TUGS II GEOMETRI TRNSFORMSI Tentang Isometri dan Refleksi Oleh : EVI MEG PUTRI : 42. 35I Dosen Pembimbing : NDI SUSNTO S. Si M.Sc TDRIS MTEMTIK FKULTS TRBIYH INSTITUT GM ISLM NEGERI (IIN) IMM BONJOLPDNG 435 H/24 M Page
DFTR ISI. Isometri... 3 a. Pengertian isometri... 3 b. Sifat-sifat Isometri... 3. Memetakan garis menjadi garis... 3 2. Mempertahankan ukuran besarna sudut antara dua garis... 5 3. Mempertahankan kesejajaran dua garis... 6 B. Refleksi... 6 a. Pengertian Refleksi... 6 b. Sifat-sifat Refleksi... 7 c. Persamaan Refleksi... 8 d. Refleksi (Pencerminan) Sebagai Sebuah Isometri... 9 Page 2
. ISOMETRI a. Pengertian Isometri Isometri merupakan suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan) Translasi (pergeseran) dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis ang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis). Secara matematis Isometri didefinisikan sebagai berikut : misalkan T suatu transformasi transformasi T ini disebut isometri jika dan hana jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid v berlaku bahwa P Q = PQ dimana P = T(P) dan Q = T(Q). b. Sifat-sifat Isometri Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut :. Memetakan garis menjadi garis 2. Mempertahankan ukuran besarna sudut antara dua garis 3. Mempertahankan kesejajaran dua garis Bukti : I. Memetakan garis menjadi garis ndaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa T(g) = h adalah suatu garis juga. B B g h Page 3
Kemudian ditetapkan T g = {YY = T(X) X g} akibatna B T(g). Untuk membuktika bahwa T(g) merupakan garis lurus. mbil g dan B g. maka = T() h B = T(B) h melalui dan B ada satu garis. Misalna h. Untuk ini akan dibuktikan h h dan h h. Bukti h h mbil X h. oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides maka kita andaikan ( X B ) artina X + X B = B. oleh karena T suatu isometric. Jadi suatu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X dan oleh karena T suatu isometric maka X = X ; begitu pula XB = X B. Maka X + BX = B Ini berarti bahwa X B segaris pada g Ini berarti lagi bahwa X = T(X) h. Sehingga h h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X dengan (X B ) atau ( B X ). Bukti h h Misalkan Y h Maka ada Y g sehingga T(Y) = Y dengan Y misalna ( Y B) artina Y g dan Y + YB = B. Oleh karena T sebuah isometric. maka Y = YY B = B. Sehingga Y + Y B = B. Ini berarti bahwa Y B segaris aitu garis ang melalui dan B. Oleh karena h satu-satuna garis ang melalui dan B maka Y h. Jadi terbukti h h Page 4
Bukti serupa berlaku untuk keadan (Y B) atau ( B Y) sehingga h = h. Jadi kalau g sebuah garis maka h = T(g) adalah sebuah garis juga maka terbuktilah bahwa sifat isometri memetakan garis menjadi garis. II. Mempertahankan ukuran besarna sudut antara dua garis mbil sebuah BC B C B C ndaikan = T()B = T(B)C = T(C) Menurut (a) maka B dan B C adalah garis lurus Oleh karena BC = B BC maka B C = B B C Sedangkan B = BB C = BC C = C Sehingga BC = B C.jadi B C = BC sudut. Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan besarna sebuah Page 5
III. Mempertahankan kesejajaran dua garis B B Kita harus memperlihatkan bahwa a b ndaikan a memotong b disebuah titik P jadi P a dan P b. oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T(P) = P dengan P a dan P b. Ini berarti bahwa diketahui bahwa a b memotong b di P ; jadi bertentangan dengan ang Maka Pengandaian bahwa a memotong b SLH Jadi haruslah a b. Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan kesejajaran dua garis. a. Pengertian Refleksi (Pencerminan) B. REFLEKSI Refleksi adalah suatu transformasi ang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat baangan cermin dari titik-titik ang hendak dipindahkan itu. Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu. Garis tertentu itu dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri. Jika suatu bangun geometri dicerminkan terhadap garis tertentu maka bangun baangan kongruen dengan bangun semula. Page 6
Secara matematis refleksi dapat didefinisikan sebagai berikut : sebuah pencerminan pada garis g adalah fungsi μ g ang ditetapkan untuk setiap titik P pada bidang Euclid v sebagai berikut : ) Jika P g maka μ g (P) = P 2) Jika P g maka μ g P = Q sehingga g merupakan sumbu dari PQ Maka g disebut sumbu refleksi (cermin) μ g. b. Sifat-sifat Refleksi a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas artina ang direfleksikan tidak berpindah. b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu ang sejajar menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: i. Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. ii. rah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif. c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu ang saling tegak lurus menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu ang saling tegak lurus bersifat komutatif. d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu ang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) ang bersifat: i. Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. ii. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. iii. rah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Page 7
Page 8 c. Persamaan Refleksi Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang : Refleksi Rumus Persamaan Matriks Refleksi terhadap sumbu- sb. Refleksi terhadap sumbu- sb. Refleksi terhadap garis = Refleksi terhadap garis =- Refleksi terhadap garis =k k k 2 Refleksi terhadap garis =k k k 2 Refleksi terhadap titik (pq) q p Sama dengan rotasi pusat (pq) sejauh 8 q p cos8 sin8 sin8 cos8 Refleksi terhadap titik pusat ()
Refleksi terhadap garis =mm=tan α m dengan cos2 sin 2 sin 2 cos2 cos2 sin 2 sin 2 cos2 Refleksi terhadap garis =+k Refleksi terhadap garis =-+k k dengan k k k dengan k k k k k k d. Refleksi (Pencerminan) sebagai suatu Isometri Pencerminan dikatakan sebagai suatu Isometri karena setiap pencerminan pada garis merupakan suatu Isometri lawan. Bukti :. Setiap refleksi merupakan transformasi kongruen. Misal r m adalah sebuah refleksi dengan r m = dan r m B = B. Untuk membuktikan bahwa r m adalah sebuah transformasi ang mempertahankan jarak harus ditunjukkan bahwa B = B. Tinjau empat kasus: Kasus I. Titik dan titik B segaris: B = B m = Page 9
Misalkan m adalah sebuah garis pada bidang. Titik dan titik B keduana terletak pada garis m. Maka : ) r m = m sehingga = = 2) r m B = B m sehingga BB = B = B Karena = dan B = B maka B = B Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik ang segaris. Kasus II.Titik pada garis dan titik B diluar garis. m r m B = B = C = C B Misalkan m adalah sebuah garis pada bidang. Titik terletak pada garis m dan titik B terletak diluar garis m. Maka ) r m = m sehingga = = 2) r m B = B sehinggam BB dan berpotongan di titik C = C maka BC = B C Karena C = C m CB = m C B dan B C = BC (sisi sudutsisi) maka BC kongruen dengan B C. Dengan menggunakan bersesuaian diperoleh: perbadingan sisi-sisi ang BC B C = B B.Karena BC = B C maka: BC BC = B B = B B B = B Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik ang tidak segari Page
Kasus III. Titik dan titik B keduana terletak pada sisi ang sama diluar garis m C = C B D = D B Misalkan m adalah sebuah garis pada bidang. Titik dan titik B terletak pada sisi ang sama diluar garis m. Maka ) r m = sehingga m dan berpotongan di titik C = C maka C = C 2) r m B = B sehingga m BB dan berpotongan di titik D = D maka BD = B D Karena BCB merupakan segitiga sama kaki maka BC = B C. Karena BC = B C m CB = m C B dan C = C (sisi sudutsisi) maka BC kongruen dengan B C dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi ang bersesuaian diperoleh: C C = B. Karena C = C maka: B C C = B B = B B B = B Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik ang berada disisi ang sama diluar garis. Page
Kasus IV. Titik dan titik B terletak pada sisi ang berlawanan di luar garis m C = C B E = E D = D B Misalkan m adalah sebuah garis pada bidang. Titik dan titik B terletak pada sisi ang berlawanan diluar garis m. Maka ) Jika C D E m maka r m C = C m r m D = D m dan r m E = E m sehingga C = C D = D dan E = E 2) r m = sehingga m dan berpotongan di titik C = C maka C = C 3) r m B = B sehingga m BB dan berpotongan di titik E = E maka BE = B E Karena C = C m CD = m C D dan CD = C D (sisi sudutsisi) maka CD konruen dengan C D dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi ang bersesuaian diperoleh: C C = D. Karena C = C maka: D C C = D D = D D D = D ) Karena BE = B E m BED = m B E D dan ED = E D (sisi sudutsisi) maka BED kongruen dengan B E D dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi ang bersesuaian diperoleh:: BE B E = DB D B Karena BE = B E maka: BE BE = DB D B = DB D B D B = DB ) Page 2
B = D + D B. Dari : D = D dan : D B = DB maka B = D + DB B = B Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik ang terletak diluar garis di sisi ang berlawana.. Keempat kasus di atas menunjukkan bahwa B = B. Dapat disimpulkan bahwa setiap refleksi merupakan transformasi kongruen 2. Dengan suatu refleksi baangan sebuah sudut adalah sebuah sudut dengan ukuran ang sama. B m C C B Misalkan m adalah sebuah garis pada bidang. Titik dan titik B terletak berseberangan dengan titik C pada diluar garis m. Maka berdasarkan sifat pencerminan jika r m = r m B = B dan r m C = C sehingga: B = B dan C = C. Maka; B C = B C = B C = BC Karena B C = BC maka m B C = m BC Jadi baangan sebuah sudut adalah sebuah sudut dengan ukuran ang sama. Page 3
DFTR PUSTK Rawuh. Geometri Transformasi. Bandung : Perpustakaan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan 993 Lipschutz Semour Teori dan Soal-soal Geometri(seri buku Schaum) Jakarta : Erlangga 995 Juliartawan I Waan Matematika(contoh soal dan peneleseain) Yogakarta : ndi 24 Rasmedi S me Darhim Geometri transformasi Jakarta :Universitas Terbuka 27 http://id.wikipedia.org/wiki/isometri_(matematika) http://id.wikipedia.org/wiki/refleksi_(matematika) http://anchasino.blogspot.com/2//bukti-pencerminan-sebagaiisometri.html http://ms.wikipedia.org/wiki/geometri_transformasi Page 4