BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi

Transkripsi

1 BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus 1. Pegerta Aljabar Max-Plus Aljabar Max-Plus adalah hmpua { } dega hmpua semua blaga real yag dlegkap dega operas maksmum, dotaska dega da operas pejumlaha yag dotaska dega. Selajutya (,, ) dotaska dega da dotaska dega ε. Eleme ε merupaka eleme etral terhadap operas da 0 merupaka eleme dettas terhadap operas. Bayak peraa Aljabar Max-Plus dalam meyelesaka persoala d beberapa bdag sepert teor graf, kombatork, teor sstem, teor atra, da proses stokastk. Hal telah dbahas dalam beberapa buku da jural sepert B. De Schutter, et.al (1998), Hedergott (1999), Bacell,et.al (001), da Kase G. Farlow, (009).. Matrks da Vektor pada Aljabar Max-Plus Masalah-masalah optmalsas olear dapat mejad lear pada, maka dalam hal aka dbahas megea matrks da vektor pada (Kase G. Farlow, 009:11). 7

2 8 a. Matrks Hmpua matrks x m utuk m, pada dotaska dega xm. Dalam matrks, meujukka jumlah bars da m meujukka jumlah kolom. Secara khusus dalam Aljabar, matrks xm A dtuls sebaga berkut: a a a a1 a a A a a a m m 1 m Matrks A utuk la masukka ke- bars da ke-j kolom dotaska dega A j. Pejumlaha da maksmum pada matrks da vektor Aljabar Max-Plus ddefska dega cara yag berbeda yak maksmum da pejumlaha. Defs.1 (Kase G. Farlow, 009: 1) x a. Utuk AB, maksmumya ddefska A Bdega: A B A A ( A, B ) j j j j j b. Traspose dar matrks dotaska dega dalam Aljabar Max-Plus ddefska [ A T ] j T A da secara khusus A j c. Matrks dettas Aljabar Max-Plus x, E ddefska sebaga berkut: E j 0 jka jka j j

3 9 d. Utuk matrks perseg da k blaga bulat postp, pagkat ke-k pada A dotaska dega k A ddefska: k A A A... A utuk k = 0, 0 A E sampa kek xm e. Utuk sebarag matrks A da sebarag skalar a, a A ddefska sebaga berkut: a A a A j Cotoh.1: j Dberka 3 A e 4 da B 3 5, maka (,3) (3,5) 3 5 A B e ( e, 1) (4, 4) e (3, ) (5,3) 3 5 B A 1 4 e 4 ( 1, e) (4, 4) e 4 Jad AB B A A B e ( 3,3 ( 1)) ( 5,3 4) ( e 3, 4 ( 1)) ( e 5, 4 4) B A 1 4 e 4 (3,5 e) (3 3,5 4) (( 1), 4 e) (( 1) 3, 4 4)

4 10 Jad AB B A Operas pada matrks A da B bersfat komutatf utuk matrks karea A B B A, tetap tdak. Matrks dettas merupaka dettas pada, mx AE A utuk semua A da xm Em A A utuk semua A. b. Vektor Aggota dar x dsebut vektor Max-Plus. Kompoe ke-j dar vektor x dotaska dega j x atau x j. Kolom ke-j dar matrks dettas Edketahu sebaga vektor bass ke-j pada. Vektor dotaska dega e (,,,...,,,,,... ). Dega kata la, e merupaka masukka ke-j pada vektor. j B. Matrks Atas Aljabar Max-Plus Operas da pada dapat dperluas utuk operasoperas matrks Defs. (Rudhto, 004: 4) mx sepert dalam defs berkut: mx Dberka { A ( Aj ) Aj utuk 1,,..., m da j 1,,..., } mx 1. Dketahu, AB,. Ddefska A adalah matrks yag usur ke-j-ya:

5 11 ( A) j A j utuk = 1,,..,m da j = 1,,., da A B adalah matrks yag usur ke-j-ya: ( A B) j A j B j utuk = 1,,..,m da j = 1,,.,. Dketahu mxp px A, B. Ddefska A B adalah matrks yag usur ke-j-ya: p ( A B) A B utuk = 1,,..,m da j = 1,,., j k kj k1 Cotoh.: (1,1) (5,5) (,3) (,6) (4, 4) ( 3, 4)

6 (,9,8) (8,3,9) (,8,11) (,,1) Defs.3 (Rudhto, 004: 4) Matrks AB, dkataka sama jka Aj Bj utuk setap da j. mx Operas da utuk matrks tersebut memlk sfat-sfat berkut: Teorema.1 (Suboo, 010: 14) Beberapa sfat berkut berlaku utuk sebarag matrks A, B, da C dega ukura yag bersesuaa da operas matrks terdefs. () (A B) C = A ( B C) () (A B) C = A (B C) () A (B C) = (A B) (A C) (v) (A B) C =(A C) (B C) (v) A A = A Bukt: Aka dbuktka utuk () da (), sedagka bukt yag laya megkut dar defs operas da sfat-sfat operas pada. Bukt (), ambl sebarag matrks A p pq qm, B, da C.

7 13 Eleme bars ke- kolom ke-j matrks (A B) C adalah sebaga berkut: q A B C A, B, C, q p k1l1 p j k1 l1 A B C, l l, k k, j p q A B C, l l, k k, j l1 k1 A B C, j l l k k j utuk da j m. Bukt () ambl sebarag matrks A qm. p da B, C Eleme Bars ke- kolom ke-j matrks A (B C) adalah sebaga berkut: p AB C A, k Bk, j Ck, j j k 1 p k 1 A B A C, k k, j, k k, j p p A, k Bk, j A, k Ck, j k1 k1 [( A B)] [( AC)], utuk da j m. j j Ddefska matrks ɛ dega (ɛ) j : = ɛ utuk setap da j. m x C. Semmodul Atas Aljabar Max-Plus Aljabar Max-Plus memlk beberapa sfat khusus yag selajutya aka dbuktka bahwa sfat-sfat tersebut terpeuh. Perluasa operas pada utuk matrks dalam m x, semmodul da relas uruta berada d dalamya.

8 14 Defs.4 (Rudhto, 004: 13) Suatu semrg (S, +, ) adalah suatu hmpua tak kosog S dserta dega dua operas ber + da, yag memeuh aksoma berkut: 1. (S, +) merupaka semgrup komutatf dega eleme etral 0, yatu a, b, c S memeuh a) a + b = b + a b) (a + b) + c = a + (b + c) c) a + 0 = 0 + a = a,. (S, ) adalah semgrup dega eleme satua 1, yatu a, b, c S memeuh a) (a b) c = a (b c) b) a 1 = 1 a = a, 3. Sfat peyerapa eleme etral 0 terhadap operas, yatu a S memeuh a 0 = 0 a = Operas dstrbutf terhadap +, yatu a, b, c S berlaku a) (a + b) c = (a c) + (b c) b) a (b + c) = (a b) + (a c) Suatu semrg (S, +, ) dkataka komutatf jka operas bersfat komutatf, yatu a, b S : a b = b a.

9 15 Cotoh.4: Dberka := {} dega adalah hmpua semua blaga real da :. a b: = {a, b} da a b: = a + b. ddefska operas berkut: ab,, Msalka 9-3 = {9, -3} = 9 da -3 1 = = 9. Selajutya dtujukka (,, ) merupaka semrg dega eleme etral = - da eleme satua e = 0, karea utuk setap a, b, c berlaku : () a b = {a, b} = {b, a} = b a, (a b) c = {{a, b}, c} = {a, b, c} = {a, {b,c}} = a (b c), a = {a, - } = {-, a} = a = a. () (a b) c = (a + b) + c = a + (b + c) = a (b c), a e = a + 0 = 0 + a = e a = a, () a = a + (- ) = - = - + a = a, (a b) c = {a, b} + c = {a + c, b + c} = (a c) (b c), a (b c) = a + {b, c} = {a + b, a + c} = (a b) (a b) Selajutya utuk lebh rgkasya, peulsa semrg (,, ) dtuls sebaga. Defs.5 (Rudhto, 004: 133) Suatu semrg (S, +, ) mempuya sfat dempote terhadap operas + berlaku a + a = a, a S.

10 16 Cotoh.5: merupaka semrg komutatf yag sekalgus dempote, sebab utuk setap a, b {a, a} = a Defs.6 (Rudhto, 004: 133) berlaku a b = a + b = b + a = b a da a a = Suatu semrg komutatf (S, +, ) damaka semfeld bla setap eleme x d S - {0} mempuya vers terhadap operas, yatu utuk setap x d S - {0} ada a -1 sehgga a a -1 = a -1 a = 1. Struktur aljabar dar adalah semfeld (Bacell, et.al, 199: 10), yatu: 1. (, ) merupaka semgrup komutatf dega eleme etral.. (, ) merupaka grup komutatf dega eleme dettas Operas da bersfat dstrbutf. 4. Eleme etral bersfat meyerap terhadap operas, yatu a a a, Cotoh.6: Semrg komutatf (,, ) merupaka semfeld karea utuk setap a terdapat a sehgga berlaku a (a) = a + (a) = 0. Cotoh berkut terlhat bahwa merupaka semfeld dempote. dsebut dega Aljabar Max-Plus da eleme-eleme aka

11 17 dsebut juga dega skalar. Dalam hal uruta pegoperasa (jka tada kurug tdak dtulska), operas mempuya prortas yag lebh tgg dar pada operas. Pagkat dalam Aljabar Max-Plus secara basa dperkealka dega megguaka sfat assosatf. Hmpua blaga asl dgabug dega blaga ol dotaska oleh da ddefska utuk x da utuk semua dega 0 x : x x... x utuk = 0 ddefeska x : e( 0). Perhatka bahwa utuk setap, x dalam aljabar basa dbaca sebaga x : x x... x x x... x x Pagkat Aljabar Max-Plus mempuya prortas tertgg dbadgka operas da dalam hal uruta pegoperasa. Defs.7 (Suboo, 010: 15) (S,+,x) adalah semrg komutatf dega eleme etral 0 da 1. Semmodul M atas S adalah semgrup komutatf (M,+) bersama operas perkala skalar : S x M M, dtulska sebaga (α, x) α.x yag memeuh aksoma berkut: α,β S da x,y M berlaku: 1. α ( x + y ) = α x + α y. ( α + β ) x = α x + β x 3. α ( β x ) = ( α x β ) x

12 x = x 5. 0 x = 0 Suatu eleme dar suatu semmodul damaka vektor. Suatu cotoh, 1 adalah semmodul atas. Dalam hal cukup 1 dtuls. Eleme ke-j dar suatu vektor x dotaska oleh x j da dtuls sebaga [x] j. Vektor d dega semua elemeya sama dega e damaka vektor satua dotaska oleh u dtuls sebaga [u] j = e utuk semua j. Utuk setap α vektor α u adalah vektor yag semua elemeya sama dega α. Utuk setap j kolom ke-j dar matrks satua E(,) damaka vektor bass ke-j dar da dotaska oleh e j. Jad, eleme ke-j dar vektor ej sama dega e sedagka eleme laya sama dega e. Berkut dberka suatu relas pada ahmpua yag berkata dega uruta dalam hmpua tersebut. Pegerta dar relas da beberapa sfat aka bergua dalam kaja Aljabar Max-Plus Cotoh.7:. Dberka := { x = [ x 1, x,, x ] T x, = {1,,.., x }. Utuk setap x, y da utuk setap ddefska operas dega x y = [x 1 y 1, x y,, x y ] T da operas perkala skalar dega x = x = [x 1, x,, x ] T

13 19 dapat dpadag sebaga. Dega memperhatka Teorema 1 x 1 1) da ) terlhat bahwa (, ) merupaka semgrup komutatf dega eleme etral = [,,..., ] T. Kemuda dega memperhatka Teorema 1 10), 9), da 8), Defs.8 (Jek Sag, 00: 33) merupaka semmodul atas. Relas pada suatu hmpua P damaka uruta parsal pada P jka utuk semua x, y, z P memeuh, 1. a a, sfat refleks. bla a b da b a, maka a = b, sfat atsmetr 3. bla a b da b c, maka a c, sfat trastf Selajutya, bla berlaku a b atau b a, maka a da b dkataka komparabel. Peulsa a b juga bsa dtuls b a. Bla a b da a b, maka dtuls dega a b. Apabla dua eleme dar P dapat dbadgka, maka uruta parsal damaka uruta total Berkut dberka suatu teorema yag berkata dega pegerta uruta parsal pada suatu semgrup komutatf dempotet. Cotoh.8.1: Hmpua + adalah hmpua blaga bulat postf. Relas (kurag atau sama dega) adalah sebuah parsal order pada +. Jawab : Bla (a,b) ada ddalam R jka a b. Karea setap blaga bulat = drya sedr refleks Karea a b da b a kecual a = b atsmetr

14 0 Jka a b da b c maka a c trastf Jad terbukt bahwa ( +,) merupaka uruta parsal Cotoh.8.: Relas R yag ddefska hmpua blaga bulat postf oleh (x, y) R jka x membag y (tapa ssa). Aka dtujukka bahwa relas R adalah refleksf, atsmetrs, da trastf. Karea jka x membag habs y berart y tdak membag habs x kecual x = y, R adalah sebuah relas atsmetr Karea setap blaga bulat membag habs drya sedr, R merupaka suatu relas refleks Karea jka x membag habs y, da y membag habs z, maka x membag habs z, R adalah sebuah relas trastf. Dega demka R adalah sebuah relas peguruta parsal. Cotoh.8.3: ddefska hmpua blaga bulat (, ) merupaka poset yag terurut total Relas kurag dar atau sama dega pada blaga bulat adalah uruta total karea jka x da y blaga bulat, maka x y atau y x. Teorema. (Suboo, 010: 1) Jka (, +) semgrup komutatf dempotet, maka relas yag ddefska pada dega a b a + b = b, maka relas adalah uruta parsal pada.

15 1 Bukt : Dberka sebarag eleme a, b da c d, maka : () karea dempotet, maka a + a = a a a () jka a b da b a, maka a + b = b da b + a = a da karea komutatf, maka a + b = b + a = a, jad a = b, () jka a b da b c, maka a + b = b da b + c = c da karea mempuya sfat assosatf, maka a + b = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = b + c = c, jad a c. Akbat.1 (Suboo, 010: 1) Relas m yag ddefska pada dega a b a b b merupaka uruta parsal pada. Relas merupaka uruta total pada Bukt :. Karea (, ) merupaka semgrup dempotet, maka meurut Teorema relas m yag ddefska pada d atas merupaka uruta parsal pada. Jka dambl ab,, maka berlaku a b ( a, b) a atau a b ( a, b) a Akbat. (Suboo, 010: ) : Relas mx yag ddefska pada dega m A B A B B A B A B utuk setap da j m j j j m j merupaka uruta parsal pada mx.

16 Bukt: Dega megguaka Teorema () da () da () terlhat bahwa (, ) merupaka semgrup komutatf dempotet. Sehgga meurut mx Teorema relas m yag ddefska pada mx d atas merupaka uruta parsal. Akbat.3 (Suboo, 010: 1): Relas m yag ddefska pada dega x m y x y y x m y utuk setap da j merupaka uruta parsal pada Bukt:. (, ) merupaka semgrup komutatf dempotet, maka relas m yag ddefska pada merupaka uruta parsal pada. Relas m yag ddefska pada mx datas buka merupaka uruta total, karea utuk dua matrks A da B masg-masg berukura x sebaga maa berkut : A da B dega AB Sehgga AB B da AB A. Demka juga relas m yag ddefska pada datas buka merupaka uruta total, karea terdapat vektor A 1,,3 T da B,0, 1 T dega AB 1,,3 T

17 3,0, 1 T,,3 T maka A B B da A B A. Teorema.3 (Suboo, 010: 3): Dberka matrks A m m. Bla vektor x, y dega x m y, maka (A x) m A y. Bukt : m Utuk sebarag x, y dega x m y, maka x y = y A ( x y ) = A y Cotoh.9: Dberka matrks (A x ) ( A y ) = A y A x m A y A da vektor Jelas bahwa x m y. 4 x 6, 6 y A x da A y Terlhat bahwa A x m A y. D. Sstem Persamaa Lear Max-Plus Ax b Sub peyelesaa terbesar pada sstem persamaa ler -plus Ax b aka dbahas pada sub bab. Kekuraga dar aljabar -plus adalah tdak adaya vers addtve. Hal yag meyultka utuk

18 4 meyelesaka sstem persamaa lear Ax b. Dalam aljabar peyelesaa persamaa Ax b tdak selalu ada, bla ada hal belum tetu tuggal. Cotoh.10: Matrks A tdak harus matrks bujur sagkar, utuk matrks A selalu ddapat sub peyelesaa terbesar dar Ax b. Subpeyelesaa terbesar adalah vektor terbesar x yag memeuh Ax b. Peyelesaa dotaska oleh x*(a, b). Sub-peyelesaa terbesar tdak harus merupaka suatu peyelesaa dar Ax b (Suboo, 010: 38). Dberka sstem persamaa lear 3 x x 5 Persamaa Ax b tdak puya peyelesaa, sebab bla puya peyelesaa berart ada x1 x x sehgga 3 x x 5. Ddapat x 1 = 0 da {7, 9 + x } = 5, terlhat bahwa tdak aka ada x sehgga {7, 9 + x }= 5. Jad A x = b tdak puya peyelesaa. Utuk tulah, masalah peyelesaa A x = b dapat dperlemah dega medefska kosep subpeyelesaa berkut. Defs.8 (Rudhto, 005: 160) Dberka A mx m da b. Vektor x dsebut suatu sub peyelesaa sstem persamaa lear A x = b jka vektor x tersebut memeuh A x b. m

19 5 Subpeyelesaa A x = b selalu ada, karea utuk = [,,, ] T selalu berlaku A = b. Defs.9 (Rudhto, 005: 160) m Suatu subpeyelesaa ˆx dar sstem A x = b dsebut subpeyelesaa terbesar sstem A x = b jka x x ˆ utuk seta m subpeyelesaa x dar sstem A x = b. Teorema.4 (Baccell, et.al., 001: 110) Dberka A semuaya sama dega da b mx dega usur-usur setap kolomya tdak m. Subpeyelesaa terbesar A x = b ada da dberka oleh ˆx dega - xˆ ( b A ) utuk setap = 1,, 3,.,m da j = 1,,., Bukt : j j A11 x1 A1 x... A1 x m b1 A1 x1 A x... A x m b ( A x b) : A x A x... A x b m1 1 m m m m ( A x ) b, j j j ( A x ) b, j j m, j ( A x ) b, j j, j Usur setap kolom matrks A tdak semuaya sama dega, maka utuk setap j selalu ada sehgga Aj yag berart - A j ada. Meggat setap a berlaku a da a a, maka

20 6 koefse-koefse A j = tdak aka berpegaruh pada la A x. Sehgga oleh karea tu, berlaku: ( A x ) b, j j, j ( A x b, dega A ) j j, j j ( x b A, dega A ) j j, j j ( x m( b A ), dega A ) j j j j ( x ( b A ), ) j j j Jad, subpeyelesaa sstem A x = b adalah setap vektor x yag kompoe-kompoeya memeuh x ( b A ),. Jka ' j j j vektor xˆ [ xˆ ˆ ˆ 1, x,..., x ] T ddefska dega xˆ j ( b Aj ) utuk setap j = 1,, 3,,, maka dperoleh ( xˆ ( b A ), ) j j j ( xˆ m( b A ), dega A ) ( xˆ b A, dega A ) ( A xˆ b, j j j j j j j j j j j m A xˆ b m Vektor ˆx tersebut merupaka subpeyelesaa sstem A x = b karea xˆ ( b A ) xˆ,, maka j j j j x xˆ,. Akbatya ' j j j ' x m xˆ sehgga vektor ˆx tersebut merupaka subpeyelesaa terbesar sstem A x = b. Terkat hal tersebut, maka dapat dketahu cara utuk meyelesaka sstem persamaa Ax b. Lagkah pertama, dhtug

21 7 terlebh dahulu subpeyelesaa terbesarya. Kemuda dperksa subpeyelesaa terbesarya tu memeuh sstem persamaa atau tdak. Utuk mempermudah meghtug subpeyelesaa terbesar Ax b, dperhatka bahwa: xˆ 1 xˆ xˆ xˆ ( b A 1) ( b A ) ( b Am) ( A 1 b) ( A b) ( Am b ) T... m m... A11 b1 A1 b A 1 b A1 b1 A b Am bm A1 b1 A b... Am bm A ( b) Subpeyelesaa terbesar Ax b dapat dtetuka dega lagkah T pertama meghtug xˆ A ( b). Dalam Teorema 4 tersebut, karea dasumska bahwa kompoe setap kolom matrks A tdak semuaya sama dega, maka subpeyelesaa terbesar x ˆ.

22 8 Cotoh.11: Sebelum mecar peyelesaa terbesar sstem persamaa berkut, terlebh dahulu meetuka subpeyelesaa terbesarya x1 5 8 x 6 13 T Htug la A ( b) T A ( b) Sehgga ddapatka subpeyelesaa terbesar sstem persamaa d atas adalah 11 7 Karea maka merupaka peyelesaa sstem d atas. Cotoh.1: Sebelum mecar peyelesaa terbesar sstem persamaa berkut, terlebh dulu meetuka subpeyelesaa terbesarya x1 5 1 x 6 13 T Htug la A ( b) terlebh dahulu

23 9 T A ( b) Sehgga ddapatka subpeyelesaa terbesar sstem persamaa d atas adalah 11 7 Karea maka 11 7 buka merupaka peyelesaa sstem d atas. Persamaa lear Max-Plus Ax b mempuya subpeyelesaa terbesar yag buka merupaka peyelesaa, maka Sstem Persamaa Lear Max-Plus tersebut tdak mempuya peyelesaa. I dapat dtujukka sebaga berkut, adaka x adalah peyelesaa Sstem Persamaa Lear Max-Plus Ax b yag berart ( Ax ) b utuk setap = 1,,., m. Msalka Sstem Persamaa Lear Max-Plus Ax b mempuya subpeyelesaa terbesar ˆx yag buka merupaka peyelesaa yag berart terdapat {1,,.., m}, sehgga ( Axˆ ) b. Utuk tu, x merupaka subpeyelesaa, maka x xˆ. Akbatya berlaku ( A x ) ( A xˆ ) yag berart m ( A x ) ( A xˆ ), utuk setap = 1,,., m. Hal berakbat terdapat m {1,,. m}, sehgga ( A x ) ( A xˆ ) b, yag kotadks dega pegadaa d atas.

24 30 Akbat.4 (Schutter ad Boom, 000: 3) Dberka A mx semuaya sama dega da b dega usur-usur setap kolomya tdak m. Jka ˆx adalah subpeyelesaa terbesar sstem persamaa lear Max-Plus Ax b maka utuk setap deks j {1,,. m} terdapat suatu deks (j) {1,,. m} sedemka sehgga A ˆ ( j), j x j b ( j). Bukt : Karea ˆx subpeyelesaa terbesar sstem Ax b, maka meurut Teorema 4 xˆ m( b A ) utuk j = 1,,., dega j j Aj. Hal berart utuk setap deks j {1,,..) terdapat suatu ˆ j j j j deks (j) {1,,.., m} sedemka sehgga x b ( ) A ( ), atau A xˆ b ( j), j j ( j) Defs.10 (Rudhto, 005 :16) Dberka x [ x1, x,..., x ] T. Ddefska x maks x utuk = 1,,.,. Dberka masalah optmsas yag berkata dega sstem persamaa lear -plus Ax b berkut : Dberka A mx dega setap kolom matrks A tdak semuaya sama dega, da x m, maka Ax b m. Akbatya b - A x merupaka hasl operas peguraga vektor dalam m.

25 31 Berkut teorema yag memberka peyelesaa masalah optmsas tersebut. Teorema.5 (Schutter, 1996 : 37) Dberka A mx dega kompoe setap kolomya tdak semuaya sama dega, da b m. Vektor x # x dega ˆx subpeyelesaa terbesar sstem A x = b da b A xˆ, merupaka vektor yag memmalka b A xˆ. Selajutya b A xˆ Bukt : Msalka ˆx subpeyelesaa terbesar sstem Ax b () Jka ˆx adalah peyelesaa sstem Ax b, maka () b A xˆ maks b ( A xˆ) 0. Akbatya ˆx memmalka b A xˆ () Jka ˆx buka merupaka peyelesaa sstem Ax b, maka b A xˆ maks b ( ˆ A x) 0. Karea Axˆ m b, maka maks b ( A xˆ) maks b ( A xˆ). Hmpua deks yatu {1,,.., m} dapat dparts mejad tga hmpua baga I, J, K sedemka sehgga: b A xˆ 0 utuk semua I

26 3 b A xˆ utuk semua J b A xˆ, utuk semua K, dega 0 1 ˆx merupaka subpeyelesaa terbesar sstem A x = b, maka meurut Akbat.4 utuk setap deks j {1,,..., } terdapat suatu deks ( j) {1,,..., m} sedemka sehgga A ˆ ( j), j x j b ( j). Akbatya I tdak kosog, karea ˆx buka merupaka peyelesaa sstem Ax b, maka terdapat suatu deks, sehgga maks b ( A xˆ ). Akbatya hmpua J juga tdak kosog. Semetara hmpua K dapat kosog atau tdak kosog. Teorema.6 (Rudhto, 005 :163) Setap x yag memeuh x xˆ berlaku ( A x) ( A xˆ ), yag m m berakbat maks b ( A xˆ ) maks b ( A xˆ ) utuk setap x xˆ. m Dega memperhatka Teorema.5 dperoleh bahwa utuk sebarag a berlaku ( A xˆ) a A( xˆ a). Jka a 0, maka ˆx m ( xˆ a) yag berakbat maks b ( A xˆ ) maks b ( A xˆ ) utuk suatu skalar postf a0. Ddefska b x( a) : xˆ a dega a, a0, b ( A x( a)) b (( A xˆ ) a), maka dperoleh:

27 33 a, jka I b ( A x( a)) a, jka J a, jka K I da J tdak kosog da 0 1utuk semua K, maka b A x( a) b ( A x( a)) ( a, a ) yag mempuya a0 la mmum utuk a. Dperoleh ˆ merupaka # x x( ) x vektor yag memmumka b A x da dperoleh # b A x,. Dtujukka bahwa tdak ada vektor x yag memeuh b A x. Msalka terdapat vektor x sedemka sehgga b A x (1) Ddefska x xˆ maka A x A( xˆ ). ˆx merupaka subpeyelesaa terbesar sstem Ax b maka meurut Akbat.4 utuk setap j{1,,..., } maka terdapat suatu deks (j) sedemka sehgga A ˆ ( j), j x j b ( j). ( A x ) ( A xˆ ) A xˆ, maka dperoleh ( j) ( j), j j j ( j), j j j j ( A x) ( j ) b j j. Karea ketaksamaa (1) maka j () utuk setap j {1,,..., }.

28 34 ˆx merupaka subpeyelesaa terbesar sstem Ax b maka terdapat suatu deks {1,,..., m} sedemka sehgga b ( ˆ A x) ataub ( A xˆ ). ( A xˆ) A ˆ 1 x1 A xˆ... A ˆ mxm ( A 1 xˆ 1, A xˆ ˆ,..., Am xm), maka A xˆ b utuk setap j {1,,..., }. j j Akbatya ( Ax ) ( A xˆ ) ( b ) j j j j j j b j. Ketaksamaa (), maka b j b j j b. Jad, terdapat suatu deks {1,,..., m} sedemka, sehgga ( A x ) b atau b ( A x ). Hal berakbat bahwa b ( Ax ), yag bertetaga dega bahwa b ( A x ). E. Sstem Evet Dskret (SED) da Aljabar Max-Plus Meurut Necoara et.al. (008: 1), SED merupaka suatu keadaa sstem past bergatug dega waktu yak setap waktu bertambah, maka keadaa sstem dpastka berubah pula. Sstem yag demka dsebut dega sstem terkedal waktu (tme-drve system). Sela sstem tersebut, serg djumpa pula suatu sstem yag berkembag berdasarka kemucula kejadaya. Trass keadaa merupaka hasl dar kejada la yag selaras (kejada-kejada yag bertdak sebaga kejada put bag trass keadaa yag bersagkuta). Dega kata

29 35 la, perubaha keadaa merupaka hasl dar kejada sebelumya. Sstem sepert dsebut dega sstem terkedal kejada (evet-drve system). Aljabar Max-Plus dapat dguaka utuk meggambarka secara lear damka waktu dar suatu sstem olear dalam aljabar kovesoal, sehgga pembahasa mejad lebh mudah. Pedekata Aljabar Max-Plus bergua utuk meetuka da megaalsa berbaga sfat sstem, tetap pedekata haya bsa dterapka pada sebaga klas SED. Sub klas adalah sub klas dar waktu vara SED determstk. Tujua utama dar jes sstem evet dskret dapat djabarka megguaka model Sstem lear Max-Plus waktu varat sebaga berkut: x( k 1) A x( k) B u( k).(1) y( k) C x( k).() Dperhatka suatu sstem produks sederhaa yag dsajka dalam Gambar 1 berkut: u(k) t 1 = d 1 = 5 P 1 t 3 = 1 d 3 = 3 P 3 t 5 = 0 y(k) d = 6 t = 0 P t 4 = 0 Gambar 1. Cotoh Sstem Produks Sederhaa (Schutter, 1996 : 5)

30 36 Sstem terdr dar 3 ut pemrosesa P 1, P, P 3. Baha baku dmasukka ke P 1 da P, dproses da dkrmka ke P 3. Waktu pemrosesa utuk P 1, P da P 3 berturut-turut adalah d 1 = 5, d = 6 da d 3 = 3 satua waktu. Dasumska bahwa baha baku memerluka t 1 = satua waktu utuk dapat masuk dar put ke P 1 da memerluka t 3 = 1 satua waktu dar produk yag telah dselesaka d P 1 utuk sampa d P 3, sedagka waktu trasportas yag la dabaka. Pada put sstem da atara ut pemrosesa terdapat peyagga (buffer), yag berturutturut dsebut buffer put da buffer teral, dega kapastas yag cukup besar utuk mejam tdak ada peyagga yag meluap (overflow). Suatu ut pemrosesa haya dapat mula bekerja utuk suatu produk baru jka a telah meyelesaka pemrosesa produk sebelumya. Dasumska bahwa setap ut pemrosesa mula bekerja segera setelah baha terseda. Ddefska (Rudhto, 003): ) u(k+1) : waktu saat baha baku dmasukka ke sstem utuk pemrosesa ke-(k+1), ) x (k) : waktu saat ut pemrosesa ke- mula bekerja utuk pemrosesa ke-k, ) y(k) : waktu saat produk ke-k yag dselesaka meggalka sstem. Waktu saat P 1 mula bekerja utuk pemrosesa ke-(k+1) dapat dtetuka sebaga berkut. Jka baha metah dmasukka ke sstem utuk pemrosesa ke-(k+1), maka baha metah terseda pada put

31 37 ut pemrosesa P 1 pada waktu t = u(k+1) +. P 1 haya dapat mula bekerja pada sejumlah baha baku baru segera setelah meyelesaka pemrosesa sebelumya, yatu sejumlah baha baku utuk pemrosesa ke-k. Waktu pemrosesa pada P 1 adalah d 1 = 5 satua waktu, maka produk setegah jad ke-k aka meggalka P 1 pada saat t = x 1 (k) + 5. Hal dapat dtulska dega: x 1 (k+1) = (u(k+1) +, x 1 (k) + 5) utuk k = 1,, 3,.... Dega alasa yag sama utuk P, P 3 da waktu saat produk ke-k yag dselesaka meggalka sstem, dperoleh: x (k+1) = (u(k+1) + 0, x (k) + 6) x 3 (k+1) = (x 1 (k+1) , x (k+1) , x 3 (k) + 3) = ( (u(k+1) +, x 1 (k) + 5) + 6, (u(k+1) + 0, x (k) + 6) + 6, x 3 (k) + 3) = (u(k+1) + + 6, x1(k+1) , u(k+1) , x(k) , x 3 (k) + 3) = ( x1(k) + 11, x(k) + 1, x3(k) + 3, u(k+1) + 8) y(k) = x 3 (k) utuk k = 1,, 3,.... Megguaka operas Aljabar Max-Plus, persamaa-persamaa dalam model sstem produks sederhaa d atas dapat dtulska sebaga berkut: x 1 (k+1) = 5 x 1 (k) u(k+1) x (k+1) = 6 x (k) u(k+1)

32 38 x 3 (k+1) = 11 x 1 (k) 1 x (k) 3 x 3 (k) 8 u(k+1) y(k) = 3 x 3 (k). Jka dtulska dalam persamaa matrks dalam Aljabar Max-Plus, persamaa-persamaa d atas mejad x(k+1) = x(k) 3 0 u(k+1) 8 y(k) = 3 x(k) utuk k = 1,, 3,..., dega x(k) = [x 1 (k), x (k), x 3 (k)] T. Hasl d atas dapat juga dtulska dega: x(k+1) = A x(k) B u(k+1) y(k) = C x(k) utuk k = 1,, 3,..., dega x(k) = [x 1 (k), x (k), x 3 (k)] T 3, keadaa awal x(0) = x 0, A = , B = da C = Sstem Evet Dskret (SED) yag dbahas mempuya waktu aktftas da barsa kejada yag determstk telah dlustraska pada cotoh datas. Matrks dalam persamaa sstemya merupaka matrks kosta, yatu tdak tergatug pada parameter k, sehgga sstemya merupaka sstem waktu varat. Sstem sepert dalam cotoh d atas merupaka suatu cotoh Sstem Lear Max-Plus Waktu Ivarat sepert yag dberka dalam defs berkut.

33 39 Sstem Evet Dskret waktu varat dapat daalss megguaka beberapa tekk Aljabar Max-Plus yag dlustraska atara la pada sstem produks. Ada 5 jes Sstem Evet Dskret (SED) pada sstem produks, dasumska bahwa u (k), x (k) da y (k) dketahu (Schutter, 1996: 8-11 ) yak sebaga berkut: Jes 1: Ser Ada ut pemroses P 1 da P yag dhubugka secara ser. D atara P 1 da P ada peyagga dega kapastas terbatas N 1. u(k) x 1 (k) d 1 N 1 d x (k) P P 1 y(k) Gambar. Sstem Produks Ser Output peyagga dar pemroses ut P 1 mempuya kapastas dar sebaga N 1, P 1 haya dapat memula proses ke-(k + 1) jka proses (k-n 1 ) telah meggalka output peyagga dar P 1, kemuda ut P memula proses ke-(k-n 1 ). Maka dar tu dperoleh: x ( k 1) ( u( k), x ( k) d, x ( k N )) x ( k 1) ( x ( k) d, x ( k 1) d ) y( k) x ( k) d Jes : Assembly Berkut merupaka keadaa dmaa satu ut pemroses (P +1 ) assembles yag berhubuga yag berasal dar ut-ut proses laya (P 1, P,.. P ).

34 40 x ( k 1) ( x ( k) d, u ( k), x ( k N )) utuk = 1,, 3,. 1 d 1 u 1 (k) x 1 (k) P 1 N 1 u (k) u 3 (k) x (k) x 3 (k) d P d P N N x +1 (k) d +1 P +1 y(k) Gambar 3. Sstem Produks Assembly x ( k 1) ( x ( k 1) d, x ( k 1) d..., x ( k 1) d, x ( k 1) d ) y( k) x ( k) d 1 1 Jes 3: Splttg Sstem salah satu ut pemroses (P 0 ) yag ddstrbuska ke ut pemroses laya (P 1, P,., P ). Keadaa tersebut dtujukka sebaga berkut: x ( k 1) ( x ( k) d, x ( k N ), x ( k N )..., x ( k N )) x ( k 1) ( x ( k) d, x ( k 1) d ) utuk 1,,..., 0 0 y( k) x ( k) d utuk 1,,..., N 1 x 1 (k) d 1 P 1 y 1 (k) u(k) x 0 (k) d 0 P 0 N N x (k) x (k) d P d P y (k) y (k) Gambar 4. Sstem Produks Splttg

35 41 Jes 4: Paralel Dasumska bahwa terdapat suatu sstem dega 3 ut pemroses (P 0, P 1 da P ) dega megkut atura () Baga yag dber agka gajl meggalka ut pemroses P 0 kemuda melajutka ke ut pemroses P 1 () Baga yag dber agka geap meggalka ut pemroses P 0 kemuda melajutka ke ut pemroses P Dketahu sstem yag dgambarka berkut : () () u o (k): waktu dmaa baga k-1 telah masuk ke dalam sstem u e (k): waktu dmaa baga k telah masuk ke dalam sstem o () x 0 (k): waktu dmaa baga k 1 masuk ke ut pemroses P 0 e (v) x 0 (k): waktu dmaa baga k masuk ke ut pemroses P 0 N 1 x 1 (k) d 1 P 1 y 1 (k) u 0 (k) u e (k) x 0 ( k ) 0 e x ( ) 0 k d 0 P 0 Baga 1, 3,5,. Baga,4,6,. N x (k) d P y (k) Gambar 5. Sstem Produks Paralel Sstem tersebut dapat ddeskrpska dega

36 4 x ( k 1) ( x ( k) d, u ( k 1), x ( k N )) o e o x ( k 1) ( x ( k 1) d, u ( k 1), x ( k N )) e 0 e x ( k 1) ( x ( k) d, x ( k 1) d ) x ( k 1) (( x ( k) d, x ( k 1) d ) e y ( k) x ( k) d y ( k) x ( k) d Dega catata bahwa u ( k) u(k ) da u ( k) u(k 1) utuk semua k o e Jes 5: Produks Fleksbel dega beberapa aktvtas Dketahu bahwa sebuah sstem dega 3 ut pemroses (P 1, P 3, P 4 ) pada dua jes baga (T 1 da T ) yag aka d produks. Terdapat 4 aktvtas yag berbeda. T 1 baga yag pertama dproses pada ut P 1 (aktvtas 1) da kemuda dlakuka proses ut T 3 (aktvtas 3). T pertama kal baga yag dproses pada ut P 1 (aktvtas ) da kemuda dlakuka proses pada P 4 (aktvtas 4). Sedereta proses pada P 1 adalah P 1, P, P 1, P Waktu proses utuk aktvtas ke adalah d. Jka dketahu: T 1 u 1 (k) N 3 x 3 (k) d 3 P 3 y 1 (k) x 1 (k) d 1 T 1 P 1 T u (k) x (k) d T N 4 x 4 (k) d 4 P 4 y (k) Gambar 6. Sstem Produks Fleksbel dega beberapa aktvtas

37 43 () u (k): waktu dmaa materal utuk T, dmasukka ke sstem sampa ke (k+1) () x (k): waktu dmaa aktvtas ke- dmula sampa ke-k () y (k): waktu dmaa produk dselesaka utuk T, da meggalka sstem. Sehgga dperoleh: x ( k 1) ( x ( k) d, u ( k), x ( k N )) x ( k 1) ( x ( k 1) d, u ( k), x ( k N )) x ( k 1) ( x ( k) d, x ( k 1) d ) x ( k 1) ( x ( k) d, x ( k 1) d ) y ( k) x ( k) d y ( k) x ( k) d 4 4 Jka dketahu sstem yag terdr dar sebuah kombas atas subsstem dar jes 1 sampa dega 5 da dega aktvtas yag dtetuka. Kemuda dar sstem tersebut dapat ddeskrpska secara umum dega betuk model: x( k 1) A x( k 1) A x( k)... A x( k q) B u( k)...(5.1) 0 1 y( k) C x( k)...(5.) q Setelah tu subttus x(k+1) pada ruas kaa (1) da megembalka x(k+1) yag tdak mucul (yag selalu terjad jka sstem tdak memuat loop).

38 44 F. Sstem Lear Max-Plus Waktu Ivarat Defs.11 (Schutter, 1996 : 156) Sstem Lear Max-Plus Waktu Ivarat adalah SED (Sstem Evet Dskret) yag dapat dyataka dega persamaa berkut: x(k+1) = A x(k) B u(k+1)..(.11.1) y(k) = C x(k)....(.11.) utuk k = 1,, 3,..., dega kods awal x(0) = x 0, A m l, da C. Vektor x(k) meyataka keadaa (state), m l u(k) adalah vektor put, da y(k) adalah vektor output sstem saat waktu ke-k. SLMI sepert dalam defs d atas secara sgkat aka dtulska dega SLMI (A, B, C) da dtulska dega SLMI (A, B, C, x 0 ), jka kods awal x(0) = x 0 dberka. SLMI dega satu put da satu output aka dsebut SLMI satu put satu output (SISO). Sedagka SLMI dega lebh dar satu put da lebh dar satu output aka dsebut SLMI mult put mult output (MIMO). Aalss Iput-Output Sstem Lear Max-Plus Waktu-Ivarat Subbab aka membahas aalss da beberapa masalah putoutput SLMI. Jka kods awal da suatu barsa put dberka utuk suatu SLMI (A, B, C, x 0 ), maka secara rekursf dapat dtetuka suatu barsa vektor keadaa sstem da barsa output sstem., B

39 45 Dperhatka sstem produks sederhaa (gambar 1), msalka kods awal sstem x(0) = [0, 1, ] T yag berart ut pemrosesa P 1 da P berturut-turut memula aktftasya saat waktu 0 da 1 semetara ut pemrosesa P 3 mash kosog da harus meuggu datagya put dar P 1 da P. Baha metah dmasukka sstem saat waktu 0, 9, 1, 4 da seterusya yag berart dberka barsa put u(1) = 0, u() = 9, u(3) = 1, u(4) = 4, da seterusya, dega u(k) u(k+1) utuk setap k = 1,, 3,... Secara rekursf dapat dtetuka barsa vektor keadaa berkut x(1) = A x(0) B u(1) = = = x() = A x(1) B u() = = 11 13, 19 x(3) = A x() B u(3) = = 16 19, 5 x(4) = A x(3) B u(4) = = 6 5, da seterusya. 3 Kemuda dperoleh barsa output sstem sebaga berkut dega megguaka y(k) = x 3 (k) + 3 :

40 46 y(1) = 16, y() =, y(3) = 8, y(4) = 35, da seterusya yag berart produk aka dapat dambl saat waktu 16,, 8, 35 da seterusya.. Teorema.7 (Iput-Output SLMI (A, B, C, x 0 )) (Schutter, 1996 : 161) Dberka suatu blaga bulat postp p. Jka vektor output y = [y(1), y(),..., y(p)] T da vektor put u = [u(1), u(),..., u(p)] T pada SLMI (A, B, C, x 0 ), maka y = K x 0 H u dega K = Bukt: C A C A C A p da H C B C A B C B p1 p C A B C A B C B. ( k0 Jka dberka kods awal x(0) = x 0 da barsa put u k), dega duks matematk aka dbuktka berlaku x(k) = ( k A x(0) ) k ( 1 ( A k B u() ) utuk k = 1,, 3,...(.7.1) Dperhatka bahwa x(1) = A x(0)b u(1) = A x(0) A 0 Bu(1) = ( 1 A 1 x(0) ) ( 1 ( A 1 B u() ). Jad, (.7.1) bear utuk k = 1. Msalka bear utuk k = yatu x()=( A x(0))( ( A 1 Bu())

41 47 maka x( +1) = A x() B u( +1) = A (( = (( 1 A A x(0)) ( 1 x(0))( ( A 1 ( A ( 1) B u()))b u(+1) B u()))b u( +1) = (( 1 A x(0))( 1 1 ( A ( 1) B u()))bu(+1). Jad, (.7.1) bear utuk k = +1. Akbatya dperoleh y(k) = (C k A x(0)) ( k 1 C A k B u().(.7.) utuk k = 1,, 3,.... Dberka suatu blaga bulat postp p. Jka ddefska y = [y(1), y(),..., y(p)] T da u = [u(1), u(),..., y(p)] T maka dar persamaa (.7.) dperoleh: y(1) = C A x(0) C B u(1) y() = C A x(0) C A B u(1) C B u() y(p) = C p A x(0) C C B u(p). A p1 B u(1) C atau dalam persamaa matrks dapat dtulska sebaga A p B u()

42 48 ) ( () (1) p y y y = p A C A C A C x(0) B C B A C B A C B C B A C B C p p 1 ) ( () (1) p u u u atau y = K x(0) H u.(.7.3) dega K = p A C A C A C da H = B C B A C B A C B C B A C B C p p 1 Dalam sstem produks, Teorema.7 berart bahwa jka dketahu kods awal sstem da barsa waktu saat baha metah dmasukka ke sstem, maka dapat dtetuka barsa waktu saat produk selesa dproses da meggalka sstem. Cotoh.13: Dperhatka sstem produks sederhaa dalam Gambar 1. Ddefska y = [y(1), y(), y(3), y(4)] T. Jka dberka x(0) = [0, 1, ] T da u = [0, 9, 1, 4 ] T, maka dperoleh y = K x(0) H u dega K = da H = Dperhatka bahwa y = K x(0) H u = =

43 49 Hal megartka bahwa kods awal x(0) = [0, 1, ] T da baha baku dmasukka ke dalam sstem pada saat waktu u(1) = 0, u() = 9, u(3) = 1, u(4) = 15, maka produk selesa da aka meggalka sstem pada saat waktu y(1) = 16, y() =, y(3) = 8, y(4) = 34. Hasl pada cotoh sesua dega perhtuga sebelumya. Akbat.6 Iput-Output SLMI (A, B, C, )(Schutter, 1996: 86) Dberka suatu blaga bulat postp p. Jka vektor output y = [y(1), y(),..., y(p)] T da vektor put u = [u(1), u(),..., u(p)] T pada SLMI (A, B, C, ), maka y = H u dega C B H = C A B p1 C A B C A C B p B. C B Bukt: Sepert bukt Teorema.7, dega megambl x 0 =. Dalam sstem produks, SLMI (A, B, C, ) merupaka keadaa awal sstem. Semua peyagga dalam keadaa kosog da tdak ada ut pemrosesa yag memuat baha metah atau produk setegah jad.

44 50 Cotoh.14: Dperhatka sstem produks sederhaa dalam Gambar 1. Ddefska y = [y(1), y(), y(3), y(4)] T. Jka dberka x(0) =, da u = [0, 9, 1, 15 ] T, maka dperoleh y = H u dega H = Dperhatka bahwa y = H u = = Hal megartka bahwa keadaa awal sstem semua peyagga dalam keadaa kosog da tdak ada ut pemrosesa yag memuat baha metah atau produk setegah jad. Selajutya baha baku dmasukka ke dalam sstem pada saat waktu u(1) = 0, u() = 9, u(3) = 1, u(4) = 15, maka produk selesa da aka meggalka sstem pada saat waktu y(1) = 11, y() = 0, y(3) = 5, y(4) = 30. Berkut dbahas masalah put palg lambat pada SLMI (A, B, C, x 0 ). Masalah put palg lambat pada SLMI (A, B, C, x 0 ) adalah sebaga berkut : Teorema.8 (Rudhto, 003: 6) Peyelesaa masalah put palg lambat pada SLMI(A, B, C, ɛ) dega C B ɛ dberka oleh uˆ [ uˆ (1), uˆ (),..., uˆ ( p)] T dega uˆ( k) ( y( ) H ), utuk k = 1,,, p. 1 p k,

45 51 Bukt: K ɛ = ɛ, maka K ɛ H u = H u. Hal megakbatka masalah put palg lambat pada SLMI (A, B, C, ɛ) mejad masalah meetuka vektor put u terbesar (waktu palg lambat) yag memeuh H u m y. Masalah merupaka masalah meetuka sub peyelesaa terbesar sstem persamaa lear -plus H u = y. C B ɛ maka kompoe setap kolom matrks H tdak semuaya sama dega ɛ. Meurut Teorema 8, apabla H u = y dberka oleh uˆ [ uˆ (1), uˆ (),..., uˆ ( p)] T dega uˆ( k) ( y( ) Hk, ), utuk k = 1,,, p. Teorema.9 (Rudhto, 003: 64) 1 p Dberka SLMI (A, B, C, x 0 ) dega C B ɛ. Jka K x 0 m y, maka peyelesaa masalah put palg lambat pada SLMI (A, B, C, x 0 ) dberka oleh uˆ [ uˆ (1), uˆ (),..., uˆ ( p)] T dega uˆ( k) ( y( ) H ), utuk k = 1,,, p. Bukt: 1 p k, K x 0 y, maka K x 0 H u = y H u = y. Selajutya bukt m sepert pada Teorema 8 d atas. Berkut dbahas megea masalah mmsas smpaga maksmum output pada SLMI (A, B, C, x 0 ). Masalah mmsas smpaga maksmum output pada SLMI (A, B, C, x 0 ) adalah sebaga berkut. Teorema 3.0 (Rudhto, 003: 65) Peyelesaa masalah mmas smpaga maksmum output pada SLMI(A, B, C, ɛ) dega C B ɛ dberka oleh u uˆ

46 5 dega û merupaka subpeyelesaa terbesar sstem H u = y da ( y H uˆ ). Bukt: K ɛ = ɛ, maka K ɛ H u = H u. Hal megakbatka masalah mmas smpaga maksmum output jad meetuka vektor put u sedemka sehgga ( y H U). Masalah merupaka masalah optmsas yag berkata dega sstem persamaa lear -plus H u = y. Karea C B ɛ maka kompoe setap kolom matrks H tdak semuaya sama dega ɛ. Meurut Teorema.5, suatu peyelesaa u utuk masalah u uˆ, dega = ( y H uˆ da û merupaka subpeyelesaa terbesar sstem H ) u = y. Pembahasa peyelesaa masalah mmas smpaga maksmum output pada SLMI (A, B, C, ɛ) d atas juga dapat dperluas utuk SLMI (A, B, C, x 0 ) dega x 0 ɛ, sepert dberka dalam teorema berkut. Teorema 3.1 (Rudhto, 003: 67) Dberka SLMI (A, B, C, x 0 ) dega C B ɛ. Jka K x 0 y, maka peyelesaa masalah mmas smpaga maksmum output pada m SLMI (A, B, C, x 0 ) dberka oleh u uˆ dega û merupaka subpeyelesaa terbesar sstem H u = y da = ( y H uˆ ).

47 53 Bukt: K x 0 y, maka maka K x 0 H u = y H u = y. Selajutya m bukt sepert pada Teorema 9 d atas. Cotoh.15 (Schutter, 1996: 51): Msal dar Sstem pada Gambar 1 produk aka dambl oleh pemesa pada waktu 17, 19, 4 da 7, maka ddapatka T uˆ H ( y), sehgga waktu palg lambat utuk memasukka baha ke dalam sstem adalah û = [0, 6, 11, 16] T yˆ H uˆ, sehgga waktu peyelesaa palg lambat dalam proses pegerjaa produk berturut-turut ŷ = [11, 17,, 7] T. 6, maka u uˆ 3 da y H u 5 30