8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I
8. Fungsi Invrs Misalkan : D R a y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi y- satu-satu ungsi y tidak satu-satu MA4 KALKULUS I
Scara gomtri graik ungsi satu-satu dan garis yang sjajar dngan sumbu brpotongan di satu titik. Torma : Jika ungsi satu-satu maka mmpunyai invrs notasi : R D y a ( y) R R Brlaku hubungan D ( y) R y() ( ( )) ( ( y)) y D R R, D MA4 KALKULUS I 3
Torma : jika monoton murni(slalu naik/slalu turun) maka mmpunyai invrs () '( ) > 0, R slalu naik ()- '( ) < 0, R slalu turun > 0, > '( ) < 0, < naik untuk >0 turun untuk <0 0 0 ( ) ( ) ( ) u v ada tidak ada ada MA4 KALKULUS I 4
Contoh : Diktahui ( ) + a. Priksa apakah mmpunyai invrs b. Jika ada, tntukan invrsnya Jawab a. '( ).( + ).( ( + ) ) 3 > 0 ( + ), D Karna slalu naik(monoton murni) maka mmpunyai invrs b. Misal y + y + y y ( y) y y ( ) y y y MA4 KALKULUS I 5
Suatu ungsi yang tidak mmpunyai invrs pada darah asalnya dapat dibuat mmpunyai invrs dngan cara mmbatasi darah asalnya. ( ) ( ) u v Untuk >0 ada Untuk R tidak ada ( ) Untuk <0 ada MA4 KALKULUS I 6
Graik ungsi invrs Titik (,y) trltak pada graik Titik (y,) trltak pada graik Titik (,y) dan (y,) simtri trhadap garis y Graik dan smtri trhadap garis y MA4 KALKULUS I 7
Turunan ungsi invrs Torma Misalkan ungsi monoton murni dan mmpunyai turunan pada slang I. Jika ( ) 0, I maka dapat diturunkan di y() dan ( )'( y) ( ) Bntuk diatas dapat juga dituliskan sbagai d dy dy / d Contoh Diktahui 5 ( ) + + tntukan ( )'(4) Jawab : '( ) 5 4 +,y4 jika hanya jika ( )'(4) '() 7 MA4 KALKULUS I 8
Soal Latihan Tntukan ungsi invrs ( bila ada ) dari.. ( ) +, > ( ) 3 0 3. ( ) 5 4+ 4. 5 ( ), + 0 5. ( ) + 6. ( ) 3 + MA4 KALKULUS I 9
8. Fungsi Logaritma Asli Fungsi Logaritma asli ( ln ) didinisikan sbagai : ln dt, > 0 t Dngan Torma Dasar Kalkulus II, diprolh :. D [ ln ] D t dt Scara umum, jika u u() maka D [ ln u] u ( D ) t dt u du d MA4 KALKULUS I 0
Contoh : Dibrikan ( ) ln(sin( 4 + )) maka '( ) D (sin( 4 + )) sin( 4 + ) 4 cot( 4 + ) Jika Jadi, y ln, d ln + C Siat-siat Ln :. ln 0. ln(ab) ln a + ln b Dari sini diprolh : 0 ln, > 0 ln( ), < 0 d (ln ), d 0. 3. ln(a/b)ln(a) ln(b) 4. ln a r r ln a y ln y ' y ln( ) y ' MA4 KALKULUS I
Contoh: Hitung jawab Misal 4 3 + 0 u 3 d + du 3 d 3 + du d u 3 du ln u 3 u 3 + c shingga 3 ln + +c 3 4 0 3 + d 3 ln 3 + ] 0 4 3 (ln 66 ln ) 3 ln 33. MA4 KALKULUS I
Graik ungsi logaritma asli ()ln Diktahui a. b. dt ( ) ln, t > 0 '( ) > 0 D slalu monoton naik pada D c. ''( ) < 0 D Graik slalu ckung kbawah d. () 0 MA4 KALKULUS I 3
8.3 Fungsi Eksponn Asli [ ], Karna ln > 0 untuk > 0 maka ungsi logaritma asli D monoton murni, shingga mmpunyai invrs. Invrs dari ungsi logaritma asli disbut ungsi ksponn asli, notasi p. Jadi brlaku hubungan y p( ) Dari sini didapat : y p(ln y) dan ln(p()) Dinisi 8. Bilangan adalah bilangan Ral positi yang brsiat ln. Dari siat (iv) ungsi logaritma diprolh ln y r r p(ln ) p r ln p r p( ) MA4 KALKULUS I 4
Turunan dan intgral ungsi ksponn asli Dngan mnggunakan turunan ungsi invrs Dari hubungan y ln y dy d d / dy y d dy y Jadi, D ( ) Scara umum u( ) D ( ) u. u' Shingga d + C MA4 KALKULUS I 5
Graik ungsi ksponn asli Karna ungsi kponn asli mrupakan invrs dari ungsi logaritma asli maka graik ungsi ksponn asli diprolh dngan cara mncrminkan graik ungsi logaritma asli trhadap garis y yp () yln Contoh 3 ln 3 ln 3 ln D ( ). D (3 ln ) (3ln + 3). MA4 KALKULUS I 6
Contoh Hitung 3 / d Jawab : Misalkan Shingga 3 / u d 3 du 3 3 d d 3 3 du u u 3 / du + c 3 + c. MA4 KALKULUS I 7
Pnggunaan ungsi logaritma dan ksponn asli a. Mnghitung turunan ungsi brpangkat ungsi ( ) ( g ( )) h( ) Diktahui, '( )? ln( ( )) h( ) ln( g ( )) D (ln( ( ))) D ( h( )ln( g( ))) '( ) h( ) h'( ) ln( g( )) + g '( ) ( ) g( ) '( ) h'( ) ln( g( )) + h( ) g( ) g '( ) ( ) MA4 KALKULUS I 8
Contoh Tntukan turunan ungsi ( ) (sin ) 4 Jawab Ubah bntuk ungsi pangkat ungsi mnjadi prkalian ungsi dngan mnggunakan ungsi logaritma asli ln ( ) ln(sin ) Turunkan kdua ruas 4 4 ln(sin( )) D (ln ( )) D (4 ln(sin( ))) '( ) ( ) 4ln(sin( )) + 4 sin cos 4ln(sin( )) + 4 cot '( ) (4 ln(sin( )) + 4 cot )(sin ) 4 MA4 KALKULUS I 9
b. Mnghitung limit ungsi brpangkat ungsi lim a ( ) Untuk kasus g ( )? (i) lim ( ) 0, lim g( ) 0 a a (ii) lim ( ), lim g( ) 0 (iii) a lim a Pnylsaian : ( ), a lim g( ) a g( ) g( ) Tulis lim( ( ) ) lim[p( ln ( ) )] a lim p g( ) [ ln ( ) ] a Karna ungsi ksponn kontinu, maka lim p g( )ln ( a a ( ) p lim g( )ln ( ) a MA4 KALKULUS I 0
Contoh Hitung lim a. + lim ( + b. ) c. Jawab ( 3 ) 0 lim + 0 / ln a. lim( 0 + ) p lim ln 0 + (bntuk 0. ) b. Rubah k bntuk lim (( + 0 ) p / 0 + / lim ln lalu gunakan dalil L hopital p lim p(0) + 0 ) lim p..ln( + 0 ) ln( + p lim 0 ) MA4 KALKULUS I
c. Gunakan dalil L hopital p lim 0 + shingga lim lim 0 ( + ) p ln ( 3 ) / ln 3 + p lim ln( + ) Gunakan dalil L hopital 3 3 p lim +. / (3) p lim ( + ) ln( p lim ln 3 3 p lim 3 + 3 p3. 3 3 + ) p lim (3) 3 ( + 3 ) 3 MA4 KALKULUS I
Soal latihan A.Tntukan y y' dari sc + sc. 6.. 3. 4. y ( 5 6) y ln + 5 3ln 7. y ln cos3 y tan y 8. + y 3 9. y ln y ln sin ( ) 5. y ln( 3 + 3y) 0. y sin(ln( + )) MA4 KALKULUS I 3
B. Slsaikan intgral tak tntu brikut.. 4 d + ln 3 5. d 0. ( ln ) d 3 3. d 8. + 4. tan(ln ) d 6. 7. 9. 4 + d + + 5 6 + ( + 3) d ( ) sc d (cos ) sin ln d d.. 3. 3 d + d 3 3 ( 3 ) d MA4 KALKULUS I 4
C. Slsaikan intgral tntu brikut 4 ln 3 d 3. 6. d 0 4. ( + ) d 7. 3. 4. 5. ln 3 d ln 3 + 4 ln5 0 ( ) 3 4 d 8. 9. + 3 d 0 0 3 d 4 d d (ln ) MA4 KALKULUS I 5
D. Hitung limit brikut :. lim 5. ( ) ln lim +. 3. 4. ( sin ) 0 lim + lim cos 0 ( ) ln lim + 6. 7. 8. ( ) lim ln ( 3 5 ) lim + lim + + MA4 KALKULUS I 6
8.5 Fungsi Eksponn Umum Fungsi, a > 0 disbut ungsi ksponn umum Untuk a > 0 dan R, didinisikan Turunan dan intgral Jika u u(), maka Dari sini diprolh : : D D ( ) ( a ( a u ) ) D a D ( ( u ln a ln a ) ) u ln a ln a ln a a ln a. u' ln a a a a d a + C ln a u ln a u ' ln a MA4 KALKULUS I 7
Siat siat ungsi ksponn umum Untuk a > 0, b > 0,, y bilangan riil brlaku.. 3. 4. a a a ( ( y a y a a y + y y y a ) a ab ) a b 5. a b a b MA4 KALKULUS I 8
Contoh. Hitung turunan prtama dari + ( ) 3 + sin Jawab : + '( ).3 ln 3 +. sin ln. Hitung 4. d Jawab : Misal u du d d du 4. d u u du 4 4 4 + C ln 4 ln 4 + C MA4 KALKULUS I 9
Graik ungsi ksponn umum Diktahui a. ( ) a, a > 0 ( ) a, a > b. D (, ) '( ) a ln a a ln a < 0, 0 a ln a > 0, monoton naik jika a > monoton turun jika 0 < a < < a a < > c. ''( ) a (ln a) > 0 D ( ) a,0 < a < Graik slalu ckung katas d. (0) MA4 KALKULUS I 30
8.6 Fungsi Logaritma Umum Karna ungsi ksponn umum monoton murni maka ada Invrsnya. Invrs dari ungsi ksponn umum disbut ungsi Logaritma Umum a log ( logaritma dngan bilangan pokok a ), notasi, shingga brlaku : y a log y a Dari hubungan ini, didapat y ln a ln ln a y ln a y log ln a ln ln a Shingga D Jika uu(), maka a ln ( log ) D ( ) ln a D ln a a ln u ( log u) D ( ) ln a u u' ln a MA4 KALKULUS I 3
Contoh Tntukan turunan prtama dari 3. ( ) log( + ). Jawab :.. ( ) 4 ( ) ( ) log( log( + ) + ) ln( ln 3 3 + log( + ) ln( + 4 ln 4 ) ) '( ) + '( ) ln 4 ( ) ln 3 D( + + ) ( + ) ln 4 + ( ) ln 4 ( + )( ) MA4 KALKULUS I 3
Graik ungsi logaritma umum Graik ungsi logaritma umum diprolh dngan mncrminkan graik ungsi ksponn umum trhadap garis y Untuk a > Untuk 0 < a < ( ) a, a > ( ) a,0 < a < MA4 KALKULUS I 33
Soal Latihan A. Tntukan y' dari.. y 3 4 4 ( 9) y 0 log + 3. 3 log( y) + y B. Hitung.. 0 5 d d MA4 KALKULUS I 34
8.7 Fungsi Invrs Trigonomtri Fungsi trigonomtri adalah ungsi yang priodik shingga tidak satu-satu, jika darah asalnya dibatasi ungsi trigonomtri bisa dibuat mnjadi satusatu shingga mmpunyai invrs. a. Invrs ungsi sinus π Diktahui () sin, π π π Karna pada π π ()sin monoton murni maka invrsnya ada. Invrs dari ungsi sinus disbut arcus sinus, notasi arcsin(),atau sin ( ) Shingga brlaku y sin sin y MA4 KALKULUS I 35
Turunan Dari hubungan y sin sin y dan rumus turunan ungsi invrs diprolh y π π, dy d d / dy cos y, < sin y atau D (sin Jika uu() ) D (sin u) u' u Dari rumus turunan diprolh d sin + C MA4 KALKULUS I 36
b. Invrs ungsi cosinus Fungsi () cos,0 π monoton murni(slalu monoton turun), shingga mmpunyai invrs ( ) cos π Dinisi : Invrs ungsi cos disbut arcuscos, notasi arc cos atau cos ( ) Brlaku hubungan y cos cosy Turunan Dari y cos cosy,, 0 y π diprolh dy d d / dy sin y, < cos y MA4 KALKULUS I 37
atau D (cos Jika u u() ) D (cos u) u' u Dari rumus turunan diatas diprolh d sin + C Contoh D (sin ( )) D ( ) ( ) 4 D (cos (tan )) D (tan ) (tan ) sc tan MA4 KALKULUS I 38
Contoh Hitung Jawab : 4 d Gunakan rumus du sin ( u) + C u 4 Misal d d 4( ) 4 d ( ( ) u du d d du 4 d du sin u + C ( u sin ( ) + C MA4 KALKULUS I 39
c. Invrs ungsi tangn Fungsi () tan, π π Monoton murni (slalu naik) shingga mmpunyai invrs. π ()tan π Dinisi Invrs dari tan disbut ungsi arcus tan, notasi arc tan atau tan ( ) Brlaku hubungan Turunan Dari dy d y y tan tan d / dy sc y tan y tan y dan turunan ungsi invrs diprolh + π π, < y < tan y + MA4 KALKULUS I 40
atau D (tan ) + Jika uu() D (tan u) + u' u d tan + C + d. Invrs ungsi cotangn Fungsi () cot, 0 < < π slalu monoton turun(monoton murni) shingga mmpunyai invrs ()cot π Turunan dy d Dinisi Invrs dari ungsi cot disbut Arcus cot, notasi arc cot atau cot Brlaku hubungan d / dy y cot csc y + cot cot y y + MA4 KALKULUS I 4
atau Jika uu() Contoh D (cot ) + D (cot u) + u' u D (tan ( + ) D( ) D (cot (sin ) Contoh Hitung a. b. d 4 + d + + 4 + ( + ) d cot + C + + D(sin ) + (sin ) + + cos sin ( + ) MA4 KALKULUS I 4
Jawab a. 4 + d 4( + 4 d d 4 + ( ) ) u du d d du 4 + 4 + u d du tan u + C Gunakan rumus du tan ( u) + C + u tan ( ) + C MA4 KALKULUS I 43
b. d d 3 d ( + ) 3( + ) 3 d 3 ( + ) + 3 + + 4 ( + ) + Misal + u du d d 3du 3 3 Gunakan rumus du tan ( u) + C + u d 3 + + 4 3 + u 3 du tan u + 3 tan + + C 3 C MA4 KALKULUS I 44
. Invrs ungsi scan Dibrikan () sc '( π, 0 π, ) sc tan > 0,0 π, π () sc monoton murni Ada invrsnya Dinisi Invrs dari ungsi sc disbut arcus sc, notasi arc sc atau sc Shingga y sc scy MA4 KALKULUS I 45
Turunan Dari y sc scy sc ( ) cos cos y y cos ( ) Shingga ( ) D (sc ) D (cos ( ) Jika u u() D (sc u) u u' u d sc + c MA4 KALKULUS I 46
. Invrs ungsi coscan Dibrikan() csc π π, 0, ' π π ( ) csc cot < 0,, 0 () sc monoton murni Ada invrsnya Dinisi Invrs dari ungsi csc disbut arcus csc, notasi arc csc atau csc Shingga y csc cscy MA4 KALKULUS I 47
Turunan Dari y csc cscy csc ( ) sin sin y y sin ( ) Shingga ( ) D (csc ) D (sin ( ) Jika u u() D (sc u) u u' u d csc + c MA4 KALKULUS I 48
Contoh A. Hitung turunan prtama dari a. ( ) sc ( ) b. ( ) sc (tan ) Jawab a. '( ) ( ) D( ) 4 4 b. '( ) tan (tan ) D(tan ) tan sc tan MA4 KALKULUS I 49
B. Hitung 4 d Jawab Misal d d d 4 4( ) 4 u du d d du d du du u u 4 u u sc u + C sc + C MA4 KALKULUS I 50
Soal Latihan A. Tntukan turunan prtama ungsi brikut, sdrhanakan jika mungkin. y (sin ). y tan ( ) 3. y tan ln 4. ( t) sc t 5. y cot (3) 6. y tan ( + ) MA4 KALKULUS I 5
B. Hitung d 9 +6. 5.. 3. 4 d d 6 5 6. 7. + d 4 d d [4 + (ln ) ] 4. / 0 sin d MA4 KALKULUS I 5
MA4 KALKULUS I 53 8.8 Fungsi Hiprbolik Dinisi cosh ) ( + a. Fungsi kosinus hiprbolik : sinh ) ( b. Fungsi sinus hiprbolik : + cosh sinh tanh ) ( + sinh cosh coth ) ( h cosh sc ) ( c. Fungsi tangn hiprbolik : d. Fungsi cotangn hiprbolik :. Fungsi scan hiprbolik : h + sinh csc ) (. Fungsi coscan hiprbolik :
Prsamaan idntitas pada ungsi hiprbolik.. 4. cosh + sinh cosh sinh tanh sc h 3. cosh sinh 5. coth csc h Turunan D + (cosh ) D sinh sinh d cosh + C D + (sinh ) D cosh cosh d sinh + C MA4 KALKULUS I 54
sinh D (tanh ) D ( ) cosh sinh sc h cosh cosh cosh D (coth ) D cosh ( ) sinh sinh cosh sinh csc h sinh sinh D (sc h) D ( ) sc h tanh cosh cosh cosh D (csc h) D ( ) csc h coth sinh sinh (cosh sinh sinh ) MA4 KALKULUS I 55
MA4 KALKULUS I 56 Graik () cosh Diktahui R +, cosh ) ( (i) > > < < 0, 0 ) '( 0, 0 ) '( ) '( (ii) monoton naik pada > 0 monoton turun pada < 0 R > + 0, ) ''( (iii) Graik slalu ckung katas (iv) (0)
Graik () sinh Diktahui (i) ( ) sinh, R (ii) + '( ) > 0 slalu monoton naik (iii) ''( ) > < 0, 0, > 0 < 0 Graik ckung katas pada >0 ckung kbawah pada <0 (iv) (0) 0 MA4 KALKULUS I 57
Contoh Tntukan y ' dari. y tanh( +). Jawab. sinh + y 8 y ' sch ( + ) D( + ) sch ( + ). D ( sinh + y ) D(8) sinh + cosh + y y ' 0 sinh y' + y cosh MA4 KALKULUS I 58
Soal Latihan A. Tntukan turunan prtama dari. ( ) tanh 4. g( ) sinh 3. g( ) + cosh cosh 4. h ( t) coth + t 5. g ( t) ln(sinh t)) ( ) cosh 6. MA4 KALKULUS I 59
B. Hitung intgral brikut. Sinh ( + 4 ) d. sinh cosh d 3. tanh d 4. sc h + tanh d MA4 KALKULUS I 60