ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- Model Suu Bunga Mulnomal 4 S-5 Danang Teguh Qoyym *, Ded Rosad Jurusan Maemaa FMIA Unversas Gadah Mada *qoyym@ugm.ac.d Maalah n adalah merupaan pengembangan dar model suu bunga bnomal seper yang elah banya denal. Dengan menggunaan asums mulnomal dharapan model bnomal dapa dperluas menad model suu bunga mulnomal. Ja deahu suu bunga sampa saa n, maa suu bunga pada perode berunya aan mempunya + nla yang mungn. Sfa pah-ndependence aan membua benu mulnomal relaf lebh sederhana. Dengan sfa n a deahu searang wau e dan suu bunga meml + nla yang mungn pada perode berunya, maa pada wau e aan demuan hanya + nla yang mungn. Kaa unc: model suu bunga, mulnomal, erm srucure, conngen clam.. Laar Belaang enghungan harga pada produ-produ fnansal serng memaa asums suu bunga erenu. Unu mempermudah proses pemodelan selanunya dasumsan bahwa suu bunga eap pada besaran erenu. engasumsan suu bunga eap n serng menyebaban beberapa esalahan dalam penghungan, arena faanya suu bunga mengalam pergeraan. Sehngga dperluan suau model yang dapa mempreds pergeraan suu bunga yang aan daang. Model suu bunga wau dsre yang sudah banya dgunaan adalah Model BDT yang dperenalan oleh Blac, Derman, dan Toy pada ahun 99. Blac, d (99 mengasumsan bahwa suu bunga yang aan daang hanya mempunya dua emungnan pergeraan, yau na dan urun. Dengan menggunaan pendeaan dsrbus bnomal emudan dapa dsmulasan suau dagram pohon pergeraan suu bunga yang aan daang. Maalah n aan menga pengembangan model BDT dengan mengasumsan bahwa suu bunga yang aan daang aan bergera dengan + buah nla yang mungn. Flesblas nla suu bunga yang aan daang n dharapan dapa memperluas penggunaan model pada pemberan harga produ-produ fnancal yang 4 Dpresenasan pada Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa UNY 9. Sabu, 5 Desember 9. Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 666
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- lan. Sebaga conoh mplemenasnya, aan dlha mplemenas model unu menghung harga waar suau conngen clam suu bunga.. Model Mulnomal Dalam bagan n aan danalsa model mulnomal unu suu bunga sesaa. Deahu erdapa + nla suu bunga pada perode berunya a deahu nla suu bunga sesaa saa u,. Dberan beberapa asums sebaga beru:. Oblgas anpa upon dengan wau auh empo T,,..., m dperdagangan pada wau dsre,,..., n.. ada wau e- erdapa beberapa fungs dsono yang mungn, dnoasan T,,,,..., n,,,...,, T,,..., m. sebaga 3. Benu ranss dar fungs dsono denuan oleh fungs h menguur eaenuan dnamsas suu bunga sesaa dan dsampng u h ( T T, yang uga menguur devas dar fungs dsono dar fungs forward faor dsono. Dan aan dunuan model n mempunya: 4. ah-ndependence, bla dmula dar fungs dsono erenu pada, fungs dsono yang sama aan dperoleh anpa melha dmana poss sebelumnya dalam dagram pohon modelnya. 5. Memenuh asums no-arbrage. Dengan melha erm srucure pada wau e- dan referens harga oblgas anpa T, dengan menunuan poss pada wau e-, T anga upon erdsono, wau oblgas, fungs dsono pada wau e- dberan sebaga beru, ( T +,,, K,. ( T h T Teorema.5. (Abaffy a el, 5: Dberan pergeraan erm srucure pasar pada perode yang aan daang dapa dbedaan dalam (+ buah. Dengan menggunaan onsep no-arbrage, fungs perurbas dapa dplh yang memenuh persamaan beru, h ( T π, ( unu seap dan T dengan, π. (3 Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 667
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- Bu: Dambl dan dhlangan ndes. orofolo pada wau ersusun dar oblgas dengan wau auh empo T + dan buah oblgas dengan auh empo T + dengan bobo τ. Nla awal porofolo n adalah, V ( T + + τ ( T +. (4 Nla τ da deahu dan mash harus dcar. ada, dengan menggunaan persamaan (, nla porofolo dengan alernaf adalah, V ( T h ( T τ ( T h ( T,,...,. ( + + + (5 Nla porofolo n ndependen unu ap sae yang aan erad pada wau. Sehngga nla porofolo seper dberan dalam (5 aan onsan unu seap, dengan dberan nla searang pada. Dengan aa lan seap nla porofolo aan memberan nga mbal hasl bebas reso yang sama, dan hal n seharusnya sama dengan nla awal dar porofolo pada wau, V, sehngga, V V L V V. (6 Hasl n aan memberan ssem lnear dengan buah τ yang da deahu dar buah persamaan yang perama, ( + + τ ( + ( + + τ ( + T h T T h T T h T T h T, unu seap,, 3,...,. Berunya dnoasan suau dh (. dengan, Sehngga dperoleh, (. (. (. dh h h. (7 τ ( T + dh ( T ( T + dh ( T,,,...,. (8 Dberan, de ( A ( + L ( + T dh T T dh T ( + L ( + M O M T dh T T dh T Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 668
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- T + ( ( A ( T L de +. dh T dh T M O M dh T dh T L Solus unggal unu ssem persamaan lnear (8 ada a dan hanya a de (A. Ja dberan mars A adalah mars yang dperoleh dar mars A dengan mensubsusan ruas anan dar (8 e dalam olom e dar A, aan dperoleh, ( A ( T + ( T, + de ( A ( T + de τ,,,...,. (9 ersamaan erahr dar (6 dan dengan melha persamaan (4 maa dperoleh hubungan,. ( ( + + τ ( + ( + + τ ( + T T T h T T h T Subsus hasl (9 e dalam persamaan ( menghaslan, de ( A de ( A h ( T h ( T de ( A, de ( A de ( A h ( T + ( h ( T de ( A + +. ( Selanunya perhaan mars A. Kolom e mars n adalah (dh (T,..., dh (T. Dar persamaan (7 dan sfa deermnan maa dperoleh, dengan de dan, ( B ( A ( B ( C de de de, ( L dh T h T dh T L L M L dh T h T dh T de ( C L dh T h T dh T L L M L dh T h T dh T. Sehngga persamaan ( aan menad, Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 669
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- ( T h + + h ( T ( h ( T ( de ( B de ( C de ( A (3 + ( h ( T ( h ( T de ( B h ( T de ( C de ( A Dmana de(b dan de(c adalah mnor dar B dan C pada poss (,. (4 Selanunya persamaan (4 aan menad, + de ( A ( ( h ( T de ( C h ( T + + ( ( h ( T de ( B h ( T de ( A. (5 de A de B de C, unu,,...,. erlu dperhaan bahwa ( ( ( Ambl, + π de ( A ( h ( T de A de A dan, ( ( + h ( T de A de A,,,...,. (6 π Maa, π. Dengan menggunaan (5 dan (6 dperoleh, h ( T π. h. Langah selanunya adalah menyeld sfa pah ndependen dar fungs Dengan sfa pah-ndependen (aau reombnas pada dagram pohon deahu bahwa sae neror (sae d dalam dapa dperoleh dar lebh sau node, sedangan ouer (sae erluar aan hanya dperoleh dar sau node saa. Unu melha eadaan n msalan dnoasan +,,,,...,, dmana ndes d aas menunuan bahwa + dhung mula dar dan menggunaan h (. dan h (.. Conoh: Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 67
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- 46 Unu menghung + ( T dmula dar ( T + beru n, T T + h T +, ( + 4 + ( T + 4 4 4 + + 46 6 + + + T + h T +, Dengan, ( h, 4 4 + + Sehngga, ( T 4 6 ( + + ( + + ( h T h T h T 46 + 4 +. memerluan langah-langah Teorema.5. (Abaffy e al, 5: Model mulnomal aan pah ndependen a memenuh persamaan beru n, + h T + h T h T + h T h T + h T L, (7 + + + + + + + h + h + h + unu,..., -,,,...,, + m, dan m,,..., -. Bu: Dmula dar dan wau auh empo T + dengan fungs dsono (T+. Dapa dunuan bahwa dalam cabang reombnas perode berunya aan mengu dere arme + n, dmana n,,... sealan dengan wau +, +,.... Jad unu n > umlah rana dar persamaan yang memenuh asums pah dependence adalah, ( + n Dan umlah syara pada fungs h (yau umlah ruas anan dan ruas r dar (7 adalah. Rana persamaan harus memenuh, T + T L T,,...,,,...,, (8 + + + Dmana + m, m,,...,. Aan dperhaan salah sau persamaan dalam (8 dan dengan loga yang sama dapa dperluas berlau unu seap + m, m [, ]. Msalan dambl persamaan yang palng depan yau, m T T + + + + + + T + h + T + h + T T + h + T + h + T h h + + Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 67
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- h + + + h + h + T + h + T h + T + h + T. (9 Dengan menggunaan loga yang sama maa dperoleh persamaan (7. Aba: Unu seap wau auh empo T berlau persamaan beru, + h / T + h + T h + T,,...,, ( h T h T h T h T h T h T L ( + 3 + + + + + + Bu: Aan dbuan hasl unu. Dar persamaan (7 dambl hanya persamaan yang perama d awal, yau unu m dan, h + ( T + h + ( T h + ( T + h + ( T ( h h dan + + h h h T + h T h T + h T. (3 + + + + + + Dengan membag persamaan ( dengan persamaan (3 dan dsederhanaan maa dperoleh persamaan (. Analog yang sama berlau unu persamaan-persamaan dalam (7. Hasl (3 dperoleh dengan menggunaan persamaan yang lan unu m dan m yang sama. Dar ( dan ( dapa dperoleh, h ( h ( h (. (4 Dengan menggunaan persamaan (4 dua buah fungs dapa dplh secara bebas ea fungs yang lan elah dhung dengan menggunaan persamaan (4. Dengan menggunaan persamaan (4 de (A dapa dsaan dalam benu beru, h T h T L h T h T de ( A ( ( ( L h T h T h T h T h T h T O L h T h T h T h T h T h T. (5 Gambar.3 Ilusras dagram pohon unu dengan sfa pah-ndependence Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 67
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- 3. enenuan fungs h Unu memudahan penganalsaan, dalam subbab n dasumsan h da aan berubah aas wau, sehngga ndes dapa dhlangan. Menuru eorema-eorema pada subbab sebelumnya fungs h harus memenuh persamaan (7 dan (, dan dengan menggunaan persamaan (4 aan dcar solus persamaan-persamaan beru, h T + h T h h T + h T h, (6 π h ( T h ( T h ( T. (7 Ambl γ h (, δ h (, dan h ( T sehngga persamaan (6 menad, v T + v ( T h T, (8 v( T δ. (9 γ ersamaan (9 n adalah persamaan dferens order sau, yang meml solus umum, γ v ( T + v (. (3 δ Karena h ( h (, maa v(, dan persamaan (3 aan menad, γ v( T +. (3 δ Subus persamaan (3 e dalam persamaan (8 dperoleh, γ h ( T h ( T δ. (3 Subsus hasl (3 e dalam (7 dperoleh, T + T + ( T γ T π, (33 h T h T δ h ( T ( T γ π (34 δ ( T γ π h ( T (35 δ Dengan mengambl T pada (35 dperoleh, ( γ π δ h (36 Karena deahu bahwa h ( δ maa syara beru harus erpenuh, Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 673
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- Dar persamaan (4 dan (3 deahu, ( γ π. (37 δ δ ( T T γ. h T h ( T h ( T h (38 h δ Unu oblgas sau perode (T harga oblgas pada wau n dan sae adalah, ( + γ γ γ ( ( δ ( ( δ L ( ( δ γ γ L n h n h h h n n h h h δ dmana menuru sfa pah ndependence, + + + - n. Hal n menghaslan, ( n n + γ n h ( n δ. (4 Teorema.6. (Abaffy e al, 5: Dberan q >,,,...,, adalah probablas unu mencapa pah. robablas unu mencapa node n pada wau...t dberan sebaga, n! n X X q q q Kq {, K, } Dengan { X X }! K! δ (39, (4,, K adalah probablas bersama dmana dambl langah perama sampa langah e dengan,, >,,...,, (4 Dan umlahan dalam (4 dapa dhung unu semua pah dalam node ersebu dan dengan selsh. Selanunya pada prcng oblgas anpa upon denal syara cuup dan perlu unu erpenuh local expecaon hypohess (LEH. rnsp LEH mengaaan bahwa epeas holdng perod reurn pada semua oblgas anpa upon yang mungn aan sama, dmana holdng perod adalah nerval perode erpende selanunya (dalam hal n sau perode. Jad ea LEH da erad dapa dharapan epeas obgas dengan anga wau yang lebh lama aan memberan epeas reurn yang lebh besar, dan dapa dbua suau T-perode wau premum, τ(t, yau epeas holdng perod reurn dar oblgas perode T dbandng dengan reurn oblgas sau perode. Hal n berar bahwa harus dlha selsh anara epeas reurn dar oblgas perode (T+ dengan sau perode dan rae of reun sau perode. ada model yang elah donsrusan d aas espeas rae of reurn dar oblgas perode (T+ dbag sau perode adalah, ( T + q h ( T, (43 ( T + Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 674
ROSIDING ISBN: 978-979-6353-3- Dengan q, q adalah probablas aan menempa pah dan fungs h memenuh persyaraan dalam ( dan (3. Rae of reurn sau perode dberan sebaga /(, sehngga T-perod erm premum τ(t adalah, τ ( T q h ( T (, (44 dengan q, π, h π. Dar pengeran n dan dengan melha hasl dar subbab.5 maa dapa dlha bahwa LEH aan erpenuh a dan hanya a q π unu,...,. 6. enuup Dengan melha model suu bunga wau dsre asums mulnomal n dharapan dapa dgunaan unu valuas berbaga macam produ fnansal yang berhubungan sengan suu bunga aau hasl nvesas ergarans (guaraned rae. Sehngga analsa dan penelan lebh lanu yang aan melha perlau model ea dmplemenasan pada valuas produ fnansal yang lan. Benu n uga mash relaf sederhana sehngga mash dperluan penelan-penelan lanuan yang aan melha benu mulnomal yang lebh umum. Dafar usaa Abaffy, J, e al, 5, Exenson of he Ho and Lee Ineres-rae Model o The Mulnomal Case, European Journal of Operaonal Research 63 (5, 54-69. Bueow, Jr., GW, e.al,. Term-Srucure Models Usng Bnomal Trees, The Research Foundaon of AIMR. Blac, Fscher, Derman, Emanuel, Toy, Wllam, 99. A One-Facor Model of Ineres Rae and Is Applcaon o Treasury Bond Opons. Fnancal Analys Journal 46 (January-February, 33-39. Fabozz, Fran, e.al,. Ineres Rae, Term-Srucure, and Valuaon Modellng, Jogn Wlley & Sons, Inc Jay, Burhon D, d,. Far Valuaon of Insurance Lables: rncples and Mehods. Amercan Academy of Acuares. Ln, X. Sheldon, 6. Inroducory Sochasc Analyss for Fnance and Insurance. Hoboen, New Jersey : Wlley & Sons, Inc. aner, Harry H., d, 998. Fnancal Economcs wh Applcaons o Invesmen, Insurance and ensons. The Acuaral Foundaon, Schaumburg, IL. Wuhrch, Maro Valenn, Buhlmann, Hans, Furrer, Hansorg, 8. Mare-Conssen Acuaral Valuaon. Berln Hedelberg, New Yor: Sprnger-Verlag. Semnar Nasonal Maemaa dan enddan Maemaa Jurusan enddan Maemaa FMIA UNY, 5 Desember 9 675