n. Subpenyelesaian terbesar A x = b ada dan diberikan oleh xˆ = (A ( b)). 3. Aljabar Max-Plus Interval Bagian ini ebahas konsep dasar aljabar -plus interval dan teknik pengoperasian atriks atas aljabar -plus interval. Pebahasan lebih lengkap dapat dilihat pada udhito, dkk (2011a). Interval (tertutup) x dala adalah suatu hipunan bagian dari yang berbentuk x = [ x, x] = {x x p x p x }. Interval x dala di atas disebut interval -plus, yang selanjutnya akan cukup disebut interval. Suatu bilangan x dapat dinyatakan sebagai interval [x, x]. Didefinisikan I() := { x = [ x, x ] x, x, p x p x} {}, dengan := [, ]. Pada I() didefinisikan operasi dan dengan: x y = [ x y, x y ] dan x y = [ x y, x y], x, y I( ). Keudian (I(),, ) disebut dengan aljabar -plus interval yang dilabangkan dengan I(). n Didefinisikan I() := {A = (A ij) A ij I( ), untuk i = 1, 2,..., dan j = n 1, 2,..., n}. Matriks anggota I() disebut atriks interval -plus. Selanjutnya atriks interval -plus cukup disebut dengan atriks interval. Untuk α I(), A, B I(), didefinisikan α A, dengan (α A) ij = α A ij dan A B, dengan p (A B) ij = A ij B ij untuk i = 1, 2,..., dan j = 1, 2,..., n. Untuk A I(), B p n I(), didefinisikan A B dengan (A B) ij = p k= 1 A ik B kj untuk i = 1, 2,..., dan j = 1, 2,..., n. Operasi konsisten terhadap urutan aka A C A p I, yaitu jika A pi B, p I B C. Operasi juga konsisten terhadap urutan p I pi B, aka A C pi B C. n Untuk A I() didefinisikan atriks A = ( A ij), yaitu jika dan A= (A ij ) n yang berturut-turut disebut atriks batas bawah dan atriks batas atas dari atriks interval A. Didefinisikan interval atriks dari A, yaitu [ A, A ] = {A n Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 106
A p A p A }. Dapat ditunjukkan untuk setiap atriks interval A selalu dapat ditentukan interval atriks [ A, A ] dan sebaliknya. Matriks interval A I() dapat dipandang sebagai interval atriks [ A, A ]. Interval atriks [ A, A ]disebut interval atriks yang bersesuaian dengan atriks interval A dan dilabangkan dengan A [ A, A]. Didefinisikan I() n := {x = [x 1,..., x n ] x i I(), i = 1,..., n }. Unsurunsur dala I() n n disebut vektor interval atas I(). Diberikan A I() dan b I(). Suatu vektor interval x* I() disebut penyelesaian interval siste interval A x = b jika berlaku A x * n = b. Diberikan A I() dan b I(). Suatu vektor interval x I() disebut subpenyelesaian interval siste A x = b jika berlaku A x pi n b. Diberikan A I() dan b I(). Suatu vektor interval xˆ I() disebut subpenyelesaian terbesar interval siste interval A x = b jika x pi xˆ untuk setiap subpenyelesaian interval x dari siste A x = b. eorea berikut eberikan eksistensi subpenyelesaian terbesar interval siste interval A x = b. eorea 1 n Jika A I() dengan unsur-unsur setiap kolonya tidak seuanya saa dengan dan b I(), di ana A [ A, A] dan b [b, b ], aka vektor interval xˆ [ xˆ, xˆ ], dengan xˆ i = in{ ( A ( b )) i, ( erupakan subpenyelesaian terbesar siste A x = b. A ( b )) i } dan xˆ = ( A ( b )) 4. Peodelan Siste Produksi Sederhana dengan Waktu Aktifitas Interval Diperhatikan suatu siste produksi sederhana (Schutter, 1996) yang disajikan dala Gabar 1 berikut: Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 107
d 1 = [5, 7] u(k) t 1 = [2, 3] t 3 = [1, 2] t 2 = [0, 0] P 1 d 2 = [6, 8] t 4 = [0, 0] P 2 d 3 = [3, 4] P 3 t 5 = [0, 0] y(k) Gabar 1 Siste ini terdiri dari 3 unit perosesan P 1, P 2, P 3. Bahan baku diasukkan ke P 1 dan P 2, diproses dan dikirikan ke P 3. Interval waktu perosesan untuk P 1, P 2 dan P 3 berturut-turut adalah d 1 = [5, 6] d 2 = [6, 8] dan d 3 = [3, 4] satuan waktu. Diasusikan bahwa bahan baku eerlukan t 1 = [2, 3] satuan waktu untuk dapat asuk dari input ke P 1 dan eerlukan t 3 = [1, 2] satuan waktu dari produk yang telah diselesaikan di P 1 untuk sapai di P 3, sedangkan waktu transportasi yang lain diabaikan. Pada input siste dan antara unit perosesan terdapat penyangga (buffer), yang berturut-turut disebut buffer input dan buffer internal, dengan kapasitas yang cukup besar untuk enjain tidak ada penyangga yang eluap (overflow). Suatu unit perosesan hanya dapat ulai bekerja untuk suatu produk baru jika ia telah enyelesaikan perosesan produk sebelunya. Diasusikan bahwa setiap unit perosesan ulai bekerja segera setelah bahan tersedia. Misalkan u(k+1) : interval waktu saat bahan baku diasukkan ke siste untuk perosesan ke- (k+1), x i (k) : interval waktu saat unit perosesan ke-i ulai bekerja untuk perosesan ke-k, y(k) : interval waktu saat produk ke-k yang diselesaikan eninggalkan siste. Waktu saat P 1 ulai bekerja untuk perosesan ke-(k+1) dapat ditentukan sebagai berikut. Jika bahan entah diasukkan ke siste untuk perosesan ke-(k+1), aka bahan entah ini tersedia pada input unit perosesan P 1 pada interval waktu t = u(k+1) [2, 3]. Akan tetapi P 1 hanya dapat ulai bekerja pada sejulah bahan baku baru segera setelah enyelesaikan perosesan sebelunya, yaitu sejulah bahan baku untuk perosesan ke-k. Karena interval waktu perosesan pada P 1 adalah d 1 = [5, 7] Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 108
satuan waktu, aka produk setengah-jadi ke-k akan eninggalkan P 1 pada saat interval t = x 1 (k) [5, 7]. Dengan enggunakan operasi aljabar -plus interval diperoleh: x 1 (k+1) = [5, 7] x 1 (k) [2, 3] u(k+1) untuk k = 1, 2, 3,.... Dengan alasan yang saa untuk P 2, P 3 dan waktu saat produk ke-k yang diselesaikan eninggalkan siste, diperoleh: x 2 (k+1) = [6, 8] x 2 (k) u(k+1) x 3 (k+1) = [11,16] x 1 (k) [12,16] x 2 (k) [3, 4] x 3 (k) [8,11] u(k+1) y(k) = [3, 4] x 3 (k), untuk k = 1, 2, 3,.... Jika dituliskan dala persaaan atriks dala aljabar -plus, persaaan-persaaan di atas enjadi [5, 7] [2, 3] x(k+1) = [6, 8] x(k) [0, 0] u(k+1) [11,16] [12,16] [3, 4] [8,11] y(k) = [ [3, 4] ] x(k) untuk k = 1, 2, 3,... dan x(k) = [x 1 (k), x 2 (k), x 3 (k)]. Hasil di atas dapat juga dituliskan dengan x(k+1) = A x(k) B u(k+1) y(k) = C x(k) untuk k = 1, 2, 3,..., dengan x(k) = [x 1 (k), x 2 (k), x 3 (k)] I() 3, keadaan awal x(0) = x 0, A = [5, 7] [11,16] dan C = [ [3, 4] ] I() [6, 8] [12,16] 1 3. [3, 4] I() [2, 3], B = [0, 0] I() 3 [8,11] 3 3 5. Siste Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant Matriks dala persaaan sistenya erupakan atriks konstan, yaitu tidak tergantung pada paraeter k, sehingga sistenya erupakan siste waktu-invariant. Siste seperti dala contoh di atas erupakan suatu contoh siste linear -plus interval waktu-invariant (SLMII) seperti yang diberikan dala definisi berikut. Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 109
Definisi 1 (SLMII) Siste Linear Max-Plus Interval Waktu-Invariant adalah Siste Kejadian Diskrit yang dapat dinyatakan dengan persaaan berikut: x(k+1) = A x(k) B u(k+1) y(k) = C x(k) n n untuk k = 1, 2, 3,..., dengan kondisi awal x(0) = x 0, A I(), B I() n dan 1 n C I(). Vektor interval x(k) I() n enyatakan interval keadaan (state), (1) u(k) I() adalah vektor interval input dan y(k) I() 1 adalah vektor interval output siste saat waktu ke-k. SLMII seperti dala definisi di atas secara singkat akan dituliskan dengan SLMII(A, B, C, x 0 ). Jika kondisi awal dan suatu barisan input diberikan untuk suatu SLMII(A, B, C, x 0 ), aka secara rekursif dapat ditentukan suatu barisan vektor keadaan siste dan barisan output siste. Secara uu sifat input-output SLMII(A, B, C, x 0 ) diberikan dala teorea berikut. eorea 2 (Input-Output SLMII (A, B, C, x 0 )) Diberikan bilangan bulat positip p. Jika vektor interval output y = [y(1), y(2),..., y(p)] dan vektor interval input u = [u(1), u(2),..., u(p)] pada SLMI(A, B, C, x 0 ), aka y = K x 0 H u dengan K = C A C A M C A 2 p C B dan H = C A B M p 1 C A B C A C B M p 2 B L L O L. M C B Bukti: Pebuktian analog dengan kasus waktu aktifitas yang berupa bilangan real, dengan engingat bahwa operasi penjulahan dan perkalian atriks interval konsisten terhadap urutan yang telah didefinisikan di atas. Bukti untuk kasus waktu aktifitas yang berupa bilangan real dapat dilihat dala udhito(2003: hal 56-58). Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 110
Dala siste produksi, eorea 2 berarti bahwa jika diketahui kondisi awal siste dan barisan waktu saat bahan entah diasukkan ke siste, aka dapat ditentukan barisan interval waktu saat produk selesai diproses dan eninggalkan siste. Berikut dibahas asalah input paling labat pada SLMII(A, B, C, x 0 ). Masalah input paling labat pada SLMII(A, B, C, x 0 ) adalah sebagai berikut: Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Diketahui vektor interval output y = [y(1),..., y(p)]. Misalkan vektor interval u = [u(1),..., u(p)] adalah vektor interval input. Perasalahannya adalah enentukan vektor interval input u terbesar (vektor interval waktu paling labat) sehingga eenuhi K x 0 H u p I y, dengan K dan H seperti dala eorea 2. Dala siste produksi, asalah ini epunyai interpretasi sebagai berikut. Misalkan diketahui vektor interval y adalah vektor interval waktu paling labat agar produk harus eninggalkan siste. Perasalahannya adalah enentukan vektor interval u yaitu vektor interval waktu paling labat saat bahan baku harus diasukkan ke dala siste. Penyelesaian asalah ini diberikan dala eorea 3 berikut. eorea 3 Diberikan SLMII(A, B, C, x 0 ) dengan C B (atriks interval yang seua eleennya ). Jika K x 0 pi y, aka penyelesaian asalah input paling labat pada SLMII(A, B, C, x 0 ) diberikan oleh û [û, û ], dengan û i = in{ ( H ( y )) i, ( H ( y )) i } danû = ( H ( y )). Bukti: Karena K x 0 p I y, aka K x 0 H u = y H u = y. Akibatnya asalah interval input paling labat pada SLMII(A, B, C, x 0 ) enjadi asalah enentukan vektor interval input u terbesar yang eenuhi H u p I y. Masalah ini erupakan asalah enentukan subpenyelesaian terbesar siste persaaan linear -plus interval H u = y. Karena C B, aka koponen setiap kolo atriks interval H tidak seuanya saa dengan. Menurut eorea 1 subpenyelesaian terbesar Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 111
siste persaaan linear -plus interval H u = y adalah û [û, û ], dengan û i = in{ ( H ( y )) i, ( H ( y )) i } dan û = ( H ( y )). Contoh 1 Diperhatikan siste produksi sederhana dala subjudul 4 di atas. Misalkan kondisi awal siste x(0) = [[0, 0], [1, 1], [, ]], yang berarti unit perosesan P 1 dan P 2 berturut-turut eulai aktifitasnya saat waktu 0 dan 1 seentara unit perosesan P 3 asih kosong dan harus enunggu datangnya input dari P 1 dan P 2. Diinginkan penyelesaian produk sebelu y(1) = [25, 25], y(2) = [30, 30], y(3) = [40, 40] dan y(4) = [50, 50], dala hal ini waktu dapat ditentukan dengan pasti. Selanjutnya akan ditentukan waktu peasukkan bahan baku ke dala siste yang selabat ungkin. Perhatikan bahwa K x 0 = [[16, 21], [22, 29], [28, 37], [34, 45] ] p I y, sehingga eorea 3 dapat digunakan. Subpenyelesaian terbesar siste persaaan linear plus interval H u = y atau [11,15] [16, 23] [21, 30] [27, 37] [11,15] [16, 23] [21, 30] [11,15] [16, 23] [11,15] u(1) u(2) = u(3) u(4) [25, 25] [30, 30] [40, 40] [50, 50] adalah û [û, û ] = [[7, 7], [15, 15], [27, 27], [35, 35]]. Diperoleh waktu peasukkan bahan baku ke dala siste dengan pasti. Jadi bahan baku harus diasukkan ke siste paling labat pada saat waktu û (1) = 7, û (2) = 15, û (3) = 27 dan û (4) = 35. Daftar Pustaka Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. and Quadrat, J.P. 2001. Synchronization and Linearity. New York: John Wiley & Sons. udhito, Andy. 2003. Siste Linear Max-Plus Waktu-Invariant. esis: Progra Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta. udhito, Andy. Wahyuni, Sri. Suparwanto, Ari dan Susilo, F. 2008. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur. Berkala Iliah MIPA Majalah Iliah Mateatika & Ilu Pengetahuan Ala. Vol. 18 (2): pp. 153-164 Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 112
udhito, Andy. Wahyuni, Sri. Suparwanto, Ari dan Susilo, F. 2011a. Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval. Jurnal Natur Indonesia. Vol. 13 No. 2. pp. 94-99. udhito, Andy. Wahyuni, Sri. Suparwanto, Ari dan Susilo, F. 2011b. Systes of Fuzzy Nuber Max-Plus Linear Equations. Journal of the Indonesian Matheatical Society Vol. 17 No. 1 Schutter, B. De., 1996. Max-Algebraic Syste heory for Discrete Event Systes, PhD thesis Departeent of Electrical Enginering Katholieke Universiteit Leuven, Leuven. Yogyakarta, 3 Deseber 2011 MA 113