PERBANDINGAN HASIL PENGUJIAN INTERCEPT

IdoMS Joural o Statistics Vol., No. (3), Page 35-47 PERBANDINGAN HASIL PENGUJIAN INTERCEPT PADA UJI SATU ARAH MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA UJI-UJI TERKAIT NON-SAMPLE PRIOR INFORMATION PADA MODEL REGRESI SEDERHANA KETIKA VARIANSI TIDAK DIKETAHUI Budi Pratiko, Suroto, Agus Sugada da Arlida Widiaa Prodi Matematika, Jurusa MIPA, FST Usoed Purwokerto E-mail: bpraktiko@gmail.com, suroto_8@yahoo.com, agussugadha@ymail.com, arlida@gmail.com Abstract This research studied compariso results i testig the itercept for oe-side hypothesis (maximum ad miimum) for tests that related to o-sample prior iformatio (NSPI) o a simple liear regressio with ukow variace. Here, we used several tests, amely urestricted test (UT), restricted test (), ad prelimiarytest test (PTT). The test that has maximum power ad miimum size is cosidered as the best choice amog the tests. A simulatio study is preseted for showig a graphically compariso of the three tests. The result shows that the powers of the tests for both hypotheses (maximum ad miimum) are differet. It meas that type of hypothesis will affect the power ad size of the tests, ad it gives impact to role of NSPI to the coclusio. For both hypotheses, PTT lies betwee UT ad, so PTT is a releva choice for the test. Keywords: Liear model, power ad size. Abstrak Peelitia ii membahas perbadiga hasil pegujia itercept utuk uji hipotesis satu sisi (maksimum da miimum) pada uji-uji yag terkait o-sample prior iformatio (NSPI) pada model regresi sederhaa utuk variasi tidak diketahui. Ujiuji yag diguaka adalah urestricted test (UT), restricted test (), da prelimiarytest test (PTT). Test yag mempuyai ilai kuasa maksimum da ukura miimum dipilih sebagai uji terbaik. Simulasi diberika utuk meggambarka da membadigka grafik kuasa da ukura. Hasil pegujia meujuka bahwa ilai kuasa utuk kedua hipotesis tersebut adalah berbeda. Hal ii berarti bahwa jeis hipotesis mempegaruhi hasil pegujia dega NSPI. Namu demikia, pada dua kasus hipotesis tersebut PTT masih releva mejadi piliha test. Kata kuci: Model liier, kuasa da ukura. Mathematics Subject Classificatio: 6F3, 6J5. 35

36 Budi Pratiko, Suroto, Agus Sugada da Arlida Widiaa. Pedahulua Umumya iferesi statistics dilakuka megguaka data sampel. Kualitas iferesi ii utuk sembarag populasi dapat ditigkatka megguaka o-sample prior iformatio (NSPI). NSPI adalah iformasi tetag parameter populasi yag tidak berhubuga dega data sampel. NSPI diperoleh dari sumber yag dapat dipercaya, misalya studi sebelumya atau pegetahua ahli atau pegalama dari para peeliti. Bacroft [] adalah peeliti pertama yag megguaka NSPI utuk estimasi parameter. Kemudia dilajutka oleh [], [4], da lai-lai. Selajutya, [5], [6], [7], serta [8], megguaka NSPI utuk testig (pegujia) hipotesis pada kasus o parametrik. Setelah itu [3] megguaka NSPI utuk testig hipotesis pada kasus parametrik. Peelitia ii adalah pegembaga peelitia [3] pada urestricted test (UT), restricted test (), da pre-test test (PTT) utuk pegujia dua uji hipotesis satu sisi (maksmimu da miimum). Pada kasus ii, peelitia difokuska utuk testig itercept pada model regresi liier sederhaa, Y X e, dimaa Y adalah respose, adalah parameter itercept, adalah parameter slope, X adalah predictor, da e adalah error term yag berdistribusi ormal. Model regresi yag terkait pegujia ii adalah model regresi utuk kasus variasi tidak diketahui (ukow variace) sedemikia higga distribusi terkait adalah t da bivariate t distributio.. Power (kuasa) uji adalah peluag meolak hipotesis ol ( H ) ketika ilai parameter yag sebearya uder alterative hypotesis (H ), sedagka size (ukura) uji adalah ilai power ketika ilai parameter yag sebearya uder H. Tests (UT,, PTT) yag memiliki ilai power maksimum da size miimum diguaka sebagai metode uji pemiliha uji terbaik. Software R diguaka utuk meggambarka grafik UT, da PTT yag kemudia diguaka sebagai graphically aalisis. Pada bagia, dipresetasika proposed tests da modifikasi tests beserta distribusi samplig yag meyertaiya. Power da size dipaparka pada bagia 3. Bagia 4, meggambarka simulasi studi da plot UT,, da PTT. Kemudia, kesimpula da sara utuk kedua kasus pegujia (oe-side hypothesis) diberika di bagia 5.. Metode Aalisis Peelitia ii diawali dega melakuka review peelitia [3]. Selajutya dilakuka pemiliha jeis hipotesis yag berbeda dari peelitia sebelumya. Lagkah berikutya adalah sebagai berikut: () melakuka proposed tests utuk dua tipe hipotesis (maksimum da miimum) da modifikasi statistic tests beserta distribusi samplig yag meyertaiya, () meuruka power da size, (3) melakuka simulatio study dega data pembagkita dari R package, da meggambarka plot UT,, da PTT, (4) melakuka aalisis grafik pada ketiga grafik tersebut utuk dua kasus uji hipotesis satu sisi (maksimum da miimum), da (5) mearik kesimpula dari hasil perbadiga aalisis grafik pada lagkah (4).

Perbadiga Hasil Pegujia Itercept pada Uji Satu Arah 37 3. Hasil da Pembahasa 3. Proposed Tests Proposed tests utuk pegujia hipotesis satu sisi maksimum da miimum adalah sama sebagai berikut. 3.. Urestricted Test Megacu pada [3], test statistic (statistik uji) UT ketika NSPI tidak terdapat dalam slope ), pada pegujia hipotesis satu arah (maksimum da miimum), H: versus ( : H (atau > ), adalah ˆ ˆ UT T, () / s ˆ X se S XX dega s ˆ e Yi Y (mea square error (MSE)) adalah estimator dari variasi eror i model regresi liear sederhaa. Pada kasus ii, slope diestimasi dari data sampel. Test statistic persamaa () megikuti distribusi Studet-t dega derajat bebas (-), da kompoe ˆ dihitug dari data sampel. Selajutya, megacu [3], dega medefiiska / X se S XX K sebagai hipotesis alteratif (series), yaitu / K :, b, λ, dimaa eleme b adalah kompoe pre-test (PT) pada H : b versus H : b. Dalam hal ii, λ,, b. Pada K, ilai Semetara itu, pada, statistik uji UT pada X dega k se. S H ilai b K, yaitu da b. da. Selajutya, didefiisika samplig T T s T UT UT X UT e, S XX k xx ()

38 Budi Pratiko, Suroto, Agus Sugada da Arlida Widiaa 3.. Restricted Test Jika NSPI terdapat pada slope (fixed), yaitu b, yag diguaka adalah. Statistik uji utuk adalah T, (3) s s y maka test statistic terkait NSPI sy Yi Y yag berdistribusi Studet-t derajat bebas (-), dimaa Selajutya, pada K berlaku kodisi T T T y. y b s X s da b X, i da statistik uji dari adalah (4). 3..3 Pre-test Test Jika NSPI terdapat pada slope tetapi ucertai (diduga sebesar b ), maka uji terkait NSPI yag diguaka adalah PTT. Pada PTT didahului dega pre-test (PT), yaitu uji H : = b vs H : b, sedemikia higga statistik uji PT adalah * * T ˆ b ˆ b s s / S PT, (5) ˆ e dega XX i e i i i XX S X X da s Y Yˆ. Jika * H pada PT ditolak, maka UT diguaka utuk meguji H, karea UT berkorelasi dega PT, jika tidak demikia maka yag diguaka. Secara sama, persamaa (5) berdistribusi Studet-t dega derajat bebas (-). Secara jelas, bahwa PT da UT berkorelasi, sedagka PT da tidak berkorelasi, sehigga kemudia power da size dari PTT pada tigkat sigifikasi 3 diberika sebagai kombiasi dari kodisi tersebut ([3]). 3. Power ad Size of the Tests 3.. Urestricted Test Megacu [3] da persamaa (), power UT pada tigkat sigifikasi, adalah

Perbadiga Hasil Pegujia Itercept pada Uji Satu Arah 39 UT P T t, K UT t UT PT t, k da size UT diberika sebagai UT UT P T t H : t, P T t. UT, (6) (7) 3.. Restricted Test Selajutya, dega [3] da persamaa (4), utuk tigkat sigifikasi, maka diperoleh power ad size sebagai berikut. λ P T t, K t t P T t, b X X P T t,. s y P T t H :, X (9) PT t,. sy 3..3 Pre-test Test Megacu [3] da kodisi UT da PT (berkorelasi) da da PT (tidak berkorelasi) sebagaimaa diyataka pada subbagia 3.., maka power da size dari PTT pada tigkat sigifikasi 3 diberika sebagai λ P T t,, T t, P T t,, T t, PTT PT UT PT t 3 3 S XX m t3,, t, ; s k e S X XX m t3,, t, ;. s s e y s y (8) ()

4 Budi Pratiko, Suroto, Agus Sugada da Arlida Widiaa SXX Pada persamaa (), m t 3,, t, ; s k e da S X XX m t3,, t, ;, adalah probabiltas bivariat Studet-t yag s s e y didefiisika dega PT UT PT UT m a, a ; f t, t dt dt da () a a a PT PT m a, a ; f t, t dt dt. () 3 a3 UT PT Nilai koefisie korelasi atara T da T, adalah, da size dari PTT adalah,, 3 P T a T a H P T a T a H PTT PT UT PT t m t t m t t X dega a, a,da a 3 adalah bilaga riil. 3,,, ; 3,,, ;, s y (3) 3.3 A Simulatio Study Data simulasi dibagkitka dega R package 5.., dega, 5, utuk oe-side hypothesis (maximum) da, 5, oe-side hypothesis (miimum). Nilai X i di geerate dari distribusi ormal dega mea da stadar deviasi 3 (tidak harus berdistribusi) da e i dibagkitka dari distribusi ormal dega da variasi, pada kedua kasus tersebut. Power da size dari tests (UT,, PTT) utuk pegujia oe-side hypothesis maximum da oe-side hypothesis miimum, H: versus H : (atau > ), dipaparka sebagai berikut. H 3.3. Power of the Tests Grafik utuk kuasa uji dari UT,, da PTT pada pegujia H: versus, didasarka pada persamaa tersebut di atas pada koefisie korelasi,7 da ilai : yag berbeda adalah sebagai berikut.

Perbadiga Hasil Pegujia Itercept pada Uji Satu Arah 4 Gambar. Kuasa dari UT,, da PTT versus dega ilai berbeda,7. Grafik di atas (Gambar ) meujuka bahwa semaki besar ilai, maka ilai kuasa dari UT semaki besar, da UT tidak bergatug pada. semaki besar sebagaimaa ilai, membesar, da semaki kecil ketika ilai semaki kecil. Hal ii berarti bahwa kuasa dari tidak maksimum da cederug tidak optimal (baik). Semetara itu, PTT semaki besar sebagaimaa ilai semaki besar. Artiya PTT semaki baik. Secara jelas, terlihat bahwa ketika da kuasa dari UT da PTT selalu lebih besar daripada kuasa dari. Secara jelas, jika meujuka bahwa grafik PTT berubah sebagaimaa ilai berubah, yaitu PTT semaki besar jika ilai semaki besar. Simulasi grafik meujuka bahwa grafik kuasa dari UT,, da PTT ketika adalah similar. 3.3. Size of the Tests Size of the tests (UT,, da PTT) pada kasus ii disajika pada Gambar 3 dibawah ii.

4 Budi Pratiko, Suroto, Agus Sugada da Arlida Widiaa Gambar. Plot ukura versus. Berdasarka Gambar, ukura UT berilai kosta karea tidak bergatug tehadap ilai, da, sedagka ukura bergatug terhadap ilai, bertambah besar ketika ilai bertambah besar. PTT bergatug terhadap ilai da, da tidak bergatug terhadap. Ukura PTT bertambah besar ketika ilai bertambah besar, demikia juga ketika ilai. Gambar 3. adalah plot ukura versus utuk UT, da PTT.

Perbadiga Hasil Pegujia Itercept pada Uji Satu Arah 43 Gambar 3. Ukura dari UT,, da PTT versus dega,;,4;,7; da. Berdasarka Gambar 3, ilai ukura dari da PTT bertambah kecil ketika ilai semaki kecil, sedagka ukura uji dari UT selalu kosta. Ketika ilai, ukura uji dari UT selalu lebih besar dari ukura da PTT. 3.3.3 Power ad Size of the Tests Grafik utuk kuasa da ukura uji dari UT,, da PTT pada pegujia H: versus H:, dipaparka pada Gambar 4-6 sebagai berikut.

44 Budi Pratiko, Suroto, Agus Sugada da Arlida Widiaa Gambar 4. Kuasa dari UT,, da PTT versus dega,;,3;,5; pada =,4. Gambar 4. meujuka bahwa pada kodisi kurva UT tetap, sedagka da PTT aik sebagaimaa aik, da PTT aik juga sebagaima aik (lihat Gambar 5). Gap kurva PTT secara jelas terlihat bahwa PTT terletak atara da UT.

Perbadiga Hasil Pegujia Itercept pada Uji Satu Arah 45 Gambar 5. Kuasa dari PTT versus Gambar 6. Ukura dari UT,, da PTT versus dega, da,4 Berdasarka Gambar 6 terlihat bahwa kurva size UT kosta, sedagka da PTT bergatug. Gambar tersebut memperlihatka secara jelas bahwa size maksimum da lebih besar dari PTT, dimaa size PTT terleta atara UT da.

46 Budi Pratiko, Suroto, Agus Sugada da Arlida Widiaa Gambar 7. Ukura dari UT,, da PTT versus dega,;,3;,5; da,7. Gambar 7, pada, secara jelas meujuka bahwa size maksimum da size UT miimum, sedagka size PTT terletak atara size da UT. 4. Kesimpula Pada pegujia oe-side hypothesis miimum, H: versus H:, dimaa pada kodisi ii, secara jelas meujuka bahwa power da size maksimum, sedagka power da size UT miimum, sehigga PTT memproteksi kodisi maksimum power da miimum size. Karea itu, PTT mejadi piliha test yag releva. Pada pegujia oe-side hypothesis maksimum, H: versus H:, dimaa pada kodisi ii, secara jelas terlihat semua ilai power relatif kecil da power da size UT maksimum, sedagka power da size cederug miimum, da di sisi lai power da size cederug atara UT da, sehigga PTT bisa memproteksi kodisi maksimum power da miimum size. Karea itu, PTT bisa mejadi piliha test. Karea kecilya

Perbadiga Hasil Pegujia Itercept pada Uji Satu Arah 47 ilai power, maka NSPI mempegaruhi ilai power da sehigga berdampak pada proses pegambila kesimpula ii. Daftar Pustaka [] Bacroft, T.A., 944, O Biases i Estimatio Due to the Use of the Prelimiary Tests of Sigificace, Aals of Mathematical Statistics. 5, 9-4. [] Ha, C.P. da Bacroft, T.A., 968, O Poolig Meas Whe Variace Is U-Kow, Joural of America Statistical Associatio, 63, 333-34. [3] Pratiko, B.,, Tests of Hypothesis for Liear Regressio Models with No Sample Prior Iformatio, Dissertatio, Uiversity of Souther Queeslad. [4] Saleh, A. K. Md. E., 6, Theory of Prelimiary Test ad Stei-Type Estimatio with Applicatios, Wiley, New Jersey. [5] Saleh, A.K. Md. E. ad Se, P.K., 978, Noparametric Estimatio of Locatio Parameter after a Prelimiary Tests o Regressio, Aals of Statistical, 6, 54-68. [6] Saleh, A. K. Md. E. ad Se, P.K., 98, Noparametric Tests for Locatio after Parameter a Prelimiary Tests o Regressio, Commuicatio i Statistics-Theory ad Methods, (6), 855-87. [7] Tamura, R., 965, Noparametric Ifereces with a Prelimiary Test, Bull. Math. Stat., 38-6. [8] Yuus, R.M. ad Kha, S.,, Icreasig Power of the Test Through Pre-Test A Robust Method, Commuicatios i Statistics Theory ad Method, 4, 58-597.

48 Budi Pratiko, Suroto, Agus Sugada da Arlida Widiaa