MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI DAN GRAFIK DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.
Fungsi Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan : 1. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis: 1, 3, 6, 10 dll. 2. Variabel terikat yaitu variabel yang besarannya baru dapat ditentukan setelah variabel bebasnya ditentukan lebih dulu. Contoh fungsi: y = f(x) Dalam hal ini x = variabel bebas y = variabel terikat misal y = 3x + 4 nilai y baru dapat ditentukan setelah x ditentukan. Jika x = 1 maka y = 3.1 + 4 = 7 Jika x = 3 maka y = 3.3 + 4 = 13 2
Fungsi Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. A. Fungsi Eksplisit variabel bebas dan terikat dapat dengan jelas dibedakan. x = var bebas Contoh y = f(x) y = 2x + 7 y = var terikat z = f(x,y) misalnya z = 5x + y 2 + 4 dalam hal ini : z = var terikat x,y = var bebas 3
Fungsi B. Fungsi Implisit antara variabel bebas dengan terikat tidak dapat dengan mudah dibedakan. Bentuk umum fungsi implisit: f(x,y) = 0 untuk dua variebel f(x,y,z) = 0 untuk tiga variabel Contoh bentuk f(x,y) = 0 2x + 3y 10 = 0 Dalam hal tersebut tidak jelas mana var. bebas dan mana var. terikat. Contoh bentuk f (x,y,z) = 0 2x + 3y 3z + 4 = 0 Dalam hal ini var. x,y,z tidak dapat dengan mudah dibedakan sebagai var. bebas dan var. terikat. Untuk menyelesaikan fungsi implisit harus di tentukan dulu variabel terikatnya. 4
Fungsi Fungsi-fungsi dalam matematika jumlahnya sangat banyak. Fungsi yang sering digunakan a.l.: fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi pangkat banyak (3,4, dst), fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometri, dll. 5
Fungsi Linier Fungsi dimana variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Contoh : Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x 2 dengan daerah asal {x \-1 x 2, x R}. a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas. b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius. c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y. Jawab a. Ambil sembarang titik pada domain X -1 0 1 2 Y = 4x-2-6 -2 2 6 Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)
Fungsi Linier b. Y c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 ) y = 4x 2 6 0 = 4x - 2 2 = 4x x = 1 2 2 Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0) -2-1 O 1-2 2 X Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x 2 y = 4(0) 2 y = -2-6 Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)
Fungsi Linier 3. Gradien Persamaan Garis Lurus Cara menentukan gradien : (i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m. (ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m= (iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x 1,y 1 ) dan (x 2,y 2 ), adalah m = y2 y1 x x 2 1 a b gradiennya Contoh : 1. Tentukan gradien persamaan garis berikut a. y = 3x 4 b. 2x 5y = 7 2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)
Fungsi Linier 4. Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x 1,y 1 ) dan gradien m adalah y y 1 = m ( x x 1 ) Persamaan garis melalui dua titik (x 1,y 1 ) dan (x 2,y 2 ) adalah y y 2 y1 y 1 = x x 2 x1 x 1 Contoh 1 : Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2 Jawab : y y 1 = m ( x x 1 ) y 1 = -2 ( x (-2)) y - 1 = -2x 4 y = -2x - 3
Fungsi Linier 5. Kedudukan dua garis lurus Dua garis saling berpotongan jika m1 m2 Dua garis saling sejajar jika m 1 = m 2 1 Dua garis saling tegak lurus jika m 1. m 2 = -1 atau m 1 = - m 2 Contoh : 1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar dengan garis x 2y + 3 = 0 2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus pada 6x 3y 10 = 0
Fungsi Linier Jawab : 1. Diketahui persamaan garis x 2y + 3 = 0 m a b m1 m 2 1 2 1 maka 1 2 m 1 Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien y y 1 = m ( x x 1 ) y + 3 = ½ ( x 2 ) y + 3 = ½ x 1 2y + 6 = x 2 x 2y 8 = 0 1 2 1 2 adalah Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x 2y + 3 = 0 dan melalui titik (2,-3) adalah x 2y 8 = 0
Fungsi Kuadrat / Non Linier Fungsi Kuadrat adalah fungsi non linier (garis tidak lurus) yang variabel bebasnya berpangkat dua. Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum: y = f (x) dan x = f (y) a. Fungsi kuadrat berbentuk y = f (x) bentuk umum dari y = f (x) adalah y = ax 2 + bx + c ciri-ciri khusus: 1) Titik potong dengan sumbu y x = 0 2) Titik potong dengan sumbu x ada 3 kemungkinan D > 0 dua buah titik potong D = 0 satu buah titik potong D < 0 tidak berpotongan dengan sumbu x 12
Fungsi Kuadrat / Non Linier 13
Fungsi Kuadrat / Non Linier Contoh: Fungsi kuadrat y = f(x) y = x 2 5x + 6 Cara melukis: 14
Fungsi Kuadrat / Non Linier 15
Fungsi Kuadrat / Non Linier b) Fungsi kuadrat berbentuk x = f(y) bentuk umumnya adalah x = Ay 2 + By + C dengan ciri-ciri sebagai berikut: 1. titik potong dengan sumbu x y = 0 2. titik potong dengan sumbu y x = 0 0 = Ay 2 + By + C maka ada 3 kemungkinan D > 0 terdapat 2 buah titik potong (rumus ABC) D = 0 terdapat 1 buah titik potong D < 0 tidak ada titik potong dengan sumbu y 16
Fungsi Kuadrat / Non Linier 17
Fungsi Kuadrat / Non Linier 18
Fungsi Pecahan 19
Fungsi Pecahan 20
Fungsi Pecahan 21
Fungsi Pecahan 22
Fungsi Pecahan 23
Fungsi Pecahan 24
Fungsi Pecahan 25
Fungsi Pecahan 26
Fungsi Pangkat Banyak Untuk menyelesaikan penggambaran fungsi pangkat banyak ( 3, 4, 5, ) digunakan bantuan tabel atau curve tracing proses. a) Fungsi Pangkat Tiga Bentuk umum y = f (x) y = ax 3 + bx 2 + cx + d Contoh: y = x 3 3x 2 + 2 27
Fungsi Pangkat Banyak b) Fungsi Pangkat Empat Bentuk umum y = f (x) y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e Contoh: y = x 4 2x 2 + 2 28
Fungsi Exponensial Bentuk umum y = a x `Contoh: y = 2 x 29
Fungsi Logaritma Bentuk umum y = a. log x Contoh: y = 5 log x 30
Fungsi Trigonometri Bentuk umum y = a sin x y = a cos x y = a tan x 31
Fungsi Hiperbolik 32
Fungsi Hiperbolik Nilai-nilai dalam fungsi hiperbolik : Dalam fungsi sin Sin 0 = 0 Sin x dapat memiliki harga dari - ~ sampai + ~ Dalam fungsi cos Cos 0 = 1 Harga cos x tidak pernah kurang dari 1 Dalam fungsi tan Tan 0 = 0 Tan x selalu diantara y=1 dan y=1 Untuk x=~ maka tan x = 1 Untuk x= - ~ maka tan x = -1 33
Contoh Fungsi dalam Penerapan Ekonomi 34
Contoh Fungsi dalam Penerapan Ekonomi Jawab: Pada keseimbangan pasar berlaku Qd = Qs atau Pd = Ps, sehingga keseimbangan pasar dapat diselesaikan dengan substitusi: Q 2 7Q + 12 = Q 2 + 3Q + 2 10Q = 10 Q =1 dan P dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai Q = 1 ke dalam fungsi permintaan atau fungsi penawaran, sehingga diperoleh nilai P sebagai P = (1) 2 + 3(1) + 2 =6. Jadi keseimbangan pasar tercapai pada E(1,6) 35
Contoh Fungsi dalam Penerapan Ekonomi 36
Latihan Gambarlah fungsi kuadrat dibawah ini 1.y = -x2 + 5x 4 2.y = x2-8x 48 3.y= 36 - x2 4.y= 2x2-8x 5 5. Fungsi Permintaan All New Toyota Yaris ditunjukkan oleh Persamaan Qd = 19 P² sedangkan penawarannya Qs = -8 + 2P². Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan All New Toyota Yaris yang tercipta di pasar? 37
TERIMA KASIH 38