PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono
Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter
Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial
Order of ODE s
PD Orde Linear Homogen Bentuk umum persamaan diferensial linear orde '' y + p( x) y + q( x) y ' r( x) Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen orde y '' ' + p( x) y + q( x) y 0
PD Orde Linear Homogen y '' ' + p( x) y + q( x) y 0 Dengan rx ' rx y e, y re, Dengan substitusi, didapatkan y '' r e rx r e rx + p( re rx ) + q( e rx ) 0 e rx ( r + pr + q) r + pr + q 0 0 Persamaan bantu
Penyelesaian umum persamaan bantu r + pr + q 0 1 r1 ( p + p 4q) 1 r ( p p 4q) Terdapat 3 kemungkinan penyelesaian yang mungkin.
Penyelesaian dengan kemungkinan 1 Jika r 1 dan r adalah akar-akar riil berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari: y '' 1 ' + a y + a y adalah: r1 x + 1 0 y C e C e r x
Penyelesaian dengan kemungkinan Jika r 1 dan r adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari: y '' 1 ' + a y + a y 0 adalah: y C e rx + C 1 xe rx
Penyelesaian dengan kemungkinan 3 Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a bi, maka penyelesaian umum dari: y '' ' + a1 y + a y 0 adalah: y C e e 1 ( a+ bi) x C e + + C C ax bix ( 1 e ( a bi) x e bix )
) sin cos ( sin ) ( )cos ( ) sin cos sin cos ( 1 1 1 1 bx B bx A e y bx i C C bx C C e y bx C i bx C bx C i bx C e y ax ax ax + + + + +
Contoh1: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: y + 7 y ' + 1y '' 0 Penyelesaian: ( r r r 1 + 7r + 3)( r 3, + 1 0 + 4) 0 r -4 y C e 1 3x + C e 4x
Contoh: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian: 0 9 6 ' ' ' + y y y 3 0 3) ( 0 3) 3)( ( 0 9 6 1 + r r r r r r r x x xe C C e y 3 3 1 +
Contoh3: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: y '' 4 y ' + 13y Penyelesaian: y r r 1 0 4r Ae x + 13 + 3i, r cos3x 0 + Be 3i x sin 3x
PD Orde Linear Tak Homogen Persamaan Diferensial dikatakan linear jika dapat ditulis menjadi: dimana p,q, dan r adalah fungsi kontinyu dari x. Dan dikatakan homogen jika r(x) 0; Dan jika r(x) / 0, maka persamaan PD tersebut dikatakan tidak homogen.
Penyelesaian untuk persamaan (1) adalah: y p adalah penyelesaian partikular untuk (1)
Untuk menyelesaikan y h dilakukan dengan penyelesaian PD homogen. Untuk penyelesaian y p dilakukan dengan dua cara yaitu: Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter
Metode Koefisien Tak Tentu Rubah (1) menjadi: Pilih bentuk penyelesain y p berdasarkan bentuk r(x) sesuai tabel berikut:
Metode ini mempunyai 3 aturan: 1. Jika r(x) dalam (4) masuk dalam tabel, maka y p dapat diselesaikan berdasarkan nilai tabel yang sesuai.. Jika salah satu fungsi dari y p adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, maka kalikan penyelesaian y p dengan x (atau dengan x jika persamaan homogennya adalah akar kembar). 3. Jika r(x) adalah penjumlahan dari fungsifungsi pada kolom pertama, maka penyelesaian yp adalah penjumlahan dari kolom ke dua.
Contoh aturan 1 Selesaikan persamaan berikut: Penyelesaian: Penyelesaian umum untuk y h adalah: r(x) 0.001x
Dengan substitusi didapatkan Berdasarkan tabel
Penyelesaian untuk initial value
Contoh Aturan Selesaikan persamaan berikut: Penyelesaian: Penyelesaian homogen
Penyelesaian non homogen Berdasarkan tabel, persamaan sebelah kanan e -1.5x menghasilkan Ce -1.5x. Tetapi fungsi ini juga merupakan penyelesaian untuk y h (akar kembar), sehingga kita kalikan dengan x. Dengan substitusi kita dapatkan: Dengan membandingkan koefisien x, x 1, x 0 kita dapatkan C -10, C -5.
Penyelesaian untuk initial value
Contoh Aturan 3 Selesaikan persamaan berikut: Penyelesaian: Penyelesaian homogen Penyelesaian non homogen
Substitusi ke dalam persamaan diferensial kita dapatkan
Substitusi ke dalam persamaan diferensial kita dapatkan: Persamaan 1
Persamaan Didapatkan Hasil akhir
Penyelesaian untuk initial value
Metode Variasi Parameter Persamaan linear non homogen Untuk r(x) yang tidak ada dalam tabel metode koefisien tak tentu, dapat diselesaikan dengan metode Lagrange Dimana y1 dan y adalah penyelesaian homogen dari (1). Dan W adalah Wornskian dari y1 dan y.
Contoh Selesaikan persamaan berikut: Penyelesaian: Penyelesaian basis homogennya adalah Wornskian
Dari () kita dapatkan Hasil akhirnya
Ide dari metode ini Penyelesaian umum PD adalah
Kita substitusikan yp dan turunannya berdasarkan (5), (7) dan (8) ke dalam (1) y1 dan y adalah penyelesaian homogen persamaan di atas berubah menjadi
dan persamaan (6) Untuk menghilangkan v kita kalikan (9a) dengan y dan (9b) dengan y dan ditambahkan, sehingga kita dapatkan
Untuk menghilangkan u kita kalikan (9a) dengan y 1 dan (9b) dengan y 1 dan ditambahkan, sehingga kita dapatkan
dan kita dapatkan dan dengan integrasi kita dapatkan Kita masukkan persamaan ini ke (5) kita dapatkan ().
Thank you