Dierensiasi Numerik Yuliana Setiowati Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007 1
Topik DIFFERENSIASI NUMERIK Mengapa perlu Metode Numerik? Dierensiasi dg MetNum Metode Selisi Maju Metode Selisi Tengaan Metode Selisi Mundur Dierensiasi tingkat tinggi Rumus Turunan Kedua dg Metode Selisi Maju Metode Selisi Tengaan Metode Selisi Mundur 2
DIFFERENSIASI NUMERIK Peritungan kalkulus banyak digunakan untuk keperluan peritungan geometrik, yang berubungan dengan perubaan nilai per-satuan waktu atau jarak. Secara kalkulus, dideinisikan sebagai perbandingan perubaan tinggi (selisi tinggi dan perubaan jarak dy lim y a 0 d penentuan titik puncak kurva y = ( dy/d = 0 3
Mengapa perlu Metode Numerik? Terkadang terdapat suatu ungsi yang sulit diitung secara manual Untuk mengotomatiskan, tanpa arus mengitung manualnya 4
Dierensiasi dg MetNum Metode Selisi Maju Metode Selisi Tengaan Metode Selisi Mundur 5
Metode Selisi Maju Metode selisi maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung deinisi dierensial ( '( ( 6
Metode Selisi Maju Rumus-rumus turunan numerik diperole dari deret Taylor Misalkan diberikan titik-titik ( i, i i=0,1,2,,n yang dalam al ini dan i 0 i i ( i 7
Metode Selisi Maju Uraikan ( i+1 disekitar i 8
Metode Selisi Maju Pengambilan diarapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil Error yang diasilkan E( 1 2 11 9
Conto : Hitung dierensial (=e- sin(2 +1 dari range =[0,1] dengan =0.05 10
Metode Selisi Mundur Rumus Dierensiasi Numerik ' 11
Metode Selisi Mundur 12
Metode Selisi Mundur 13
Metode Selisi Mundur Untuk nilai-nilai di 0 dan -1 persamaan rumusnya menjadi: 14
Metode Selisi Tengaan Metode selisi tengaan merupakan metode pengambilan perubaan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur. '( 2 15
Metode Selisi Tengaan Metode Numerik 16
Metode Selisi Tengaan Kesalaan pada metode ini E( 6 2 111 Peratikan bawa pendekatan metode selisi tengaan lebi baik daripada dua pendekatan sebelumnya, sebab orde errornya adala O( 2 17
Conto Hitung dierensial (=e- sin(2+1 dari range =[0,1] dengan =0.05 18
Dierensiasi tingkat tinggi Dierensiasi tingkat tinggi merupakan proses pendierensialan secara terus-menerus, ingga tingkatan yang ditentukan. Dierensial tingkat 2 " ' ' Dierensial tingkat 3 (3 ' " Dierensial tingkat n n 1 n1 d n d n d d n d d 1 n1 19
20 Dierensiasi tingkat tinggi Dierensiasi tingkat 2 untuk M. Selisi Maju 2 ( ( 2 2 ( " ( ( ( 2 ( " '( ' "
21 Dierensiasi tingkat tinggi Dierensiasi tingkat 2 untuk M. Selisi Tengaan 2 4 2 ( ( 2 2 ( " 2 2 2 ( ( 2 ( 2 ( " 2 '( ' "
Rumus Turunan Kedua Metode Selisi Tengaan Metode Numerik 22
Rumus Turunan Kedua Metode Selisi Mundur Metode Numerik 23
Rumus Turunan Kedua Metode Selisi Maju Metode Numerik Dengan cara yang sama diperole 24
Conto : Hitung dierensial kedua dari (=e - sin(2+1 dari range =[0,1] dengan =0.05 25
Conto 26
Conto 27
Conto 28
Conto 29
Pemakaian Dierensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva Kurva tersebut mempunyai 7 titik puncak, yaitu dan.titik puncak dan dinamakan titik puncak maksimum.titik puncak dan dinamakan titik puncak minimum. 30
Pemakaian Dierensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva Metode Numerik Deinisi 1. Suatu titik a pada kurva y = ( dinamakan titik puncak bila dan anya bila : 1 (a = 0. Deinisi 2. Sebua titik puncak a dikatakan titik maksimum pada kurva y = ( bila : 11 (a < 0. Deinisi 3. Sebua titik puncak a dikatakan titik minimum pada kurva y = F( bila : 11 (a > 0. 31
Conto : Tentukan titik-titik puncak dari kurva y = 3-2 2 - dengan mengambil range Terliat bawa nilai puncak terjadi antara 0.75 dan 0.8, karena nilai ( mendekati nol. Pada nilai tersebut terliat nilai (<0 maka nilai puncak tersebut adala nilai puncak maksimum. 32