Nilai Maksimum dan Minimum Sebuah Fungsi
Persoalan Maks- Min = Persoalan Ti9k Belok l Yang dimaksud 99k belok adalah berubahnya nilai kemiringan, slope atau turunan pertama fungsi dari plus ke minus atau sebaliknya. l Jika slope berubah dari plus ke minus, maka pada 99k perubahan tersebut yang mempunyai slope nol adalah nilai maksimum, l Jika sebaliknya, maka 99k perubahan tersebut adalah 99k minimum y (x) < 0, cembung y (x) > 0, cekung
Ti9k Belok / Turning Point l Pada 99k belok, nilai fungsi lebih 9nggi (maks) atau lebih rendah (min) dari nilai di sekirarnya. Sifat nilai maks dan min ini merupakan sifat yang berlaku lokal saja (maksimum lokal dan minimum lokal) l Dimungkinkan pada fungsi tersebut di tempat lain mempunyai nilai yang lebih 9nggi (maks) atau lebih rendah (min). l Maksimum lokal Ada yg lebih 9nggi di sini
Parameter Ciri Ti9k Belok l Terjadi pada bagian fungsi yang menerus (con9nous) l Ti9k belok, pada fungsi dengan turunan pertama menerus (differen'able), sesuai definisi di atas, adalah tempat dengan mempunyai kemiringan nol. l Pada fungsi menerus dengan turunan pertama 9dak menerus, ciri tersebut menjadi: l l max : lim x a y' x min : lim x a y' x ( ) > 0 & lim x a+ y' ( x) < 0 ( ) < 0 & lim x a+ y' ( x) > 0 a
Contoh l Dimanakah letak 99k belok fungsi berikut dan apakah jenis 99k belok tersebut? y = x 2 6x + 3 l Jawab: l Dari grafik 99k belok merupakan 99k minimum l Karena y menerus pada 99k belok, maka y' = 2x 6 = 0, x = 3 l Ti9k belok di (3,- 6) y = 3 2 6 3 ( ) + 3 = 6 l Karena y (3) = 2 > 0, maka 99k belok = 99k minimum
La9han l Cari 99k belok pada fungsi berikut dan tentukan jenisnya
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Fungsi meningkat (naik) dan fungsi menurun (turun) l Fungsi naik adalah fungsi dengan y menjadi lebih besar jika x lebih besar (nilai turunan fungsi, y > 0, non- nega9f, untuk semua x) l Fungsi turun adalah fungsi dengan y menjadi lebih kecil jika x lebih besar (nilai turunan fungsi, y < 0, non- nega9f, untuk semua x) l Fungsi strictly naik à y > 0 untuk semua x, l Fungsi strictly turun à y < 0 untuk semua x.
Contoh grafiknya Fungsi naik Fungsi strictly naik
La9han l Sebuah perahu membawa peluru emergensi. Pada saat emergensi peluru tersebut dapat ditembakkan keatas dan akan meledak setelah k de9k. Tinggi peluru tersebut setelah mulai ditembakkan adalah h = 60t 5t2 dengan t adalah waktu dalam de9k yang dihitung dari saat mulai ditembakkan. l Berapakah 9nggi maksimum peluru tersebut? l Kapan peluru tersebut mencapai 9nggi maksimum? l Pada t berapa posisi peluru bergerak keatas? l Untuk keamanan peluru diledakkan pada ke9nggian lebih dari 100 m. pada kisaran berapakah nilai k supaya peledakan aman?
Kurva Cembung, Kurva Cekung, Ti9k Stasioner dan Ti9k Balik Inflec9on point
Kurva Cembung dan Kurva Cekung l Kurva atau bagian kurva dikatakan cembung, jika y < 0 l Kurva atau bagian kurva dikatakan cekung, jika y > 0
Ti9k Stasioner l Ti9k stasioner adalah 99k pada kurva dengan slope nol (datar), y (x) = 0 l Ti9k maksimum dan minimum lokal adalah salah satu (dua) dari 99k stasioner (99k belok). l Selain itu, 99k stasioner dapat berupa 99k balik (inflec'on point). Pada 99k balik kelengkungan berubah dari cembung ke cekung atau sebaliknya. l
Ti9k Balik l Ti9k balik adalah 99k dimana kelengkungan berubah dari cembung (nega9f) menjadi cekung (posi9f) atau sebaliknya, dengan y (x) = 0. l Ti9k balik dapat berupa 99k stasioner namun dapat pula bukan 99k stasioner. Tidak semua 99k dengan y (x) = 0 adalah 99k balik.
Kasus Tidak Tentu pada y (x) = y (x) = 0 l Terjadi pada fungsi pangkat 4 y = x 4 ; y' ( 0) = 0; y" ( 0) = 0 min y = ( x 1 ) 3 ; y' ( 0) = 0; y" ( 0) = 0 titik balik
Asimtot
Definisi l Asimtot adalah garis lurus/ linier yang mana sebuah fungsi mendeka9nya sangat dekat (jaraknya mendeka9 nol) pada nilai x tertentu namun 9dak menyentuh atau berpotongan pada 99k tersebut
Mencari asimtot suatu fungsi dalam bentuk pembagian (ra'onal func'on) l y = 1/x à asimtot horisontal garis y = 0 dan asimtot ver9kal garis x = 0 y garis x = 0 fungsi y = 1/x garis y = 0 x
Mencari Asimtot Ver9kal l Sebuah fungsi rasional dapat mempunyai seberapa saja asimtot ver9kal l Garis asimtot ver9kal pada nilai denumerator nol y = 1/x à asimtot x = 0 y = (x + 2)/(x + 3) à x = - 3 Asimtot à
Mencari Asimtot Horisontal l Sebuah fungsi rasional dapat mempunyai maksimum 2 asimtot horisontal l Asimtot horisontal ada jika pangkat terbesar denumerator lebih besar atau sama dengan pangkat terbesar numerator l Pilih suku dominan / dengan pangkat terbesar pada nominator dan denominator l Suku lain akan 9dak berar9 saat x bernilai sangat besar l Contoh: l Pada x sangat besar, y akan mendeka9 2/3 l à asimtot horisontal y = 2/3
Mencari Asimtot Horisontal l Menggunakan limit x à + takterhingga Jadi à
Asimtot Miring (Oblique / Slant) l Jika pangkat terbesar numerator lebih besar dari pangkat terbesar denumerator l Sebuah fungsi hanya dapat mempunyai maksimum 2 asimtot horisontal atau miring. l Asimtot miring dapat dicari dengan pembagian untuk membentuk persamaan garis lurus terutama jika x sangat besar. l Contoh: Jika x takterhingga, suku terakhir mendeka9 nol Asimtot à
Contoh: l Fungsi Asimtot à y = - 3x - 3
Prosedur Mencari Asimtot l ini
La9han: l Cari asimtot