METODE BEDA HINGGA UNTUK SOLUSI NUMERIK DARI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES HARGA OPSI PUT AMERIKA SURITNO

Transkripsi

1 MEODE BEDA HINGGA UNUK OLUI NUMERIK DARI PERAMAAN BLACK-CHOLE HARGA OPI PU AMERIKA URINO EKOLAH PACAARJANA INIU PERANIAN BOGOR BOGOR 8

2 PERNYAAAN MENGENAI EI DAN UMBER INFORMAI Dengan n saya menyaaan baha ess Meode Beda Hngga unu olus Numer dar Persamaan Blac-choles Harga Ops Pu Amera adalah arya saya dengan arahan dar oms pembmbng dan belum dauan dalam benu apa pun epada perguruan ngg mana pun. umber nformas yang berasal aau dup dar arya yang derban dar penuls lan elah dsebuan dalam es dan dcanuman dalam Dafar Pusaa d bagan ahr ess n. Bogor, Jun 8 urno NIM 68

3 ABRAC URINO. Fne Dfference Mehod for he Numercal oluon of he Blac- choles Equaon for he Prce of Amercan Pu Opon. Under superson of ENDAR H. NUGRAHANI and DONNY CIRA LEMANA For he ealuaon of Amercan opons, a general closed-form analycal soluon does no exs ye. he basc reason s ha he correspondng paral dfferenal equaon, non as Blac-choles equaon, needs o be soled h a free boundary alue. A common ay o deal h hs problem s o apply numercal mehods. he obeces of hs paper are: o explore he deermnaon of Amercan pu opon prce hrough analycal approxmaon and o compare he mehods of deermnng Amercan pu opon prce h explc, mplc and Cran-Ncholson fne dfference mehods. he resuls sho ha analycal approxmaon of Amercan pu opon prce can be formulaed. Compared o oher mehods, he explc fne dfference mehod by ransformaon of arable s he bes mehod accordng o s compung me. Keyords: Blac-choles, Amercan pu opon, analycal approxmaon, fne dfference mehod

4 RINGKAAN URINO. Meode Beda Hngga unu olus Numer dar Persamaan Blac-choles Harga Ops Pu Amera. Dbmbng oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan DONNY CIRA LEMANA. Konra ops (selanunya dsebu ops) adalah suau ens onra anara dua pha, sau pha member ha epada pha lan unu menual aau membel ase erenu pada harga dan perode au erenu. Ase erenu dalam penelan n adalah saham. erdapa dua ens onra ops yang palng mendasar, yau ops call dan ops pu. uau ops call memberan ha epada pembel unu membel suau ase erenu dengan umlah erenu pada harga yang elah denuan selama perode au erenu pula. edangan ops pu memberan ha epada pembel unu menual suau ase erenu dengan umlah erenu pada harga yang elah denuan selama perode au erenu pula. Penggunaan ha unu menual aau membel ase dalam onra ops daaan sebaga ndaan eseus. Berdasaran au eseus erdapa dua pe ops, yau ops Eropa dan ops Amera. Ops Eropa hanya dapa deseus pada au auh empo, sedangan ops Amera dapa deseus pada sebarang au sampa dengan auh empo. Harga ops Eropa dapa denuan dengan menggunaan formula Blac-choles yang merupaan solus anal dar persamaan Blac-choles, namun unu ops Amera belum erdapa solus anal, sehngga penelan-penelan yang selama n dlauan unu menenuan harga ops Amera adalah menggunaan pendeaan anal, soas dan numer. Pendeaan numer yang serng dlauan unu menenuan nla suau ops adalah dengan menggunaan meode beda hngga dan meode lace (bnomal dan rnomal). Berdasaran hal ersebu, maa penelan n beruuan mengesploras penenuan harga ops pu Amera dengan pendeaan anal dan membandngan meode penenuan harga ops pu Amera secara numer dengan meode beda hngga espls, mpls dan Cran-Ncholson. Meode penelan yang dgunaan adalah sud pusaa, dengan langah perama menurunan persamaan Blac-choles. elanunya dengan persamaan er-sebu dcar formula unu harga ops pu Amera dengan menggunaan pendeaan anal. Langah berunya menenuan solus numer persamaan Blac-choles yang merupaan harga ops pu Amera dengan menggunaan meode beda hngga. Meode beda hngga yang dgunaan unu menenuan harga ops pu Amera adalah meode mpls, Cran-Ncholson dan espls sera mpls dengan ransformas peubah. Unu memperoleh oupu berupa harga ops pu Amera, meode beda hngga ersebu dmplemenasan pada sofare Malab. Unu mengmplemenasan pada Malab erlebh dahulu dsusun ode programnya dengan menggunaan parameer-parameer npu, yau: (harga saham aal), K (harga eseus), r (suu bunga), (olalas), (au auh empo), M (banyanya pars unu harga saham) dan N (banyanya pars unu au). Dar hasl smulas pada ompuer dapa dlha perbandngan harga ops pu Amera dan au ompuas yang dgunaan sera hubungan anara harga ops pu Amera dengan parameer-parameer, r dan. Dar hasl penelan n dapa dsmpulan baha: ) harga ops pu Amera dengan pendeaan anal dapa dnyaaan dalam suau formula yang memua

5 parameer yang menyaaan harga rs saham, ) penenuan harga ops pu Amera dengan menggunaan meode beda hngga, menunuan baha meode beda hngga espls dengan ransformas peubah merupaan meode yang lebh ba dbandngan dengan ega meode lannya berdasaran au ompuasnya, dan 3) berdasaran hasl smulas dperoleh nformas: seman ngg harga saham pada saa onra ops dbua maa harga ops seman rendah, seman ngg suu bunga pada saa onra ops dbua maa harga ops seman rendah dan seman lama au auh empo maa harga ops seman ngg. Kaa unc: persamaan Blac-coles, ops pu Amera, pendeaan anal, meode beda hngga

6 Ha cpa ml Insu Peranan Bogor, ahun 8 Ha cpa dlndung Undang-undang. Dlarang mengup sebagan aau seluruh arya uls n anpa mencanuman aau menyebuan sumber a. Pengupan hanya unu epenngan penddan, penelan, penulsan arya lmah, penyusunan laporan, penulsan r aau nauan suau masalah. b. Pengupan da merugan epenngan yang aar Insu Peranan Bogor.. Dlarang mengumuman dan memperbanya sebagan aau seluruh arya uls dalam benu apapun anpa zn Insu Peranan Bogor.

7 MEODE BEDA HINGGA UNUK OLUI NUMERIK DARI PERAMAAN BLACK-CHOLE HARGA OPI PU AMERIKA URINO ess sebaga salah sau syara unu memperoleh gelar Magser ans pada Deparemen Maemaa EKOLAH PACAARJANA INIU PERANIAN BOGOR BOGOR 8

8 Pengu Luar Koms pada Uan ess: Drs. Effend yahrl, Grad. Dpl.

9 Judul ess Nama NRP : Meode Beda Hngga unu olus Numer dar Persamaan Blac-choles Harga Ops Pu Amera : urno : G5568 Dseuu Koms Pembmbng Dr. Ir. Endar H. Nugrahan, M Donny Cra Lesmana, M.Fn.Mah Keua Anggoa Deahu Keua Program ud Maemaa erapan Dean eolah Pascasarana Dr. Ir. Endar H. Nugrahan, M Prof. Dr. Ir. Kharl A. Noodpuro, M anggal Uan: 3 Jul 8 anggal Lulus:

10 PRAKAA Pu dan syuur penuls panaan epada Allah W aas segala aruna-nya sehngga arya lmah n berhasl dselesaan. ema yang dplh dalam penelan yang dlasanaan sea bulan Nopember 7 n alah masalah ops Amera, dengan udul Meode Beda Hngga unu olus Numer dar Persamaan Blac-choles Harga Ops Pu Amera. erma ash penuls ucapan epada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahan, M dan Bapa Donny Cra Lesmana, M.Fn.Mah selau pembmbng, sera epada Bapa Drs. Effend yahrl, Grad. Dpl. selau pengu luar oms. a lupa ucapan erma ash penuls sampaan epada Deparemen Agama Republ Indonesa yang elah memberan beassa. Ungapan erma ash uga dsampaan epada sr dan ana sera seluruh eluarga, aas segala doa dan ash sayangnya. emoga arya lmah n bermanfaa Bogor, Jul 8 urno

11 RIWAYA HIDUP Penuls dlahran d leman pada anggal 4 Oober 967 dar ayah Paroryo dan bu Wagrah. Penuls merupaan pura euuh dar uuh bersaudara. ahun 986 penuls lulus dar MAN Yogyaara II urusan IPA. Pada ahun 987 melanuan penddan d IKIP PGRI Yogyaara. Penuls memlh Jurusan Penddan Maemaa pada Faulas Penddan Maemaa dan Ilmu Pengeahuan Alam dan selesa pada ahun 99. ahun 99 sampa dengan ahun 995 penuls beera d IKIP PGRI Yogyaara. Pada ahun 995 masu PN dan mengaar d Ms Neger empel leman. Pada ahun pndah ugas mengaar d Ms Neger Godean leman. Pada ahun 6 penuls lulus seles masu Program Magser Program ud Maemaa erapan d Insu Peranan Bogor lea alur Beassa Uusan Daerah Deparemen Agama Republ Indonesa.

12 DAFAR II Halaman DAFAR ABEL DAFAR GAMBAR. DAFAR LAMPIRAN. I PENDAHULUAN... Laar Belaang... uuan Penelan x x x 3 II III I I LANDAAN EORI... Ase yang Mendasar Ops.. Nla Ops.3 pe Ops..4 Keunungan Ops..5 Faor-faor yang Mempengaruh Harga Ops...6 Persamaan Blac-choles.7 Formulas Harga Blac-choles...8 olus Persamaan Blac-choles..9 Keasamaan Blac-choles unu Ops Amera.. Masalah Nla Baas Ops Pu Amera.. PENDEKAAN ANALIIK UNUK HARGA OPI AMERIKA.. 3. Penenuan Harga Ops Call Amera 3. Penenuan Harga Ops Pu Amera. MEODE BEDA HINGGA. 4. Dsresas dar suau Persamaan.. 4. Aprosmas urunan Parsal 4.3 yara Baas dan yara Ahr ransformas Peubah. 4.5 Meode Beda Hngga Espls. 4.6 Meode Beda Hngga Impls Meode Beda Hngga Cran-Ncholson Meode Beda Hngga Espls dengan ransformas Peubah. 4.9 Meode Beda Hngga Impls dengan ransformas Peubah 4. Analss Kesablan. HAIL IMULAI.. 5. Implemenas pada Malab. 5. Hasl mulas dengan Malab.. IMPULAN x

13 DAFAR PUAKA LAMPIRAN x

14 DAFAR ABEL 3 4 Halaman Perbandngan harga ops dan au ompuas 47 Harga ops pu Amera dengan harga saham aal yang beraras 49 Harga ops pu Amera dengan suu bunga beraras.. 5 Harga ops pu Amera dengan au auh empo yang beraras 5 x

15 DAFAR GAMBAR Halaman Grd unu aprosmas beda hngga. 9 ema beda hngga espls.. 33 ema beda hngga mpls 34 Perbandngan harga ops.. 48 Perbandngan au ompuas.. 48 Wau ompuas meode Cran-Ncholson. 48 Hubungan harga ops degan harga saham aal.. 49 Hubungan harga ops dengan suu bunga.. 5 Hubungan harga ops degan au auh empo. 5 x

16 DAFAR LAMPIRAN Halaman Penurunan Persamaan (.8). 55 Penenuan raaan dan sandar deas peubah Q.. 55 Penurunan Persamaan (.5).. 56 Penurunan Persamaan (4.6).. 57 Penurunan Persamaan (4.).. 58 Penyederhanaan (4.4).. 59 Program meode beda hngga mpls.. 59 Program meode beda hngga Cran-Ncholson.. 6 Program meode beda hngga espls dengan ransformas peubah.. 63 Program meode beda hngga mpls dengan ransformas peubah 65 x

17 BAB I PENDAHULUAN. Laar Belaang Dalam duna euangan, denal adanya pasar euangan (fnancal mare) yang erdr aas pasar uang (money mare) dan pasar modal (capal mare). Pada pasar uang erad ual bel ase euangan dalam anga pende, sedangan unu pasar modal erad ual bel ase euangan unu anga panang. Pasar modal erdr aas pasar oblgas, pasar saham dan pasar unu deraf (Bode e al. 6). Hull (3) menyaaan baha deraf adalah nsrumen euangan yang nlanya ddasaran aau durunan dar ase yang mendasarnya. Beberapa produ deraf anara lan: onra beranga (fuure conrac), onra forard dan onra ops. Konra beranga merupaan suau eaban unu membel aau menual suau ase pada harga yang elah denuan pada saa auh empo. Konra forard merupaan peranan unu melauan penyerahan ase d masa mendaang pada harga yang dsepaa. Konra ops (selanunya dsebu ops) adalah suau ens onra anara dua pha, sau pha member ha epada pha lan unu menual aau membel ase erenu pada harga dan perode au erenu (Nga 5). erdapa dua ens onra ops yang palng mendasar, yau ops call dan ops pu. uau ops call memberan ha epada pembel unu membel suau ase erenu dengan umlah erenu pada harga yang elah denuan selama perode au erenu pula. edangan ops pu memberan ha epada pembel unu menual suau ase erenu dengan umlah erenu pada harga yang elah denuan selama perode au erenu pula. Penggunaan ha unu menual aau membel ase dalam onra ops daaan sebaga ndaan eseus. Berdasaran au eseus erdapa dua pe ops, yau ops Eropa dan ops Amera. Ops Eropa hanya dapa deseus pada au auh empo, sedangan ops Amera dapa deseus pada sebarang au sampa dengan au auh empo (Hull 3). Pada ahun 973, Fsher Blac, Myron choles (Hull 3) berhasl menenuan solus anal dar suau persamaan Blac-choles-Meron. olus anal ersebu denal sebaga formula Blac-choles. Formula Blac-choles

18 u menyaaan harga dar ops call Eropa. Harga ops pu Eropa dapa denuan melalu esearaan anara pu dan call. Pada ops Amera erdapa ebebasan au eseus, maa hngga saa n belum erdapa solus anal. Penelan-penelan yang selama n dlauan unu menenuan harga ops Amera adalah menggunaan pendeaan anal, soas dan numer (Pauly 4). Penelan penenuan harga ops Amera dengan pendeaan anal elah dlauan oleh MacMllan, emudan dembangan oleh Barone-Ades dan Whaley (Hull 3). Esploras penenuan harga ops Amera dengan pendeaan anal hngga saa n mash erus dembangan. Hull dan Whe (99) menyaaan baha dua pendeaan numer yang serng dlauan unu menenuan nla suau deraf adalah dengan menggunaan meode beda hngga dan meode lace (bnomal dan rnomal). Beberapa penelan yang menggunaan pendeaan numer unu menenuan harga ops Amera anara lan dlauan oleh Kerman () dengan menggunaan meode beda hngga dengan cara mengubah Persamaan Blac-choles menad persamaan dfus. Nga (5) uga menggunaan meode numer, yau dengan cara menerapan meode beda hngga pada Persamaan Blac-scholes-Meron, yang hasl smulasnya memperlhaan perbandngan anara harga ops pu Amera menggunaan meode beda hngga mpls dan Cran-Ncholson. Brenan dan charz, Ges dan hasr dalam Hull dan Whe (99) menyaaan baha aan lebh efsen menggunaan ransformas logarma erhadap harga saham ea menggunaan meode beda hngga, sehngga dalam penelan n uga aan dgunaan ransformas logarma unu harga saham. Berdasaran uraan d aas, harga ops Eropa dapa denuan dengan menggunaan formula Blac-choles yang merupaan solus anal dar persamaan Blac-choles-Meron, namun unu ops Amera belum erdapa solus anal, sehngga dalam penelan n aan deploras penenuan harga ops Amera dengan pendeaan anal, sera penggunaan pendeaan numer beda hngga unu menenuan harga ops Amera.

19 3. uuan Penelan uuan penelan n adalah: mengesploras penenuan harga ops pu Amera dengan pendeaan anal, membandngan meode penenuan harga ops pu Amera secara numer dengan meode beda hngga espls, mpls dan Cran-Ncholson.

20 4 BAB II LANDAAN EORI alah sau nsrumen deraf yang mempunya poens unu dembangan adalah ops. Ops adalah suau onra anara dua pha, salah sau pha (sebaga pembel) mempunya ha unu membel aau menual suau ase erenu dengan harga yang elah denuan pula, pada aau sebelum au yang denuan. Pemegang ops da daban unu menggunaan hanya aau aan menggunaan hanya a perubahan dar harga ase yang mendasarnya aan menghaslan eunungan ba dengan menual aau membel ase yang mendasar ersebu.. Ase yang Mendasar Ops Dalam perdagangan ops erdapa beberapa ase yang mendasar, anara lan ops ndes (ndex opon), ops alua asng (foregn currency opon) ops beranga (fuure opon) dan ops saham (soc opon). Ops ndes adalah suau ops dengan ase yang mendasarnya adalah ndes pasar saham. Ops alua asng adalah suau ops dengan ase yang mendasarnya adalah maa uang asng dengan urs erenu, sedangan ops beranga adalah suau ops dengan ase yang mendasarnya adalah onra beranga. Ops saham adalah suau ops dengan ase yang mendasarnya adalah saham. Bursa Amera yang memperdagangan ops saham anara lan he Chcago Board Opon Exchange (CBOE), he Phladepha oc Exchange (PHLX), he Amercan oc Exchange (AMEX), he Pacfc oc Exchange (PE), dan Ne Yor oc Exchange (NYE). Bursa Indonesa yang memperdagangan ops saham adalah Bursa Efe Jaara (BEJ). Dalam penelan n yang dgunaan adalah ops saham.. Nla Ops.. Nla nrns Nla nrns ops adalah nla eonoms, menggambaran eunungan nesor a ops deseus dengan segera. Ja nla eonoms dar eseus ops dengan segera da posf, maa nla nrns adalah nol. Unu ops call, nla

21 5 nrns aan posf a harga saham yang erad lebh besar dar pada harga eseus (harga yang deapan pada saa auh empo). edangan unu ops pu nla nrns aan posf a harga saham berlau harga eseus K. urang dar.. Nla au Nla au adalah selsh anara nla nrns dengan harga ops. Harga aau prem suau ops adalah nla yang aar dar suau ops yang denuan oleh pasar ompef yang dbayaran oleh pembel ops pada saa onra dbua..3 pe Ops erdapa dua pe onra ops yang palng mendasar, yau ops call dan ops pu. uau ops call memberan ha epada pembel unu membel suau ase erenu dengan umlah erenu pada harga eseus (sre prce, exercse prce) sampa au auh empo. edangan ops pu memberan ha epada pembel unu menual suau ase erenu dengan umlah erenu pada harga eseus sampa au auh empo. Dalam onra ops call ersebu ada empa hal uama, yau:? harga ase yang mendasar yang aan dbel? umlah ase yang mendasar yang dapa dbel? harga eseus ase yang mendasar? anggal berahrnya ha membel, aau dsebu dengan expraon dae. Pada onra ops pu empa hal ersebu den dengan yang eruang dalam ops call. ransas ops aan era dengan pelasanaan ha. Berdasaran au pelasanaannya ops dbag menad dua, yau ops Eropa dan ops Amera. Msalan harga saham aal (pada saa dseuu onra) adalah, au auh empo dan harga eseus adalah K, sera c c, menyaaan harga ops call Eropa pada saa, dan p p, menyaaan harga ops pu Eropa pada saa. Nla nrns dar ops call Eropa pada saa auh empo dapa dulsan sebaga suau payoff aau penermaan bag pemegang onra ops yau

22 6 c max K,. Ja K, ops daaan dalam eadaan n he money. Pemegang ops aan mengeseus ops call, yau dengan menual saham dengan harga yang lebh besar dar K, dan aan mendapaan hasl seumlah K. Ja ops call daaan dalam eadaan a he money. edangan apabla K K ops call daaan dalam eadaan ou of he money. Konds payoff dar ops pu Eropa adalah Ja p max K,. K, ops da bernla sehngga pemegang ops da menggunaan hanya. Hubungan anara harga ops call Eropa dengan pu Eropa yang denal dengan pu-call-pary, dapa dnyaaan sebaga beru: r c Ke p, dengan r menyaaan suu bunga bebas rso. Apabla C C, menyaaan harga ops call Amera dan P P, menyaaan harga ops pu Amera, maa payoff pada au maury unu call adalah: edangan unu ops pu C max K,. P max K,..4 Keunungan Ops Dengan melasanaan perdagangan ops, aan dapa dperoleh beberapa manfaa seper beru n.? Manaemen rso: penerb ops pu aas suau ase yang mendasar dapa melauan hedgng, yau bernesas pada suau ase unu mengurang rso porofolo eseluruhan. Hal n dlauan bla harga ase yang mendasarnya urun dras secara ba-ba, sehngga dapa menghndar rso erugan.

23 7? Memberan au yang flesbel: unu ops pe Amera, maa pemegang ops call maupun ops pu dapa menenuan apaah aan melasanaan hanya aau da hngga masa auh empo berahr.? Menyedaan sarana speulas: para nesor dapa memperoleh eunungan a dapa menenuan dengan epa apan membel ops pu aau call. Apabla dperraan harga na maa aan membel ops call, dan sebalnya bla harga cenderung urun maa aan membel ops pu.? Penambahan pendapaan: perusahaan yang menerban saham aan memperoleh ambahan pemasuan apabla menerban ops arran, yau berupa prem dar ops ersebu..5 Faor-Faor yang Mempengaruh Harga Ops.5. Harga ase yang mendasar dan harga eseus Ja suau ops call deseus pada suau au d masa yang aan daang, pembayarannya sebesar selsh anara harga ase yang mendasar dan harga eseus. uau ops call aan menad lebh bernla a harga ase yang mendasar mennga dan urang bernla a harga eseus mennga. emenara pada ops pu, pembayaran aas eseus ha adalah sebesar selsh anara harga eseus dan harga ase yang mendasarnya..5. anggal auh empo Unu pe Amera, dar edua macam ops ba ops call maupun ops pu menad lebh berharga a au auh emponya seman mennga. emenara unu pe Eropa nla erhadap ops ba call mupun pu da erpengaruh dengan auh empo, hal n berenaan dengan au eseus ha..5.3 olalas olalas aas ase yang mendasar adalah sebuah uuran nga edapasan mengena pergeraan ase yang mendasar ersebu d masa daang. Ja olalas seman mennga maa aan seman mennga pula peluang ase yang mendasar unu mengalam penngaan aau penurunan erhadap suau ops.

24 8.5.4 uu Bunga Bebas Rso (Rs free neres rae) uu bunga bebas rso mempengaruh harga suau ops. Ja nga suu bunga dalam pereonoman mengalam enaan aan mempengaruh harapan enaan harga ase yang mendasar (dalam hal n saham). Dengan mengasumsan baha semua peubah eap, maa harga ops pu aan menurun a suu bunga bebas rso mengalam penngaan. Begu pula sebalnya, harga ops call aan selalu mennga serng dengan penngaan suu bunga bebas rso..6 Persamaan Blac-choles Fscher Blac dan Myron choles pada ahun 973 dalam merumusan nla ops call Eropa mendasaran pada beberapa asums beru n: Harga dar ase yang mendasar mengu proses Wener dengan dan onsan. da ada baya ransas dan paa. da ada pembayaran dden pada ops. da erdapa peluang arbrase, yau suau peluang unu memperoleh eunungan anpa rso. hor sellng dnan. uu bunga bebas rso r adalah onsan dan sama unu semua au auh empo. Unu memodelan Persamaan Blac-choles ddefnsan aau denuan beberapa slah beru: Defns (Proses oas) Proses soas X X, H adalah suau oles (hmpunan) dar peubah aca. Unu seap pada hmpunan ndes H, X adalah suau peubah aca dan serng dnerpreasan sebaga au (Ross 996). Defns (Gera Bron) Proses soas X X, H dsebu proses gera Bron a (Ross 996): X.

25 9 Unu n peubah aca X X,,, 3,, n salng bebas. 3 Unu seap, X berdsrbus normal dengan raaan dan aran. Defns 3 (Gera Bron Geomers) Ja X, adalah gera Bron, maa proses soas Z, yang ddefnsan X Z e dsebu gera Bron geomers (Ross 996). Defns 4 (Proses Wener ) Proses Wener adalah Gera Bron dengan raaan dan arans (Nga 5). Defns 5 (Proses Wener Umum) Proses Wener Umum unu suau peubah aca X dapa dnyaaan sebaga beru (Hull 3): dx ad bdw ( ) (.) ad dsebu sebag omponen deermns dan bdw ( ) menyaaan omponen soas, sera W ( ) adalah proses Wener, sedangan a dan b masng-masng menyaaan raaan dan sandar deas dar X. Defns 6 (Proses Io ) Proses Io adalah proses Wener umum dengan a dan b menyaaan suau fungs dar peubah aca X dan au. ecara alabar proses Io dapa dnyaaan sebaga beru (Hull,3): dx a X, d b X, dw (.) Defns 7 (Lemma Io ) Msalan proses X memenuh (.) dan fungs Y f X, adalah onnu sera urunan-urunan f X,, f X X,, f XX X, onnu, maa Y f X, memenuh persamaan beru (Ghman 97):

26 dy f X, d f X X, dx f XX X, dx, (.3) dengan dan f, f X, f XX f f f X X d dw d ddw, dw d. Defns 8 (Model Harga aham) Ja harga saham pada au, µ adalah parameer onsan yang menyaaan nga raa-raa perumbuhan harga saham dan saham, maa model dar perubahan harga saham, yau (Hull 3): olalas harga d d dw. (.4) Berdasaran eenuan-eenuan d aas aan durunan persamaan Blac-choles. Msalan X() mengu proses Wener umum, yau persamaan (.). Persamaan n dapa dembangan menad (.). elanunya aan denuan model dar proses harga saham. Dasumsan baha da erad pembayaran dden pada saham. Msalan () adalah harga saham pada au. Mengnga proses Io, perubahan () aan meml nla harapan drf rae. Parameer menyaaan nga raa-raa perumbuhan harga saham dan d dsebu omponen deermns. Karena harga saham uga dpengaruh oleh faor edapasan maa omponen soasnya adalah dw, dengan menyaaan olalas harga saham. olalas harga saham mengndasan nga rso dar harga saham. Dengan deman model dar harga saham adalah berbenu (.4), yau: d d dw. Dengan (.4) n, dapa derapan lemma Io unu suau fungs (,), yau nla ops dengan harga saham pada au, sehngga dperoleh: d d dw. (.5)

27 Unu menghlangan proses Wener dplh sebuah porofolo yang dnesasan pada saham dan deraf. raeg yang dplh adalah membel sau ops dan menual maa saham. Msalan adalah nla porofolo yang dmasud,. (.6) Perubahan porofolo pada selang au d ddefnsan sebaga d d d. Dengan menyubsusan (.3) dan (.5) e dalam (.7) dperoleh (.7) d d. (.8) (Bu dapa dlha pada lampran ) Reurn dar nesas sebesar perumbuhan sebesar r d dalam selang au d, pada saham aberso aan meml dengan r adalah suu bungan bebas reso. Agar da erdapa peluang arbrase, nla perumbuhan n harus sama dengan ruas anan dar (.8), yau: r d d. (.9) ubsus (.6) e dalam (.9), menghaslan r r d d r r. (.) Persamaan (.) n denal sebaga persamaan Blac-choles..7 Formulas Harga Blac-choles Hull (3) menunuan baha salah sau cara unu menenuan solus anal persamaan Blac-choles, yang merupaan harga ops dan dsebu formula Blac-scholes, adalah dengan menggunaan pendeaan penlaan rso

28 neral. Unu sebuah ops call Eropa, nla harapan payoff dar ops call pada saa auh empo adalah Msalan Eˆ max K,. (.) Ddefnsan g( ) adalah fungs epeaan peluang dar, maa Io dperoleh E ˆ max K, K g d. (.) K G G G G ln, maa, dan. Berdasaran lemma dg d dw d dw. Karena dan onsan maa G ln mengu gera Bron dengan raaan dan arans. Berdasaran (.3), d merupaan nga pengembalan dar harga saham. Benu pengembalan dar harga saham yang dapa dpreds dan bersfa deermns adalah d. ebaga conoh dar pengembalan yang bersfa deermns adalah pengembalan dar seumlah dana yang dnesasan d ban yang bersfa bebas rso. Karena bersfa bebas rso maa espeas dar harga saham dapa daaan sebaga nga suu bunga r, sehngga onsana dapa dgan dengan r. Karena G ln berubah dar sampa dengan dan G ln mengu gera Bron, maa ln berdsrbus normal dengan raaan r dan arans. Msalan pada au = nla G ln dan pada au nla G ln, maa pada selang au sampa dengan, ln ln adalah berdsrbus normal dengan raaan dan arans seper d aas, sehngga dperoleh:

29 3 \ ln ln ~ N r, aau dapa dulsan ln berdsrbus normal dengan ln ~ N ln r,. Dengan deman ln berdsrbus normal dengan raaan m ln r dan sandar deas s. (.3) elanunya ddefnsan pula sebuah peubah Q dengan ln Q = m. (.4) ubsus m dar (.3) e dalam (.4) dperoleh Q ln ln r, maa peubah Q uga berdsrbus normal dengan raaan dan sandar deas, dan fungs epeaan peluang dar Q dnyaaan dengan h(q), yau Q / h Q e. (.5) (Bu dapa dlha pada lampran ) Persamaan (.4) dubah menad e Q m. (.6) maa, perubahan baas negral pada ss anan dar (.), dar negral menuru menad negral menuru Q adalah sebaga beru: Ja, maa Q =. Ja K maa K = Q m e sehngga Q = ln K m. Dengan menggunaan (.5), (.6) dan perubahan baas negral sera msalan s =, maa (.) menad:

30 4 Eˆ max K, ln K e Qs m / s m K h Q dq = e Qs m h( Q) dq K h( Q) dq (ln K m) / s (ln K m) / s = (ln K m) / s e Qs m e Q / dq K (ln K h( Q) dq m) / s = (ln K m) / s e ( Q Qs m) / dq K (ln K h( Q) dq m) / s = (ln K m) / s e ( ( Q s) s m) / dq K (ln K h( Q) dq m) / s = (ln K m) / s e m s / e ( ( Q s) ) / dq K (ln K h( Q) dq m) / s = e m s / h( Q s) dq K h( Q) dq, (ln K m) / s (ln K m) / s sehngga (.) dapa dnyaaan dengan Eˆ max K, = e m s / h( Q s) dq K h( Q) dq. (.7) (ln K m) / s (ln K m) / s maa Ja N(x) ddefnsan sebaga suau fungs berdsrbus normal umulaf, (ln K e m s / m) / s h( Q m / s) dq = e [ N[(ln K m) / s s]] = m / e [ N[( ln K m) / s s]]. Peubah m pada ruas anan yang erdapa dalam anda urung su persamaan d aas dsubsus dengan (.3) dan s =, maa dperoleh (ln K m) / s e m s / h( Q s) dq e m / N ln K ln r / / m e N ln / K r /

31 5 / m e N ln / K r / e m / N d, dengan d ln / K r /. Dengan alasan yang seper d aas, maa K h( Q) dq K N (ln K m)/ s ln K m ln K m KN. (.8) Dengan menyubsusan m dan s pada (.3) e dalam (.8) dperoleh K h( Q) dq KN ln K ln r / (ln K m)/ s KN ln / K r / = KN d, dengan d ln / K r /, sehngga (.) menad m / Ê [max( K, )] e N d KN d e ln r / / N d d KN = e N d KN d r. (.9) Berdasaran argumenas penlaan rso neral, harga ops call Eropa yang dlambangan dengan c adalah nla harapan yang ddson pada suu bunga bebas rso yang dapa dnyaaan sebaga c e r Eˆ max K,. (.) Dengan subsus (.9) e dalam (.) dperoleh formula Blac-choles unu ops call Eropa anpa membayaran dden pada saa onra ops dbua, yau

32 6 r c N d Ke N d (.) dan dengan pu-call-pary dperoleh harga ops pu Eropa dengan r p Ke N d N d d ln / K r / dan d ln / K r / d..8 olus Persamaan Blac-choles Beru n aan dunuan baha c, pada (.) merupaan solus dar (.), maa a enuan urunan-urunan (.) erhadap dan sera peubah dgan dengan. urunan d erhadap adalah d ( / K) K. (.) Dar persamaan adalah dan sehngga d d, urunan erhadap dan beruru-uru d d d d d d. (.3)

33 7 urunan parsal (.) erhadap adalah' c d d N ' d rk N d K N ' d r( ) r( ) d r( ) = N ' d rk N d N '( d) d d d r( ) = N ' d rk N d ubsus (.3) e dalam (.4) dperoleh dengan c N ' d rk N d r( ). (.4) (.5) r( ) N ' d N ' d Ke. (.6) (Bu dapa dlha pada lampran 3) urunan parsal (.) erhadap adalah c d d N( d ) N ' d K N ' d r ( ) ubsus (.3) dan (.6) e dalam (.7) dperoleh c d d N( d ) N ' d N ' d c d d N( d ) N ' d N ' d (.7) = N d (.8) c N ' d d ubsus (.) e dalam (.9) dperoleh c N ' d (.9) (.3) Peubah pada (.) dubah dengan c maa menad c r c ubsus (.), (.5), (.7) dan (.3) e dalam (.3) ddapa c rc (.3)

34 8 c c c r rc N d rk N d r( ) ' rn d N ' d r N d K N d r( ) = rn d rn d + N ' d ' N d + rk N d rk N d r( ) r( ) =. 9 Keasamaan Blac-choles unu Ops Amera Persamaan (.4) menyaaan baha model perubahan harga saham adalah d d dw. eper halnya pada penurunan Persamaan Blac-choles, dbenu suau porofolo dengan membel sebuah ops pu Amera dan menual seumlah saham, maa dperoleh:. Dengan memlh menad dan analog (.8), maa nla porofolo berubah d d. Pada Persamaan Blac-choles unu ops Eropa argumenasnya adalah dbenu suau persamaan dengan reurn aberso, agar da erad peluang arbrase. Namun ea ops pada porofolo u ops Amera, dperoleh pendapaan da lebh banya dar suu bunga bebas rso porofolo u, sehngga d r d r d.

35 9 Alasannya adalah pemegang ops Amera mengonrol apan da aan mengeseus. Ja eseusnya da opmal, maa nla perubahan porofolo aan urang dar reurn anpa rso, sehngga ddapa perdasamaan: d r d aau r r. (.3) Perdasamaan (.3) adalah merupaan easamaan Blac-choles ops Amera. Perdasamaan (.3) dapa dnyaaan sebaga beru: r r (.33) r r. (.34) Dengan adanya easamaan ersebu, maa perlu adanya nla baas unu menenuan nla ops pu Amera. Masalah Nla Baas Bebas Ops Pu Amera adalah Pauly (4) menyaaan, onds baas baah unu ops pu Amera, K,,. (.35) Hal n dengan alasan sebaga beru: a = = K seseorang dapa membel ops pu, dan segera mengeseusnya, yau dengan membel dan menualnya sebesar K. Dengan deman a memperoleh pendapaan da berso sebesar K. Karena Blac-choles dengan asums da erad esempaan arbrase, maa (.35) adalah endala yang benar unu ops pu Amera. Msalan () menyaaan harga rs saham sedeman sehngga ops aan opmal apabla deseus lebh aal dan K, a maa ops aan deseus, namun a ops da deseus. Dengan deman (.35) dapa dnyaaan dengan:

36 (, ) K, ( ) ( K ), ( ). (.36) Karena () da deahu possnya, penyelesaan erhadap (,) n dsebu masalah nla baas bebas (free boundary-alue problem), sehngga ea ( ) K nla, K, sera harus memenuh (.33), sehngga nla ops pu Amera memenuh: r r (, ) K. (.37) Pada saa, nla (, ) ( K ), sera harus memenuh (.34), sehngga nla ops pu Amera memenuh: r r (, ) ( K ) (.38) Dengan deman masalah nla baas bebas dar ops pu Amera adalah sebaga beru: unu < () r r (, ) K unu ( )< r r (, ) ( K ). yara baas lm (, ) lm (, ) K dan syara ahr ( ( ), ) K ( ). (.39)

37 BAB III PENDEKAAN ANALIIK UNUK HARGA OPI AMERIKA Penelan dengan pendeaan anal unu menenuan harga ops Amera elah dlauan oleh beberapa penel. alah sau penel adalah MacMllan, yang selanunya dembangan oleh Barone-Ades dan Whaley (Hull 3). Merea memsahan harga ops menad dua omponen, yau: harga ops Eropa dan prem eseus aal. Kemudan dperoleh persamaan dferensal parsal unu prem eseus aal. Dar persamaan dferensal ersebu, aan dberan beberapa asums penyederhanaan unu mendapaan persamaan uadra unu mengaprosmas solus. 3. Penenuan Harga Ops Call Amera Mengacu pada Hull (3), unu menenuan harga ops Amera dengan pendeaan anal dgunaan beberapa pemsalan, yau: msalan adalah harga ops, dengan, eseus. Kemudan msalan dan sera K menyaaan harga, dan, masng-masng menyaaan harga ops Amera dan Eropa. Harga ops call dnyaaan oleh C, unu ops Amera dan c, unu ops Eropa. Msalan ops da memberan dden, sehngga persamaan dferensal parsal yang menyaaan harga ops call Amera berdasaran (.) dberan oleh C rc C rc. (3.) elanunya prem eseus aal ddefnsan oleh, C(, ) c,. (3.) dengan menyaaan harga saham, dan au auh empo sera (3.) harus memenuh Msalan r r. (3.3)

38 , h e r, r, dan, h( ) g, h. (3.4) Dar (3.4) dperoleh hg, hg dan h g hg. h g h g g h h h h g h g h h g hh. (3.5) g h elanunya edua ruas (3.3) dalan dengan sehngga ddapa persamaan r r. (3.6) ubsus (3.4) e dalam (3.6) dperoleh hg dan subsus (3.5) e dalam (3.7) dperoleh r, (3.7) hg hg h g hh gh hg g g g h h gh g r r r g g re gh g r h g h g h g g h gh g g h g g h gh. (3.8) Pendeaan anal dperoleh dengan mengasumsan suu erahr pada (3.8) dapa dabaan arena nlanya relaf ecl. Asums ersebu ddasaran pada hal-hal beru. Unu, maa lm h = r lm e = r lm e =, sedangan unu, maa lm g h, sehngga h g h.

39 3 Dengan deman maa dperoleh g g g h. ( 3.9) Persamaan (3.9) adalah persamaan dferensal basa orde dua yang mempunya dua solus yang berbenu a. Msalan g a dsubsusan e dalam (3.9) dperoleh a a a a h Aar polnomal araers dar (3.) adalah dan. (3.) h 4 h 4 h. (3.) Karena 4 / h, maa dan sehngga solus umum (3.9) adalah Nla dan g ( ) a a. (3.) berdasaran (3.) dapa denuan, selanunya aan denuan oefsen a dan a. Karena dan msalan a maa lm g( ) lm a a. Hal n onrads dengan enyaaan baha ea, mendea nol. Msalan a maa dperoleh persamaan C, c, ha. (3.3) Persamaan (3.3) merupaan pendeaan unu harga ops call Amera. Unu menenuan a dperhaan beberapa onds beru: unu, beraba max K sehngga ea mennga maa C, aan mendea K, a menyaaan harga rs saham sedeman sehngga ops aan opmal apabla deseus lebh aal, maa analog dengan (.36), unu harga

40 4 ops call Amera dberan oleh (3.3), dan unu harga ops call Amera adalah K. Dengan memperhaan onds d aas maa K c, ha. (3.4) Unu menenuan nla, dferensalan (3.4) erhadap, maa berdasaran (.8) dperoleh N d h a (3.5) dengan ln / K r d. Dengan menggunaan (3.5) dapa denuan nla dar a, yau a N d h ubsus (3.6) e dalam (3.4), maa dperoleh. (3.6) N d K c, h h c, N d c, N d. (3.7) eelah a dapa denuan, maa harga ops call Amera adalah sebaga beru: unu, maa subsus (3.6) e dalam (3.3) dperoleh N d C, c, h h c, N d c, N d,

41 5 sedangan unu harga ops call Amera adalah K. Dengan deman harga ops call Amera adalah C, c, A /, a (3.8) K, a unu nla A N d. 3. Penenuan Harga Ops Pu Amera Msalan P, menyaaan harga ops pu Amera dan p, unu ops Eropa. Persamaan dferensal parsal yang menyaaan harga ops pu Amera dberan oleh P rp P rp. Msalan prem eseus aal unu ops pu Amera ddefnsan oleh dengan, h( ) g, h., P(, ) p, (3.9) Pada ops pu Amera nla a, arena dan prem eseus aal unu ops pu Amera harus mendea nol ea mendea a hngga. ehngga harga pendeaan unu ops pu Amera dnyaaan oleh P, p, ha. (3.) Unu menenuan nla dar a, dperhaan onds beru: a menyaaan harga rs saham sedeman sehngga ops aan opmal apabla deseus lebh aal, maa berdasaran (.36), unu harga ops pu Amera dberan oleh (3.), dan unu harga ops pu Amera adalah K. Dengan memperhaan onds d aas maa K p, ha. (3.) Unu menenuan nla, ddferensalan (3.) erhadap maa dperoleh N d h a (3.)

42 6 dengan ln / K r d. Dengan menggunaan (3.) dapa denuan nla dar a, yau a N d h ubsus (3.3) e dalam (3.) dperoleh. (3.3) K p, h N d h p, N d p, N d. (3.4) eelah a dapa denuan, maa harga ops pu Amera adalah sebaga beru. Unu, maa subsus (3.3) e dalam (3.) dperoleh P, p, h N d h p, N d p, N d, sedangan unu harga ops pu Amera adalah K. Dengan deman harga ops pu Amera adalah P, p, K A /, a (3.5), a dengan A N d /.

43 7 Unu menenuan nla ops pu dengan menggunaan formula (3.5), maa erlebh dahulu denuan nla dengan meode numer, msalnya dengan meode Neon yang da aan dbahas lebh lanu.

44 8 BAB I MEODE BEDA HINGGA alah sau meode numer unu menyelesaan persamaan dferensal parsal adalah meode beda hngga. Meode beda hngga adalah suau meode numer unu menyelesaan suau persamaan dferensal dengan mengaprosmas urunan-urunan persamaan ersebu menad ssem persamaan lnear. Meode beda hngga dalam penelan n adalah meode espls, mpls, Cran-Ncholson dan espls sera mpls dengan ransformas peubah. Unu menerapan meode beda hngga pada suau permasalah persamaan dferensal parsal beberapa hal perlu dperhaan, yau: dsresas dar suau persamaan, benu aprosmas beda hngga, onds syara ahr dan syara baas sera esablan dar sema beda hnga. 4. Dsresas dar suau Persamaan dnyaaan Msalan (,) menyaaan nla ops maa Persamaan Blac-choles dapa (, ) (, ) r (, ) r (, ). (4.) Peubah yang menenuan erhadap nla adalah dan. menyaaan harga saham dan menyaaan au berlaunya ops, max, sehngga dsresas (4.) adalah erhadap dan. Bdang (,) dpars menad grd, dan aprosmas unu neral d anara grd adalah dan. Kemudan pada ddefnsan erdapa N+, yau,,,, N. - ersebu unu mendsrean urunan erhadap au, sera n n dan / N. Msalan pada erdapa M+, yau,,,, Max. - ersebu unu mendsrean urunan erhadap harga saham, dengan m m dan /. max M Dengan deman pada bdang (,) erdapa M N grd, seper erlha pada Gambar., pada ap-ap grd berhubungan dengan harga saham e dan au e. elanunya nla dar ops pada au ea harga saham dnyaaan oleh:

45 9 (, ) (, ) (, ) (4.) dengan,,,, M dan,,,, N. max o o o o o o o o o o 3 Gambar Grd unu aprosmas beda hngga 4.. Aprosmas urunan Parsal Aprosmas unu urunan parsal, dan dperoleh dar espans dere aylor. Aprosmas unu urunan perama dan urunan edua seper beru n. 4.. Aprosmas unu urunan perama Msalan, dnyaaan oleh, espans dere aylor unu, dan, adalah sebaga beru: 3,, (4.3) 3,,. (4.4) Menggunaan Persamaan (4.3) dperoleh persamaan beda mau, yau:

46 3,,. (4.5) Menggunaan Persamaan (4.4) dperoleh persamaan beda mundur, yau:,,. (4.6) Hasl pengurangan (4.4) dar (4.3) dperoleh persamaan beda pusa, yau,, Espans dere aylor unu (, ) dan (, ) adalah sebaga beru: (4.7) 3,, (4.8) 3,, (4.9) Menggunaan (4.8) dan (4.9), aprosmas erhadap Aprosmas beda mau: Aprosmas beda mundur: adalah sebaga beru (4.) (4.) 4.. Aprosmas unu urunan edua Aprosmas dperoleh dengan cara menumlahan (4.3) dan (4.4) sehngga dperoleh:,,,

47 3 Persamaan (4.) dsebu aprosmas beda pusa smers.. (4.) 4.3 yara Baas (boundary condon) dan yara Ahr (ermnal condon) Unu menenuan harga ops pu Amera dengan menggunaan meode beda hngga, dperluan onds syara baas dan syara ahr. Nla ops pu pada saa adalah max(k, ), dengan menyaaan harga saham pada saa, sehngga max( K,),,,,, M. (4.3) N Persamaan (4.3) menyaaan syara ahr, sehngga penenuan nla pada da d aal perode eap d ahr perode. Hal n dlauan dengan bergera mundur dar au maury sampa au nol. Nla ops pu pada saa harga saham sama dengan nol adalah K, sehngga K,,,,, N. (4.4) Apabla harga saham mennga, maa nla ops pu aan mendea nol pada saa = max, sehngga,,,,, N. (4.5) M Persamaan (4.4) dan (4.5) adalah merupaan syara baas. Pada pendahuluan elah dsebuan baha penelan n aan menggunaan ransformas peubah, yau harga saham dubah (dransformas) menad ln, sehngga pembahasan beru mengena ransformas peubah. 4.4 ransformas Peubah Brennan dan charz dalam Hull dan Whe menyaaan baha ea adalah harga saham, persamaan Blac-choles lebh efsen menggunaan ln darpada apabla meode beda hngga derapan, arena a onsan maa sandar deas dar ln uga onsan. ransformas sandar deas ln pada neral da berganung pada dan (Hull & Whe 99). Ddefnsan y ln dan, W y, adalah harga ops pada au. urunan parsal (bu lha lampran 4) erhadap, dan y adalah:

48 3 W y e y W W y e y y W (4.6) ubsus (4.6) pada Persamaan Blac-choles r r dperoleh W y W y y W W y re e e e rw y y y W W W W r rw y y y W W W r rw (4.7) y y Unu menerapan meode beda hngga, peubah y dpars dengan neral y. Msalan harga saham mnmum adalah nol dan masmum a hngga. Maa harga saham yang mungn adalah, y, y,, y, y y,,. Kea derapan meode n, dplh y seecl mungn dan harga saham masmum berhngga. Karena ln da erdefns maa mnmum dar ln mendea nol ap da sama dengan nol. ehngga dplh mnmum ln adalah dsresas unu adalah,,,,,,,. edangan. ehngga nla aprosmas unu ops pu Amera dengan ransformas peubah pada au dan harga saham y dengan,,,, N dan,,,, M dnyaaan oleh., y, W y,. (4.8) Aba dar ransformas peubah maa onds syara baas unu ops pu Amera adalah sebaga beru: Persamaan (4.4) menyaaan nla ops pu pada saa harga saham sama dengan nol adalah K, maa K,,,,, N. Dengan ransformas peubah maa ln = sehngga dperoleh K, unu semua. Apabla harga saham mennga, nla ops pu dengan y ln aan mendea nol pada saa sehngga,,,,, N. Persamaan Max M

49 33 (4.3) menyaaan baha nla ops pu pada saa adalah max K,, dengan menyaaan harga saham pada saa, maa syara baasnya max K,,,,,, M. Karena y ln maa syara baasnya N N y menad max K e,,,,,, M. 4.5 Meode Beda Hngga Espls Hull dan Whe (99) menyaaan baha meode beda hngga espls dalam ompuas da memerluan mars ners, sehngga urunan parsal aprosmasnya menggunaan beda mau dan aprosmas urunan parsal dan pada langah au + menggunaan aprosmas beda pusa. ubsus (4.7), (4.) dan (4.) e dalam (.) dperoleh persamaan r Persamaan (4.9) dapa dsederhanaan (lha lampran 5) menad: a b c r (4.9) r (4.) unu,,,, N dan,,, M dengan a r dapa denuan mundur menggunaan, b dan c r. (4.), dan meode beda hngga espls dapa dgambaran seper d baah n., sehngga sema Gambar ema Beda hngga Espls

50 34 Pada (4.) unu seap nla,,,, ssem persamaan lner, yau, b c, a b c, a b c 3 M maa aan erdapa suau M, a b c M M M M M M M M, a b M M M M M sem persamaan lner ersebu dapa dnyaaan dalam benu mars rdagonal sebaga beru: b c a b c. (4.) a M b M cm a b M M M M M M Benu (4.) dapa dnyaaan sebaga A, unu,,,, M. eor unu elah deahu dar syara ahr, erena u unu menyelesaan dapa dlauan dengan beera mundur menggunaan mars A yang unsur-unsurnya elah deahu, unu,,,, M. 4.6 Meode Beda Hngga Impls Nga (5) menyaaan unu menenuan harga ops pu Amera dengan meode beda hngga mpls, aprosmas urunan-urunan parsal pada Persamaan Blac-choles adalah sebaga beru: urunan parsal daprosmas dengan persamaan beda mau, sedangan aprosmas beda pusa dgunaan unu mengaprosmas urunan parsal dan pada langah au. ubsus (4.7), (4.) dan (4.) e dalam (.) dperoleh

51 35 r r (4.3) Persamaan (4.3) dapa dsederhanaan menad: r a b c (4.4) unu,,,, N dan,,, M, dengan dan Dengan deman a r c r, b. (4.5) dapa dhung mau menggunaan, dan, sehngga sema beda hngga mpls dapa dgambaran seper d baah n Unu,,,, beru: Gambar 3 ema beda hngga mpls M, (4.4) dapa dnyaaan dalam benu mars sebaga b a c b c a M b M a M c M b M M M M M (4.6) Benu (4.6) dapa dnyaaan sebaga A, unu,,,, M. Penyelesaan dar A adalah A. Unsur-unsur pada eor unu aan ddapa nla ops. elah deahu. Dengan eras berulang dar au sampa nol

52 Meode Beda Hngga Cran-Ncholson ema meode beda hngga Cran-Ncholson n dperoleh dengan cara mengambl raa-raa dar penumlahan (4.) dan (4.4), yau: 4 r 4 Persamaan (4.7) dapa dsederhanaan menad: r 4 r. (4.7) a b c a b c (4.8) unu,,,, N dan,,, M, dengan a3 r 4 4 c3 r 4 4, b3 r,, a4 r, 4 4 r dan c4 r. (4.9) 4 4 b4 Mars rdagonal dar (4.7) dapa dnyaaan sebaga beru b a 3 3 c b 3 3 c 3 a 3M b 3M a 3M c 3M b 3M M M b a 4 4 c b 4 4 c 4 a 4M b 4M a 4M c 4M b 4M M M (4.3) Persamaan (4.3) dapa dnyaaan sebaga A B. Penyelesaan dar A B adalah A B. Unsur-unsur pada eor unu elah deahu. Dengan eras berulang dar au sampa nol aan ddapa nla ops.

53 Meode Beda Hngga Espls dengan ransformas Peubah reor dan Rchard (99) menyaaan a y dan adalah neral unu harga saham dan au, maa aprosmas unu y, y dan beruru-uru adalah sebaga beru : y y y y (4.3) ubsus (4.3) e dalam (4.7) dperoleh r y r y Persamaan d aas dapa dsederhanaan menad: r (4.3) unu,,,, N dan,,, M dengan r y y, y dan r y y. (4.33) Benu mars rdagonal dar (4.3) adalah M M M M M M M M M (4.34) Persamaan (4.34) dapa dnyaaan sebaga A, unu,,,, M.

54 38 eor unu elah deahu dar syara ahr. Kerena u, unu menyelesaan dlauan dengan beera mundur menggunaan mars A yang unsur-unsurnya elah deahu, unu,,,, M. 4.9 Meode Beda Hngga Impls dengan ransformas Peubah Pada meode beda hngga mpls, aprosmas unu urunan parsal W(y,) hampr sama dengan aprosmas yang dgunaan pada meode espls. Meode espls menggunaan langah au, sedangan meode mpls menggunaan langah au. ehngga aprosmas yang dgunaan adalah: y, y y y ubsus (4.35) e dalam (4.7) dperoleh:. (4.35) r r y Persamaan d aas dapa dsederhanaan menad: y. r (4.36) dengan r y y y, dan r. (4.37) y y Benu mars rdagonal dar (4.36) adalah M M M M M M M M M (4.38)

55 39 Persamaan (4.38) dapa dnyaaan sebaga A, unu,,,, M. Penyelesaan dar A adalah A. Unsur-unsur pada eor unu aan ddapa nla ops. elah deahu. Dengan eras berulang dar au sampa nol 4. Analss Kesablan Unu menganalss eseablan sema meode beda hngga dperluan beberapa defns dan eorema, berdasaran (Brade 6) yau: Defns ebuah mars norm adalah suau fungs : R n n R, unu semua A,B n n R dan R memenuh: A, A A, A B A B dan A B A B. Defns Msalan A n n R, a unu beberapa erdapa eor a nol sedeman sehngga Ax x, maa adalah nla egen dan x eor egen yang berhubungan dengan. Defns 3 Radus specral A dar mars A, ddefnsan oleh A max, A dengan A hmpunan nla egen dar A. eorema Msalan A mars beruuran Bu: n n, maa A A. Msalan norm dar Ax A yang berhubungan dengan eor egen x, dengan mengambl x, yau: x x Ax A x A

56 4 ad A max A A. Mchell dan Grffhs (99) menyaaan a A adalah mars rdagonal beruuran N N, dengan b c a b c A = a b c sera a, b dan c blangan rl dan ac >, maa nla egen dar A adalah dan,,3,, N b ac cos (4.39) N Lax-Rchmyer dalam Nga (5) menyaaan baha syara unu esablan adalah A, sehngga berdasaran Defns 3 dan eorema maa A max. Jad unu menenuan esablan sema meode beda A hngga, maa aan danalss nla egen dar mars pada (4.), (4.6), (4.34) dan (4.38). a b 4.. Kesablan meode beda hngga espls Unu menganalss esablan meode beda hngga espls dgunaan mars pada (4.). Unsur-unsur a nol pada mars ersebu adalah a r, b dan c r. Nla egen unu mars dengan unsur-unsur a nol a, b dan c d aas adalah b ac cos N r r.5 cos N r cos 4 N.5 (4.4)

57 4 dengan,,3,, N. elanunya dengan menerapan espans bnomal pada bagan aar dan menghlangan beberapa suu, maa (4.4) dapa dsederhanaan menad (lha lampran 6) Persamaan aan sabl a A max Dar Persamaan (4.4) dperoleh A sn sn (Nga 5). N N sn N sn N sn.. (4.4) N Karena sn, sehngga meode beda hngga espls aan sabl a N. 4.. Kesablan meode beda hngga espls dengan ransformas peubah Unu menganalss esablan meode beda hngga espls dengan ransformas peubah dgunaan mars pada (4.34). Unsur-unsur a nol pada mars ersebu adalah a r, y y b dan c r. y y y Nla egen unu mars dengan unsur-unsur a nol a, b dan c d aas adalah b ac cos N r r cos y y y y y N.5 r cos y y y N.5

58 4.5 y r cos y y N. (4.43) dengan,,3,, N. elanunya dengan asums y r dan menerapan espans bnomal pada bagan aar sera menghlangan beberapa suu, maa (4.43) dapa dsederhanaan menad Persamaan aan sabl a sn y. N A max A sn y N. (4.44) Dar Persamaan (4.44) dperoleh y N sn Karena sn, sehngga meode beda hngga espls dengan N ransformas aan sabl a y. y aau Kesablan meode beda hngga mpls Unu menganalss esablan meode beda hngga mpls dgunaan mars pada (4.6). Unsur-unsur a nol pada mars ersebu adalah a r, b dan c r. Nla egen unu mars dengan unsur-unsur anol a, b dan c d aas adalah b ac cos N r r.5 cos N r cos 4 N.5

59 43.5 r 4 sn N. (4.45) dengan,,3,, N. elanunya dengan menerapan espans bnomal pada bagan aar dan menghlangan beberapa suu, maa (4.45) dapa dsederhanaan menad Persamaan aan sabl a A max A Dar Persamaan (4.46) dperoleh Karena N sn sn sn N N sn sn sn N. N N. (4.46), maa sema meode beda hngga mpls aan sabl a Kesablan meode beda hngga mpls dengan ransformas peubah Unu menganalss esablan meode beda hngga mspls dengan ransformas peubah dgunaan mars pada (4.38). Unsur-unsur a nol pada mars ersebu adalah y y a r, b dan c r. y y y Nla egen unu mars dengan unsur-unsur a nol a, b dan c d aas adalah b ac cos N r r cos y y y y y N.5

60 44.5 y r cos y y N.5 y r sn y y N. (4.47) dengan,,3,, N. elanunya dengan asums y r dan menerapan espans bnomal pada bagan aar dan menghlangan beberapa suu, maa (4.47) dapa dsederhanaan menad Persamaan aan sabl a y y N. sn A y y N max sn A. (4.48) Dar (4.48) dperoleh y y N sn y y N sn y y N sn Karena y N dan sn, sema meode beda hngga mpls dengan ransformas peubah aan sabl a y Berdasaran analss esablan d aas maa dalam penelan n meode espls beda hngga da dmplemenasan pada sofare yang dpergunaan unu menenuan harga ops pu Amera, arena relaf sul unu menenuan nla, dan yang memenuh. Dengan deman unu menenuan harga ops pu Amera dgunaan meode beda hngga mpls, Cran- Ncholson, sera espls dan mpls dengan ransformas..

61 45 Prosedur unu menenuan harga ops pu Amera dar eempa meode ersebu adalah relaf sama. Msalan pada meode mpls, dengan menerapan syara baas (4.4) dan (4.5) maa b dan b arena K dan, sehngga dengan menggunaan (4.4) erdapa M persamaan unu menyelesaan M peubah yang belum deahu, yau M,,,. Hull N N N M (3) menyaaan seelah ssem persamaan ersebu dselesaan, seap nla dar N dbandngan dengan K. Ja N K ops aan op-mal deseus, maa deapan K sebaga nla nrns ops. Nga (5) menyebuan baha harga ops yang aan denuan dengan menggunaan N meode mpls dan Cran-Ncholson dberan oleh. Unu meode M / espls dan mpls dengan ransformas peubah, seelah syara eopmalan derapaan harga ops denuan dengan nerpolas. Hal n dlauan aba dar ransformas peubah. M

62 46 BAB HAIL IMULAI Pada bab n aan dsaan beberapa hasl pendeaan numer harga ops pu Amera menggunaan meode beda hngga. Algorma yang dsusun d baah n unu menenuan harga ops pu Amera. elanunya dmplemenasan dengan sofare Malab 6.5 yang dalanan pada ompuer dengan ssem operas Wndos XP prosesor Inel (R) Penum(R) Dual GHz (CPUs) dan memor 5 MB. 5. Implemenas pada Malab Pada pembahasan sebelumnya baha penerapan meode beda hngga pada persamaan Blac-choles menghaslan suau ssem persamaan lnear yang dapa dnyaaan dalam persamaan mars. Conohnya adalah persamaan A yang dperoleh dengan meode beda hngga mpls. Unu menyelesaan persamaan ersebu Malab mempunya faslas unu menenuan ners suau mars, sehngga meode beda hngga mpls, Cran-Ncholson maupun meode beda hngga espls dan mpls dengan ransformas peubah dapa dmplemenasan pada Malab. Unu mengmplemenasan pada Malab, maa dsusunlah algorma. Beru n adalah algorma unu meode beda hngga mpls, yau: npu :, K, r,,, M, N enuan panang neral unu dan 3 gunaan syara baas dan syara ahr ops pu Amera 4 enuan elemen-elemen mars A dengan menggunaan (4.5) 5 enuan mars A yang dperoleh dar langah eempa 6 selesaan (4.6) 7 gunaan eenuan syara eopmalan ops pu Amera 8 oupu : harga ops pu Amera.

63 47 Algorma unu meode beda hngga Cran-Ncholson sama dengan meode mpls. namun unu meode espls dan mpls dengan ransformas langah edelapan menggunaan nerpolas aba dar ransformas y ln dan, W y,. 5. Hasl mulas dengan Malab mulas hasl mplemenas meode beda hngga unu menenuan harga ops pu Amera dlauan dengan mengambl beberapa conoh asus onra ops. elanunya dama perbandngan harga ops yang dperoleh dan au ompuas sera dama pula hubungan harga ops dengan parameer-parameer yang menen-uan harga ops. 5.. Perbandngan meode uau onra ops yang derban pada anggal 6 Januar 3 pada saham IBM unu anga au sau bulan dlauan ea harga saham $8.65 dengan harga eseus $85, nga suu bunga sebesar 8% dan olalas 4% (Bode e al. 6). Hasl yang dperoleh dsaan dalam abel beru abel Perbandngan harga ops dan au ompuas dar empa meode dengan M dan N yang beraras M N Harga Ops ($) Impls Wau (de) Cran-Ncholson Harga Ops ($) Wau (de) Espls dengan ransformas peubah Harga Wau Ops ($) (de) Impls dengan ransformas peubah Harga Wau Ops ($) (de) Berdasaran abel, graf perbandngan harga ops dan au ompuas dar empa meode ersebu damplan dalam Gambar 4, 5 dan 6.

64 Impls Cran-Nc Imp. f Es. f \ 3\3 \ 8\8 Nla M dan N Gambar 4 Perbandngan harga ops Wau (de) 8 6 Impls Es. f. Imp. f. Wau (de) \5 8\8 Nla M dan N 5\5 8\8 Nla M dan N Gambar 5 Perbandngan au ompuas Gambar 6 Wau ompuas meode Cran-Ncholson Dar Gambar 4 erlha baha harga ops yang dperoleh dengan menggunaan empa meode ersebu relaf hampr sama unu M dan N yang lebh besar aau sama dengan. Gambar 5 dan 6 memperlhaan meode espls dengan ransformas peubah au ompuasnya palng cepa dbandngan dengan ega meode lannya, sehngga berdasaran au ompuas meode espls dengan ransformas relaf lebh ba dar pada ga meode lannya. 5.. Hubungan harga ops dengan beberapa parameer yang menenuan harga ops Dengan menggunaan meode beda hngga espls dengan ransformas peubah, sera nla, r, dan yang beraras aan dperlhaan hubungan anara