Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 KETERKENALIAN SISTEM LINIER IFERENSIAL BIASA TIME-VARYING AN SISTEM LINIER IFERENSIAL PARSIAL ENGAN PENEKATAN MOUL ATAS OPERATOR IFERENSIAL Na mah Hrat Program Stud Matematka Uverstas Lambug Magkurat Jl. Jed. A. Ya km 35, 8 Baarbaru ABSTRAK Msalka K d d, d, d ] operator dferesal ler dega koefse d K, yag [, 2 3 memeuh a K ; d a = ad + a. adalah rg operator dferesal ler dega sfat atara la: tdak memuat pembag ol, tdak komutatf, da utuk setap d, d,,, da utuk setap a, b K berlaku ad ( bd ) abdd a( b) d. Msalka M adalah suatu modul atas yag dbetuk dar suatu sstem ler dferesal basa (O) tme-varyg atau sstem ler dferesal parsal (P) terkedal. Hubuga atara sstem O atau P ler dega modul M atas adalah sstem O atau P ler ka da haya ka M modul atas yag dtetuka oleh persamaaya merupaka modul bebas tors. Oleh karea tu utuk meuukka suatu sstem O atau P ler cukup dtuukka modul yag dbetuk oleh persamaaya merupaka bebas tors, yag dyataka dalam suatu tes formal utuk meuukka suatu modul atas merupaka bebas tors. da ka dhubugaka dega keparametera suatu operator dferesal ler adalah sstem kedal P ler terkedal ka da haya ka parametrzable. Kata Kuc: Keterkedala, Parametersas, Modul Atas Operator feresal, Itegrabltas Formal, Teor Kedal.. PEAHULUAN Sstem kedal dega koefse ddalam suatu lapaga dkataka berbetuk Kalma, ka sstem kedal tersebut dapat dtulska sebaga x Ax Bu dega x = (x,..., x ) vektor state, u = (u,..., x p ) vektor put, y = (y,..., y m ) vektor output, A matrks koefse berukura, B matrks koefse berukura p, da maksmum rakya adalah p. Msalka rg operator dferesal ler atas suatu lapaga da { k,2, m} determates dferesal, maka y k y y2 y m adalah modul kr atas yag dbagu oleh hmpua. Jka R hmpua berhgga sstem persamaa O atau P ler da dbetuk modul [R] atas yag dbagu berhgga dar dferesal ler yag merupaka kosekwes dar sstem geerator, maka dapat dbetuk modul M [ ] [ R ] atas. Eleme M dsebut terobservas ka suatu kombas ler dar varabel sstem da dervatfya memeuh persamaa dar sstem kedal da sstem terkedal ka setap eleme yag terobservas bebas. Hal megakbatka keterkedala suatu sstem ler dferesal basa atau sstem ler dferesal parsal sagat bergatug pada sstem kedalya, dmaa dalam tulsa sstem kedal yag dguaka adalah sstem Kalma. 38
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 Aka tetap utuk meuukka suatu sstem terkedal, tdaklah mudah terutama sstem ler dferesal parsal. Oleh karea tu peelta mempelaar tetag beberapa sfat dar operator dferesal, beberapa sfat dar operator dferesal ler da keterkedala sstem operator dferesal ler dega megguaka pedekata modul atas operator dferesal. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.. Teor Modul Berkut dberka defs modul kr atas suatu rg sebaga berkut: efs 2.. [] Msalka R sebarag rg dega eleme satua. Modul kr M atas R adalah suatu grup abela M yag dlegkap dega pemetaa pergadaa skalar :. : R M M, (a,m) am yag memeuh aksoma aksoma berkut :. a(m + ) = am + a. (a + b)m = am + bm. (ab)m = a(bm) v. m = m utuk setap m, M da a,b, R. Selautya dalam peelta modul kr dtulska haya dega modul da rg dega eleme satua haya dtulska dega rg. Msalka R rg da M modul atas R. N M dsebut submodul dar M ka N membetuk modul atas R terhadap operas peumlaha da operas pergadaa skalar yag berlaku d M. Akbatya dperoleh defs berkut: efs 2..2 [2] Msalka M modul atas rg R. N M dsebut Submodul dar M, ka:. N subgrup dar grup abela M 2. utuk setap r R da utuk setap N, berlaku r N Msalka M modul atas rg R da msalka N submodul dar M, maka N subgrup dar grup abela M, akbatya N adalah subgrup ormal, sehgga ddapat dbetuk grup faktor M N dega M N = { m = m + N m M}. defska operas peumlaha da operas pergadaa skalar pada grup abela M N sebaga berkut : + : M N M N M N, ( m, m 2 ) m m2. : R M N M N, (a, m ) am utuk setap a R da utuk setap m, m, m2 M N. Akbatya dperoleh teorema berkut: Teorema 2..3 [] Jka M modul atas rg R da N submodul dar M, maka terhadap operar pergadaa skalar datas. M N modul atas R 39
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 Berkut ddefska modul bebas tors beserta sfat-sfatya: efs 2..4 [] Msalka R daerah tergral, da M modul atas R. Eleme x M debut eleme tors ka terdapat a 0 R sedemka sehgga ax = 0. Selautya hmpua semua eleme tors d M dtulska dega M T. Jka M T = {0}, maka M dsebut modul bebas tors da ka M T = M maka M dsebut modul tors. Teorema 2..5 [] Jka R daerah tegral da msalka M modul atas R, maka. M T adalah submodul dar M 2. M MT adalah modul bebas tors Bukt:. M T karea { 0} MT. Ambl sebarag x,y M T, maka ada a, b R dega a 0, b 0 sedemka sehgga ax = 0 da by = 0 ketahu R daerah tegral maka ab 0, sehgga ab ( x y) ( ab) x ( ab) y ( ax) b a( by) 0. Jad x y MT. Selautya utuk sebarag c R dega c 0 maka ca 0. Msalka d ca, sehgga dx ( ca) x c( ax) 0. Jad M T tetutup terhadap operas pergadaa skalar. Terbukt M T submodul M. 2. Ambl sebarag m M MT dega m = a + M T da sebarag r R dega r 0, sedemka sehgga r m = r(a + M T ) = ra + M T = 0 = M T, maka ra M T, sehgga terdapat b R, b 0, sehgga b(ra) = 0. karea (br)a = b(ra) = 0 da R daerah tegral maka a M T, akbatya m = M T = 0. Jad M/M T modul bebas tors. 2.2. feresal Mafold Salah satu cotoh dar ruag topolog adalah dferesal mafold. Berkut beberapa defs yag medasar pedefsa dferesal mafold. efs 2.2. [3] Msalka M ruag topolog berdmes, U hmpua terbuka d M yag memuat p M da :U V homeomorfsma utuk hmpuaa terbuka V R, maka ( U, ) dsebut chart berdmes d p, U dsebut koordat persektara da dsebut koordat pemetaa. efs 2.2.2 [3] Msalka M ruag topolog berdmes, U hmpua terbuka d M yag memuat p M da :U V homeomorfsma utuk hmpuaa terbuka V R berka fugs koordat atural : R R dega ( x) x dmaa x x, x, x ). Jka fugs koordat atural atas (U ), maka fugs ( 2 : U R dsebut fugs koordat lokal. 40
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 efs 2.2.3 [3] Msalka M ruag topolog da {( U, )} hmpua chart berdmes. {( U, )} dsebut atlas ka { U } megcoverg M. efs 2.2.4 [3] Ruag Housdorff dega atlas dsebut dega ruag Eucld lokal atau topolog mafold. efs 2.2.5 [4] Msalka M mafold. M dsebut berdmes ka setap chart ( U, ) berdmes. efs 2.2.6 [4] Msalka V hmpua terbuka d R da msalka f : V R fugs berla real. f dkataka C k utuk k Z +, ka dervatf-dervatf f ', f ",, f ada da kotu. Selautya ka k = maka f dkataka C atau smooth. efs 2.2.7 [4] Msalka M ruag Housdorff. M dsebut C k mafold ka M ruag Eucld lokal dega coutable bass da atlas yag memeuh sfat:. ka ( U, ) da ( V, ) dua chart dega U V maka adalah C k pada ( U V ) da adalah C k pada ( U V ). 2. ka ( W, ) mempuya sfat () utuk setap chart d atlas, maka ( W, ) uga d atlas. Selautya da dsebut koordat trasformas. Chart yag mempuya sfat () dsebut C k -releted atau C k -compatble. Atlas dega sfat () dsebut C k -atlas da C k -atlas dega sfat (2) dsebut maksmal. Berdasarka defs-defs d atas, ddefska dfferesal mafold sebaga berkut: efs 2.2.8 [4] Msalka M topolog mafold berdmes m. M dsebut dferesal mafold, ka C k -atlas adalah maksmal. Selautya dberka beberapa defs yag berlaku pada dferesal mafold. efs 2.2.9 [4] Msalka M da N dua dferesal mafold da : M N fugs kotu. Jka ( U, ) chart d p M da ( V, ) chart d ( p) N maka dsebut koordat ekspres dar pada U. ( k) 4
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 efs 2.2.0 [4] Msalka M da N dua smooth mafold da : M N fugs kotu. Jka koordat ekspres dar adalah smooth, maka dsebut dfferetable. Selautya secara khusus, fugs p dfferetable d ( ). f : U R dfferetable d p, ka f efs 2.2. [4] Msalka M da N dua C k -mafold. Jka : M N fugs ektf, surektf, da adalah C k maka dsebut C k -dfeomorfsma. Selautya dberka teorema tetag rak d dfferetable mafold sebaga berkut: Teorema 2.2.2 [4] Msalka M da N adalah dferesal mafold yag masg-masg berdmes m da, da : M N dfferetable. Syarat perlu da syarat cukup mempuya rak r dpersektara p M adalah ka terdapat chart ( U, ) d p M da chart ( V, ) d ( p) N sedemka sehgga: utuk,2, r 0 utuk r pada ( V) U. Akbatya ka q ( V) U da ( q) ( a, a2, am ), maka ˆ v : ( a, a, a ) ( a, a, a,0, 0). 2 m efs 2.4.3 [4] Msalka M da N adalah dfferetable mafold yag masg-masg berdmes m da da : M N. dsebut subermato ka rak = dm N Berdasarka Teorema 2.2.2, syarat perlu da syarat cukup agar subermato adalah: Jka ( V, ) adalah sebarag chart d ( p) da ( W, ) sebarag chart d p, maka terdapat chart ( U, ) d p dega utuk,2, da utuk m. 2.3. Vektor Budle Berkut beberapa defs yag medasar pedefsa vektor budle. efs 2.3. [4] Msalka M da E dua mafold da : E M fugs surektf. E dsebut trval lokal ka setap x M, terdapat persektara U da dfeomorfsma : ( U) U F U F, p ( p) ( ( p), ( p)) 2 r 42
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 U utuk suatu p ( ) da utuk suatu mafold F da utuk suatu pemetaa U dferesal : ( ) F. Selautya ( U, ) dsebut lokal trvalzato dar E atas U, F dsebut fber x da ( ) dsebut fber d x. Berdasarka defs-defs da teorema-teorema d atas, selautya ddefska vektor budle. efs 2.3.2 [4] Msalka M adalah smooth mafold da msalka E mafold dega smooth subermaso : E M yag surektf. E dsebut vektor budle dega rak atas M, ka:. terdapat ruag vektor V berdemes, sedemka sehgga utuk sebarag p M, fber E p ( p) dar atas p adalah ruag vektor yag somorfk dega V 2. utuk sebarag p M, terdapat persektara U, sedemka sehgga terdapat dfeomorfsma : ( U) U F, p (p) = ( (p), (p)) 3. U utuk p ( ) da utuk suatu mafold F = V da suatu pemetaa U dferesal : ( ) F. : E P V somorfsma atas ruag vektor da U ( ( ) ) = (p, ( U E P p ( ) )). p Selautya V dsebut typcle fber, U dsebut lokal travalzato E atas U, U dsebut persektara travlzato utuk E. Berdasarka efs 2.3.2, dperoleh defs berkut: efs 2.3.3 [4] Msalka pemetaa smooth dar B ke E yag memeuh ( )( x) x, utuk setap x B, maka dsebut secto dar E. Jka haya ddefska atas persektara d B, maka dsebut lokal secto. 3. HASIL AN PEMBAHASAN 3.. Rg operator dfferetal Lapaga dferesal K, dega dervatf yag memeuh: a,b K,, =,. a K. ( a b) a. ( ab) ( a) b a( b) b, adalah suatu lapaga 43
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 v.. dalam tulsa, K dasumska sebaga lapaga dferesal yag memuat Q. Msalka K d, d, d, d ] operator dferesal ler dega [ 2 3 koefse d K, yag memeuh a K ; d a = ad + a. Setap eleme-eleme d, berbetuk a d, dega a K 2 ( 2, ), d = d d d 2. 0 Rg operator dferesal memlk sfat-sfat sebaga berkut: Sfat 3.. Utuk setap ad ( bd ) abd d a( b) d., d, d,,, da utuk setap a, b K berlaku Sfat 3..2 Rg operator dferesal ler tdak memuat pembag ol da tdak komutatf. 3.2. Keterkedala Msalka = { y k k =,m} determates dferesal = y + + y m adalah modul kr atas yag dbagu oleh hmpua da setap eleme d berbetuk ( a ) d k y k. 0 k m dapat dtulska dega [ ] = [y,, y m ] Msalka R hmpua berhgga sstem persamaa O atau P ler (OE atau PE), dbetuk modul kr [R] atas yag dbagu berhgga dar dferesal ler yag merupaka kosekwes dar sstem geerator M = [ ]/ [R] adalah resdual dferesal modul atas. Selautya ddefska keterobservasa pada eleme M. efs 3.2. suatu eleme d M dkataka terobservas (observable) ka suatu kombas ler dar varabel sstem da dervatfya memeuh persamaa dar sstem kedal. Berdasarka defs observas terdapat dua kemugka, yatu suatu observas dapat dtuukka oleh persamaa P atau O tu sedr atau tdak. observas yag tdak bsa dtuukka oleh persamaa O atau P tu sedr dsebut bebas. Sehgga dperoleh defs keterkedala berkut : efs 3.2.2 Suatu sstem dkataka terkedal ka setap eleme yag terobservas adalah bebas. Selautya berdasarka defs eleme tors da efs 3.2.2 dperoleh teorema berkut: 44
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 Teorema 3.2.3 Sstem O atau P ler terkedal ka da haya ka modul M atas dtetuka oleh persamaaya adalah bebas tors. Bukt: ketahu sstem O atau P ler terkedal da M = [ ]/[R] modul kr atas. Aka dbuktka M modul bebas tors Ambl sebarag eleme tors m M, dega m = a + [R] utuk a [ ], maka terdapat d, d O (O eleme etral d ) sedemka sehgga dm = 0 = [R]. Karea dketahu sstem tekedal da dm = [R], maka dm eleme yag terobservas. ss la dm = d(a + [R]) = da + [R], sehgga da + [R] = [R] da [R]. Adaka a [ ] da a [R]. Jka a [ ] maka da [ ], sehgga terdapat a [ ] sedemka sehgga da = a, akbatya terdapat eleme d [ ], yag dapat dbagu oleh [R]. Atau dega kata la dm eleme terobsevas yag tdak bebas. Hal kotradkas dega bahwa sstem terkedal. Jad pegadaa salah haruslah a [R]. Akbatya m = a + [R] = [R]. Jad eleme tors M adalah {[R]}, atau dega kata la M adalah modul bebas tors. dketahu M modul bebas tors aka dbuktka sstem O atau P ler terkedal. ketahu M modul bebas tors maka eleme tors dar M haya 0. karea M = [y]/ [R] maka hmpua semua eleme tors dar M adalah {[R]}. Akbatya setap eleme yag terobservas adalah bebas sehgga sstem O atau P terkedal. 3.3. Operator feresal ler Msalka : F 0 F operator P ler, dega F 0, F adalah dua vector budle d mafold X yag berdmes, dega koordat lokal x x, x, x ). ega kata la adalah operator P ler yag bekera ( 2 pada secto F 0, yatu bekera pada fugs : X F 0. defska solus dar atura pegata : F 0 F sebaga berkut F0 sedemka sehgga = 0. Ide utama dar tulsa adalah meghubugka setap operator : dar modul M atas = [ ]/[ ] da d kataka bahwa operator meetuka modul M atas. efs 3.3. Msalka operator dfferesal parsal ler, maka:. operator dsebut formally ektve ka = 0 = 0 45
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 2. operator dsebut formally surectve ka terdferesal secara depede, yatu ka = tdak mempuya kods kompetbel atau dega kata la tdak terdapat operator 2, sedemka sehgga ka = maka 2 = 0. Berkut defs dar eksak lokal: efs 3.3.2 Msalka [, = 0, l] barsa operator dfferesal ler. [, = 0, l] dsebut eksak lokal ka ker + = m utuk = 0, l. Akbatya dperoleh sfat berkut: Sfat 3.3.3 Msalka [, 0, l ] barsa operator dfferesal ler. Jka [, 0, l ] eksak lokal maka + = 0 utuk setap 0, l. Bukt: ketahu [, = 0, l] eksak lokal Aka dtuukka + = 0 Msalka : F F da + : F F +, utuk 0, l ketahu [, = 0, l] eksak lokal, maka ker + = m Ambl sebarag x F, maka ( + )(x) = + ( (x)) = + (y) utuk y m karea ker + = m utuk setap 0, l, maka + (y) = 0 utuk y m Jad + = 0 utuk setap 0, l. Selautya ddefska eksak formal sebaga berkut: efs 3.3.4 Msalka [, = 0, l] barsa operator dfferesal ler. Barsa [, = 0, l] dsebut eksak formal (formally exact) ka setap operator membagu semua kods kompetbel dar operator sebelumya. Berdasarka efs 3.3.4 dperoleh sfat berkut: Sfat 3.3.5 Msalka operator dfferesal ler, maka:. Jka barsa dfferesal 0 E F adalah eksak formal maka operator dsebut ektf 2. Jka barsa dfferesal E F 0 adalah eksak formal maka operator dsebut surektf 46
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 Bukt: :. dketahu 0 E F adalah eksak formal Aka dbuktka ektf. Bukt : ' Msalka operator dfferesal dar 0 ke E, karea dketahu 0 E F eksak formal, maka operator membagu semua kods kompetbel dar atau dega kata la 0 = e e = 0, utuk e E. Ambl sebarag x da y E, msalka x = y maka x = y x y = 0 (x y) = 0 (x y) = 0 adalah kods kompetbel dar 0 = x y. Karea 0 = 0, akbatya x y = 0 x = y Jad terbukt ektf. 2. dketahu E F 0 adalah eksak formal Aka dbuktka surektf ' Msalka operator dfferesal dar F ke 0, karea dketahu E F 0 eksak formal, maka operator membagu semua kods kompetbel dar atau dega kata la e = f f = 0, utuk e E da f F. Ambl sebarag f F, karea g = 0 utuk setap g F, maka f = 0 akbatya terdapat e E sedemka sehgaa e = f f = 0. Jad terbukt surektf. Sstem dferesal ler yag dbahas pada peelta adalah sstem yag tertegral secara formal dega volutve smbol, yatu barsa dmula dega da setap operator medeskrpska secara tepat kods kompetbel dar kods yag terdahulu da berhet ketka lebh dar + operator, dmaa adalah dmes dar X. Barsa 2 F 0 F F F + 0 adalah formally eksak da barsa basaya dsebut barsa Jaet dar Berkut adalah defs dar formal adot dar suatu operator da parameter dar suatu operator: efs 3.3.6 Msalka : F0 F operator dferesal ler dega adot formalya : F F0. defska atura formal yag ekvale dega tegrato dar masg-masg baga sebaga berkut :. matrks adot (zero order operator) adalah matrks trasposeya 2. adot dar adalah - 3. dua operator ler P, yatu P, Q yag dapat dkomposska, maka P Q Q P. 47
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 efs 3.3.7 Msalka : F F0 operator dferesal ler. dsebut parameterzable ka terdapat hmpua fugs pegubah, ) yag dsebut dega ( 2, potetals da operator ler 0 sedemka sehgga semua kods kompetbel dar sstem yag homogeous 0 = dbagu tepat oleh = 0, yatu ka 0 barsa E F F 0 formal eksak. 0 3.4. Tes Formal Modul Bebas Tors Msalka K[ d, d 2, d3, d ] operator dferesal ler dega koefse d K, yag memuat Q da msalka M adalah modul kr atas. Berdasarka Teorema 3.2.3 tetag hubuga atara keterkedala dega modul bebas tors, maka dperoleh teorema berkut: Teorema 3.4. Operator dferesal : F0 F meetuka module bebas tors M atas, ka terdapat operator 0 : E F0 sedemka sehgga membagu kods kompetbel 0 Bukt: Berdasarka Teorema 3.2.3 dketahu M modul bebas tors atas ka da haya ka sstem terkedal. Karea M dtetuka oleh operator maka sstem yag ddefska oleh terkedal ka terdapat 0 = sedemka sehgga = 0. Akbat Teorema 3.4., maka dperoleh formal tes utuk meuukka apakah operator meetuka modul M bebas tors atas atau tdak sebaga berkut: Tes formal modul bebas tors. dawal dega. 2. kostrukska adotya yatu. 3. car kods kompetbel dar =. a yataka operator sebaga 0. 4. kostrukska adotya yatu 0 (= 0 ) 5. car kods yag sesua dar 0 =. a yataka operator sebaga Tes formal d atas meghaslka dua kasus yatu :. Jka operator adalah kods kompetbel dar 0 yag tepat maka operator meetuka modul M atas bebas tors da 0 merupaka parametersas dar. 2. Jka operator datara kods kompetble dar 0 (tetap kurag tepat), maka eleme tors M adalah semua kods kompetbel modulo persamaa = 0 yag baru. 48
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 Bukt: Msalka operator 0 membaguka kods kompetbel dega tepat dar operator, maka 0 = 0. Karea 0 = 0 = 0 maka 0 = 0. Akbatya berada datara kods kompetbel dar 0. Msalka kods kompetbel 0 dbagu oleh operator. Jka dega tepat berada datara kods kompetbel dar 0, maka setap satu kods kompetbel yag baru d adalah kosekues dferesal dar da karea = 0 maka dapat dtemuka operator q sedemka sehgga q = 0. Akbatya setap satu kods kompetbel yag baru dar 0 meetuka eleme tors. Jka medeskrpska kods kompetbel dega tepat dar 0, yatu 0 barsa E F0 F formal eksak, maka berdasarka efs 3.3.7 M. Karea modul bebas, maka M atas dtetuka oleh module bebas tors atas. Selautya tes d atas dapat dsaka dega megguaka barsa dferesal dmaa deks agka meyataka lagkah yag berbeda: 5 ' F 0 E F 0 F E 4 0 F 0 F 3 2 Pada barsa yag terdahulu, haya barsa dual da barsa yag dbetuk dega da 0 yag formal eksak. Sehgga akbat dar keterkedala operator bsa terlhat sebaga akbat dar keeksaka formal dar barsa yag dbetuk oleh da 0. Pada tulsa, dasumska operator terkedal atural (terobservas) ka da haya ka formal adotya terobservas (terkedal) Berdasarka Teorema 3.2.3 da efs 3.3.7, maka dperoleh teorema yag berkut: Teorema 3.4.2 Sstem kedal P ler terkedal ka da haya ka parametrzable. Bukt: Operator terkedal ka da haya ka meetuka module bebas tors atas. Berdasarka Teorema 3.4., meetuka -module bebas tors ka da haya ka terdapat operator 0 : E F0 yag memparametersas, yatu 0 barsa E F 0 F formal eksak. 49
Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 Akbat tes formal modul bebas tors, maka dperoleh cara meghtug eleme tors ka tdak meetuka module bebas tors M atas, sebaga berkut :. htug da cek apakah berada dega tepat datara 2. utuk sebarag satu kods kompetbel baru = ' dar, htug kods kompetbel berdasarka sstem: = 0 = ' (haya satu persamaa) 3. akbatya dperoleh ' elemet tors dar M yag memeuh q ' = 0, 0 q. 4. KESIMPULAN Berdasarka uraa d atas, dapat dsmpulka bahwa:. Rg operator dferesal ler tdak memuat pembag ol, tdak komutatf da Utuk setap d, d,,, da utuk setap a, b K berlaku ad ( bd ) abd d a( b) d. 2. Hubuga atara keterkedala suatu sstem O atau P ler dega modul yag dbetuk dar persamaa O atau P tersebut adalah Sstem O atau P ler terkedal ka da haya ka modul M atas dtetuka oleh persamaaya adalah bebas tors da ka dhubugka dega keparametera suatu operator dferesal ler adalah sstem kedal P ler terkedal ka da haya ka parametrzable. 3. Tes formal modul bebas tors adalah: () dawal dega ; (2) kostrukska adotya yatu ; (3) car kods kompetbel dar =. a yataka operator sebaga 0 ; (4) kostrukska adotya yatu 0 (= 0 ); (5) car kods yag sesua dar 0 =. a yataka operator sebaga. Sedagka utuk meetuka eleme tors ka operator tdak meetuka module bebas tors M atas, sebaga berkut : () htug da cek apakah berada dega tepat datara ; (2) utuk sebarag satu kods kompetbel baru = ' dar, htug kods kompetbel berdasarka sstem: = 0 da = ' (haya satu persamaa), (3) akbatya dperoleh ' elemet tors dar M yag memeuh q ' = 0, 0 q.. 5. AFTAR PUSTAKA []. Adks, A.W., & Wetraub, S.H., 992, Algebra: A Approach va Module Theory, Sprger-Verlag, New York. [2]. Hartley, B., & Hawkes, T.O., 994, Rgs, Modules ad Ler Algebra, Chapma-Hall, Lodo. [3]. Wasserma, R.H., 992, Tesor ad Mafolds: Wth Applcato to Phscs, Oxford Uversty Press Ic, New York. [4]. Bshop, R.L., & Goldberg, S.I., 980, Tesor Aalyss o Mafold, over Publcato Ic, New York. [5]. Pommaret, J.F., & Quadrat, A., 998, Applcable Algebra Egeerg, Comucato ad Computg: Geeralzed Bezout Idetty, volume 9, 9-6, Sprger-Verlag. 50