4 SIFAT-SIFAT STATISTIK DARI REGRESI KONTINUM

Transkripsi

1 4 SIFA-SIFA SAISIK DAI EGESI KONINUM Abstrak Matriks pembobot W pada egresi Kontinum diperole dengan memaksimumkan fungsi kriteria umum ternata menimbulkan masala dari aspek statistika. Prinsip dari fungsi kriteria umum adala memaksimumkan koragam antara X dengan Y dan pada saat ang bersamaan juga memaksimumkan ragam dari X. Dengan demikian, pada matriks pembobot W mengandung peuba Y ang bersifat acak. Bila matriks W diasumsikan ditentukan (fixed variable) maka penduga koefisien regresi bersifat tak bias dengan ragam minimum, sedangkan untuk mendapatkan selang si digunakan aproksimasi. 11Kata kunci : fungsi kriteria umum, matriks pembobot, aproksimasi selang si Abstract Weigted matrix W in te continuum regression obtained from maximizing te generalized criterion function as generated statistical problems. e principle of te generalized criterion function is to maximize covariance XY and variance of X. erefore, Y variable in te weigted matrix W as random caracter. If te matrix W can be determined (fixed variable), te estimator of regression parameters are unbiased wit minimum variance and wile te prediction interval of can be used approximation. Keword: generalized criterion function, weigted matrix, prediction interval approximation

2 55 Pendauluan egresi kuadrat terkecil parsial (KP), regresi komponen utama (KU) dan regresi kontinum (K) dikembangkan dari model regresi linear ganda = Xβ + ε dengan X adala matriks peuba bebas berukuran nxp, adala vektor peuba respon berukuran nx1, β adala parameter regresi berukuran px1, dan ε adala vektor galat berukuran nx1. Sejumla asumsi ang melekat pada metode kuadrat terkecil juga masi diperlukan. Prinsip ang membedakan ketiga metode tersebut terletak pada matriks pembobot W ang besarna dicari dengan cara memaksimumkan fungsi kriteria umum. Matriks pembobot W dalam K mengandung peuba Y ang bersifat acak, seingga untuk mencari sifat-sifat statistik dari asil dugaan K sulit dilakukan secara analitik. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji sifat-sifat statistik dari K, kususna sifat-sifat dari asil pendugaan K, dan menerapkanna pada data simulasi. Bab ini merupakan pengembangan dari artikel ang ditulis Setiawan dan Notodiputro (6b). Metode Metode ang digunakan dalam penelitian ini mencakup kajian teoritis dan empirik. Untuk mendapatkan formula sifat-sifat statistik dari K digunakan kajian teoritis, selanjutna formula tersebut diterapkan untuk kajian empirik dengan menggunakan data asil simulasi. aapan simulasi disajikan pada Lampiran 1. Analisis data dengan menggunakan metode K-WD terbagi dalam dua taap aitu membangun model dan validasi model. aap 1 Membangun model dengan langka-langka sebagai berikut : a. Data asil simulasi berupa matriks peuba bebas X berukuran nxp M ( p = q = ; M = 1,,... ang merupakan sarat dalam WD), pada kajian ini 3x3, dan peuba respon berukuran nx1 (3x1) dibagi menjadi dua kelompok secara acak, kelompok pertama n 1 (5) pengamatan digunakan untuk membangun model dan kelompok kedua n (5) pengamatan untuk validasi model.

3 56 b. Dapatkan matriks WD B berukuran pxp. c. Dapatkan matriks D dengan rumus D = X B, kemudian pili ( n 1xp) ( n1xp) ( pxp) level-level resolusi tertentu sedemikian ingga banakna koefisien wavelet ang terpili sebesar diperole ( n xp') X ( n xp) B 1 1 ( pxp') p ' dengan p ' < ( n1 1) < p. Selanjutna D = ang mereduksi pengamatan dari p titik tiap-tiap conto menjadi p ' titik koefisien wavelet ang terpili. Dalam software wavetres 3 (Nason 1998) terdapat 1 level moter wavelet Daubecies (D-1 sampai D-1) seingga akan diperole 1 matriks D berukuran ( n 1 xp' ). d. Meregresikan peuba respon teradap matriks peuba bebas ( n 1 x1) D ( n 1 xp') (D-1 sampai D-1) dengan menggunakan metode regresi kontinum. Sedangkan dalam mencari matriks pembobot digunakan dua pendekatan aitu pendekatan 1 dan pendekatan. Pada pendekatan 1, langka ini diulang pada δ tertentu ang terletak antara δ 1 sampai mendapatkan model terbaik, seingga mendapatkan model : = D β + ε. Karena pada matriks D masi terdapat masala kolinearitas ganda, maka dilakukan transformasi = D W seingga model menjadi = ξ + ε. Selanjutna dilakukan pendugaan parameter regresi dengan metode kuadrat terkecil sebagai berikut : ˆ ξ δ, = 1 ( ) ˆ = ξ = D W ˆ ξ = D ˆ δ, δ, ˆ β aap Validasi model dengan langka-langka sebagai berikut : a. Melakukan si nilai pada kelompok data validasi dengan menggunakan model ang diasilkan pada taap 1, dengan langkalangka sebagai berikut : Perkalian antara vektor pengamatan ke-i x i ) ( berukuran (1xp) dengan matriks transformasi wavelet B seingga diperole vektor d dengan rumus d x B ( pxp') =.

4 57 Selanjutna dapatkan t = d ( ) W. Memsi nilai dengan rumus : ˆ ξ ˆ ˆ ξ ˆ = = t = d W = d β ; i = 1,,..., n. b. Selanjutna dilakukan validasi model dengan kriteria : i MSEP ang merupakan sala satu ukuran kebaikan asil si koefisien determinasi asil si ( ) sifat-sifat statistik dari asil dugaan regresi kontinum. Untuk mengevalusi kinerja K-WD ada beberapa kriteria ang dibandingkan, antara lain :,, s,, MSEP, plot antara dengan ŷ, plot antara dengan,,, serta lebar selang si. Model dikatakan lebi baik jika lebi tinggi, s dan MSEP lebi kecil, asil pengepasan lebi dekat ke garis lurus dengan gradien 45 melalui pusat, serta lebar selang si ang sempit. Sifat-sifat Statistik dari egresi Kontinum Sifat-sifat statistik ang dikaji meliputi : bias, ragam dari penduga parameter regresi dan si, serta selang si. Ketakbiasan dalam Pendugaan Parameter Model umum regresi ganda = Χβ + ε. Karena pada matriks X terdapat masala singularitas dan atau ill conditioned, maka dilakukan transformasi peuba dengan formula sebagai berikut : = XW dan W = ( w 1, w,..., w ) matriks berukuran (px) dengan { < p < ( n 1)} dan disebut matriks pembobot, adala matriks peuba baru berukuran (nx). matriks Dengan demikian model dapat diuba menjadi = ξ + ε. Karena pada suda tidak ada masala singularitas atau ill conditioned, maka pendugaan parameter ξ dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil ang diformulasikan sebagai berikut : δ, 1 ( ) ˆ ξ =. (78)

5 58 Nilia arapan dari ξˆ dengan sarat W ditentukan (fixed variable) adala : E ξ W = E [( ) W] ˆ 1 δ, 1 = E [( ) ( ξ + ε ) W] 1 = ξ + E[( ) ε W] 1 = ξ + E[( W X XW ) W X ε W] 1 = ξ + [( W X XW ) W X E( ε )] = ξ. (79) Jadi ˆ ξ merupakan penduga takbias bagi ξ bila matriks W bersifat fixed δ, variable (bukan peuba acak). Prisnsip dari matriks pembobot W pada K sama dengan peranan matriks pembobot pada regresi kuadrat terkecil tertimbang (weigted least squares). Pada regresi kuadrat terkecil tertimbang, bila matriks pembobot diketaui (fixed variable), maka penduga ang diasilkan bersifat takbias dengan ragam minimum. Dalam praktekna al tersebut sulit dipenui, seingga matriks pembobot diperole dari asil pendugaan. Pada keadaan ini arus ati-ati, karena bagaimanapun penggunaan penduga sebagai pengganti tidak mungkin sesuai jika didasarkan pada informasi ang terbatas (Mers 199). Logika inila ang digunakan untuk mempelajari sifat-sifat statistik dari K, kususna dalam menikapi matriks pembobot W. agam dan Simpangan Baku untuk ˆ ξ δ, Untuk mendapatkan ragam dari ξˆ dengan sarat W diketaui digunakan formula sebagai berikut : Var( ˆ ξ δ, W) = Var[( ) 1 Τ W] 1 = Var[( W X XW ) W X W] 1 1 = ( W X XW ) W X Var( ) XW ( W X XW ) = ( σ 1 W X XW ). (8)

6 59 Pendugaan untuk data rata-rata Sala satu tujuan dari pemodelan adala menduga (meramal) nilai peuba respon Y berdasarkan nilai peuba bebas X ang dimiliki. Misalkan terdapat nilai pengamatan x untuk menduga nilai digunakan formula sebagai berikut : ˆ = t ˆ ξ = x W ˆ ξ. (81) δ, δ, Sedangkan untuk mencari ragam dan simpangan baku digunakan formula : Var( ˆ = Var ( t ˆ ξ W) δ, = Var ( x W ˆ ξ ) W) W ) ) x δ, Var = W ( ξ W) W ˆ Sedangkan untuk simpangan baku digunakan formula : x s ˆ ) = Var( ˆ ). (8) ( Prediksi nilai untuk Pengamatan Baru Untuk memsi nilai peuba respon pengamatan baru digunakan formula sebagai berikut : = ˆ = t ˆ ξ = x Wξˆ. (83) δ, Untuk mendapatkan selang si dari digunakan formula : δ, x(sep) ˆ x(msep) (84) ˆ ± ± ang merupakan aproksimasi selang si 95%. egresi Kontinum dengan prapemrosesan transformasi wavelet diskret (K-WD) pada dasarna adala regresi kontinum teradap koefisien wavelet. Seingga matriks peuba bebas X pada regresi kontinum diganti dengan matriks koefisien wavelet D. Dengan demikian sifat-sifat statistik dari K-WD sama dengan pada K dengan mengganti matriks peuba bebas X dengan matriks koefisien wavelet D.

7 6 Hasil Simulasi Pemodelan antara peuba respon Y teradap matriks koefisien wavelet diskret (D) dilakukan dengan menggunakan data kelompok-1. Model terbaik terbentuk dengan mengambil 16 koefisien wavelet pada resolusi, 1,, 3 serta 1 koefisien untuk fungsi skala untuk moter wavelet Daubecies-1. ingkasan ukuran kebaikan model disajikan pada abel 7. abel 7 ingkasan ukuran kebaikan model δ s MSEP Pendekatan (KP) (KU) Pendekatan Dari abel 7 tersebut dapat diliat bawa model terbaikna adala asil metode K pada δ =. 15, karena pada kondisi tersebut diperole, serta MSEP terbaik. Selanjutna model ang dianalisis adala model K pada δ =.15. abel 8 menajikan dugaan dari serta ragam dari ŷ, sedangkan abel 9 menajikan si dan selang si untuk ang diperole dari aproksimasi. Dari abel 8 dapat diliat bawa selang si untuk relative sempit dan semua nilai μ maupun nilai pengamatan berada dalam selang si.

8 61 abel 8 Nilai dugaan untuk data kelompok 1 μ = asli ŷ s (ˆ ) abel 9 Hasil si nilai untuk data kelompok validasi Selang si 95% μ = asli Batas Batas Lebar bawa atas selang

9 6 Simpulan Pada K dengan model = Χβ + ε kemudian dilakukan transformasi peuba baru = XW seingga model menjadi = ξ + ε. ξˆ merupakan penduga takbias bagi ξ dan mempunai ragam minimum bila W diasumsikan diketaui (fixed variable). Sedangkan untuk mendapatkan selang si digunakan aproksimasi. K-WD pada dasarna merupakan kombinasi antara K dengan WD, ole karena itu sifat-sifat statistik pada K juga berlaku pada K- WD. Dari formula ang digunakan untuk mencari selang si, ternata secara empirik didapatkan lebar selang ang relatif sempit. Seingga dapat disimpulkan bawa pendugaan dengan metode K-WD akan diperole model dengan tingkat akurasi ang tinggi