Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.1 Juni 2011: TES FORMAL MODUL PROJEKTIF DAN MODUL BEBAS ATAS RING OPERATOR DIFERENSIAL

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 TES FORMAL MOUL PROJEKTIF AN MOUL BEBAS ATAS RING OPERATOR IFERENSIAL Na imah Hijriati Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl Jend A Yani km 35, 8 Banjarbaru ABSTRAK Misalkan K d d, d, d ] operator diferensial linier dengan koefisien di K, yang memenuhi [, 3 n a K ; d i a = ad i + i a adalah ring operator diferensial linier dengan sifat antara lain: tak memuat pembagi nol, tak komutatif, dan untuk setiap d, d, i, j, n dan untuk setiap a, b K berlaku ad ( bd ) abd d a( b) d i j i j i j i Misalkan M adalah suatu modul atas yang dibentuk dari suatu sistem linier diferensial biasa (O) time-varying atau sistem linier diferensial parsial (P) terkendali Menunjukkan M suatu modul projektif atau suatu modul bebas digunakan suatu tes formal Tes formal yang digunakan sangat bergantung pada karakteristik dari modul tersebut, yaitu Untuk modul projektif, tes formal yang digunakan tergantung pada kesurjektifan dari operator tersebut Sedangkan untuk modul bebas harus atas suatu daerah eal utama Kata Kunci : Modul Atas Operator iferensial, Integrabilitas Formal, Teori Kendali PENAHULUAN Misalkan ring operator diferensial linier atas suatu lapangan dan { y k k,, m} indeterminates diferensial, maka y y ym adalah modul kiri atas yang dibangun oleh himpunan an misalkan : F 0 F operator P linear, dengan F 0, F adalah dua vector bundle di manifold X yang berdimensi n, dengan koordinat lokal x x, x, x ) engan kata lain adalah j ( n operator P linear yang bekerja pada section F 0, yaitu bekerja pada fungsi : X F 0 efinisikan solusi dari aturan pengaitan : F 0 F sebagai berikut sedemikian sehingga 0 Hubungan antara setiap operator : dengan modul M atas adalah M = [ ]/[ ] dan di katakan bahwa operator menentukan modul M atas Karena diketahui beberapa jenis dari modul adalah modul projektif dan modul bebas, maka penelitian ini mempelajari tes formal untuk menentukan suatu modul atas ring operator diferensial merupakan modul projektif atau modul bebas TINJAUAN PUSTAKA Teori Modul Berikut ini diberikan definisi modul kiri atas suatu ring : efinisi (Adkins,99) Misalkan R sebarang ring dengan elemen satuan Modul kiri M atas R adalah suatu grup abelian M yang dilengkapi dengan pemetaan pergandaan skalar : 43

2 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 : R M M, (a,m) am yang memenuhi aksioma aksioma berikut : i a(m + n) = am + an ii (a + b)m = am + bm iii (ab)m = a(bm) iv m = m untuk setiap m,n M dan a,b, R Selanjuntnya dalam penelitian ini modul kiri dituliskan hanya dengan modul dan ring dengan elemen satuan hanya dituliskan dengan ring efinisi menunjukkan bahwa modul merupakan generalisasi dari ruang vektor, sehingga beberapa definisi dan sifat yang ada pada modul merupkan generalisasi dari definisi dan sifat yang ada pada ruang vektor iantaranya adalah homomorfisma modul, submodul dan basis yang merupakan generalisasi dari transformasi linier, subruang dan basis pada ruang vektor Berikut adalah definisi dari homomorfisma modul : efinisi (Adkins,99) Misalkan R ring dan misalkan M dan N modul-modul atas R Pemetaan f : M N disebut homomorfisma modul atas R, jika memenuhi : f(m + n) = f(m) + f(n) untuk setiap m,n M f(am) = af(m) untuk setiap a R dan m M efinisi 3 (Adkins, 99) Misalkan M dan N modul-modul atas ring R dan f : M N homomorfisma modul atas ring R i f disebut monomorfisma jika f injektif ii f disebut epimorfisma jika f surjektif iii f disebut isomorfisma jika f bijektif Selanjutnya definisikan modul bebas torsi, modul bebas dan modul projektif beserta masing-masing sifat-sifatnya dan hubungan antara modul tersebut Berikut definisikan modul bebas torsi: efinisi 4 (Adkins, 99) Misalkan R daerah intergral, dan M modul atas R Elemen x M diebut elemen torsi jika terdapat a 0 R sedemikian sehingga ax = 0 Selanjutnya himpunan semua elemen torsi di M dituliskan dengan M T Jika M T = {0}, maka M disebut modul bebas torsi dan jika M T = M maka M disebut modul torsi Sebelum mendefinisikan modul bebas, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan modul bebas sebagai berikut : efinisi 5 (Adkins, 99) Misalkan R adalah ring dan misalkan M modul atas R Himpunan bagian X M disebut bebas linear (independen linear), jika berlaku a x a x a n x 0 a a a 0 n, xn R n, a,, an untuk setiap x, x, dan untuk setiap a R efinisi 6 (Adkins, 99) Misalkan M modul atas R X M disebut basis dari M, jika X membangun M dan bebas linear Selanjutnya definisikan modul bebas sebagai berikut : 44

3 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 efinisi 7 (Adkins, 99) Misalkan M modul atas R M disebut modul bebas jika M mempunyai basis Hubungan modul bebas torsi dengan modul bebas dinyatakan sebagai berikut : Teorema 8 (Hartley, 994) Jika R adalah daerah eal utama dan M modul bebas torsi atas R yang dibangun berhingga maka M modul bebas efinisi modul projektif adalah : efinisi 7(Rotman, 979) Misalkan P modul atas ring R P disebut modul projektif jika setiap untuk setiap epimorfisma : M N dan untuk sebarang homomorfisma : P N, terdapat : P M sedemikian sehingga, dengan M dan N modul-modul atas ring R Operator iferensial Berikut ini diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan operator diferensial, yang mendasari kontruksi dari tes formal dalam menentukan modul projektif dan modul bebas : efinisi (Pommaret&Quadrat, 998) Misalkan operator diferensial parsial linear, maka operator disebut formally injektive jika = 0 = 0 operator disebut formally surjective jika terdiferensial secara independen, yaitu jika = tak mempunyai kondisi kompetibel atau dengan kata lain tak terdapat operator, sedemikian sehingga jika = maka = 0 efinisi (Pommaret&Quadrat, 998) Misalkan [ i, i = 0, l] barisan operator differensial [ i, i = 0, l] disebut eksak lokal jika ker i+ = im i untuk setiap i = 0, l Akibatnya diperoleh sifat berikut : Sifat 3 (Pommaret&Quadrat, 998) Misalkan [ i, i 0, l ] barisan operator differensial Jika [ i, i 0, l ] eksak lokal maka i+ i = 0 untuk setiap i 0, l iketahui [ i, i = 0, l] eksak lokal Akan ditunjukkan i+ i = 0 Misalkan i : F i F i dan i + : F i F i +, untuk i 0, l iketahui [ i, i = 0, l] eksak lokal, maka ker i+ = im i Ambil sebarang x F i, maka ( i+ i )(x) = i+ ( i (x)) = i+ (y) untuk y im i karena ker i+ = im i untuk setiap i 0, l, maka i+(y) = 0 untuk y im i Jadi i+ i = 0 untuk setiap i 0, l Selanjutnya definisikan eksak formal sebagai berikut : efinisi 4 (Pommaret&Quadrat, 998) 45

4 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 Misalkan [ i, i = 0, l] barisan operator differensial Barisan [ i, i = 0, l] disebut eksak formal (formally exact) jika setiap operator membangun semua kondisi kompetibel dari operator sebelumnya Berdasarkan efinisi 4 diperoleh sifat berikut : Sifat 5 (Pommaret&Quadrat, 998) Misalkan operator differensial, maka Jika barisan differensial 0 E injektif Jika barisan differensial E surjektif Bukti: F adalah eksak formal maka operator disebut F 0 adalah eksak formal maka operator disebut diketahui 0 E F adalah eksak formal Akan dibuktikan injektif ' Misalkan operator differensial dari 0 ke E, karena diketahui 0 E F eksak formal, maka operator membangun semua kondisi kompetibel dari atau dengan kata lain 0 = e e = 0, untuk e E Ambil sebarang x dan y E, misalkan x = y maka : x = y x y = 0 (x y) = 0 (x y) = 0 adalah kondisi kompetibel dari 0 = x y Karena 0 = 0, akibatnya x y = 0 x = y Jadi terbukti injektif diketahui E F 0 adalah eksak formal Akan dibuktikan surjektif ' Misalkan operator differensial dari F ke 0, karena diketahui E F 0 eksak formal, maka operator membangun semua kondisi kompetibel dari atau dengan kata lain e = f f = 0, untuk e E dan f F Ambil sebarang f F, karena g = 0 untuk setiap g F, maka f = 0 akibatnya terdapat e E sedemikian sehingaa e = f f = 0 Jadi terbukti surjektif Selanjutnya definisikan barisan diferensial split sebagai berikut : efinisi 6 (Pommaret&Quadrat, 998) 0 F 0 F 0 disebut barisan diferensial split eksak jika Barisan eksak formal 0 E memenuhi salah satu sifat ekivalen berikut : terdapat operator P : F 0 F sedemikian sehingga P = terdapat operator P 0 : F 0 E sedemikian sehingga 0 P 0 = E 3 F 0 E F F, 46

5 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 Sistem diferensial linier yang dibahas pada penelitian ini adalah sistem yang terintegral secara formal dengan involutive simbol, yaitu barisan dimulai dengan dan setiap operator medeskripsikan secara tepat kondisi kompetibel dari kondisi yang terdahulu dan berhenti ketika lebih dari n + operator, dimana n adalah dimensi dari X Barisan n F 0 F F n n F n+ 0 adalah formal eksak dan barisan ini biasanya disebut barisan Janet dari Berikut adalah definisi dari formal adjoint dari suatu operator : efinisi 7 (Pommaret&Quadrat, 998) Misalkan : F0 F operator diferensial linear dengan adjoint formalnya : F F 0 efinisikan aturan formal yang ekivalen dengan integration dari masing-masing bagian sebagai berikut : matriks adjoint (zero order operator) adalah matriks transposenya adjoint dari i adalah - i 3 dua operator linear P, yaitu P, Q yang dapat dikomposisikan, maka 3 HASIL AN PEMBAHASAN 3 Tes Formal Module Projektif P Q Q P Misalkan operator surjektif dengan adjoint injektif Jika operator injektif yang berada diantara konsekuensi diferensial dari persamaan = maka dapat dicari P dengan membawa = F, dimana F ke integrability formal, sedemikian sehingga diperoleh P adalah operator entitas dari F dan operator P adalah invers kiri dari, kemudian dualisasikan P = F, maka diperoleh P = F, atau dengan kata lain invers kanan P Hal ini ekivalen dengan mengatakan modul M atas ditentukan oleh operator surjektif adalah modul projektif atas 47

6 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 Akibatnya diperoleh teorema berikut ini : Teorema 3 Operator diferensial surjektif : F0 F menentukan modul projektif atas jika dan hanya jika adjointnya injektif, yaitu jika terdapat P : F sedemikian sehingga P = F iketahui operator diferensial surjektif : F0 F menentukan modul projektif atas Akan ditunjukkan adjointn injektif iketahui operator diferensial surjektif : F0 F menentukan modul projektif atas maka terdapat operator P : F sedemikian sehingga P = F ualkan P = diperoleh P = F F, dimana F adalah operator entitas dari F Jadi P adalah invers kiri dari atau dengan kata lain jika = maka = P sehingga jika = 0 ( = 0), maka = 0 Jadi injektif iketahui operator diferensial surjektif : F0 F dan adjointn injektif Akan ditunjukkan operator diferensial menentukan modul projektif atas operator diferensial menentukan modul projektif atas jika terdapat operator P : F sedemikian sehingga P = iketahui adjointn, yaitu : F F 0 injektif, yaitu jika 0 maka 0, sehingga terdapat P : F 0 F, dimana jika = maka = P Akibatnya P = engan mendualkan P = diperoleh F P = F F F atau dengan kata lain operator diferensial menentukan modul projektif atas Selanjutnya diberikan sifat dari operator diferensial yang menentukan modul projektif atas Sifat 3 Misalkan : F0 F operator yang tak surjektif Operator : F0 F menentukan modul projektif atas jika dan hanya jika terdapat operator P : F F sedemikian sehingga P + P = F ( ) iketahui : F0 F operator yang tak surjektif dan operator : F0 F menentukan Modul projektif atas Akan dibuktikan jika terdapat operator P : F F sedemikian sehingga P + P = F 48

7 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 iketahui : F 0 F menentukan modul projektif atas maka terdapat operator P : F F 0 sedemikian sehingga P = P = im P = P = 0 ( P ) = 0 (3) F iketahui juga : F 0 F operator yang tak selalu surjektif, maka terdapat operator, sedemikian sehingga jika = maka = 0 = 0 Sehingga berdasarkan (3), haruslaha ( P ) merupakan faktorisasi dari Akibatnya F im terdapat operator P sedemikian sehingga diperoleh : P = P P + P = F ( ) iketahui : F0 F operator yang tak surjektif dan terdapat operator P : F F sedemikian sehingga P + P = F Akan dibuktikan : F0 F menentukan modul projektif atas iketahui : F0 F operator yang tak selalu surjektif, maka terdapat operator, sedemikian sehingga jika = maka = 0 = 0 iketahui juga terdapat operator P : F F sedemikian sehingga P + P = P = P F P = F modulo = im Jadi terdapat P : F F 0 sedemikian sehingga P = F F im Jadi menentukan modul projektif atas Akibat dari Sifat 3, maka diperoleh karakteristik dari modul projektif sebagai berikut : Teorema 33 Operator : F0 F menentukan modul projektif atas jika terdapat operator P : F sedemikian sehingga P = Operator P disebut operator lift Bukti iketahui bukan operator yang surjektif dan terdapat operator P : F sedemikian sehingga P = Akan dibuktikan menentukan modul projektif atas iketahui terdapat operator P : F sedemikian sehingga P =, maka berdasarkan Sifat 3 terdapat operator P sedemikian sehingga P + P = Akibatnya berdasarkan Sifat 3 menentukan modul F projektif atas Selanjutnya berdasarkan Sifat 3, diperoleh P + P = P = P F F P = ( P ) F 49

8 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 P = F P ) P = 0 P P = 0 P = maka beradasarkan Teorema 33 menentukan modul projektif atas Selanjutnya dengan mendualkan P =, diperoleh P =, jadi juga menentukan modul projektif atas, dan diperoleh juga = 0 dan P + P = F Indentitas pertama menunjukkan im ker, selanjutnya jika diambil ker, maka entitas kedua menunjukkan bahwa ( P ) = jadi im Akibatnya im = ker engan demikian diperoleh barisan lokal eksak berikut : Jadi operator dengan kata lain = 0 0 F F F secara tepat membangun kondisi kompetibel dari operator atau Sebaliknya jika F 0 F F lokal eksak maka = 0, dan surjektif dengan injektif, maka menentukan modul projektif atas sehingga terdapat operator P sedemikian sehingga P = sehingga dengan mendualkan P =, maka diperoleh P = P = 0 ( P ) = 0 F Karena = 0, maka P harus merupakan faktorisasi dari, sehingga F terdapat P sedemikian sehingga P + P = P = F Akibatnya dengan mendualkan P = maka diperoleh P = atau dengan kata lain menentukan modul projektif Jadi untuk menunjukkan menentukan modul projektif, cukup ditunjukkan terdapat barisan formal eksak dengan dual dari operator terakhirnya adalah injektif Berdasarkan keterangan di atas, tes formal untuk mencek apakah modul M yang ditentukan oleh operator adalah modul projektif atas dimana operator tak surjektif sebagai berikut : Tes formal modul projektif mengkonstruksi barisan Jenet yang diawali dengan operator lakukan pencekan jika adjoint dari operator terakhir injektif atau tak 3 kamudian lakukan pencekan jika barisan yang terurut mundur, dibuat dengan adjoint dari barisan Janet adalah barisan formal eksak 50

9 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 Selanjutnya akan dijelaskan bagaimana cara menghitung lift-operator P Misalkan P adalah operator yang mendefinisikan modul projektif atas, maka terdapat dua barisan lokal eksak berikut : n F 0 F F n n F n+ 0 F 0 F n F n n Fn 0 Misalkan n + adalah operator surjektif dengan adjoint n yang injektif, maka terdapat operator P n + : F n+ F n sedemikian sehingga n + P n + = F n n + P n + n + = n + Selanjutnya dibentuk Q n = F n - P n + n +, maka diperoleh n + Q n = n + n + P n + n + = n + n + = 0 Jadi Q n n = 0, yang menyatakan bahwa Q n adalah faktorisasi melalui n, yaitu Q n = P n n Q n = n P n n P n + P n + n + = F n n P n n = n engan cara yang sama, dapat dicari P i untuk i [,n], yang memenuhi i P i i = i Akibatnya lift-operator P i dapat dihitung sebagai berikut : menentukan operator P i sedemikian sehingga P i i = F i dan tentukan adjointnya (P i ) untuk i n menentukan Q i - = F i P i i dan Q i 3 sama dengan sebelumnya Q i harus merupakan faktorisasi melalui i dan tentukan P i sedemikian sehingga Q i = Pi i dan dualisasikan, sehingga diperoleh P i 3 Tes Formal Modul Bebas Pada pembahasan berikut adalah daerahi eal utama, maka modul bebas torsi atas adalah modul bebas atas Berikut adalah beberapa teorema yang bermanfaat untuk menunjukkan operator diferensial menentukan modul bebas : Teorama 3 Suatu sistem kendali time varying O linear yang surjektif dikatakan terkendali jika dan hanya jika adjointya injektif Jika adalah principal ring, maka modul bebas torsi M atas adalah modul bebas M atas dan modul bebas M atas adalah modul projektif atas, sehingga sistem kendali O linear terkendali jika dan hanya jika M module projektif atas iketahui operator surjektif, maka menentukan module projektif M atas jika dan hanya jika adjointnya yaitu injektif Jadi terbukti sistem kendali time varying O linear yang surjektif terkendali jika dan hanya jika adjointya injektif maka menentukan modul projektif M atas dan sistem terkendali 5

10 Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 Teorema 3 Operator menentukan module bebas M atas jika dan hanya jika terdapat parameter injektif dari Misalkan 0 adalah parameter dari Jika M [ ] maka M [ ] Selanjutnya jika 0 paremeter injektif dari, maka terdapat invers kiri P 0 dari 0 sedemikian sehingga P0 0 Karena 0 maka P0, sehingga M Akibatnya M iketahui jika operator parametrizable maka sistem terkendali, dan sistem terkendali jika operator menentukan modul bebas torsi, sehingga M adalah modul bebas torsi atas Akibatnya karena daerah eal utama maka M adalah modul bebas atas iketahui menentukan -module bebas M, maka menentukan -module bebas torsi M Sehingga selalu dapat ditemukan operator 0 sedemikian sehingga semua kondisi kompetibel dari 0 hanya dibangun oleh 0 atau dengan kata lain paramatrizable dengan parameternya adalah 0 Selanjutnya karena menentukan - module bebas torsi maka sistem terkendali, akibatnya berdasarkan Teorema 3, adjoint dari, yaitu 0 adalah operator injektif Jadi terbukti terdapat parameter injektif dari 4 KESIMPULAN Tes formal yang digunakan untuk menunjukkan suatu modul atas operator diferensial projektif atau bebas, sangat bergantung pada karekteristik dari operator diferensial Untuk modul projektif, tes formal yang digunakan tergantung pada kesurjektifan dari operator tersebut Sedangkan untuk modul bebas harus atas suatu daerah eal utama Tes formal modul projektif adalah dengan mengkonstruksi barisan Jenet yang diawali dengan operator ; lakukan pencekan jika adjoint dari operator terakhir injektif atau tak; kamudian lakukan pencekan jika barisan yang terurut mundur, dibuat dengan adjoint dari barisan Janet adalah barisan formal eksak Sedangkan tes formal modul bebas adalah dengan menentukan parameter injektif dari operator diferensial yang menentukan modul bebas 5 AFTAR PUSTAKA Adkins, AW and SH Weintraub, 99, Algebra: An Approach via Module Theory, Springer-Verlag, New York Fraleigh, JB, 000, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wasley Publishing Company, New York Hartley, B and TO Hawkes, 994, Rings, Modules and Linier Algebra, Chapman-Hall, London Pommaret, JF and A Quadrat, 998, Applicable Algebra in Engineering, Comunication and Computing: Generalized Bezout Identity, volume 9, 9-6, Springer-Verlag 5